INSTITUTO NACIONAL DE LA COLONIA

SANTA LUCIA UNIDAD DE INFORMÁTICA EDUCATIVA 2015

LIC. JUAN CARLOS RIVAS CANTOR

Coordinador de Aula Informática

04/09/2015

PROYECTO DE FORTALECIMIENTO A MATEMÁTICA 2015

SOLUCIÓN A PRUEBA DE DIAGNOSTICO

1. Una empresa realizó una encuesta a 275 personas del municipio de San Salvador

para conocer sobre el medio donde suelen ver los anuncios publicitarios. Si el 60%

dice que los ve en televisión, ¿qué cantidad de personas lo hace a través de otros

medios?

A. 215 B. 165 C. 110 D. 40

Resolviendo: Para encontrar la respuesta al ítem se debe tener la capacidad de

relacionar porcentajes con números decimales.

Si se designa “p” es otro medio, se tiene que el 40% de personas lo hace por otro

medio esto está dado por ퟒퟎퟏퟎퟎ

∗ 풑 = ퟎ.ퟒퟎ ∗ 풑

Por lo tanto para saber cuál es la cantidad de personas que utilizan otro medio para

la publicidad se debe hacer 풑 = ퟎ.ퟒퟎ ∗ ퟐퟕퟓ ⇒ 풑 = ퟏퟏퟎ풑풆풓풔풐풏풂풔.

2. Un agricultor cercó un terreno que tiene forma de triángulo rectángulo. Si el lado

más largo del terreno mide 37 m y otro de sus lados mide 12 m, ¿qué cantidad de

alambre necesitó para cercarlo con 3 líneas de alambre?

Resolviendo: Se debe analizar el ejercicio para tener un resultado aceptable de la

siguiente manera:

Lado más largo (c): 37 m Lado (a): 12 m. Lado (b): 35 m

Aplicando un corolario del teorema de Pitágoras para tener el valor del otro lado:

풃 = 풄ퟐ − 풂ퟐ ⇒ 풃 = ퟑퟕퟐ − ퟏퟐퟐ ⇒ 풃 = √ퟏퟑퟔퟗ − ퟏퟒퟒ ⇒ 풃 = √ퟏퟐퟐퟓ ⇒ 풃 = ퟑퟓ풎

Cantidad de metros de alambre: Observe que le están pidiendo trazar 3 líneas de

alambre por lo tanto deberá hacer el proceso siguiente para tener la cantidad total de

metros de alambre necesarios, de la siguiente forma:

푇표푡푎푙푑푒푎푙푎푚푏푟푒 = 3(푎 + 푏 + 푐 ) ⇒ 푇푎푙푎푚푏푟푒 = 3 ∗ (37 + 12 + 35) ⇒ 푇푎푙푎푚푏푟푒

= 3 ∗ 84 ⇒ 푻풂풍풂풎풃풓풆 = ퟐퟓퟐ풎

3. ¿Qué altura tiene un edificio que proyecta una sombra de 49 m en el mismo

momento que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 1.25 m de longitud?

A. 19.6 m B. 49.75 m C. 78.4 m D. 122.5 m

La proporcionalidad que se aplicara es de grande a pequeño:

퐴푙푡푢푟푎푑푒푙푒푑푖푓푖푐푖표(푥)2푚 =

49푚1.25푚 ⇒ 퐷푒푠푝푒푗푎푛푑표푥 =

49 ∗ 2푚1.25푚 ⇒ 퐴푙푡푢푟푎(푥) =

981.25

⇒ 퐴푙푡푢푟푎 = 78.4푚

4. Una compañía reporta sus pérdidas y ganancias desde el 2006 hasta el 2011,

mostrando el siguiente comportamiento:

Según el gráfico, los dos años consecutivos donde se da la mayor variación en la

compañía son:

A. 2009 y 2010 B. 2010 y 2011 C. 2006 y 2011 D. 2008 y 2009

Solución: Se debe analizar en pares ya que debes reflejar los resultados de (Pérdida y

Ganancia). En economía una pérdida es cuando la cifra está por debajo de cero y la

ganancia es aquella que está por encima de cero. El cero se tomaría como un punto

de equilibrio o sea que no perdiste y no ganaste (Egresos = Ingresos).

Respuestas: Tiene Perdida en el año 2009. Tiene ganancia en el año 2010

Atención: Los años 2009 y 2010 es en donde se tiene la mayor variación ya que se sale

de una pérdida y se coloca sobre una ganancia de al menos 2 millones de dorales.

5. Un estudiante ha realizado seis evaluaciones en matemática y su media es 6.8. Si

en otras dos pruebas obtiene 6.4 y 9.6, el nuevo valor de la media será:

A. 7.1 B. 7.4 C. 7.6 D. 8.0

Solución: 푋 = ∗ . . . ⇒ . ⇒ 7.1

6. A una fiesta asistieron 46 personas distribuidas según edades, de la siguiente

forma:

La media aritmética de la edad de las personas asistentes al evento es

A. 15.33 B. 16 C. 14 D. 16.67

푋 = = 14

7. Una puerta de forma rectangular tiene como área la expresión

ퟔ풙ퟐ − ퟕ풙 − ퟑ . Si se sabe que la longitud de la base está dada por

ퟐ풙 − ퟑ , ¿cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa la

longitud de la altura?

A. 6푥 − 9푥 B. 6푥 − 5푥 − 6

C. 12푥 − 6푥 + 15푥 + 9 D. ퟑ풙 + ퟏ

SOLUCIÓN: Aplicar el caso 7 de factoreo 풂풙ퟐ + 풃풙 + 풄

Cantidad de personas Edad 풙풊 ∗ 풇풊

8 30 240 25 12 300 13 8 104 46 50 644

6푥 − 7푥 − 3 ⇒ 푂푝푒푟푎푛푑표 ⇒(6푥) − 6(7푥)− 6(2)

6 ⇒ 퐷푒푠푐표푚푝표푛푖푒푛푑표

⇒(6푥 − 9)(6푥 + 2)

3 ∗ 2 ⇒ 퐹푎푐푡표푟푒푠 ⇒ (2푥 − 3)(3푥 + 1)

8. Cuál es la solución de la ecuación = 2푥 − 3

A) -2 B) ퟏퟑ C) 1 D) −

Resolviendo: = 2푥 − 3 ⇒ 퐷푒푠푝푒푗푎푛푑표푑푒푛표푚푖푛푎푑표푟 ⇒ 5푥 − 4 = 2(2푥 − 3) ⇒

푄푢푖푡푎푛푑표푝푎푟푒푛푡푒푠푖푠 ⇒ 5푥 − 4 = 4푥 − 6 ⇒ 퐷푒푠푝푒푗푎푛푑표푖푛푐ó푔푛푖푡푎 ⇒ 5푥 − 4푥 = −6 +

4 ⇒ 푅푒푠표푙푣푖푒푛푑표 ⇒ 푥 = −2

Ejercicio de aplicación: En una fiesta de San Valentín llegaron a una discoteca 700

estudiantes entre señoritas y caballeros. Cada señorita pagó $2 y cada caballero $4 y

se recaudaron $1800, ¿cuántas señoritas y cuántos caballeros llegaron a la discoteca?

X = Señoritas Y = Caballeros

Resolviendo: 푥 + 푦 = 7002푥 + 4푦 = 1800

Multiplicando por (-2): (−2)(푥 + 푦 = 700) ⇒ −2푥 − 2푦 = −1400

Eliminando datos:

Sustituyendo:

푥 + 푦 = 700 ⇒ 푥 + 200 = 700 ⇒ 퐷푒푠푝푒푗푎푛푑표 ⇒ 푥 = 700− 200 ⇒ 푥 = 500

Ejercicio de aplicación: Para la ecuación 5푥 + 3푥 = 2, las soluciones son:

A. {푥 = 0.531푦푥 = −1.131} B. 푥 = 푦푥 = −2

퐶. 푥 = − 푦푥 = −1 D. 푥 = 푦푥 = −

−2푥 − 2푦 = −1400 2푥 + 4푦 = 1800

2푦 = 400 ⇒ 푦 =400

2

y = 200

SOLUCIÓN: 5푥 + 3푥 = 2 ⇒ 푂푟푑푒푛푎푛푑표 ⇒ 3푥 + 5푥 = 2 ⇒ 퐼푔푢푎푙푎푛푑표 ⇒ 3푥 + 5푥 −

2 = 0 ⇒ ( ) ( ) = 0 ⇒ ( )( )∗

= 0 ⇒ (푥 + 2)(3푥 − 1) = 0 ⇒ 푥 + 2 = 0 ⇒ 푥 =

−2 ⇒ 3푥 − 1 = 0 ⇒ 3푥 = 1 ⇒ 푥 =

9. La media aritmética de dos números enteros consecutivos es 8.5. El sucesor del

mayor de los dos números enteros es

A. 8 B. 9 C. 10 D. 18

Solución: Los dos números sumados son 8 y 9 ya que al dividir la suma de dichos

números entre dos da 8.5. Comprobación ퟖ + ퟗ = 17 ⇒ 퐷푖푣푖푑푖푒푛푑표푝표푟2 ⇒ = 8.5 Se

pide el sucesor del mayor de los dos números enteros el cual es (el que está a la

derecha del número mayor); por lo tanto es 10.

10. En una fiesta de San Valentín llegaron a una discoteca 700 estudiantes entre

señoritas y caballeros. Cada señorita pagó $2 y cada caballero $4 y se recaudaron

$1800, ¿cuántas señoritas y cuántos caballeros llegaron a la discoteca?

Respuesta: 500 señoritas y 200 caballeros.

X = Señoritas Y = Caballeros

Resolviendo: 푥 + 푦 = 7002푥 + 4푦 = 1800

Multiplicando por (-2): (−2)(푥 + 푦 = 700) ⇒ −2푥 − 2푦 = −1400

Eliminando datos:

Sustituyendo:

푥 + 푦 = 700 ⇒ 푥 + 200 = 700 ⇒ 퐷푒푠푝푒푗푎푛푑표 ⇒ 푥 = 700− 200 ⇒ 푥 = 500

−2푥 − 2푦 = −1400 2푥 + 4푦 = 1800

2푦 = 400 ⇒ 푦 =400

2

y = 200

11. Para la ecuación 5푥 + 3푥 = 2, las soluciones son:

B. {푥 = 0.531푦푥 = −1.131} B. 풙ퟏ = ퟏퟑ풚풙ퟐ = −ퟐ

퐶. 푥 = − 푦푥 = −1 D. 푥 = 푦푥 = −

SOLUCIÓN: 5푥 + 3푥 = 2 ⇒ 푂푟푑푒푛푎푛푑표 ⇒ 3푥 + 5푥 = 2 ⇒ 퐼푔푢푎푙푎푛푑표 ⇒ 3푥 + 5푥 −

2 = 0 ⇒ ( ) ( ) = 0 ⇒ ( )( )∗

= 0 ⇒ (푥 + 2)(3푥 − 1) = 0 ⇒ 푥 + 2 = 0 ⇒ 풙 =

−ퟐ ⇒ 3푥 − 1 = 0 ⇒ 3푥 = 1 ⇒ 풙 = ퟏퟑ

12. ¿Cuál es el conjunto solución de la desigualdad

2푥 + 3 ≤ 3푥 + 7

A. {푥 ∈ ℝ/푥 ≤ 4} B. 푥 ∈ ℝ ≤ −4 C. {푥 ∈ ℝ/푥 ≥ 4} D. 풙 ∈ ℝ풙≥ −ퟒ

SOLUCIÓN:

2푥 + 3 ≤ 3푥 + 7 ⇒ 2푥 − 3푥 ≤ 7− 3 ⇒ −푥 ≤ 4 ⇒ 푚푢푙푡푖푝푙푖푐푎푛푑표푝표푟(−1) ⇒ (−1) − 푥 ≤

4 ⇒ 푥 ≥ −4

NOTA: Recordar que ninguna incógnita en las desigualdades puede tener signo negativo. Por lo tanto se multiplica por (-1) los dos lados de la desigualdad cambiando el signo de desigualdad 푆푖푒푠 ≤ 푎푙푐푎푚푏푖푎푟푑푒푠푖푔푛표푝푎푠푎푎 ≥

표푣푖푐푒푣푒푟푠푎

13. Para la desigualdad 푥 − 4푥 − 12 ≥ 0 , su conjunto solución es:

A. ]−∞.−3]푈[4, +∞[ B. ]−∞,−4[푈]3, +∞[

C. ]−∞, 3[푈]4, +∞[ D. ]−∞,−ퟐ]푼[ퟔ, +∞[

SOLUCIÓN:

푥 − 4푥 − 12 ≥ 0 ⇒ 퐷푒푠푐표푚푝표푛푖푒푛푑표 ⇒ (푥 − 6)(푥 + 2) ≥ 0 ⇒ 퐼푔푢푎푙푎푛푑표 ⇒ 푥 − 6 = 0 ⇒

푥 = 6 ⇒ 푥 + 2 = 0 ⇒ 푥 = −2 ⇒ 퐶표푛푗푢푛푡표푠표푙푢푐푖ó푛 ⇒ ]−∞,−ퟐ]푼[ퟔ, +∞[

14. ¿Cuál de los siguientes pares ordenados corresponde al punto de intersección de

푓(푥) = 3푦푔(푥) = 2푥 − 1

A. (3, -1) B. (3, 1) C. (3, 5) D. (2, 3)

La función 푓(푥) = 3 es constante por lo

tanto el valor de “x” serán todos los

Reales.

Respuesta: El par ordenado de

intersección es (2, 3)

15. En la siguiente figura, ¿cuál es el área de la región sombreada?

A.- 1.57푐푚 B.- 4.71풄풎ퟐ

C.- 28.27푐푚 D.- 180푐푚

Solución:

. ∗ ∗ °

°⇒ .

°⇒ 4.71푐푚

x 푔(푥) = 2푥 − 1 y (x, y) 2 푔(푥) = 2(2) − 1 3 (2, 3) 1 푔(푥) = 2(1) − 1 1 (1, 1) 0 푔(푥) = 2(0) − 1 -1 (0, -1) -1 푔(푥) = 2(−1) − 1 -3 (-1, -3) -2 푔(푥) = 2(−2) − 1 -5 (-2, -5)

16. ¿De cuál de los triángulos mostrados se obtiene que la 푠푒푐휃 = ?

Solución: Secante de un ángulo es: 푠푒푐휃 = ⇒ 푠푒푐휃 = . Respuesta

correcta es el triangulo mostrado en el literal “A”.

17. Encontrar el valor del ángulo 휃 del triángulo mostrado:

A.- 25° B.- 36.87°

C.- 48.59° D.- 41.43°

Solución: Sacando hipotenusa 푐 = 푎 + 푏 ⇒ 푐 = 4 +

3 ⇒ 푐 = 16 + 9 ⇒ 푐 = 25 ⇒ 푐 = √25 ⇒ 푐 = 5

Aplicando razón trigonométrica:

푠푖푛휃 =퐿푎푑표표푝푢푒푠푡표ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 ⇒ 푠푖푛휃 =

35 ⇒ 0.60

Aplicando inversa para obtener ángulo:

푠푖푛 휃 = 0.60 ⇒ ퟑퟔ.ퟖퟕ°. Nota: Este proceso se deberá hacer en una calculadora para

obtener el ángulo que se está buscando.

18. Un hombre de 1.75 m de estatura observa la parte alta

de un poste de 18.25 m de altura, con un ángulo de

elevación de 30°. La distancia horizontal que hay entre

el hombre y el poste es

A.- 28.58 m B.- 50.00 m

C.- 31.61 m D.- 33.00 m

Solución: La razón a aplicar es la Tangente. Esto

debido a que necesitamos tener uno de los lados.

Obteniendo la altura desde la horizontal:

18.25푚− 1.75푚 = 16.50푚

Obteniendo la distancia: tan 30° = . ⇒

퐷푒푠푝푒푗푎푛푑표 ⇒ 푥 = .°⇒ 푥 = .

.⇒ 푥 = 28.58푚

19. A partir del siguiente gráfico, ¿cuál es el dominio y el recorrido de la función 푓(푥)?

Dominio: [3, +∞)

Recorrido: (−∞, 2]

20. ¿En cuál figura están ubicados correctamente los puntos A(-2,0), B(3,0) y C(2,-3)?

Respuesta correcta: Literal B.

21. Si 푓(푥) = 푥 − 3푦ℎ(푥) = 푥 + 4, ¿Cuál es el valor de 3푓(−1) + 5ℎ(2)?

A. 24 B. 30 C. 36 D. 6

Solución: 3푓(−1) + 5ℎ(2) ⇒ 3(−1 − 3) + 5(2 + 4) ⇒ 3(−2) + 5(6) ⇒ −6 + 30 ⇒ 24

22. Observa la siguiente gráfica que representa

una situación que le ocurrió a Luisa, una

estudiante de primer año de bachillerato, en

el recorrido de su casa al instituto.

¿A cuál de las siguientes historias corresponde

el gráfico?

A. Salí corriendo de la casa y luego empecé a caminar, posteriormente a correr.

B. Salí corriendo de la casa y luego me detuve.

C. Salí corriendo de la casa porque era tarde, corrí todo el tiempo.

D. Salí corriendo de la casa; me detuve un momento y continué corriendo. Solución: Si aplicamos la teoría de funciones se tendría que analizar la grafica con los

siguientes parámetros:

Corriendo = Ascendente

Detenerse = Constante (Horizontal)

Por lo tanto la historia correcta es: Salí corriendo de la casa; me detuve un momento y continué corriendo. (Literal D).

23. Una empresa ofrece el siguiente plan para teléfonos: “Pagar $0.08 por cada uno de

los primeros 30 minutos y $0.05 por cada minuto adicional”.

La ecuación que permite determinar la cantidad a pagar por una persona que gasta

más de 30 minutos es:

A. C(x) = 0.08 (30) + 0.05 (x - 30). B. C(x) = 0.08 (30) + 0.05 (30-x). C. C(x) = 0.08 (30) + 0.05 (x). D. C(x) = 0.08 + 0.05 (x).

Solución: Como lo que están pidiendo es la ecuación para determinar la cantidad total

de dinero a pagar se deberá considerar lo siguiente:

A. Los primeros treinta minutos se pagaran según la ecuación: 푃푎푔표푓푖푗표 = 0.08 ∗

30 ⇒ $2.40

B. Minutos adicionales después de los 30 minutos iníciales, estos se pagaran según la

ecuación: 푃푎푔표푎푑푖푐푖표푛푎푙 = 0.05 ∗ (푥 − 30) ⇒ $2.40 + 푃푎푔표푎푑푖푐푖표푛푎푙.

C. La ecuación a aplicar para determinar el monto total a pagar por los minutos

acumulados será: 푪(풙) = ퟎ.ퟎퟖ(ퟑퟎ) + ퟎ.ퟎퟓ(풙 − ퟑퟎ)

24. Una recta pasa por el punto (3,-1) y tiene

pendiente 2. Marca en el plano otro punto por el

que pase la recta. Además, escribe las

coordenadas de dicho punto.

Otro punto: (푦 − 푦 ) = 푚(푥 − 푥 ) ⇒ (푦 − (−1)) =

2(푥 − 3) ⇒ 푦 + 1 = 2푥 − 6 ⇒ 푦 = 2푥 − 6 − 1 ⇒ 푦 =

2푥 − 7 ⇒ 푆푢푠푡푖푡푢푦푒푛푑표푒푛푒푐푢푎푐푖ó푛푥 = 0 ⇒ 푦 =

2(0)− 7 ⇒ 푦 = −7

Coordenadas: (0, -7)

25. De las siguientes gráficas, la que corresponde a 푓(푥) = −2푥 − 1 es

Solución:

푓(푥) = −2푥 − 1 ⇒ 푦 = −2(0)− 1 ⇒ 푦 = −1 ⇒ (0,−1)

푦 = −2푥 − 1 ⇒ 0 = −2푥 − 1 ⇒ 2푥 = −1 ⇒ 푥 = −12 ⇒ (−

12 , 0)

Resultado: Evaluando los dos puntos encontrados y asignándolo a la grafica la respuesta correcta seria el literal B.

26. La inversa de la función 푔(푥) = 6푥 + 5es

A.- 푔(푥) = −6푥 − 5 B.- 푔(푥) = 푥 − 11

C.- 푔(푥) = 6(푥 − 5) D.- 품(풙) ퟏ = (풙 ퟓ)ퟔ

Solución:

Despejando variable independiente: 푦 = 6푥 +

5 ⇒ 푦 − 5 = 6푥 ⇒ 푥 =

Intercambiando variables:푥 = ⇒ 푦 = ⇒

푔(푥) =

Función inversa: 품(풙) ퟏ = (풙 ퟓ)ퟔ

27. El gerente de una empresa de alimentos desea saber qué tanto varían los pesos de

las bolsas de cereal (en gramos), que empacan en una determinada presentación.

Decide para ello tomar al azar una muestra de 5 bolsas y pesarlas.

Las medidas obtenidas fueron las siguientes: {490, 500, 510, 515 y 520}.

¿Cuál es el valor de la varianza muestral?

Respuesta correcta: 145 gramos

Solución:

Calculando la media: 푋 = ⇒ 푋 = ⇒ 푋 = 507

Calculando la diferencia y varianza:

푆 =(490− 507) + (500− 507) + (510− 507) + (515− 507) + (520− 507)

5 ⇒

푆 =289 + 49 + 9 + 64 + 169

5 ⇒ 푆 =580

5 ⇒ 푆 = 145

28. En un concurso de “comer pupusas” participaron 11 personas, quienes comieron

respectivamente, las siguientes cantidades:

18, 15, 75, 50, 25, 35, 52, 40, 30, 25, 32

¿Cuántas pupusas se come la persona que se ubica en el cuartil tres (푄 )?

A. 30 B. 50 C. 25 D. 75

Solución:

Ordenando datos: 15, 18, 25, 25, 30, 32, 35, 40, 50, 52, 75

Lugar de cada cuartil: 푄 = = 3 ⇒ 푄 = 25

푄 = ( ) = 6 ⇒ 푄 = 32 푄 = ( ) = 9 ⇒ 푄 = 50

29. En el departamento de Ahuachapán se tomó el peso de 100 estudiantes de primer

año de bachillerato y se asoció la escala percentilar para diferentes valores de la

variable, tal como se muestra a continuación:

De las siguientes proposiciones, ¿cuál es la correcta de

acuerdo con la información presentada?

A. El mayor peso fue de 165 libras.

B. El menor peso de los estudiantes fue de 96 libras.

C. El 10% de los estudiantes pesan 111 libras o menos.

D. El 80% de los estudiantes pesan más de 140 libras.

SUGERENCIA: Este ejercicio es de análisis ya que la información está calculada en

percentiles por lo tanto se puede decir que al recordar la teoría sobre los percentiles

estos sirven para calcular porcentajes.

Peso ( en libras) Percentil 96 2

102 5 111 10 118 25 132 50 140 80 165 96

Tomando como premisa esto se puede concluir que solo dos alternativas podrían ser

las correctas (C o D). Por lo tanto la respuesta correcta es (C) El 10% de los estudiantes pesan 111 libras o menos. El literal “D” no podría ser debido a que solo

un 20% de todos los estudiantes son los que pesan más de 140 libras.