' ,

INSTITUT DE CIENCIES DE L'EDUCACIO UNIVERSITAT AUTONOMA DE BARCELONA

ELS NOMBRES ENTERS GRUP ZERO

Barcelona

setembre 1980

Projecte d'investigació:

"L'ensenyament de les Matemàtiques a 2.ª etapa d'E.G.B."

Text experimental n.0 l.

Hi han col.laborat: Carme Azcarate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Martí Casadevall, Esther Casellas, María Jo­sé Castelló, Montserrat Comas, Rubí Corberó, Jordi Deulofeu, Dolors Dilmé, Belén Escudé, Joan Estafanell, Cristina Fabregat, Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Antonio Montes, Francisca Moreno, Manuel Udina.

Coberta: Montserrat Serrahima Edita: Institut de Ciències de l'Educació de la Universitat

Autònoma de Barcelona. ISBN 84-7 488-012-2

Imprès a Pal.las A.G.- Tordera, 40- Barcelona

INDEX

INTRODUCCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I - PROBLEMES D'INTRODUCCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

, '

II - LECTURA I INTERPRETACIO DE GRAFIQUES . . . . . . . . . . . 1 1 Ill - ELS NOMBRES ENTERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

A - Concepte de nombre enter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 A . l El nombre enter com a expressió d'una variació . . . . . 17 A.2 Representació gràfica de les variacions . . . . . . . . . . . 20 A.3 El nombre enter com a expressió d'un estat . . . . . . . . 21 A.4 Representació gràfica dels estats . . . . . . . . . . . . . . . . 24 A .5 Ordenació dels nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

B - Operacions amb nombres enters . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 B .l Addició de nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 B .2 Subtracció de nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 B .3 Multiplicació de nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

C - Problemes de consolidació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3

,

INTRODUCCIO

Aquest llibret és l'inici d'una col.lecció de textos pensats per ense­

nyar les matemàtiques de la segona etapa d'E.G.B. L'experiència del

nostre grup a BUP ens ha convençut de la necessitat d'abordar els pro­

blemes que presenta la formació bàsica; això explica l 'ampliació del nos­

tre grup i la nostra dedicació a la segona etapa d'E.G.B.

També en aquest nivell creiem que hem d'ensenyar les matemà­

tiques basant-nos en la resolució de problemes interessants, més o

menys familiars als alumnes i que formen el suport concret i intuïtiu

dels conceptes abstractes que els presentem.

El llibret comença amb uns problemes d'introducció que recullen

qüestions conegudes dels alumnes; pensem que serviran per iniciar el

curs sense necessitat d'entrar directament en un tema. A continuació

presentem uns exercicis de lectura i interpretació de gràfiques; és una

manera de dotar els alumnes d'un instrument que poden utilitzar a d'al­

tres assignatures (geografia, història, ciències naturals, ... )i també és una

bona introducció al tema d'estadística.

Quant al tema Els Nombres Enters té dues parts: el concepte i les

operacions. En l'estudi del concepte ens proposem que els alumnes arri­

bin a di?'c�ncir els dos aspectes: variació (disminució-augment) i estat

(valor fix). 'l ".'eballem també la representació gràfica i l'ordenació. Final­

ment estudiem les operacions de manera que, en acabar aquest tema, els

alumnes estiguin en condicions d'abordar l'àlgebra.

5

I - PROBLEMES D'INTRODUCCIO

1 . En una llibreria hem vist un albarà amb les anotacions següents:

Article Quantitat Preu Import Descompte Total llàpis 1 50 1 2 ................ . .............. ...............

llibretes 200 34 ............... . .............. ···············

gomes 75 15 ............... ............... . ..............

bolígraf 125 18 ................ . .............. ...............

TOTAL

Acaba d'omplir aquest albarà sabent que el descompte ha estat d 'un 10 %

2. Tots recordeu que el matemàtic grec Pitàgoras va formular un teorema que porta el seu nom i que s'aplica als triangles rectangles. Pi­tàgoras emigrà de Samos (Grècia) a la ciutat de Crotona a la Magna Grè­cia (actual Sud d'Itàlia) fugint de la tirania de Polícrates. A Samos fun­dà una escola coneguda arreu del món amb el nom d'escola pitagòrica. L'any 1955 es commemorà el 2.500 aniversari de la fundació d 'aquesta escola. Grècia ho va recordar editant un segell en el qual �s representa la

demostració del famós teorema.

<'l) Recordes què diu el teorema? Saps demostrar-ho? b) Sabries dir a quin any es fundà l 'escola pitagòrica? Com ho has

fet per calcular-ho? c) Busca un mapa d'Europa i situa Samos i Crotona.

7

_J

3. Treu el màxim d'informació del següents diàgrama:

grup de 10 alumnes que

tenen cap de les dues aficion:,

grup de 12 alumnes aficionats a la música

classe de 30 alumnes

grup de 15 alumnes Wl--+-

a fic i on a ts al cine

4. En la propaganda d'una immobiliària hem trobat el següent pla-nell.

Sala d'estar: 16,4 m2

: 10,1 m2 Cuina: g,1 rn2 Bany: 3,2 m2 Rebost: 3 m2

(--------, L ___ º_) --- .. -- - -

habitació

a) Comprova si son certes aquestes dades.

pl.

b) Troba la superfície total de l'apartament.

8

pl.

entrada

sa i A d'estar

terrassa

l ' í,· \'/C

/ \5cix:¡o:::i rebost ���lJr�·

¡,, ( cuina

5 . Un submarinista amb escafandra i utilitzant gasos especials pot arribar fins a una profunditat màxima de 130 m. Això representa 1/76 de la fondària aproximada de la fossa marina de les Kurieles-Kamc hatka (a l 'Oceà Pacífic)

a) Saps què és una fossa marina? b) Quina és la fondària d'aquesta fossa? c) Situa en el mapa la zona on es troba la fossa de Kurieles-Kam­

chatka.

6. Sabem que el so es propaga a una velocitat de 340 m/seg. Cal­cula a quina distància ha caigut un llamp si hem sentit el tro 3 segons després de veure el llamp (hem de suposar que la llum es propaga ins­tantàniament) .

7 . En xifres rodones l'extensió d'Espanya és de 60 milions d'Ha. La superfície improductiva representa els 2/25 del total i la superfície forestal i de pastura els 13/25 del total; la resta és superfície cultivable.

a) quina fracció del total representa la superfície cultivable? b) calcula l 'extensió de les superfícies: improductives, forestals i

cultivades.

8. Les Illes Formigues, conjunt de quatre illes de la Costa Brava� són ben conegudes pels musclaires per la gran quantitat de musclos que s 'hi tro ben.

Sabem que es troben a 1 ,3 km cap al N-E de la punta d'en Canet (Palamós) . Quan trigaria per fer la travessa un nedador que fes un

temps mig de 50 m/minut?

9

li-PROBLEMES DE LECTURA I INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS

Temperatura

l 2

t: tarda m : matí

4 6

1 . Aquest és el gràfic de temperatures d'un malalt de grip. a) quants dies ha durat la malaltia? b) quina ha estat :a temperatura més alta? e) quan és més alta la temperatura, al matí o a la tarda? d) quines van ser les temperatures en el setè dia? e) en quins moments la temperatura ha estat de 38º?

Dies

11

2. Aquest és el gràfic de natalitat a Espanya entre els anys 1 964 i

1974. a) quants naixements hi va haver durant l 'any 1 967? I durant l 'any

1970?

b) què pots dir dels períodes 1 964-1966 i 1 967-1970? c) en quins períodes va augmentar la natalitat? d) quins són els anys d'igual natalitat? Digues el nombre de naixe­

ments que hi va haver en aquests anys. e) en quin moment et sembla que la disminució de naixements va

ser més forta? En quin moment és més baix l 'augment de naixements? f) en quin moment la natalitat ha estat de 665 .000 nens?

3. Els dos gràfics següents estan trets de l 'Atlas de geograria i histò­ria de les edicions Selma . Per cada un d'ells contesta -les preguntes se­gii.ents:

a) quines han estat les temperatures extremes durant l 'any? En quins mesos hi ha hagut augment de temperatura? En quins mesos hi ha hagut disminució de temperatura? En quin moment la temperatura ha estat de 1 5º? Intenta de precisar el dia .

b) en quins mesos les precipitacions han estat màximes? En quins mesos han estat mínimes? Quina quantitat d 'aigua correspon a cada cas?

c) a peu de gràfica llegim: "temperatura mitjana anual "; què vol dir? Intenta calcular aquest valor a partir del gràfic .

12

Precipitació en Temperatura en mm

500

450

400

J50

i

E F M A M J

-r

BARCELONA - Espanya -

���--, "C A S O N D

-10"

Temperatura mitjana anual 16°

Precipitació anual 355 mm -20"

-2l"

-)t)'

Precipitació mm

Tempcra1ura en 'C

E F M A M J A S O N D

500

450

400

TEHERAN - lr�n -

Temperatura mitjana anual 16,6°

Precipitació anual 250 mm

l -l. --¡

-5'

-IOº

-150

-20°

-25°

-3-2.:._

d) respecte a les precipitacions llegim : "precipitació anual". Ex­plica què significa i calcula-la.

e) Compara els resultats que has obtingut per cada un dels dos grà-fics .

13

Precipitació en mm¡- Temperatura en

E 'F MIA M

...-----r--J l J A l S l O l N

�-1 ºC

-H- -rr t-r ---+· -"-----�

5001----r---t--+--+-+---+--+--+--l--1-. � ·-----+---+l 450 "---+---+-+---+---l-

4001---+----t--+---+-+---+--+--+---l----l----l-�

COLOM BO - Ceilan -

Temperatura mitjana anual 27º

Precipitació anual 2.426 mm

t- 5º

4 . Aquest altre gràfic està tret del mateix llibre i com veus és molt diferent:

a) què ha estat el primer que t'ha sobtat? b) què pots dir de la temperatura a la ciutat de Colom bo? c) què passa amb les pluges en aquella regió?

Cort.esta les preguntes b) i. d) del problema 3 i compara els resul­tats dels tres gràfics.

14

M ilers de Qm

x :J "'

. . PRODUCCIO MUNDIAL D'ARROS

:ï' :J <-. o OJ -t OJ o. "' Cl) "' ::; .... o. o "C "' :J "' "'

o- ::; lC �. "' :J êii' êii' 11>- :J "' o. "' "'

3 ;o o- Cl) :J ;!:. "'

o. l!.

5. Ara tens al davant un gràfic diferent. Observa'l i digues: a) quin és el país que produeix més arròs del món? b) i el que en produeix menys? Pensa bé la teva resposta. e) quina és la producció anual d'arròs de Xina? I del Japó? d) podries calcular la producció anual total?

15

6. Un mapa també és una mena de gràfic on cal saber-se situar; fem dos exercicis amb un atlas al davant:

a) digues la latitud i la longitud dels següents llocs: Xicago, París, Moscú, Buenos Aires, Barcelona, Mèxic .

b) troba les ciutats que tenen per latitud i longitud (en aquest or­

dre): (52ºN, Oº); ( 40ºN, 1 18ºE) ; ( 3 4ºN, 1 18º0); (34º8, 19ºE) ; ( 33º8, 7 1º0).

7 . El gràfic següent ens descriu la velocitat d'un cotxe de carre­res a cada lloc d'una pista de 3 km ( durant la segona volta).

200 ,..,_, __ ,,,+,'�'-+""'""'"'""'"'''""'"'

180 160 .... 1.fc:H·-��-'�--� ...... 140 . 120 100 80 60 40+1,, "'""'""-""'""'''�t+-'1-++-,.,....,,,,_,- ·-·'.'.'Ct '" �'·�= ·-

20 .-. c-=C-j��=t=

0,3 0,6 o,9 1,2 1,5 Distància en Km

i els dibuixos següents representen possibles pistes de la carrera:

a) Pots dir quantes corbes té la pista? b) Q\lina de les pistes donades és la menys encertada?

ç) Quina pista et sembla la bona?

16

P : punt d e partida

Ill- ELS NOMBRES ENTERS

A. CONCEPTE DE NOMBRE ENTER

A.l. El nombre enter com a expressió d'una variació

Uns problemes massa fàcils?

1. A l 'hora del pati en Joan i en Pere juguen a bales:

a) En Joan en tenia 5 en iniciar el joc i al final de les partides en te'8. Què ha passat ?

b) En Pere al començament en tenia 7 i quan acaben de jugar en té 4. Com ho expliques?

2. En un dia de tardor hem trobat les següents informacions me-teorològiques referents a Barcelona ciutat:

Temperatura a les 6 hores: 8° C. Temperatura a les 17 hores : 1 5 ° C. Temperatura a les 22 hores: 1 0° C. a) Què ha succeït entre les 6 hores i les 17 hores? b) I entre les 17 hores i les 22 hores?

3. El cinc de gener la Maria compta els diners que té a la seva guar­diola, en total: 345 ptes.

a) El dia de Reis els seus avis li posen diners a l� guardiola. Toma a comptar-los i té 845 ptes. Quants diners li han regalat?

b) El dia següent, el 7 de gener, la Maria compra uns llapis de co­lors amb els seus estalvis. Després només li queden 460 ptes. Quant li ha

costat la capsa de llapis?

4. L'Ai•mtament de Barcelona té un edifici molt alt que dóna a la plaça Sant Mi� ·.iel, molt a prop de la plaça Sant Jaume. Mira un mapa de Barcelona si no saps on està situat.

1 7

El senyor Puig vol saber si pot traslladar el seu taller a un terreny que té al Guinardó. Per això va a l'Ajuntament i puja al 2on pis on hi ha la Delegació d'Informació. Allà li diuen que ha d'anar al sè pis i consul­tar el Servei d'Indústries Particulars.

a) Quants pisos haurà de pujar? Finalment l 'envien al 5è pis a consultar el mapa de la Ciutat. b) Qua'1ts pisos haurà baixat?

Recapitulem:

En els quatre problemes que acabes de fer t'has trobat: d'una banda amb uns guanys (de bales o de diners) i amb unes pujades (de temperatures o d'ascensors) i d'una altra banda amb unes pèrdues i unes baixades. Podem dir que els guanys i les pu­jades són augments (de temperatura, de diners, de bales o d'altu­res). Els augments es representen amb un signe + davant del nombre.

Per exemple: - "La temperatura ha pujat cinc graus". Direm que la va­

riació ha estat -r 5 o. -,-"He guanyat dues bales en una partida". La variació del

nombre de bales ha estat -t- 2. De mariera semblant direm que les perdues i les baixades

són disminucions, i les representarem amb un signe - davant del nombre.

Així: -"He baixat 3 pisos" s'escriurà -·3 pisos. ---"He perdut 1 00 pessetes" s'escriurà --100 ptes. Tant els augments com les disminucions són variacíons. Exemples: -"Ahir la temperatura va experimentar una variació de

-7º" significa que la temperatura va disminuir set graus. ·-"Un compte corrent ha sofert una variació de + 3.000

ptes" vol dir que aquest compte ha augmentat en tres mil pes­setes.

Problema de Recapitulació:

Completa les frases següents, tenint en compte que es refereixen als problemes que ja has fet:

Problema l: a) La variació de bales d'en Joan ha estat de: + 3

b) La variació de bales d'en Pere ha estat de:

Problema 2: a) Entre les 6 i les 17 hores la variació de temperatura ha estat de: b) Entre les 17 i .. .

Problema 3: a) El dia 6 de gener .. . b) El dia 7 de gener .. .

Problema 4: a) Quan el seny or Puig .. .

b) Quan el senyor Pmg . . .

5. Un problema sobre l 'avió Concorde.

El Concorde , del qual tomarem a parlar una mica més endavant,

és un avió supersònic . Digues què en saps.

19

Ens referirem ara a la velocitat d'aquest avió, que segons el mo­

ment de vol pot ser:

1.000 km/h quan va en règim subsònic.

2.150 km/h quan va en règim supersònic.

Sabent que la velocitat de transmissió del so és 1.220 km/h:

a) Calcula la variació de velocitat d'un Concorde que passa de la

velocitat supersònica a la velocitat subsònica.

b) La mateixa pregunta quan passa de la velocitat subsònica a la

velocitat del so.

A.2. Representació gràfica de les variacions

Una variació indica sempre el pas d'un estat a un altre, com hem vist en els problemes anteriors. La representació ha d'indicar el

primer estat, el segon i el pas de l'un a l'altre. Això podem fer-ho mitjançant una fletxa:

Per indicar que la temperatura ha passat de 30 a 5º, és a

dir que la variació ha estat + 2, ho representarem:

+2

ºº 30

Si l 'ascensor és al 5è pis i baixa al 2on, variació -3. ho re­

presentarem;

o l 2 3 4 5

6. Representa gràficament les variacions aparegudes en els proble­mes n° 2 (temperatures) i n° 4 (edifici de l'Ajuntament).

20

A.3. El nombre enter com a expressió d'un estat

Problemes d'abans i després de zero

7. Vet aquí dos tipus de termòmetres que segurament coneixes:

-Saps per què serveix cada un d'ells?

-Saps com funcionen?

-Quina és la temperatura normal del cos humà? I la temperatura

aproximada d'un tros de gel?

-Explica la diferència que veus entre aquests dos termòmetres. - Què significa si veiem en el termòmetre (a) les temperatures:

-5°'

-10°, -15°?

C - ..

l \:_ (a)

21

8. Hem trobat la gràfica següent en un atlas . Ens descriu la tempe­ratura anual a la ciutat de Quebec (Canada). Mira en un mapa on es tro­ba Quebec.

Digues quines temperatures corresponen als moments següents (aproximadament)

-al mes de gener

2 2

�d primers del mes d 'abril -a primers del mes de juny -a finals del mes de setembre -què pots dir de la temptratura a partir de mig novembre?

+ 20º

+ 10º

+5º

- 50 __

-10°

- 1 5º l

- 200]

GF M A MJJ A S O N DÍ

l

Quan la temperatura està per sobre de 0° es diu que és po­

sitiva i quan està per sota de zero graus es diu que és negativa. Digues en quins mesos és positiva i en quins és negativa.

9. Aquesta és la reproducció de la placa d'un ascensor d'uns grans magatzems. Què signifiquen cada un dels nombres que hi veus?

• 6 • 5 • 4

• 3 • 2

• l • o • - 1 • - 2 • - 3

10. En el llibre de comptes d'una botiga trobem anotats els se-güents nombres que corresponen a un dia determinat:

Màquina de fotografiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 .500 ptes. Rebut de l'electricitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.3 20 ptes. Tekvisor en colors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . 1 0 2.700 ptes. 20 raimes de paper . . . . . . . . . . . . , . . .. .. . . . . .. . - 4.800 ptes. 3 cuines elèctriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 63.7 50 ptes. 2 aparells de ràdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.600 ptes. 3 Discs L.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .800 ptes.

Saps què és una raima de paper?

Què et sembla que signifiquen els nombres positius? I els nombres negatius?

Per què alguns nombres porten el signe + i altres el signe - ?

23

11 . El matemàtic grec Pitàgoras va neixer l 'any -580 i va morir l'any -500 . Com interpretes aquests nombres? Si Thales va néixer 44 anys abans, quin any va néixer?

Recapitulem: En aquests darrers problemes hem tomat a trobar uns nombres precedits d'un signe + o -. Però, atenció, aquests nombres no són variacions. Fixa 't que ens indiquen simplement un valor que està per sobre o per sota d'un determi­nat zero . Direm que aquests nombres representen estats.

12. Explica quin és l'estat zero en cada un dels casos següents : a) Temperatura (recorda que ja n'havíem parlat) b) Ascensor c) diners d) Temps històric : quin és l'any zero? Ha estat sempre així? Ac­

tualment és així a tots els països?

A.4. Representació gràfica dels estats

En alguns problemes que has resolt apareixen diferents representa­cions gràfiques dels nombres positius i negatius (recorda el termómetre i la placa de l'ascensor) . En totes aquestes representacions apareixen els nombres alineats en una recta.

13. Col.laca els nombres de + 4 a :_ 4 sobre la recta on hem mar­cat el segment unitat:

24

o +l Si fem la representació en una recta horizontal (forma

usual de representar-los) col.lacarem els positius a la dreta del zero i els negat0'.1s a l'esquerra. Si la representació es fa en una recta vertical col .lacarem els positius per sobre del zero (és a dir cap amunt) i els negatius cap avall .

14. Fes una recta horitzontal, assenyala el segment unitat i repre­senta-hi els nombres enters: - 8, + 7, O , -- 4, +l , -5, + 3 .

15. Problema de recapitulació: a) Es el mateix dir: "fa una temperatura de - 3.º" que dir "la va­

riació de la temperatura ha estat -- 3 .º"? b) Com interpretaries el missatge incomplet d'una estació meteoro­

lògica que digués -- 5.0?

Resum: Cal tenir en compte que un nombre amb signes (per exemple -2 o + 5) pot tenir dues interpretacions. En efecte : a) -2 pot ser una variació negativa (disminució) de dues unitats o bé pot voler dir dues unitats per sota de l 'estat ze­ro, és a dir estat -2 . b) + 5 pot ser una variació positiva (augment) de 5 unitats o bé pot voler dir 5 unitats per sobre l 'estat zero, o sigui es­tat+ 5. Per tant, cal que et fixis bé en els enunciats dels problemes per distingir quan es tracta d'una variació i quan es tracta d'un estat. Tots aquests nombres precedits d'un signe són els que ano­menem Nombres Enters.

16. Consolidem tot això: En cada una de les frases següents digues quins són els estats o les variacions segons els casos:

a) Durant la nit la temperatura ha baixat 8 graus. b) La temperatura mínima possible és de -- 273º.

· ) Ahir vaig pujar 8 pisos a peu sense descansar. t'.! La Pepa ha guanyat 1 0 b�es en un sol dia. e) Hem deixat el cotxe a la planta 4 del Parking de la Rbla. Cata­

lunya.

25

A.5 Ordenació de nombres enters

Acabem de definir un nou conjunt de nombres, els nom­bres enters . Tots sabem, donats dos nombres naturals, quin és el més gran dels dos . Volem ara determinar quin és el major de dos nombres enters qualsevols . D 'aquesta manera tindrem ordenats els nombres enters .

17 . Les temperatures màximes del dia 11 de Gener del 1 980 han estat: Barcelona + 12.0, Varsovi:: Oº, Viena - 3 .0, Londres +4° i Ber­lín -9 °.

a) On ha estat més elevada la temperatura, a Barcelona o a Lon-dres? Direm que + 12 és més gran que + 4, i escriurem + 12 > +4.

b) On ha estat més elevada la temperatura, a Viena o a Berlín? Direm que -3 és més gran que-" 9, i escriurem -3 >--9 . c ) Representa totes les temperatures en una recta horitzontal. Or­

dena-les totes de la més alta a la més baixa.

tius?

Observa que zero és més petit que qualsevol nombre posi­tiu i .més gran que qualsevol de negatiu . També qualsevol de positiu és més gran que qualsevol de negatiu . Fixa't a més que l'ordenació dels positius coincideix amb la dels nombres naturals .

d) Quina relació hi ha entre l 'ordenació dels negatius i la dels posi-

18. Assenyala el nombre més gran de cada parella de nombres en­ters . Posa el signe corresponent ( > ó < ) :

+7 . . . . . . +3

-2 . . . . . . - 5

26

- 3 . . . . . . + 2

o . . . . . . +5

-7 . . . . . . - 3

- 4 . . . . . . o

19 . Ordena de major a menor els següents nombres enters:

a) + 2, -3, -8, + 3 , O, -2 b) -5 , -2, + 9, -10, -21 , + 22

27

B. OPERACIONS AMB NOMBRES ENTERS

B.1. Addició de nombres enters

Els problemes treballats fins ara no tenen gaire dificultat , però de ·e.vegades poden plantejar-se situacions més complexes com la se­güent:

En un anunci d'una revista hem pogut llegir: "GUANYAR TEMPS AL TEMPS VOLANT AMB EL CONCORDE"

"Sortint de París a les 10 hores del matí arribi a Nova York a les 7 hores del matí del mateix dia".

El que ja no diu l 'anunci és que a la tomada, surt de Nova York a les 1 9 hores i no arriba a París fins a les 4 hores de la matinada de l 'en­demà. Si en realitat triga el mateix temps a l'anada que a la tomada, quina és la duració del vol?

Per poder resoldre aquest problema caldrà estudiar abans les operacions que es poden fer amb els nombres enters. Començarem per l 'addició.

20. a) Aquest matí el termòmetre marcava 1 7º i a continuació la temperatura ha pujat 4°. Què marca ara el termòmetre?

b) Abans de la partida tenia 6 bales. En guanyo 3. Quantes en tinc?

c) Erem al segon pis de l 'Ajuntament i hem pujat 6 pisos. A quin pis hem anat?

Observa: En aquestes tres preguntes teníem un estat inicial (el del començament) i s 'ha produït una variació . Hem calculat l 'estat final. Recollim el que hem fet en el quadre següent:

29

Estat inicial a continuació variació estat final

a +17º + +4º = + 21º

b + 6 bales + + 3 bales =+ 9 bales

C +2 (pis) + +6 pisos =+8 (pis)

Observa que aquestes tres sumes es fan de la mateixa manera que amb nombres naturals. Ara veuràs uns casos de sumes molt estranys :

21 . Ara la variació és negativa. a) Tinc 7 bales i en perdo 4. Quantes me'n queden? b) Aquest migdia feia 23º i la temperatura ha baixat 5º durant la

tarda. Quina temperatura fa al vespre? Representa gràficament aquest problema.

c) Som al gè pis d'uns grans magatzems mirant joguines i baixem 4 pisos per comprar uns mitjons. A quina planta anem? Representa grà­ficament aquest problema.

d) Seguim en els grans magatzems: érem a la 2ª planta i baixem 4 " pisos. A quina planta som ? Representa-ho gràficament.

e) Aquesta nit ha fet molt fred: ahir el termòmetre marcava 3° i

ha baixat 5º . Què marca ara? Representa-ho gràficament. f) En un compte-corrent el saldo és de 2 .000 ptes i arriba una

factura de 3 .000 ptes. Quin serà el saldo?

Recapitulem: Completa el següent quadre amb els resultats del problema :

30

Estat inicial a continuació variació Estat final

a + 7 + - 4 = + 3

b

C

d +2 + - 4

e

f

bres enters . Totes les operacions que has fet són ADDICIONS de nom­

\

22 . Problema de recapitulació:

Pensa un enunciat per cada un dels casos següents i,calcula el resul-tat:

a) (+3) + (+5) = b) (+7) + ( - 3) = c) (+4) + (- 9) =

2 3. Ara l'estat inicial és negatiu: a) Som a la planta - 1 d 'un magatzem comprant un retrovisor per

al cotxe; baixem 2 pisos per arribar al pàrking; a quina planta teníem el cotxe?

b) A la Seu d 'Urgell feia -7° el dia de Nadal i la temperatura va pujar 3º l'endemà . Quina va ser la temperatura per Sant Esteve':

c) En Carles deu 25 ptes . a en Ramon i com que no troba la targeta d'abonament de l 'autobús li demana 15 ptes. més. Quants diners podem

dit que té en Carles? 1

d) Fes un quadre semblant als que vam fer en els problemes 2 0 i 21:

31

J

Estat inicial a continuació Variació Estat final

24. Quan es produeix una variació i a continuació una altra

a) Jugo a bales amb en Josep i li'n guanyo 3; a continuació jugo amb l'Elisa i en guanyo 4 . Quantes bales he guanyat en total?

b) En l'ascensor de l'Ajuntament pujo 6 pisos i a continuació en baixo 2 . En total, què he fet?

c) La temperatura puja 7 .0 durant el dia i baixa 5 .0 durant la nit. Finalment, quina ha estat la seva variació?

d ) Un altre dia la temperatura puja 6.º durant el dia i en baixa 8 durant la nit. Quina ha

. estat la variació total de temperatura? e) Ets dins un ascensor: primer baixes 3 pisos i a continuació en

puges 5 . Què has fet en total? f) I si baixes 3 pisos i a continuació en baixes 4 ? g) Una nit d 'estiu la temperatura baixa 3.0 fins a mitjanit i desprès

baixa 4 .0 més fins a la sortida del sol. Quina és la variació total de tem­peratura durant la nit?

h) Perdo 5 bales i a continuació en guanyo 2 . Quin és el balanç to-tal?

i) Resum aquestes qüestions en el quadre següent:

Primera variació a continuació Segona variació Variació total --

a , ---�-'-

b C -

d e

---

f ..

g h

j) Representa gràficament les variacions de les preguntes e, f, g, h .

3 2

Observa: En les preguntes del problema 23 no hi sortia mai cap estat. Simplement teníem dues variacions i en deduíem la varia­

ció resultant. Aquí també hem utilitzat el signe + per indicar una variació i a continuació una altra variació.

RESUM: Fem una suma cada vegada que:

-tenim un estat inicial, a continuació una variació i volem co­nèixer l 'estat final. -tenim una primera variació, a continuació una segona varia­ció , i volem conè ixer la variació resultant.

25. Valor absolut d'un nombre enter: Què tenen en comú els dos nombres enters ( +5) i (-- 5 ) ? Idem per als nombres (--12) i ( + 1 2 ) . Idem per als nombres ( + 8 1 ) i (-- 8 1 ) . Es diu que els dos nombres enters ( + 5) i (- 5 ) tenen e l mateix va­

lor absolut 5 .

26. Digues quins són els valors absoluts de cada un dels nombres enters següents: (- 3), ( + 1 1 ) , ( + 113), (---- 7 ) , ( --- 37) , (+l), (- 1 ) .

27. Digues quins són els nombres enters que tenen per valor abso­lut 6. La mateixa pregunta per al valor absolut 3. Ídem per al 123.

28. Cerquem la regla de la suma de nombres enters: Calcula les sumes següents:

( � 2) + (-¡- 7) =

(+S)-(--2)=

(+3) -r- (-7) =

( 3)' (-3) =

(+ 5), ( + 3) =

( + 17) + (-9) =

( + 1 8) + (-6 ) =

(-1 1 ) + (-4) =

33

29. La regla pràctica per a sumar nombres enters es redueix a tres

casos: a) Els dos nombres que sumes són positius . b) Els dos nombres són negatius . c ) Els dos nombres tenen signes diferents. Dóna una regla pràctica per a sumar nombres enters en cada un

d'aquests tres casos .

30 . Calcula les sumes següents aplicant la regla que has enunciat en el problema anterior:

34

( + 19) + (+ 1 5) = ( + 24 7) + ( + 579) = ( + 8 .504) + (- 2.567) = (- 739) + (- 1 001) = (- 295) + (+ 654) =

(- 79) + (- 58) = (+ 162) + (- 358) = ( + 6 .037) + (- 5.999) = (- 583) + ( + 583) = (-- 7.502) + (8.937) =

B.2. Substracció de nombres enters

Abans d'estudiar la subtracció de nombres enters val la pena re­cordar que l 'operació substracció de nombres naturals molt so­vint no es pot fer. Efectivament, no hi ha cap nombre natural que sigui solució d'una substracció del tipus: 5 -- 7. En aquest cap ítol veuràs que els nombres enters tenen un avantatge sobre els nombres naturals: sempre es poden sostreure.

31 . Al barri de Manhattan de Nova York hi ha un edifici molt fa­mós, l"'Empire State Building" ( construït l'any 1 931) , que té una altu­ra de 448 metres. Té 102 pisos i està enterament dedicat a oficines .

a) Quan una persona que treballa al pis 46è ha d'anar al 89è, quants pisos puja? Escriu l'operació que fas .

b ) Imagina ara que un senyor va del 95è pis al 3 7è. Quants pisos baixa? Escriu l 'operació que has fet.

serà:

Observa: Tant en la pregunta a) com en la b) el que has fet ha estat calcular una pujada o una baixada, o sigui una variació. Els pisos són estats positius que podem representar en la forma:

pis 46è = + 46 pis 89è = + 89 pis 95è = + 95 pis 3 7è = + 37

Aleshores, quan calculem una variació , el que farem d'ara endavant

35

'

JEstat final - Estat inicial = Var§OJ i d 'això se'n diu SUBTRACCIÓ de nombres enters.

En el cas del problema :

Estat final = Estat inicial = Variació pis on arriba pis d 'on surt

a ( + 89) - ( + 46) = (+ 43) ha pujat, o sigui que la variació es positiva

b ( + 37) - ( + 95) = (- 58) ha baixat, per tant la variació és negativa

Vegem uns altres exemples :

32. Un dia d'hivern a Barcelona la temperatura a primera hora del matí era de 3º, cap al migdia era de 7° i quan ja es feia fosc era de 5º.

a) Escriu aquestes temperatures en forma de nombres enters . b) Quants graus ha pujat la temperatura durant el matí? Quants

graus ha baixat durant la tarda? c) Escriu aquest resultats en la forma: (estat final) - (estat inicial)=variació

33. Observa en un compte-corrent els tres saldos consecutius : l - Abril - 80 : 13 .542 ptes. 3 - Abril - 80 : 67 .325 ptes. 7 - Abril - 80 : 34 .789 ptes. a) Quins són els estats en aquest problema?

b) Calcula les variacions entre el l - 4 - 80 i el 3 - 4 - 80 i entre el 3 - 4 . '30 i el 7 - 4 - 80 . Posa els resultats en la forma: estat final - es­

tat inicial - variació .

36

l

Tornem a l'addició de nombres enters i observem una cosa molt curiosa. Les operacions que has escrit en els problemes 31 , 32 i 33 es poden comparar amb les addicions que escrivim al seu cos­tat .

34. Completa les igualtats següents:

(+89) - (+46) = (+37) - (+95) =

(+ 7 ) - ( + 3 ) = ( + 5) - (+7 ) = (+67.325)-(+13. 542) = (+34.789) - (+6 7.325) =

Conclusió:

(+89) + (- 46) =

(+37) + ( - 95) = (+7) +( - 3) = (+5)+ ( - 7) = (+67.325) + (- 13.542) = (+34.789) + ( - 67.325) =

Quan tenim una substracció: (+a) - ( + b)

la podem transformar en l 'addició: (+a) + ( - b)

O sigui que: és el mateix restar el nombre enter positiu ( + b) que sumar el nombre enter negatiu (-- b). ( + b) i (-b) es diuen nombres oposats . Tenen el mateix valor absolut i signes diferents . Observa la seva representació sobre la recta:

-5 o + 5 L 1 _L__]_L L L.J�_ pels nombres enters oposats:

-b o

(+ 5) i (- 5)

+ b per dos nombres oposats

_ _ _L qualsevols: ( +b) i (-- b)

Per tant, quan hem de resoldre una subtracció el que fem és es­criure i calcular l 'addició equivalent.

37

35. Uns quants exemples: Escriu en forma d'addició i calcula les expressions:

( + 5) - ( + 13 ) = (,+-5) + ( - 13) = ( + 17 ) - ( + 8) = ( + 9) - ( + 5) = (+4) - ( + 13) =

( + 10) - ( + 6)=

Farem ara una problemes on els estats són unes vegades positius i unes altres negatius ; aquí també calcularem les variacions fent:

variació =:estat final - estat inicial

36. L'any 465 a.C. va caure a Egos Potamos un gran meteorit i l'any 1809 en va caure un altre a Orne (França) . Informa't de què és un meteorit.

a) Posa aquests anys i l'actual en forma de nombres enters. b) Calcula quants anys van transcorrer entre aquests dos meteo­

rits i escriu el resultat en forma:

variació= estat final - estat inicial

c) Fes el mateix per calcular quants anys han passat entre el primer meteorit i l'any actual .

37. Tothom sap que els tres estats de la matèria són : el sòlid, el lí­quid i el gasós . També deus saber que la temperatura de Oº és la tem­peratura de fusió del gel o sigui la temperatura a la qual passa d'estat sò­lid a estat lfquid (aigua) . La temperatura de 100º és la temperatura d'ebullició de l'aigua o sigui la temperatura a la qual l'aigua passa de l 'estat líquid a l'estat gasós (vapor d'aigua) . Doncs bé, totes les substàn­cies teuen una temperatura de fusió i una temperatura d'ebullició carac­terístiquc. Hem recollit tres casos interessants :

3 8

substàncies temperatura de fusió temperatura d 'ebullicié

Mercuri - 39° + 357º Alcohol -114º + 78º Oxígen -219º -183°

a) Mercuri: què li passarà a un termòmetre de mercuri si l'exposem a una temperatura menor de (-39º)? Calcula quants graus ha de pujar la temperatura d'una mostra de mercuri en estat sòlid a -39°, si volem que arribi a la temperatura d'ebullició?

b) Alcohol: tenim alcohol a la temperatura normal (20°) i el vo­lem solidificar a base de refredar-lo . Quants graus ha de baixar la tempe­ratura? (pensa quins són els estats final i inicial).

c) Oxigen: Quant ha de pujar la temperatura d'una mostra d'oxi­gen en estat sólid a -225° si volem que recuperi l 'estat gasós?

38. En el problema 11 hem vist que Pitàgoras va néixer l'any 580 a.C. i va morir l'any 500. Calcula a quina edat va morir i escriu la subtracció en forma de subtracció de nombres enters.

Calcula igualment a quina edat va morir Thales de M ileto (624-547)

un gran pensador i matemàtic grec que va defensar la idea que la Terra

era rodona.

Conclusió: Ara ja has vist uns quants exemples de substraccions de nombres enters. Tots ells es poden resoldre fent com ja hem dit:

(estat final) - (estat inicial) = variació

Recorda que hem dit que dos nombres enters del tipus ( + b) i (- b) es diuen oposats l'un de l'altre: (+b) és l'oposat de (- b) i ( - b) és l'oposat de ( + b). Per tant, quan s'ha de resoldre una substracció de nombres enters es fa:

( + a) -( + b) = ( + a) + (- b)

39

39. Escriu els altres casos de la relació anterior per als diferents sig­nes possibles .

40. Calcula els oposats dels nombres següents: + 1 1 , + 7 , -- 2 ,

+ 23, - 1 29, -1 , o .

41. Posa les substraccions següents en forma d'addició i calcula el resultat:

40

(- 5) - ( + 3) = ( + 8) - (- 12) =

(- 6) - ( + 10) = ( + 13 ) - (- 9) =

Estalviem signes.

Primera simplificació:

(- 7) - (- 4) = (- 10) - (--15) =

( + 135) --- (- 135) =

(- 438) - (+62) =

En la vida corrent, quan ens diuen que fa una temperatura de l 7 graus o que tal oficina esta en la planta 3 , no és necessari especi­ficar que es tracta d'una temperatura sobre zero o una planta per sobre el "nivell de terra". Efectivament, quan es dona un valor enter positiu no cal donar el seu signe. En conseqüència, a partir d'ara, ens estalviarem el signe positiu tant dels estats com de les variacions, i podrem escriure:

(+17) = 1 7 o ( + 3 ) = 3

Fixa't que és tant com dir que els nombres enters positius es po­den confondre amb els nombres naturals .

Segona simplificació:

Tant quan fem una suma com quan fem una subtracció ens tro­bem amb dos signes consecutius. Exemples:

( + 2) + (-3) (+5) - (-2)

A partir d'ara ens estalviarem una part d'aquesta escriptura i convindrem que no cal posar ni els parèntesis ni el signe + de l'operació addició . En conseqüència farem:

( + 2) + ( - 3) = + 2 - 3 = (per la lª simplificació )= 2 -3 (+5) - ( - 2) = ( + 5) + ( + 2) = + 5 + 2 = 5 + 2.

42 . Escriu aquestes expressions de la manera més simplificada pos­sible i calcula'n el resultat:

( + 5) + ( - 8) =

( - 7) + ( - 2) = ( - 5)+ ( + 7)= (+4) + ( - 7 ) = ( + 7)+ ( - 3 )=

(-1 1 ) + (+7) = ( - 3) + ( - 3)= ( - 7) + ( + 7 ) = (-1 7) + ( + 12 )= ( - 57) + ( + 68) =

43. El mateix problema però , atenció , has de transformar primer les substraccions en addicions:

( + 10) - ( + 3 )= ( + 12 ) - ( + 6)=

(-6) - ( + 1 0) = ( + 13)-( + 5)= ( - 5) - ( - 7) =

( + 11 )-( + 13) = ( - 5) - ( - 10)= ( -7) - ( + 3)= ( + g) - ( + 9)=

( + 9) - (-3)=

44. Consolidem tot això. Treu parèntesis i calcula:

( + 1 7) + ( - 1 1 )=

� :- J 2) - ( - 1 5) = ( + S) - ( - 2)= ( - 9) + ( - 14) = ( - 14) + ( + 2) =

( + 1 2) + ( - 15) =

( - 7)-(-10)= ( - 16) + ( - 10) =

( - 1 4) - (-9)= ( - 7) - ( + 4)=

41

(- 10)-( + 1 7) = ( + 1 7) -( + 9) = ( + 7) + (+ 5) =

(- 1 1 ) + (+ 1 5) = (+ 18) + ( + 3) = (+ 8)-( + 5) =

45. Calcula les següents expressions i treu-ne conclusions:

( + 5) + ( + 3) = (-7) + (-5) =

(-9) + ( + 4) = (+ 3) + (� 1 1) = ( + 2) -( + 6) = (-9)-(-3) = (-7)-(+ 5) =

( + 3) + (+ 5) = (-5) + (-7) = ( + 4) + (- 9) = (-1 1 ) + (+ 3) = ( + 6) --(+ 2) =

(- 3)-(-9) = (+ 5)-(-7) =

La propietat que s 'estudia en aquest exercici se'n diu: PROPIE­TAT COMMUTATIVA.

Esbrina quin és el sentit del verb: commutar.

46. Calcula les següents expressions i treu-ne conclusions:

42

(-6) + o =

(- 7 ) - 0 =

( + 4) + 0 = (+ 9)-0 =

(- 7) + ( + 7) =

( + 12 7) + (-1 27) =

o + (-6) = 0-(--7) = o + ( + 4) =

o 0-( + 9) = ( + 8) + (- 8) = (- 1 1 ) + ( + 1 1) =

A què és igual la suma de dos nombres enters oposats?

En moltes qüestions es necessita sumar més de dos termes . Per fer-ho es segueix el mateix procediment. Vegem un exemple:

(+ 3) + (-5) + ( + 4) + (-1 ) = 3-5 + 4-1

calculem ara per separat els positius i els negatius:

3 +4 = 7 - 5 - 1 = - 6 3 - 5 +4 - 1 = 7 - 6 = l

47. Treu parèntesis i calcula:

( - 2) + ( - 5) + (+3) = ( - 7) + (+2) + (+3) + (-4) = (+6) + (-4) + (+5) + (- 7) = (+23) + ( - 19) + ( - 25) + (+17) =

48. Recorda que les substraccions s'hali de transformar en addi­cions . Calcula les expressions següents després de fer les modificacions

pertinents:

(+7) - (-+-4) + (-3) =

( - 5)+ ( - 11) - ( - 6) = (+9) - (--5) - (+8) = (+5) + (--10) -- ( - 3) :=

( - 12) -- ( - 7) - ( + 6) �=

49. Calcula ara les expressions següents:

(-2) + (+8) - ( - 5) ---(+1 1) + (-- 7) -- (-3) = (--17)+ (+19)-(--1 5)+ (--12)-(+11) =

(+27) - (+31)-+- l- 23) - ( - 19) + (- 13) --(+18) = ( - 29) + (-12) - ( - 43) - ( - 2 5) + (+20) -(+1 1) = ( - 1 5) + (- 9) - (+8) + ( - 26) - (+24) + (-16) -- (--10) =

43

50. A vegades l'ordre en el qual hem de fer les operacions s'indica per un parèntesi. Calcula les següents expressions fent primer les opera­cions entre parèntesi:

( 5 - 3) + 2+ ( - 9 + 7 -5 + 6 ) -11 =

L3-( 7 + 4)-( 5 + 9)] + ( 10-3) = 11 + [( 17 -2 + 13) -( 19 + 3 -15)]= ( 18 + 12 + 17 - 20 -41 + 25) -( 16 - 26 + 35 + 37 -43) =

( 13 5 -279 + 1 46 - 534) -( 467 - 234 - 196 + 327) =

B.3. Multiplicació d'ent ers

Els nombres enters t'han anat ampliant el camp dels teux conei­xements i les possibilitats d 'operar; ja has pogut comprovar que per sumar dos enters positius fem el mateix que per sumar dos nombres naturals , mentre que per als altres casos tenen les seves propies lleis de comportament. Ara veuràs què passa amb el producte de nombres enters, t'hi bé.

Producte de dos enters positius

Tornem als "problemes massa fàcils per a un noi de 7è"

51. a) La següent taula imaginària dóna la lectura d'un termòmetre un dia del mes d'agost.

44

HORA GRAUS VARIACIÓ TEMPERA TURA

8 90

11 130

13 17º

15 21º

- Completa la taula. Fixa't que estas calculant variacions paidals.

·- Quina és la variació total? Què has fet per trobar-la?

b) En començar una partida tinc 8 bales; guanyo 5 vegades, 2 bales cada cop.

- Quantes bales he guanyat? - Què has fet per calcular-ho?

ATEN CIO:

Observa que en aquests dos exercicis et trobes amb una sèrie de

successives variacions iguals i positives i has hagut de calcular la variació total. En el primer cas la temperatura ha pujat 3 vegades ( +4 °) . En el segon cas has guanyat 5 vegades ( + 2) bales . Aquest 3 i aquest 5 són els indicadors del nombre de vegades que s 'ha produït la mateixa variació . Fixa 't que el que fas és: nombre de vegades per variació . Com en el cas de la suma, la multiplicació de dos enters posi­tius funciona igual que la multiplicació de dos naturals . Una petita observació: aquesta és la taula de multiplicar dels primers nombres naturals, els nombres que hi surten són simè­trics respecte a l'eix que hem dibuixat. Sabries donar-hi una ex­plicació?

r -4 o 4 8 ! 12 16 ! 3 o 3 6 l 9 12 l

2 o 2 4 ' 6 8 ; l

l l) l l 2 3 4

o o l o o o o l

o l 2 3 4

45

Producte d'un n egatiu per un positiu

52 . Un equip de biòlegs vol explorar les restes d'un vaixell situat a 7 0 ms , en una vall marina a la plataforma continental de la costa ca­talana; les seves coordenades són: latitud 40º 52 ', longitud E. 3 0 13 '.

- Saps què és una plataforma continental? a quina profunditat arriben?

-Situa en el mapa la zona indicada.

Per tal de poder arribar a la zona indicada els cal una preparació física i un bon domini del submarinisme, per això comencen a capbu­sar-se diariament, primer fins els 12 ms, i cada dia vm augmentant 5 rns.

- A quina profunditat arribaran després de 8 dies d'entrenament?, expressa el resultat per mitjà d'un nombre enter.

- Què has fet per calcular-ho?

'l__ -

46

53. Rebem una nota del banc que diu: "Apreciada Sr. pongo en su conocimiento que su apreciable cuenta corriente n.º ... , arroja un saldo a nuestro favor de 10.000 pts, que ruego nos reembolse a su comodi­dad, ... ". Si després de rebuda aquesta carta firmem encara dos talons per valor de 2 .325 pts, cada un, quin serà el saldo del compte?

54. . . .ara va de futbol! Quan un equip perd un partit en el seu camp es queda amb 2 punts negatius, si empata, en té l de negatiu i si guanya es queda amb O punts.

Mirem el diari, a la meitat de la lliga, i ens trobem amb un equip, el

Màlaga, que ha perdut tots els partits que ha jugat fora, té -- 8 punts. Quina interpretació pots donar a aquest -- 8?

Observa. En aquests exercicis treballes amb variacions iguals perà negati­ves: multipliquem nombre de vegades ( + ) x variació (-) . Quin és el signe del resultat?

Multiplicació d'un negatiu per un positiu

Començarem per posar-ne un exemple: Com t'explicarem més endavant, els hindús i també els àrabs van ser dels primers en fer servir els nombres negatius, els aplicaren al camp del comerç: un deute era considerat com a negatiu (-). Tinc dos deutes de l O pts . Quant dec? Situacions com aquesta tenen una doble interpretació : a) 2 deutes x 10 pts . . . . . (- 2) x ( + 10)=dec 20 pts, equival a 1 ir: tinc - 20. b) 2 vegades x (-10) pts . . . . . ( + 2 ) x ( - -10) -

-tinc - 20 pts

dec 20 pts . Tornem a observar la taula.

47

b

� [ 4

-12 l� 3 C

l� 2

-2 � 1

� o

-4 -2 l o � -3 -1 ¡ i

! o

' -1 l

i ! -2 l i l l -3 l [

¡ -4 l !

o

o

o

o

o

o

Í' o -�

o

o

4 8 12 l m

3 6 9 1 2

2 4 6 l 8

1 2 l i 3 4

o o o o

1 2 l 3 4 l l

- �r�J�:-1 �4 1 -��-..i---i -2 l -4 1 -6 l -8 l l ' ;

l l ]'-- ¡ l o ¡ -3 ¡ -6 i-9 !-12 1 l '{ . 1 - +- : _ t l • '

o -4 : -8 !-1 2 -16 ! ! l " .

A

a

B

Fixarem una convenció ( regla de joc) : els nombres de la fila ho­ritzontal (a) significaran el nombre de vegades, i els de la vertical ( b) la variació .

En la part A multipliquem dos enters positius, en la part B mul­tipliquem un positiu per un negatiu. Omple la part C de manera que la taula segueixi essent simètrica.

-- Sabries donar un significat a aquesta simetria?

Traiem conclusions del que has observat :

_J l-1 r

Quin és el resultat de multiplicar un enter negatiu per un enter po­sitiu?

48

55. Calcula:

(- 4) X ( + 1 0) =

(- 2) x ( + 5) = (+ 10) x (- 4) =

( + 2 ) X (- 5) =

( + 4) x (- 10) = ( + 3) x ( + 6) =

Multiplicació d 'un negatiu p er un altre negatiu

Treballarem amb un exemple que ens permetrà fer un repàs de tots els casos de multiplicació de nombres enters.

El nostre exemple es basa en el paral.lelisme que hi ha entre la na-vegació aèria d'una avioneta i la navegació marítima d 'un submarí.

Cal recordar que:

-L'avioneta es mou per sobre el nivell del mar, en direm alçada,( + )

-El submarí es mou per sota el nivell del mar, en direm fondària(--)

ambdós poden guanyar( + ) , o perdre (--) alçada/fondària.

Descripció de la situació :

l. a fase: --L'avioneta surt per fer un vol de reconeixement visual,

perquè sap que hi ha un submarí que està costejant i vol mirar de loca­

litzar-ho. Aixeca el vol i guanya alçada durant 20 segons; sabem que a cada segon puja 30 metres .

A quina alçada es col .locarà? - El submarí inicia la navegació inspeccionant amb el seu peris­

copi, guanya fondària durant 2 minuts, sabem que a cada minut baixa 3 metres .

A quina fondària es col .lacarà? 2.ª fase: - L'avioneta no obté cap resultat de la seva inspecció

ocular � decideix treballar amb el sonar; durant 80 segons guanya alça­

da . Quanta alçada guanyarà?.

49

A quina alçada es situarà?

- El submarí ha vist la maniobra de l 'avioneta i, per evitar esser detectat, guanya fondària durant 8 minuts.

Quanta fondària guanya? A quina fondària es situarà?

3.ª fase : - L'avioneta troba un clot en l'aire i de sobte perd alça-da durant 3 segons, a una mitja de 50 m cada segon.

Quanta alçada ha perdut? A quina alçada es situarà? - Mentre el submarí, per una distracció dels homes que comanden

els aparells de navegació, afluixa llast i, de sobte , perd fondària durant 3 minuts, a una mitjana de 5 m cada minut. Què vol dir perdre fondària? Quanta fondària perd?

A quina fondària es situarà? Què has fet per calcular-la? !' -

""..,.... � - - ,

Z, _ _ _ , � - - _J

50

Ja t'hem dit al començament que en aquest exemple trobaries tots els casos possibles de la multiplicació d'enters ; fixant-te en el que has fet en l'últim cas, acaba d'omplir la taula .

.

l -9 -6 -3 o 3 o 3 6 9

-6 -4 -2 o 2 o 2 4 6

-3 -2 -l o l o l 2 3

o o o o o o o o o

-3 - -2 -l o x o l 2 3

o o o o o l l l, -l o -l -2 -3

l -2 o -2 -4 -6 i l

\ i -3 o -3 -6 -9 l i l !

-Quin és el resultat de multiplicar dos negatius? Observa amb atenció la taula: sabries donar una regla que et per­

meti preveure com serà el resultat de multiplicar dos enters qualssevol?

Exercicis de consolidació:

Calcula:

í + 3 ) X (- 5 ) ( + 6) x (+ 9) (- 2) X (+ 1 2 )

(-- 9) x ( - 1 1 ) ( + 4) x (- 2 5 ) (- 3000) x (+ 62)

( + 7) x (- 43) (- 52) x (- 702)

(+ 73) x (- 843)

51

BREU NOTA HISTORICA (*)

Fixeu-vos que els nombres negatius els coneixem "molt abans de conèixer-los ", els utilitzem però no operem amb ells; vegem-ne uns exemples: tothom sap que a Sibèria o a Canadà, a l'hivern, s'arriba a temperatures que oscil .len entre els 20 .0 i els 40.0 sota zero; que el fons de la fosa de Filipines està a 10.000 m. per sota el nivell del mar, o que Roma va ser fundada l'any 753 a .C.

Ara ja sabeu que aquests graus, metres o anys són estats negatius;

els podem escriure (- 40), (- 10.000), (- 753 ) ; observeu que en cada cas ens referim a un punt d'origen convencional: zero, per sota del qual parlem de negatiu: en el cas de la temperatura és el punt de soli­dificació de l 'aigua Oº en la fossa el punt zero és el nivell del mar; en el cas del temps l 'any zero és el del naixement de Crist (per a la nostra civilització) . A aquests estats negatius hi podem afegir els deutes (l 'idea va sorgir dels intercanvis comercials) .

I ara prepareu-vos, anem a començar un breu viatge del temps, cap enrera (sentit negatiu): el coneixement més antic que tenim de l'existència dels nombres enters negatius es remonta als babilònics, que en taules d'argila anotaren -en escriptura cuneïforme-problemes amb l'ús d'aquests nombres, era l'any 2.000 a .C. Ni els egipcis ni els grecs els feren servir per a res encara que els seus coneixements matemàtics eren prou desenvolupats en molts aspectes.

Han de passar molts anys fins que n? trobem de nou un poble que fa ús dels negatius, i ens n'hem d'anar a l 'India; foren els hindús, gent de

mentalitat pragmàtica, inventors del nostre sistema de numeració , els que compararen la diferència entre els nombres negatius i positius a la diferència que hi ha entre deure i tenir o entre els dos sentits d'una rec­

ta.

A l'Europa occidental la introducció d'aquests nombres fou molt lenta, sembla que se'n va tenir notícia a través dels àrabs, creadors d'una civilització molt avançada. Sabem que foren grans matemàtics; van fer servir els nombres negatius, que aprengueren dels hindús, i els aplicaren a situacions comercials (recordeu que un deute equivalia a un negatiu).

53

Molt aviat calgué trobar unes regles que permetessin operar amb aquests nombres ( és el naixement del al-jabr, que per nosaltres vol dir àlgebra); si bé no sabem com van arribar-hi, sabem que les tenien, ja que resolien de manera sistemàtica qüestions complexes .

Aquests nombres que utilitzaven de forma regular els hindús i també els àrabs, ja hem dit que a la civilització d'Europa occidental li costà molt de fer-los servir, ja que els trobaren tan estranys que no els consideraven nombres com els altres; en deien "nombres absurds" ja

que eren menors que zero és a dir "menors que res" . Però a finals del segle XVI un matemàtic italià, Raffaele Bombelli, plantejàel següent pro­blema; si jo trobo 1 5 escuts, però en dec 20, un cop he donat els 15 només en dec 5 ( tinc -- 5 escuts), així demostrà que Als negatius es tro­ben a la vida real; a partir d'aquest moment els negatius es consideraren com a nombres .

En digueren nombres relatius ja que el seu valor depèn del signe .

( *) Fons d'informació:: Lucio Lombardo Radice: "La matemàtica da Pitagora a Newton ", edt. Reuniti, Paideia, Roma, 2 .ª ed. , 1 979.

54

C. PROBLEMES DE CONSOLIDACIO

1 . Un termòmetre de màxima-mínima, assenyalà a Girona, el dia 7 de gener, 11 o C. de màxima i -- 5º C. de m ínima.

a) Quina diferència de temperatura es va registrar aquell dia? La variació va ser positiva o negativa?

b) Si un altre dia la màxima va ser la mateixa, i la diferència va ser de 14º, quina va ser la temperatura mínima?

2 . Un pintor es troba al mig d'una escala. Baixa 4 barrots, després

en puja 3 i després en baixa encara 5 més ; així arriba a l 'últim barrot de l 'escala. Quants barrots té aquesta escala? (Resol el problema gràfica­ment i numèricament explicant les operacions que fas).

3 . L'estat de comptes d'un compte corrent d'un Banc o d'una Cai­xa d'estalvis és un full de paper on s'identifiquen els pagaments i els co­braments que s 'han efectuat. Aquest n 'és un exemple:

DATA CONCEPTE IMPOSICIO REEMBOSSAMENT SALDO -

-

17 - 11 Electricitat 2.930 93.672

20 - 11 Reembossament 104 . 550 - 10.878 - ·

21 - 1 1 Op. Bancària 20 .000 �·-- . --- ------

24 - 1 1 Aigua 753 8.369 ---- ..

29 - l j ' Op. Bancària 48.369

Busca el significat de les paraules d'aquest eRtat de comptes. a) Ca :cula el saldo anterior al dia 17 de novembre .

55

b) Què succeeix després del reembossament del dia 20 de novem-bre?

c) Quin serà el saldo de l 'endemà, després de l'operació bancària feta aquell dia?

d ) Quina ha estat la imposició feta el dia 29 de Novembre? e) Si volguessis posar les columnes "imposició, reembossament" en

una única columna, com distingiries les quantitats de cada columna?

4 . Recorda que encara tenim pendent la resolució del problema del Concorde. La dificultat del problema és l 'existència d 'una diferència ho­rària, és a dir, en un moment determinat l 'hora no és la mateixa en cada lloc de la Terra. La Terra es divideix en 24 fus (zones compreses ent.i·e dos meridians) . Per comparar les hores dels diferents fus utiltizem els nombres enters, prenent com a origen (O) el fus de Greenwich. Cap a l'Est, el següent fus és el fus + l , l'altre el + 2 i així successivament, per indicar que és una hora més tard, dues hores més tard, etc . . . que l 'hora de Greenwich. Cap a l 'Oest el següent fus és el -1 , l 'altre el - - 2 , etc . . . per indicar que és una hora o dues més tard . . .

En e l següent quadre tens l 'hora d 'alguns països respecte a l 'hora de Greenwich (que s 'abreuja amb les inicials G.M.T.).

. '

PAIS RELACIO AMB G.M.T.

�rgentina

Austràlia ( Sudney) Brasil Egipte Espanya E.E.U.U. (Nova York) E.E.U.U. (Los Angeles)

56

-4 + 10 )

--3 + 2 + l

-5 -7

. i PAIS RELACIO AMB G.M.T.

França -t- i Grècia + 2

Japó + 9 lndia + 5 Israel + 2 Marroc o Xina (Xangai) + 8

Aquesta taula ens permet resoldre problemes de diferència entre les hores locals de dos paÏSos, així com les hores de sortida, arribada i duració real dels vols internacionals .

a) Quina diferència d 'hora hi ha entre França i Brasil? I entre Nova York i Tòquio? Quan un rellotge a l 'Argentina marca les set quina hora marca un rellotge a Los Angeles?

b) Un avió fa la ruta París-Tel Aviv-Nova Delhi-Tòquio . Surt de Pa­rís a les l lh . 45m. i arriba a Tel Aviv a les 16h . 30m. Fa una escala de 30 minuts i surt cap a Nova Delhi on arriba al cap de 4 hores de vol. Fa una escala d 'una hora i surt cap a Tòquio, on arriba a Ie's 12h. 45m. de l 'endemà. Calcula :

l ) Duració total del viatge (totes les hores són locals) 2 ) Hora local d 'arribada i sortida de cada una de les escales .

c) Ara ja pots resoldre el problema del Concorde.

57

D. l. B-31 372 -1980