Instituto Tecnologico Aut onomo de M...

Instituto Tecnológico Autónomo deMéxico

Cuaderno de Ejercicios de Matemáticas I

Departamento Académico de Matemáticas

México 3 Agosto 2020

Prefacio

Las matemáticas son un parte integral de la formación académica de losestudiantes de Administración, Economı́a y Ciencias Sociales. Cada vez seaprecia más la necesidad de mejorar el nivel de las técnicas cuantitativas, aśıcomo de que los estudiantes de estas disciplinas sean capaces de plantear,resolver e interpretar los problemas con los que se enfrentan.

Dos objetivos de este cuaderno son: (1) reunir una serie de ejerciciosque exhiban la utilidad de la derivada y la integral con un énfasis a susaplicaciones en la ciencias sociales, (2) servir como apoyo para el curso deMatemáticas I (MAT-11100) del ITAM.

Este cuaderno consta de cuatro caṕıtulos de ejercicios y cuatro apéndices.El primero (A) contiene las soluciones de los ejercicios propuestos, el segundo(B) es un repaso de los conceptos básicos necesarios para el curso, el tercerapéndice (C) es un resumen de las manera de manejar ĺımites, mientras que elapéndice (D) contiene ejercicios adicionales sobre funciones trigonométricas,apliaciones financieras de la integral definida, y el uso tablas de integrales,temas que antes eran parte integral del temario pero por tiempo se han dejadocomo optativos.

Nos hemos basado en una versión anterior compilada por el Dr. GuillermoGrabinsky. Agradezco las sugerencias y correcciones recibidas de los colegasque imparten el curso, en especial de la Profesora Lysette Félix Félix, quepropuso varios ejercicios adicionales y el apoyo editorial de Naomi YanitÁlvarez Garćıa.

Edgar Possani Espinosa

Coordinador del Curso de Matemáticas I

Ciudad de México, Agosto 2020.

Índice general

1. LA DERIVADA 7

1.1. Incrementos y tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Ĺımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. La derivada (Reglas de diferenciación.Regla de la cadena) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5. La derivada como razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6. Análisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7. Derivadas de funciones exponenciales y logaŕıtmicas . . . . . 27

2. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE GRÁFICAS 33

2.1. Limites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Concavidad y puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4. Gráficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Aplicaciones de máximos y mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6. Análisis incremental. Aproximación por diferenciales. . . . . . 46

2.7. Aproximación de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8. Diferenciación impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.9. Diferenciación logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.10. Elasticidad de la demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3. INTEGRACIÓN 59

3.1. Integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2. Aplicaciones de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3. Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4. Método de integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3

4 ÍNDICE GENERAL

4. LA INTEGRAL DEFINIDA 694.1. Integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2. Área bajo curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3. Área entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4. Aplicaciones de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 714.5. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A. SOLUCIONES 77A.1. La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.1.1. Incrementos y tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.1.2. Ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.1.3. La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A.1.4. Recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . 85A.1.5. La derivada como razón de cambio . . . . . . . . . . . 87A.1.6. Análisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.1.7. Derivadas de funciones exponenciales y logaŕıtmicas . . 90

A.2. Optimización y bosquejo de gráficas . . . . . . . . . . . . . . 93A.2.1. Limites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93A.2.2. Funciones crecientes y decrecientes. . . . . . . . . . . . 93A.2.3. Concavidad y puntos de inflexión. . . . . . . . . . . . . 93A.2.4. Gráficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.2.5. Aplicaciones de máximos y mı́nimos . . . . . . . . . . . 123A.2.6. Análisis incremental. Aproximación por diferenciales. . 126A.2.7. Aproximación de segundo orden . . . . . . . . . . . . 127A.2.8. Diferenciación impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.2.9. Diferenciación logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . 128A.2.10.Elasticidad de la demanda . . . . . . . . . . . . . . . . 129

A.3. Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130A.3.1. Integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130A.3.2. Aplicaciones de la integral indefinida . . . . . . . . . . 131A.3.3. Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132A.3.4. Método de integración por partes . . . . . . . . . . . . 133

A.4. La integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.4.1. Integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.4.2. Área bajo curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.4.3. Área entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136A.4.4. Aplicaciones de la integral definida . . . . . . . . . . . 136A.4.5. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

ÍNDICE GENERAL 5

B. Propiedades Básicas 139B.1. Algunas propiedades algebráicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 139B.2. Algunas propiedades de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141B.3. Exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142B.4. Expresiones algebráicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143B.5. Productos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

C. Manejo de Ĺımites 145C.1. Aśıntontas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145C.2. Reglas del rećıproco de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . 145C.3. Limites de cocientes de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 146C.4. Ĺımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

D. Temas Adicionales 147D.1. Ĺımites, derivadas e integrales de

funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147D.2. Aplicaciones financieras de la integral definida . . . . . . . . . 150D.3. Integración usando tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151D.4. Soluciones de los ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . 152

D.4.1. Ĺımites y derivadas de funcionestrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

D.4.2. Aplicaciones financieras de la integral definida . . . . . 154D.4.3. Integración usando tablas . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6 ÍNDICE GENERAL

Caṕıtulo 1

LA DERIVADA

1.1. Incrementos y tasas

1. Determine los incrementos de las funciones siguientes aśı como la tasade cambio promedio para los intervalos dados:

a) f(x) = 2x+ 7; x = 3; ∆x = 0.2

b) f(x) = 2x2 + 3x− 5; x = 2 ; ∆x = 0.5c) g(x) = x

2−4x−2 ; x = 1; ∆x = 0.5

d) f(x) = 3− 7x; x = 2; ∆x = 0.3e) f(x) = 3x2 − 5x+ 1; x = 3 ; ∆x = 0.5f ) f(x) = x

2−9x−3 ; x = 1; ∆x = 0.2

g) f(x) = 5x+ 3; x = 3 ; ∆x = −0.25h) g(x) = x2 + 5; x = −1; ∆x = −0.3

2. (Crecimiento y variación de la población) La población de cierta ciudaden el tiempo t (medido en años) esta dada por:p(t) = 10000 + 1000t − 120t2 personas. Determine la tasa de creci-miento promedio entre cada pareja de tiempos

a) t = 3 y t = 7 años.

b) t = 2 y t = 4 años.

c) t y t+ ∆t años.

7

8 CAPÍTULO 1. LA DERIVADA

3. (Función de costo) Después de consultar a un matemático, un fabricantesabe que el costo de producir x art́ıculos puede simularse por:

C(x) = 0.001x3 − 0.3x2 + 40x+ 1000 dólares

a) Determine el incremento en el costo cuando el número de unidadesproducidas se incrementa de 30 a 70.

b) Calcule el incremento promedio en el costo, por unidad adicionalproducida, si la producción se incrementa de 40 a 70 unidades.

c) Calcule el incremento promedio en el costo, por unidad adicionalproducida, si la producción se incrementa de 70 a 90 unidades.

4. Sea C(x) = mx+ b con m > 0 y b > 0 una función de costo lineal.Verifique que el costo promedio por unidad adicional es siempre el mis-mo, independientemente de los niveles de producción. Ilustre gráfica-mente.

5. (Relación de demanda e ingreso) Cuando el precio de cierto art́ıculoes igual a p (dólares), el número de art́ıculos que pueden venderse porsemana (demanda) está dado por la fórmula

x =1000√p+ 1

a) Determine el incremento de la demanda cuando el precio se incre-menta de $4 a $9.

b) Determine el incremento en el ingreso cuando el precio del art́ıculose incrementa de $1 a $4.

c) Calcule el incremento promedio del ingreso total por unidad deincremento en el precio cuando éste se incrementa de $1 a $9.

6. (Crecimiento del PNB) Durante el peŕıodo de 1990 a 2010, el productonacional bruto de cierto páıs se encontraba dado por la fórmula

PNB = 5 + 0.1x2

en miles de millones de dólares (x en años y x = 0 corresponde al año1990). Determine el crecimiento promedio del PNB por año entre 2000y 2005.

1.1. INCREMENTOS Y TASAS 9

7. El costo de producir x unidades de cierto art́ıculo está dado por lafunción: C(x) = 10x + 420 dólares y el ingreso obtenido por la ventade x unidades está dada por: I(x) = 1000x − x2 dólares. Se estánproduciendo 200 unidades y se desea incrementar la producción a 210unidades.

a) Calcule los incrementos correspondientes en el costo, el ingreso yla utilidad.

b) Determine el cambio promedio del costo, ingreso y utilidad porlas unidades adicionales producidas y vendidas.

8. (Televidentes) Después de consultar a un matemático, una nueva em-presa de televisión por cable pudo simular la proporción de familias queutilizaban su servicio t años después por medio de la fórmula:

p = 1− e−0.1t

Determine el crecimiento de p entre t = 1 y t = 2 y la tasa de cambiopromedio de p por año.

9. (Crecimiento de la población) La población de cierta comunidad comofunción del tiempo t en años se encuentra que está dada por la fórmula:

P (t) =20000

1 + 6(e)−0.1tpersonas

Calcule el incremento de la población y entre t = 20 y t = 30 y elincremento de la población por año durante este peŕıodo.

10. (Función de ingreso) El ingreso semanal total R (revenue) obtenido porla venta de x unidades de cierto art́ıculo está dado por:

R = f(x) = 500x− 2x2 dólares

Determine la tasa de cambio promedio en el ingreso por unidad extracuando el número de unidades vendidas por semana se incrementa de120 a 150.

11. La relación de demanda de cierto producto es de: 2x +√p = 100,

donde p es el precio por unidad en dólares y x el número de unidades.La función de costo está dada por: C(x) = 4x3 + e15−x Determineel incremento promedio en la utilidad si las unidades producidas yvendidas aumentan de 5 a 10 unidades. Interprete.


1.2. Ĺımites y continuidad

1. Evalúe los siguientes ĺımites:

a) ĺımx→2

(3x2 + 7x− 1).

b) ĺımx→−1

(2x2 + 3x− 1).

c) ĺımx→−2

x2+4x+4x2−4 .

d) ĺımx→9

√x−3

x2−81 .

e) ĺımx→2

x2+x−6x2−4 .

f ) ĺımx→1

√2−x−1

2−√x+3

.

g) ĺımx→5

√3x−6−3x−5 .

h) ĺımt→0

t3−√t+9.

i) ĺımx→0

(x+4)−1−4−1x .

j ) ĺımw→1

1w+1− 1

2

w−1 .

k) ĺımt→1

(t−1)2(1−t)(2−2t2) .

l) ĺımx→−3

x2+6x+99−x2 .

m) ĺımx→6

x2−8x+12x2−6x .

n) ĺımx→0

x1− 3√

2x+1.

ñ) ĺımx→−2

x3−4x3−√x+11

.

o) ĺımx→2

x3+1x−3 .

p) ĺımt→2

2−t3−√

13−t2 .

q) ĺımt→0

( 1t√

1+t− 1

t).

r) ĺımx→−7

x+2x2−49 .

s) ĺımx→3

9−x2x−√x+6

.

1.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD 11

t) ĺımt→1

2t−√

3t+1t2+5t−6 .

u) ĺımx→−3

x+3√x2−5−2 .

2. Calcule los siguientes ĺımites (sugerencia: si alguna expresión no esfactorizable, aplique división de polinomios)

a) ĺımx→2

x4+x3−24x2−4 .

b) ĺımx→2

x3+x−10√2x−2 .

c) ĺımx→3

x4−15x−36x2−9 .

d) ĺımx→1

x3+x−2x2+2x−3 .

3. Determine los siguientes ĺımites unilaterales:

a) ĺımx→3−

| 2x3−2|

x−3 .

b) ĺımx→3−

x2−2x−3|x−3| .

c) ĺımx→9+

√x−3√x−9 .

d) ĺımt→0+

|t|−|−t|t

.

e) ĺımx→−2−

|x+2|x+2

.

f ) ĺımx→1−

1−x2|x−1| .

g) ĺımx→3−

|x2−4x+3|x2−9 .

h) ĺımt→5+

3−√

2t−1|5−t| .

i) ĺımx→4+

|4−x|√x−2 .

j ) ĺımx→1−

√x−1|x3−1| .

k) ĺımx→2−

13− 1

x+1

|x−2| .

l) ĺımx→4+

4−√

5x−4|4−x| .


4. Calcule el ĺımite de f(x) en c, e indique si existe o no. Si existe, evaluef(c) y compare con ese ĺımite.

a) f(x) =

{x2 − 3 si x ≥ −1x2−1x+1

si x < −1 c = −1.

b) f(x) =

{x2 + 1 si x ≤ 3x+ 4 si x > 3

c = −3.

c) f(x) =

{−12 si x = 2x3−8x−2 si x 6= 2

c = −2.

d) f(x) =

{5 si x = 0| x | si x 6= 0 c = 0.

5. Calcule el valor de la constante k de tal modo que ĺım f(x) exista

f(x) =

{k + 2x si x ≥ 9x−9√x−3 si x < 9

6. Para cada uno de los siguientes incisos, determine si f(x) es continuao no, en el valor x = c. Justifique sus respuestas.

a) f(x) =

{3x− 4 x 6= 25 x = 2

; c = 2

b) f(x) =

{x2 − 3x+ 1 x < 1−1 x ≥ 1 ; c = 1

c) f(x) =

{x2−9x+3

x < −32x x ≥ −3 ; c = −3

d) f(x) =

{x−2|3− 3

2x| si x > 2

−23

si x ≤ 2; c = 2

7. Encuentre el valor de h de modo que la siguiente función:

f(x) =

{hx+ 3 x ≥ 13− hx x < 1

sea continua en x = 1. Pruebe las tres condiciones de continuidad.

1.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD 13

8. Determine el valor de A y de B para que la función:

f(x) =

Ax2 + 5x− 9 x < 1B x = 1(3− x)(A− 2x) x > 1

sea continua en todo su dominio. Pruebe las tres condiciones de conti-nuidad.

9. Obtenga el valor de la constante c que hace que la siguiente función:

f(x) =

{c x = 13√x−11−x x 6= 1

sea continua en x = 1. Pruebe las tres condiciones de continuidad.

10. Determine el valor de la constante A, para que la función f(x) seacontinua en x = 1. Pruebe las tres condiciones de continuidad.

f(x) =

{A(x− 1) x < 1Ax2 + 2Ax+ 1 x ≥ 1

11. Determine el valor de a y b para que la función f(x) sea continua enx = 1 y x = 2. Pruebe las tres condiciones de continuidad.

f(x) =

ax− 1 si x ≤ 13− ax2 si 1 < x ≤ 2x2 − bx+ 3 si x > 2


f(x) =

x2−2xx2−4 si x < 2

ax+ b si 2 ≤ x ≤ 3√3x− 1 si x > 3


f(x) =

x+ 1 si x < 1ax+ b si 1 ≤ x < 23x si 2 ≤ x


14. Determine el valor de A para f(x) sea continua en x = 1. Pruebe lastres condiciones de continuidad.

f(x) =

{ √x−1x−1 si x < 1

Ax2 + 3 si x ≥ 1

15. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine si la función f(x)es continua en el valor x = c. En caso de ser discontinua, indique si esposible remover la discontinuidad.

a) f(x) = 3x−2 en c = 2

b) g(x) = x3−1x−1 en c = 1

c) h(x) =√x−1

x2+4x−5 en c = 1

d) l(x) = x−1x+3

en c = −3

16. Pruebe que para ningún valor de A es posible definir f(1) de tal modoque la función dada por:

f(x) =

{A(x− 1)− 3 si x < 1A2x+ 2Ax+ 1 si x > 1

pueda ser extendida continuamente en x = 1. Explique porqué.

17. Pruebe que para ningún valor de a, la función f(x) puede ser continuaen x = 1.

f(x) =

{ax2 + 1 si x < 1− 1ax

si x > 1

18. (Tarifa Postal) Enviar una carta de primera clase tiene un costo de $10por cada gramo o fracción menor. Analice la continuidad de la funciónde costo f(x) que resulta de enviar una carta que pesa x gramos si0 ≤ x ≤ 8.

19. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) Una función no es continua en c sólo si f(c) no está definida.

b) Una función es continua en c siempre y cuando ĺımx→c

f(x) exista.

c) Si f es continua en c, entonces la gráfica de f no presenta unarotura en (c, f(c)).

1.3. LA DERIVADA (REGLAS DE DIFERENCIACIÓN.REGLA DE LA CADENA)15

1.3. La derivada (Reglas de diferenciación.

Regla de la cadena)

1. Evalue

ĺımh→o

f(a+h)− f(a)h

para las funciones f(x) y los valores dados a continuación:

a) f(x) = 3x− 7 ; a = 1.b) f(x) = x2 − 1 ; a = 0.c) f(x) = 2x2 + 5x+ 1 ; a = x.

d) f(x) = 3x2 − 5x+ 7 ; a = 2.e) f(x) = x2 + x+ 1 ; a = t.

f ) f(x) = 1x

; a = x.

2. Recuerde la definición de la derivada:

f ′(x) = ĺım∆x→o

f(x+ ∆x)− f(x)∆x

(1.1)

a) Calcule la derivada de f(x) =√x con x > 0

b) Determine el valor de la pendiente de la tangente en el puntoP = (4, 2).

c) Determine la ecuación de la recta tangente a la función en el pun-to P .

3. Aplicando la definición de la derivada (ecuación (1.1))

a) Calcule la derivada de f(x) = 1x2

con x 6= 0b) Determine el valor de la pendiente de la tangente en el punto

Q = (1, 1)

c) Determine la ecuación de la recta tangente a la función en el pun-to Q.

4. Aplicando la definición de la derivada. (ecuación (1.1)). Calcule f ′(−3)si f(x) = 1

x


5. Aplicando la definición de la derivada. (ecuación (1.1)). Calcule f ′(c)si: f(x) =

√x− 1 y c = 10 .

6. Aplique la regla correspondiente para calcular las siguientes derivadasde las funciones con respecto a la variable independiente según el casoy simplifique lo más posible.

a) g(x) = 2x3 − 5x2 + 3x− 7.

b) h(u) = 21−u .

c) f(t) = 12t+3

.

d) y = 4 + 2x3 + 3x−1.

e) y =√x− 3x.

f ) y = 83√x + x7.

g) f(x) = 2x3(x2 − 2).

h) f(x) = (x− 3)(2x2 − 1).

i) f(x) = 2x+3x−2 .

j ) f(x) = x2+1

2x−3 .

k) f(x) = 3x+5x2−3 .

l) f(x) = 9x1/3(x3 + 5).

m) f(x) = 2√x

x2−3x+1 .

n) f(x) = 2x−1(x3+2)(x2−3) .

ñ) f(x) =√x−1√x+1

.

7. Calcule: (Sugerencia: simplificar cada expresión antes de derivar)

a) ddx

(x4−3x2+5x2

).

b)dydx

para y =√x−6√x3.

c) y′ para y = 2x5−4x3+2xx3

.

d) f ′(x) para f(x) =3√x+33√x2

.


8. (Crecimiento de las ventas) El volumen de las ventas S de cierta tabletaestá dado como una función del tiempo t por la fórmula

S(t) = 1000 + 200t− 20t2 dólares.

en donde t se mide en semanas. Determine la tasa en que S cambiacuando

a) t = 0.

b) t = 2.

c) t = 5.

d) Compare los resultados en a), b) y c) con las correspondientestasas de crecimiento promedio si ∆t = 0.01

9. (Crecimiento de la población) Cierta población crece de acuerdo conla fórmula p(t) = 30000 + 60t2 personas en donde t se mide en años.Calcule la tasa de crecimiento cuando

a) t = 0.

b) t = 1.

c) t = 7.

d) Compare los resultados de los incisos a), b) y c) con las correspon-dientes tasas de crecimiento promedio si ∆t = 0.01

10. (Crecimiento de la población) Se estima que dentro de x meses la po-blación de cierta comunidad será: P (x) = x2 + 20x+ 8000 personas.

a) ¿A qué ritmo cambiará la población dentro de 15 meses?

b) ¿Cuánto cambiará realmente la población durante el decimosextomes?


11. (Función de precio-demanda) De acuerdo a una teoŕıa económica, lademanda d(p) de un producto en un mercado libre disminuye al au-mentar el precio p en dólares. Suponga que el número de audifonosinalámbricos d(p) que los consumidores comprarán por semana en unacierta ciudad al precio p está dado por

d(p) =50000

p2 + 10p+ 25

con 5 ≤ p ≤ 15.

a) Encuentre la razón de cambio d′(p), de la demanda con respectoal cambio en el precio.

b) Calcule d′(5) y d′(10). Interprete.

12. Si y = f(u) es una función derivable de u y u = g(x) es, a su vez, unafunción derivable de x, entonces la funcion compuesta y = f(g(x)) esuna función derivable de x cuya derivada está dada por el producto

dy

dx=dy

du

du

dx

o bien, de forma equivalente, por

dy

dx= f ′(g(x))g′(x)

notemos que esto también se puede calcular realizando la composicióny luego derivando.

d(f(g(x)))

dx=d((fog)(x))

dx= (fog)′(x)

Para cada uno de los siguientes incisos aplica la regla de la cadena ycomprueba calculando la derivada de la composición:

a) Sea y = u5 y u = x2 + 1 determine dydx

b) Sea y = 2u3 − 3u− 2 y u(x) = x2 + 4 determine dydx

c) Sea y =√w y w(t) = 7− t3 determine dy

dt

d) Sea y =√u y u = 7 +

√x determine dy

dxcuando x = 4

e) Si y(u) = 4u2−u y u(x) =

3√x

+ 19x determine dy

dxcuando x = 9


13. Calculedydx

utilizando la regla de la cadena

a) y = (2x+ 5)3.

b) y = (x2 − 6)3/2.

c) y = 3(x2 − 2)4.

d) y = 2(x2 + 5x)−3.

e) y =√x2 + 8.

f ) y = 3√

3x2 + 4.

g) y = (x2 − 4x+ 4)1/2.

h) y = 12x+4

.

i) y = 1(x2−3)8 .

j ) y = 12x2−3x+1 .

14. Evalúe las derivadas obtenidas en el ejercico 13. Para x = 3.

15. Obtenga (dxdz

) cuando z = 9 si: x = t3 + 2 y t = z1/2.

16. Utilice las reglas de diferenciación para obtener f ′(c) si:

a) f(x) = (x2+1x+1

)1/2 y c = 0.

b) f(x) = (x2 + 1)7(2x3 − 1)4 y c = −1

c) f(x) =√

3x+12x−1 y c = 1

d) f(x) = x(3x−2)2 y c = 0

e) f(x) = 3√

xx+2

y c = −1

17. Obtenga: (√

9x+ (2x+ 1)3)′(1).


1.4. Recta tangente a una curva

1. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x√x

en el punto P0 = (0, f(0)) .

2. Determine las coordenadas de los puntos en donde la recta tangente ala gráfica de f(x) = x

3

3+ x2 + 1 sea:

a) Paralela al eje x (2 soluciones).

b) Paralela a la recta y = −x (1 solución).

3. Determine las coordenadas del punto sobre la parábola y = 3x2−12x+5en donde la recta tangente es perpendicular a la recta x− 6y+ 3 = 0 ?

4. Verifique que a través del punto (1,1) las curvas y = x3 y y = x1/3

tienen rectas tangentes cuyas pendientes son rećıprocas.

5. Dada la ecuación y = f(x) = 6x− x2 encuentre:

a) La función de la pendiente m = dydx.

b) La pendiente de la tangente a la gráfica en x = 2 y x = 4.

c) Los valores de x que hacen que la pendiente sea cero.

d) Ilustre gráficamente el inciso c).

6. Repita el ejercicio 3. para y = f(x) = 2x2 + 8x.

7. Repita el ejercicio 3. salvo el inciso (d) para y = f(x) = 23x3 + 3x2 + 2.

8. Esboce la gráfica de una función f cuya derivada tiene todas las pro-piedades siguientes:

a) f ′(x) > 0 cuando x < 1 y cuando x > 5 .

b) f ′(x) < 0 cuando 1 < x < 5 .

c) f ′(1) = 0 y f ′(5) = 0.

9. Encuentre números a,b y c tales que la gráfica de la función:

f(x) = ax2 + bx+ c

tenga intersecciones con el eje de las x en (0, 0) y (5, 0) y una tangentecon pendiente 1 cuando x = 2.

1.5. LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO 21

10. Encuentre la ecuación de la tangente a la gráfica de

y =4

2x2 − 3x+ 3

en en el punto (1, 2) utilizando la regla de la cadena para encontrar lapendiente de la tangente. Escriba la respuesta en la forma y = mx+ b.

11. Determine las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica def(x) = 4x− x2 que pasan por los puntos (x, f(x)) con x = 1 y x = 3

12. Encuentre las ecuaciones de todas las tangentes a la gráfica de la funciónf(x) = x2 − 4x+ 25 que pasan por el origen.

13. Determine las coordenadas de los puntos donde la pendiente de la tan-gente a la gráfica de f(x) = x

2+ 1

2x−3 sea −32

14. Determine el valor de la x en donde la recta tangente a la gráfica def(x) = x

(3x−2)2 es horizontal.

15. La curva f(x) = ax2 + bx+ c pasa por el punto P (0,−4) y es tangentea la recta y = 2x− 3 en el punto Q(1,−1). Determine los valores de a,b y c.

16. Determine el valor de los parámetros a y b para que la gráfica def(x) = ax2 + bx − 19 pase por el punto Q(2,−3) y la pendiente dela recta tangente en dicho punto sea igual a 14.

1.5. La derivada como razón de cambio

1. (Demanda marginal) La relación de demanda de cierto art́ıculo estádada por: p +

√q = 200 donde q representa el número de art́ıculos y

p es el precio unitario. Determine la razón de cambio de la demandaq con respecto al precio cuando el precio es de $5 por cada art́ıculo.Interprete.

2. (Interpretación de la derivada) El costo total de la fabricación C es unafunción de la cantidad q de art́ıculos producidos, que a su vez es unafunción del número t de horas empleadas en su fabricación.

a) ¿Qué representa la derivada (dCdq

)?


b) ¿Qué representa la derivada (dqdt

)?

c) ¿Qué representa el producto(dCdq

)(dqdt

)?

3. (Tasas relacionadas) Se estima que en t años cierta población suburbanaserá de

p(t) = 20− 6t+ 1

miles de personas

y que el nivel promedio de monóxido de carbono que se producirá seráde c(p) = 2

√p2 + p+ 58 partes por millón cuando la población sea de

p miles. Determine la tasa de cambio del nivel promedio del monóxidode carbono con respecto al tiempo a los 2 años.

4. (Tasas relacionadas) El gerente de una firma de electrodomésticos de-termina que cuando se fija el precio de las licuadoras en p dólares porpieza; la cantidad mensual vendida es

D(p) =8000

p

Además el gerente estima que dentro de t meses, el precio unitario delas licuadoras será p(t) = 0.06t3/2+22.5 dólares. ¿A qué razón cambiarála demanda mensual de licuadoras, D(p), dentro de 25 meses? ¿En esemomento de la demanda aumentará o disminuirá?

5. (Costo de fabricación). En cierta fábrica, el costo total de fabricar qunidades es C(q) = 0.2q2 + q + 900 dólares. Se determinó que se fabri-caran aproximadamente q(t) = t2 + 100t unidades durante las primerast horas de un turno de producción. Calcule la razón a la que cambia elcosto total de fabricación respecto al tiempo 1 hora después de iniciarla producción.

6. (Demanda de consumo) Un distribuidor de jitomate de Sinaloa estimaque los consumidores locales comprarán aproximadamenteD(p) = 4374

p2kilos de jitomate por mes cuando el precio es de p pesos

por kilo. Se estima que dentro de t meses, el precio del jitomate seráde: p(t) = 0.02t2 + 0.1t+ 6 pesos el kilo. ¿A qué ritmo estará cambian-do la demanda de jitomate dentro de 10 meses? ¿Estará creciendo odecreciendo?

1.6. ANÁLISIS MARGINAL 23

1.6. Análisis marginal

1. (Costo e ingreso marginal) Calcule el costo marginal C ′(x) y el ingre-so marginal R′(x) donde x es el número de unidades vendidas, si lasfunciones de costo e ingreso son las siguientes:

a) C(x) = 40 + (ln 2)x2.

b) R(x) = x− 0.01x2.c) C(x) = 0.0001x3 − 0.09x2 + 20x+ 1200.d) R(x) = 5x− 0.01x5/2.e) C(x) = 10−6x3 − (3× 10−3)x2 + 36x+ 2000.f ) R(x) = 0.01x− 10−3x2 − 10−5x5/2.g) R(x) = 100x− (log 5)x3(1 +

√x).

2. (Ingreso marginal) Calcule e interprete el ingreso marginal R′(x), dondex es la demanda, p el precio en dólares y la relación entre ellos está dadapor las siguientes ecuaciones:

a) x+ 4p = 1000 cuando p = 50.

b)√x+ p = 10 cuando p = 6.

c) x2/3 + 21p = 100 cuando p = 4.

d) 10p+ x+ 0.01x2 = 700 cuando p = 10.

3. (Utilidad marginal) Si la función de demanda es x + 4p = 1000 y lade costo es C(x) = 1000 + 5x dólares, calcule la utilidad marginal conrespecto a x cuando p = 150. Interprete.

4. La relación de demanda de cierto producto es x3/2 + 24p = 600, dondep es el precio por unidad en dólares y x el número de unidades de-mandadas. La función de costo correspondiente es C(x) = x3/2 + 30 endólares.

a) Determine el ingreso marginal con respecto a la demanda sip = 16. Interprete

b) Determine la utilidad marginal con respecto a las unidades pro-ducidas y vendidas si x = 36. Interprete


5. (Utilidad marginal) Si la función de demanda es√x + p = 10 y la de

costo es C(x) = 60 + x, calcule la utilidad marginal con respecto a xcuando p = 7.

6. (Utilidad marginal) Si la función de demanda es x2/3 + 50p = 1000 y lade costo es C(x) = 50 + x3/2, calcule la utilidad marginal con respectoa la demanda cuando:

a) p = 16.

b) x = 25.

7. (Utilidades marginales) El editor de una revista descubre que si fija elprecio de $1 a su revista, vende 20,000 ejemplares al mes; sin embargo,si el precio fijado es de $1.50, sus ventas sólo serán de 15,000 ejemplares.Si el costo de producir cada ejemplar es de $0.80 y tiene costos fijos de$10,000 al mes, suponiendo una ecuación de demanda lineal:

a) Calcule su función de utilidad marginal y determine el precio de larevista que haga qué la utilidad marginal sea igual a cero. Evalúela utilidad misma cuando el precio es:

b) $1.80.

c) $1.90.

d) $2.

8. (Utilidad marginal) Si la relación de demanda es: q2/3 + 50p = 1000 yla de costo es: C(q) = 50 + q2/3 , determina la utilidad marginal conrespecto a la demanda cuando

a) p = 18

b) q = 64

9. (Análisis marginal) La relación de demanda de cierto art́ıculo está dadapor 2q +

√p+ 4 = 11 . Determine:

a) El precio marginal con respecto a la demanda a un nivel de q = 3unidades.

b) El ingreso marginal con respecto al precio cuando p = 21 .

1.6. ANÁLISIS MARGINAL 25

10. (Análisis marginal) La relación de demanda de cierto art́ıculo es:p(q2 + 1) = 300 en donde p es el precio por unidad y q la cantidaddemandada. La función de costo es: C(q) = 3q2+4q dólares. Determine:

a) La función de ingreso marginal con respecto a la cantidad.

b) La utilidad promedio marginal cuando q = 2 .

11. (Tasas relacionadas) Una empresa tiene la función de costoC(x) = 25 + 2x − 1

20x2 en donde x es el nivel de producción. Si éste

es igual a 5 actualmente y está creciendo a una tasa de 0.7 por año,calcule la tasa a la que los costos de producción se están elevando conrespecto al tiempo.

12. (Tasas relacionadas) La ecuación de demanda del producto de ciertacompañ́ıa es 2p + x = 300. Si la demanda cambia a una tasa de 2unidades por mes cuando la demanda alcanza 40 unidades, ¿A quétasa está cambiando el ingreso con respecto al tiempo si la compañ́ıaajusta su precio a la demanda cambiante?

13. (Producción marginal) Se estima que la producción semanal de unacierta planta es Q(x) = −x3 + 60x2 + 1200x unidades, donde x esel número de trabajadores empleados en la planta. Generalmente hay30 trabajadores empleados en la planta. Use el análisis marginal paraestimar el cambio en la producción semanal que resultaŕıa de añadir untrabajador más a la fuerza de trabajo y compare con el cambio real.

14. (Ritmo de producción) Un estudio de productividad sobre el turnomatutino en una fábrica indica que un trabajador medio que llega altrabajo a las 8:00 a.m. habrá montado f(x) = −x3 + 6x2 + 15 teléfonoscelulares x horas después.

a) Obtenga una fórmula para el ritmo al que el trabajador estarámontando teléfonos después de x horas.

b) ¿A qué ritmo estará montando teléfonos el trabajador a las 9:00a.m.?

c) ¿Cuántos teléfonos montará realmente el trabajador entre las 9:00y las 10:00 a.m.?


15. (Costo marginal y costo promedio marginal) Suponga que el costo totalen dólares de la fabricación de q unidades es: C(q) = 3q2 + q + 500.

a) Utilice el análisis marginal para estimar el costo de la fabricaciónde la cuadragésima primera unidad.

b) Calcule el costo real de fabricación de la cuadragésima primeraunidad.

c) ¿Qué costo de fabricación aproxima C ′(41)?

d) Determine el costo promedio y el costo promedio marginal de fa-bricar q unidades.

16. (Producción marginal) En cierta fábrica, la producción diaria es de600K1/2 unidades, donde K representa la inversión de capital medidaen unidades de miles de dólares. La inversión actual de capital es de900,000 dólares. Mediante el análisis marginal estime el efecto que unainversión adicional de capital de miles de dólares tendrá en la produc-ción diaria.

17. (Producción marginal) En cierta fábrica, la producción diaria es de3000K1/2L1/3 unidades, en donde K representa la inversión de capitalde la firma medida en unidades de miles de dólares y L representala fuerza de trabajo medida en horas de trabajo. Supongamos que elcapital invertido actualmente es de 400,000 dólares y que se usan cadad́ıa 1,331 horas de trabajo. Use el análisis marginal para estimar elefecto que una inversión adicional de capital de miles de dólares tendráen la producción diaria si el tamaño de la fuerza de trabajo no cambia.

18. (Razón porcentual de cambio) Un empleado tiene un salario de 12,000dólares por año y obtendrá un aumento de 1,000 dólares cada año.(NOTA: Si S(t) denota el salario al tiempo t, la razón porcentual de

cambio se define como: 100S′(t)S(t)

%

a) Exprese la razón porcentual de cambio de su salario como funcióndel tiempo y dibuje su gráfica.

b) ¿A qué razón porcentual estará aumentando su salario después deun año?

c) ¿Qué le sucederá a la larga a la razón porcentual de cambio de susalario?

1.7. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 27

19. (Razón de cambio porcentual) Determine la razón de cambio porcentualde la función F (L) = 500L1/2 con respecto a L cuando L = 400 .

20. Una fábrica de cigarros produce x cartones de cigarros al d́ıa con uncosto diario de

50x(x+ 200)

x+ 100dólares

. Compruebe que si crece la producción entonces:

a) El costo se incrementa.

b) El costo promedio disminuye.

21. La ecuación de demanda de cierto tipo de calculadoras graficadoras,está dada por

p(x) =800

0.4x2 + 3

donde x miles de calculadoras se comprarán a un precio de p dólarespor calculadora.

a) Determine la demanda marginal (tasa de cambio de la demanda)cuando se compran 5000 calculadoras? Interprete.

b) Determine el ingreso marginal cuando se venden 5000 calculado-ras? Interprete.

1.7. Derivadas de funciones exponenciales y

logaŕıtmicas

1. Calcule dydx

para cada una de las funciones siguientes y simplifique lomás posible:

a) y = e3x .

b) y = 7e−x.

c) y = ex2.

d) y = xex.

e) y = x2e−x.

f ) y = ex

x.


g) y = e√x.

h) y = x+1ex.

i) y = ex2

ex.

j ) y = ex3

ex2.

k) y = ex

1−ex .

l) y = ex

ex+1.

m) y = e(3x2+7x−1).

2. Calcule dydx

para cada una de las funciones siguientes y simplifique lomás posible:

a) y = ln(3x+ 7).

b) y = ln(x2).

c) y = ln(x2 + 7).

d) y =√

lnx.

e) y = (1 + lnx)7.

f ) y = 1lnx.

g) y = x2 lnx.

h) y = x ln(x+ 1).

i) y = x ln(x− 1).j ) y = lnx

x.

k) y = 1+lnx1−lnx .

l) y = x+2ln(x+2)

.

3. Calcule dydx

para cada una de las funciones siguientes y simplifique lomás posible. (NOTA: Utilice las diversas propiedades del logaritmopara facilitar algunos cálculos).

a) y = ex lnx.

b) y = lnxe2x.

c) y = ex ln(x2 + 1).


d) y = ln( xex

).

e) y = ln(ex).

f ) y = ln(3(x2)).

g) y = ln(x2+1x+1

).

h) y = ln( (x+2)e3x

x2+1).

i) y = ln(√x+1

x2+4).

4. Evalúe, si es posible, las derivadas obtenidas en el ejercicio 3. para x = 0y x = 1.

5. Obtenga f ′(c) si:

a) f(x) = x3e−x4

y c = −1 .b) f(x) = 1−e

−x

1+ex. y c = 0.

c) f(x) = ln(1 + (x− 2)2) y c = 2 .d) f(x) = 3

1+2e−5xy c = 1

5.

e) f(x) = ln (√x+1

x2+4) y c = 0. .

f ) f(x) = xe−x2

y c = 0 .

6. Supón que f(x) = e2x y que x(t) = ln√t2 + 16, obtenga dh

dtcuando

t = 3 si h = (f ◦ x), es decir h = f(x(t)).

7. Supón que f(x) = ln(x+1) que x(t) = e−t−etet+e−t

, si h(t) = (f◦x) determinedhdt

cuando t = 0.

8. Sea y = e−x y x = ln(1 + t2) , calcula dydt

si t = −1 .

9. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) através del punto (c, f(c)) si: f(x) = ln( e

x

1+e3x) y c = 0 .

10. Utilizando propiedades de logaritmo, simplifica la función f(x) y de-termina df

dxcuando x = 2 si

f(x) = ln

√x+ 2

e3x2−3

.


11. Prueba que la recta tangente a la curva f(x) = e−x

1−2ex en x = 0 esparalela a la recta 6x− 2y − 15 = 0.

12. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la funciónf(x) = − 9

1+2e5x−5en el punto P (1, f(1))

13. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la funciónf(x) = x

2+1ex+e−x

a través del punto P (0, f(0))

14. (Precio marginal) Si x unidades pueden venderse a un precio de p cadauna en donde x+ln(p+1) = 50 , 0 ≤ x ≤ 50, calcule el precio marginalcon respecto a la demanda.

15. (Demanda marginal) La ecuación de demanda de cierto producto estádada por: 2x+3 ln(p+1) = 60. Calcule la demanda marginal a un nivelde precio de p = 2. Interprete el resultado.

16. (Productividad f́ısica marginal) La productividad f́ısica de cierta em-presa está dada por P (x) = 500(x + 4)3/2 − 4000 en donde x es elnúmero de máquinas en funcionamiento. Determine la productividadf́ısica marginal cuando 5 máquinas están en funcionamiento. Interpreteel resultado.

17. (Ingresos y utilidades marginales) La ecuación de demanda de ciertoproducto es p = 300e−x/20 en donde x unidades se venden al preciode $p cada uno. Si el fabricante tiene costos fijos de $500 y un costovariable de $20 por unidad, halle la función de ingreso marginal y lafunción de utilidad marginal.

18. (Ingreso marginal) Si x unidades pueden venderse a un precio de p cadauna, en donde: 2p + ln(x + 1) = 70 , encuentre la función de ingresomarginal con respecto a x.

19. La relación de demanda de cierto art́ıculo está dada por:5p + ln(3q + 2) = 75. Determina la función de ingreso marginal conrespecto al precio.


20. (Depreciación) Cierta maquinaria industrial se deprecia hasta que suvalor, pasados t años, es de: Q(t) = 20000e−0.4t dólares. (NOTA: laSHCP sólo permite depreciación lineal, sin embargo muchas empre-sas utilizan otro tipo de depreciaciones internamente para conocer ladepreciación real y sólo con fines informativos).

a) ¿A qué ritmo se está depreciando la maquinaria después de 5 años?

b) ¿A qué razón porcentual está cambiando el valor de la maquina-ria después de t años? ¿Depende esta razón porcentual de t o esconstante?

21. Después de t semanas del brote de una epidemia de cierta clase degripe, el número de personas contagiadas es aproximadamente de:

f(t) =2

1 + e−0.8tmiles de personas.

a) ¿Cuántas personas teńıan la enfermedad al principio del brote?

b) ¿A qué tasa está creciendo el número de personas contagiadas alas 4 semanas?

c) Si la tendencia continúa indefinidamente, ¿aproximadamente cuántaspersonas en total contraerán la enfermedad?

22. Si la relación de demanda de un producto es√p + x = 100 donde

p es precio unitario en dólares y x unidades y la función de costo esde C(x) = x3 + e25−x dólares, determine la utilidad marginal cuandox = 20 unidades. Interprete.

23. La ecuación de demanda de un producto es de p = 250 + 10e−0.1x,donde x es el número de unidades que pueden ser vendidas a un preciode p dólares cada una. Determine el ingreso marginal si se venden 10unidades. Interprete.

24. Después de t semanas del brote de cierta epidemia de varicela, el númerode personas contagiadas es aproximadamente de

f(t) =10

1 + 4e−0.2tmiles de personas.

a) ¿Cuántas personas teńıan la enfermedad al principio del brote?

b) ¿A qué tasa está creciendo el número de personas contagiadas alas 5 semanas?

Caṕıtulo 2

OPTIMIZACIÓN YBOSQUEJO DE GRÁFICAS

2.1. Limites al infinito

Revisen el Apéndice C para recordar las técnicas para manejar los ĺımites deesta sección.

1. a) ĺımx→+∞

2x2+3x+13x2−5x+2 .

b) ĺımx→+∞

1−x2x3+1

.

c) ĺımx→+∞

4x3+x−27−3x3 .

d) ĺımx→+∞

x5−2x2+1x2−1 .

e) ĺımx→−∞

x3−2x+5x−1 .

f ) ĺımx→+∞

x2

3x2+x+1.

g) ĺımx→+∞

5x2+2x2x2−x+1 .

h) ĺımx→−∞

1− x+ 2x2 − 3x3.

i) ĺımx→−∞

2x+13x2+2x−7 .

j ) ĺımx→+∞

1−2x3x+1

.

k) ĺımx→−∞

x2+x−21−5x−2x3 .

33

34 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE GRÁFICAS

2.2. Funciones crecientes y decrecientes

1. Suponga que f ′(x) = x2 − 7x+ 12 . Determine los intervalos en dondela gráfica de la función f es creciente y donde es decreciente.

2. Sea f(x) = (x2 − 1)5 . Determine los intervalos donde la gráfica de lafunción f es creciente y donde es decreciente.

3. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funciónf(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 17 .

4. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funciónf(x) = x3 + x2 + 4x+ 1 .

5. Determine el dominio de f(x) = x1/2(2 − x)3/2 aśı como los intervalosdonde la gráfica de f es creciente y donde es decreciente.

2.3. Concavidad y puntos de inflexión

1. Determine las coordenadas de los punto cŕıticos, los intervalos de cre-cimiento y decrecimiento, asi como las coordenadas de los puntos deinflexión (si existen ) y los intervalos de concavidad positiva y negativade las siguientes funciones f(x):

a) f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 2.b) f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 − 2.c) f(x) = x3/2.

d) f(x) = x(x+1)2

.

e) f(x) = (x+1x

)2.

f ) f(x) = 21+x2

.

2. Muestre que la gráfica de f(x) = Ax2 + Bx + C (A 6= 0) no poseepuntos de inflexión. ¿Qué representa la gráfica de f(x)?

3. Usando la definición de punto de inflexión muestre que f(x) = Px3 +Qx2 + Rx + S (P 6= 0) tiene un único punto de inflexión cuya abcisaes x = −Q

3P.

2.4. GRÁFICAS DE FUNCIONES 35

4. Para cada una de las siguientes funciones determine: dominio, la ecua-ción de cada una de sus aśıntotas y las intersecciones con ambos ejes(tome en cuenta la posibilidad de ráıces comunes).

a) f(x) = −4x3+12x2+x−3

(x−3)(2x+1) .

b) f(x) = 2x2+x−1x2−1

c) f(x) = 2x3−7x2+6x

(x−2)(x+1)

d) f(x) = x3+1x

e) f(x) = x2+x−6

x3−2x2+x−2

2.4. Gráficas de funciones

1. Para cada una de las funciones siguientes:

a) Indique para qué valores de x es creciente y/o decreciente.

b) Indique para qué valores de x tiene concavidad positiva y/o nega-tiva.

c) Encuentre sus puntos cŕıticos.

d) Encuentre sus extremos relativos y puntos de inflexión.

e) Encuentre sus aśıntotas verticales y/o horizontales.

f ) Indique su dominio y su rango.

g) Dibuje su gráfica.

1) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7.2) f(x) = 2 + (x− 1)3.3) f(x) = x

2

x−2 .

4) f(x) = x2/3.

5) f(x) = x3 + x2 + 1.

6) f(x) = x5 − 5x4 + 100.7) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2.8) f(x) = (x2 − 1)5.9) f(x) = x

2−3xx+1

.

10) f(x) = 6x2 + 12000x.


11) f(x) = 1 + x1/3.

12) f(x) = 2 + (x− 1)2/3.13) f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 − 8.14) f(x) =

√x2 + 1.

15) f(x) = x2

x+2.

16) f(x) = xx2−9 .

17) f(x) = x2

x2+3

18) f(x) = x(x+1)2

19) f(x) = x2−4x2−1

20) f(x) = x2

x2−4

2. Para cada una de las funciones siguientes:

a) Indique para qué valores de x es creciente y/o decreciente.

b) Indique para qué valores de x tiene concavidad positiva y/o nega-tiva.

c) Encuentre sus puntos cŕıticos.

d) Encuentre sus extremos relativos y puntos de inflexión.

e) Encuentre sus aśıntotas verticales y/o horizontales.

f ) Indique su dominio y su rango.

g) Dibuje su gráfica.

1) f(x) = (x+ 1)5/3.

2) f(x) = e−x2/2√

2π.

3) f(x) = xe−2x.

4) f(x) = ex − e−x.5) f(x) = 4

1+e−x.

6) f(x) = ln(x2 + 1).

7) f(x) = 700− 400e−0.5x.8) f(x) = ex + e−x.

9) f(x) = x− lnx.10) f(x) = x2e−x.

11) f(x) = 1− 62+e3x

.

2.4. GRÁFICAS DE FUNCIONES 37

12) f(x) = xe−x2

13) 31+e3x

− 1

3. Esboce la gráfica de una función continua que tenga todas las propie-dades siguientes:

a) f ′(x) > 0 cuando x < −5 y cuando x > 1 , f ′(x) < 0 cuando−5 < x < 1 , f(−5) = 4 y f(1) = −1.

b) f ′(x) < 0 cuando x < −1 , f ′(x) > 0 cuando −1 < x < 3 ycuando x > 3 , f ′(−1) = 0 y f ′(3) = 0.

c) f ′(x) > 0 cuando −1 < x < 3 y cuando x > 6, f ′(x) < 0 cuandox < −1 y cuando 3 < x < 6 , f ′(−1) = 0 y f ′(6) = 0 , f ′(x) noestá definida en x = 3.

d) f ′′(x) > 0 cuando x < −1 y cuando x > 3 , f ′′(x) < 0 cuando−1 < x < 3 , f ′′(x) < 0 cuando x < 2 , f ′′(x) > 0 cuando x > 2.

4. Trace la gráfica de una función f que satisfaga las siguientes propieda-des:

a) f es continua en todo punto de R .

b) f ′(x) > 0 en (−∞, 1).

c) f ′(x) < 0 en (1,∞).

d) f ′′(x) > 0 en (−∞,−1) ∪ (3,∞) y f ′′(x) < 0 en (−1, 3).

e) f(0) = 0 = f(2) y f(1) = 1.


5. La derivada de cierta función es: f ′(x) = x2 − 4x.

a) ¿En qué intervalos es f creciente y/o decreciente?

b) ¿En qué intervalos es f cóncava hacia arriba y/o hacia abajo?

c) Halle las abcisas de los extremos relativos y de los puntos de in-flexión de f .

6. La derivada de cierta función es: f ′(x) = x2 − 2x− 8.

a) ¿En qué intervalos es f creciente y/o decreciente?

b) En qué intervalos es f cóncava hacia arriba y/o hacia abajo?

c) Halle las abcisas de los extremos relativos y de los puntos de in-flexión de f .

7. Hallar el máximo y mı́nimo absoluto de las siguientes funciónes, en suintervalo correspondiente:

a) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7 en el intervalo −3 ≤ x ≤ 0.

b) f(x) = 3x5 − 5x3 en el intervalo −2 ≤ x ≤ 0.

c) f(x) = (x2 − 1)6 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 2.

d) f(x) = 2x2 − lnx en el intervalo [14, 1].

e) f(x) = 25xe−0.04x − 75 en el intervalo [0, 40].

f) f(x) = 25−√x(100− x) en el intervalo x ∈ [0, 100].

2.5. Aplicaciones de máximos y mı́nimos

NOTA: Use el criterio de la segunda derivada en cada uno de los ejerciciospara corroborar si se trata de un mı́nimo o un máximo.

1. Sea f : [−1, 8] → R definida por: f(x) = 12x5 − 75x4 − 280x3 + 10.Determine las coordenadas de todos los puntos cŕıticos de f y el valormáximo y mı́nimo de la función en [-1,8] .

2.5. APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 39

2. La polićıa federal de caminos ha estado registrando la velocidad deltránsito en la salida de la autopista a Toluca. Los datos sugieren queentre la 1:00 y las 6:00 p.m. en un d́ıa normal de la semana, la velocidaddel tránsito en la salida es aproximadamente de:

v(t) = 2t3 − 21t2 + 60t+ 40

kilómetros por hora, donde t es el número de horas desde el mediod́ıa.¿En qué momento entre la 1:00 y las 6:00 p.m. el tránsito es más rápido,en qué momento es más lento y cuáles son las velocidades correspon-dientes?

3. La relación de demanda de cierto art́ıculo es: q+√p = 12 mientras que

el costo está dado por: C(q) = 5q3 − 12q2 − 36q . Determine:

a) El número de unidades q que maximizan la utilidad.

b) El precio p y el ingreso correspondiente a la utilidad máxima.

4. Cuando se producen q unidades de un cierto art́ıculo, el costo total defabricación es de:

C(q) = 3q2 + 5q + 75

miles de pesos. ¿A qué nivel de producción será menor el costo mediopor unidad y cuál es éste?

5. El costo de mantenimiento de cierta flotilla de automóviles se ajustaa la siguiente función: C(t) = et−6 + 2 mientras que el valor comercialde la flotilla es V (t) = e−t. La suma de las dos funciones da comoresultado la función de reposición de la flotilla: R(t) = C(t) + V (t)donde t se mide en años. Determine el tiempo óptimo y el valor óptimocorrespondiente (el óptimo ocurre cuando R(t) es mı́nimo).

6. ¿Para qué valor de x en [-1,4] está más inclinada la gráfica de la funciónf(x) = 2x2− 1

3x3 ? ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica

en ese punto?


7. Una proyección a 5 años en la tendencia de cierta población señala quedentro de t años, la población será P (t) = −t3 + 9t2 + 48t + 50 milesde personas:

a) ¿En qué momento durante el peŕıodo de 5 años, crecerá la pobla-ción con mayor rapidez?

b) ¿En qué momento durante el peŕıodo de 5 años, crecerá la pobla-ción con menor rapidez?

8. Un fabricante puede producir televisores a un costo de 250 dólares cadauno y estima que si se venden a x dólares cada uno, los consumidorescomprarán 500 − x televisores por d́ıa. ¿A qué precio debe vender lostelevisores el fabricante para maximizar el beneficio, cuántos televisoresdebe vender y cuál es el máximo beneficio?

9. Multivisión ha hecho un estudio de los hábitos de sus suscriptores entrelas 5:00p.m.y medianoche. El estudio indica que el porcentaje de lapoblación adulta local que sintoniza Multivisión x horas después de las5:00 p.m. es: f(x) = 1

8(−2x3 + 27x2 − 108x+ 240).

a) ¿En qué momento entre las 5:00 p.m. y medianoche está sintoni-zado Multivisión por el mayor número de personas?

b) ¿En qué momento entre las 5:00 p.m. y medianoche está sintoni-zado Multivisión por el menor número de personas?

10. Una ley económica establece que el beneficio se maximiza cuando elingreso marginal es igual al costo marginal.

a) Use la teoŕıa de extremos para explicar por qué esta ley es cierta.

b) ¿Qué hipótesis sobre la forma de la curva de beneficio están impĺıci-tas en esta ley?

11. Una compañ́ıa de autobuses alquila un autobús de 50 plazas a gruposde 35 o más personas. Si un grupo contiene exactamente 35 personas,cada persona paga $60 dólares. En grupos mayores, la tarifa de todos sereduce en $1 dólares por cada persona que sobrepase las 35. Determinarel tamaño del grupo para el cual los ingresos de la compañ́ıa seránmayores aśı como los ingresos máximos.


12. (Modelo de inventario) Por cada cargamento de materiales en bruto, un fa-bricante debe pagar gastos de pedido para cubrir empaque y transporte.Cuando llegan los materiales en bruto deben ser almacenados hasta que senecesiten, por lo que hay un costo de almacenamiento. Si cada cargamento demateriales en bruto es grande, son necesarios pocos cargamentos y los costosde pedido serán bajos, pero los costos de almacenamiento, sin embargo seránaltos. Si cada cargamento es pequeño, los costos de pedido serán altos porquese necesitarán muchos cargamentos, pero los costos de almacenamiento seránbajos. Aśı, el costo total está dado por:

CT = CA + Cp + C

donde CA es el costo de almacenamiento, CP es el costo del pedido y C esel costo total del material. Un fabricante deseaŕıa determinar el tamaño delcargamento que minimizaŕıa el costo total.

Ejemplo: Un fabricante de bicicletas compra 6,000 llantas al año a undistribuidor y está tratando de decidir la frecuencia de sus pedidos. Losgastos de pedido son de 20 dólares por cargamento, el costo de alma-cenamiento es de 96 centavos por llanta por año y cada llanta cuesta21 dólares. Suponga que las llantas se usan a un ritmo constante a lolargo del año, y que cada cargamento llega justo cuando el cargamen-to precedente ha sido terminado. ¿Cuántas llantas debeŕıa pedir cadavez el fabricante para minimizar el costo? (NOTA: Si x representa elnúmero de llantas en cada pedido, entonces con objeto de simplicar sepuede suponer que en todo momento se tienen x/2 llantas almacenadasen promedio).


13. Hay 320 metros de cerca para encerrar un terreno rectangular.

a) ¿Cómo debeŕıa usarse la cerca para que el área encerrada sea lamás grande posible?

b) ¿Será cierto que el rectángulo de peŕımetro dado que encierra ma-yor área es el cuadrado?

14. Se ha observado que la proporción de la población que se entera de unrumor después de un tiempo t es igual a:

t2

5(1 + t2)2

(t está medido en d́ıas y el rumor empieza en t = 0).

a) Encuentre la mayor y menor proporción de población que llega aenterarse del rumor, cuales la proporción de individuos enteradoscrece más rápidamente y más lentamente.

b) ¿A la larga, qué ocurre con la proporción de gente enterada?

15. Una libreŕıa puede obtener un libro a un costo de $30 por libro. Lalibreŕıa ha estado vendiendo el libro a $150 por ejemplar y a este precio,ha estado vendiendo 200 ejemplares por mes. La libreŕıa está planeandobajar su precio para estimular las ventas y estima que por cada $10pesos de reducción en el precio se venderán cada mes 20 libros más.

a) ¿A qué precio debeŕıa vender el libro la libreŕıa para generar elmayor beneficio posible?

b) ¿Qué cantidad adicional de libros son vendidos al nuevo precio?

c) ¿Cuál es el mayor beneficio?

16. Cada máquina de una maquiladora puede producir 50 unidades porhora. El costo de puesta a punto es de 80 dólares por máquina y el costode operación es de 5 dólares la hora por todas las máquinas. ¿Cuántasmáquinas deben usarse para producir 8,000 unidades al menor costoposible?


17. Se estima que el costo de construcción de un edificio de oficinas quetiene n pisos de altura es de:

C(n) = 2n2 + 500n+ 600

miles de dólares. ¿Cuántos pisos deberá tener el edificio para minimizarel costo medio por piso?

18. Un estudio de productividad del turno matutino en una fábrica indicaque un trabajador medio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habráproducido:

Q(t) = −t3 + 9t2 + 12t

unidades t horas después. ¿En qué momento de la mañana el trabaja-dor está operando más eficientemente? (NOTA: el momento de máximaeficacia es igual al momento en el que el ritmo de producción se maxi-miza. Tal momento es llamado en ocasiones el punto de los beneficiosdecrecientes.

19. La función de demanda de cierto art́ıculo está dada por: p = 15e−x/3

para 0 ≤ x ≤ 8 donde p es el precio por unidad y x está dado enmiles de unidades. Determine el precio y la cantidad que maximicen elingreso, aśı como dicho ingreso máximo.

20. Un fabricante puede producir cámaras a un costo de 40 dólares cadauna y estima que si se venden en p dólares cada una,los consumidorescomprarán aproximadamente:

q = D(p) = 800e−0.01p

cámaras por semana.

a) ¿A qué precio debe vender el comerciante las cámaras para maxi-mizar el beneficio?

b) ¿A cuánto asciende el mayor beneficio y aproximadamente cuántasdeben ser vendidas para alcanzarlo?


21. Considere la función cuadrática f(x) = ax2+bx+c (a 6= 0) cuya gráficarepresenta una parábola.

a) Usando la primera derivada determine las coordenadas del vértice.

b) Usando la segunda derivada verifique que la parábola se abre haciaarriba o hacia abajo de acuerdo a que a > 0 o a < 0 respectiva-mente.

22. Determine las constantes A, B y C de modo que la funciónf(x) = x3 + Ax2 +Bx+ C tenga todas las siguientes propiedades:

a) Un máximo relativo en x = −2.

b) Un mı́nimo relativo en x = 1.

c) Un punto de inflexión en x = −1/2.

d) La gráfica pasa por el punto (2,6).

23. Un fabricante puede producir fundas para celulares a un costo de 4dólares cada una. Se estima que a un precio de 10 dólares se venderán8000 fundas al mes. Se planea aumentar el precio y se estima que,por cada dólar de incremento en el precio, se venderán 800 fundas paracelulares menos cada mes. Suponiendo una ecuación de demanda lineal,determine:

a) Determine la función de ingreso, costo y utilidad.

b) Determine el precio que debeŕıa fijar el fabricante a las fundaspara maximizar la utilidad. Y a ese precio ¿cuántas se venderán?

c) ¿Cuál es la utilidad máxima correspondiente?

24. La relación de demanda de cierto art́ıculo es de 20p+q = 1000 donde qrepresenta el número de unidades y p es el precio unitario en dólares. Elcosto total de producción de q unidades es de C(q) = 4000+10q+0.03q2

en dólares

a) Determine el número de unidades que deben producirse y vendersepara maximizar la utilidad (pruebe que es un máximo).

b) ¿Cuál es la utilidad máxima y el precio correspondiente?


25. Una empresa que produce aud́ıfonos inalámbricos estima que, si fijaun precio de 6 dólares a cada uno, se venderán 200 aud́ıfonos al d́ıa.La empresa se da cuenta que, si el precio lo aumenta a 9 dólares, losclientes sólo comprarán 50 aud́ıfonos. Suponiendo una demanda lineal,determine:

a) ¿Qué precio p debe fijar la empresa a los aud́ıfonos inalámbricospara maximizar su ingreso? (comprobar que se trata de un máxi-mo)

b) ¿Cuál será el ingreso máximo correspondiente? A ese precio ¿cuántosaud́ıfonos se venderán?

26. Sea ha determinado que se pueden vender q unidades de cierto art́ıculocuando el precio fijado es de p en cientos de dólares por unidad. Lafunción de demanda asociada a dicho art́ıculo es de q = 5pe−2p Verifiqueque la demanda disminuye (decrece) al aumentar el precio, si el precioes mayor a 50 dólares (p > 1/2)

27. Un fabricante de relojes digitales ha estimado que la relación de de-manda de su producto es q = D(p) = 5000e−0.02p donde p es el preciounitario en dólares y q relojes digitales. ¿Qué precio debe de fijar elfabricante a cada reloj para maximizar su ingreso? ¿cuál es el valor delcorrespondiente ingreso máximo?

28. La función de costo total asociada a cierto art́ıculo está dada porC(q) = q3−24q2 +350q+400 dólares. Determine el número de art́ıculosque deben de producirse para minimizar el costo marginal. ¿Cuál es elcorrespondiente costo marginal mı́nimo?

29. En un departamento de polićıa se ha determinado que la tasa promediode delitos diarios d(x) en una ciudad, depende del número de polićıas xasignados en cada turno. Espećıficamente, la función que describe estarelación es: d(x) = 200− 5xe−0.02x para 0 ≤ x ≤ 60, determine:

a) El número de polićıas que dará lugar a que la tasa promedio dedelitos diarios en la ciudad se minimice.

b) ¿Cuál esa tasa mı́nima correspondiente de delitos diarios?


30. Se estima que dentro de t años la población de cierto páıs será de:

P (t) =160

1 + 8e−0.01t

millones de personas. ¿Cuándo estará creciendo más rápidamente lapoblación?

31. Un fabricante puede producir calculadoras a un costo de 5 dólares cadauna y estima que si se venden por x dólares cada una, los consumidorescomprarán aproximadamente 1000e−0.1t calculadoras por semana.

a) ¿A qué precio debeŕıa vender el fabricante las calculadoras paramaximizar el beneficio?

b) ¿Cuál es el máximo beneficio?

c) Aproximadamente, ¿cuántas calculadoras se venden al precio in-dicado en a) ?

2.6. Análisis incremental. Aproximación por

diferenciales.

Recuerde que:

∆y ≈ f ′(x)∆x

1. El costo total en dólares de fabricar x unidades de un cierto art́ıculoes:

f(x) = 3x2 + 5x+ 10.

El nivel actual de producción es de 40 unidades. Estime cómo cambiaráel costo total si se producen 40.5 unidades y compare con el cambio real.

2. Se ha proyectado que dentro de t años, la tirada de un periódico localserá de:

c(t) = 100t2 + 400t+ 5000.

Estime la cantidad en que crecerá la tirada en los próximos 6 meses ycompare con el cambio real.

2.6. ANÁLISIS INCREMENTAL. APROXIMACIÓN POR DIFERENCIALES.47

3. Usa diferenciales para aproximar√

99.8. Compare con el valor que pro-porciona tu calculadora.

4. La venta anual de un nuevo video se ajusta a la ecuación V (t) = 3te−t

cientos de dólares donde t es el tiempo en años desde su introduccióny V (t) son las ventas correspondientes:

a) Use diferenciales para estimar un cambio en las ventas durante elsegundo trimestre desde que se inicia la introducción del video.

b) ¿Cuál es el cambio real en las ventas durante ese peŕıodo? Com-pare con el valor anterior.

5. La producción diaria en cierta fábrica es de Q(L) = 900 3√L unidades,

donde L representa el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Normalmente se utilizan 1000 horas-trabajador cada d́ıa.Estime la cantidad de horas-trabajador adicionales necesarias para in-crementar la producción diaria en 15 unidades.

6. El editor de cierto texto estima que si se distribuyen x miles de ejempla-res de corteśıa a los profesores, las ventas serán de V (x) = 20−15e−0.2xmiles de dólares durante el primer año. En la actualidad, el editor pla-nea distribuir 10,000 ejemplares de corteśıa. Estime el aumento en lasventas si se distribuyen 500 ejemplares adicionales y compare con elincremento real en las ventas.

7. Se ha proyectado que dentro de t años, la población de una comunidadsuburbana será de:

P (t) = 20− 6t+ 1

miles de personas.¿Cuánto crecerá aproximadamente la población du-rante el próximo trimestre y cuál es el cambio real?

8. Un estudio de productividad sobre el turno matutino en una ciertamaquiladora indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las8:00 a.m. habrá ensamblado:

Q(x) = −x3 + 6x2 + 15x

televisores x horas después. ¿Cuántos televisores ensamblará realmenteel trabajador enre las 9:00a.m. y las 9:15 a.m.?


9. El costo total de un fabricante es de

C(q) = 0.1q3 − 0.5q2 + 200

miles de pesos, donde q es el número de unidades producidas. El nivel deproducción actual es de 40 unidades, y el fabricante planea disminuirlo a38 unidades. Estime cuánto cambiará el costo total como consecuencia.

10. Se estima que la producción semanal de cierta planta es: Q(x) = −x2 +2100x unidades, donde x es el número de trabajadores empleados en laplanta. Usualmente hay 60 trabajadores empleados en la planta.

a) Estime el cambio en la producción si la fuerza de trabajo se reducea 55 trabajadores

b) Estime el cambio en la producción si la fuerza de trabajo de in-crementa a 62 trabajadores.

11. En cierta fábrica, la producción diaria es de 60K1/2 unidades, donde Krepresenta la inversión de capital medida en unidades de 10,000 pesos.La inversión actual de capital es de 9,000,000 pesos (esto es K = 900).Estime el efecto que una inversión adicional de capital de 8,000 pesostendrá en la producción diaria.

12. En cierta fábrica, la producción diaria es de Q(L) = 3000K1/2L1/3

unidades, donde K representa la inversión de capital de la firma medidaen unidades de 1,000 dólares y L representa la fuerza de trabajo medidaen horas de trabajo. Supongamos que el capital invertido actualmentees de 400,000 dólares y que se usan cada d́ıa 1,000 horas de trabajo.Estime el efecto sobre la producción si la fuerza de trabajo se reduce a940 horas sin modificar el capital invertido.

13. La Secretaŕıa de Finanzas indica que a partir del 2001, el impuestopredial sobre una casa de tres habitaciones es de P (x) = 60x1/2 +40x+ 1200 pesos, donde x se mide en años.

a) Estime el cambio del monto del impuesto predial durante la pri-mera mitad del año 2005.

b) Calcule el incremento real del impuesto predial para el mismoperiodo y compare con la respuesta del inciso anterior.

2.6. ANÁLISIS INCREMENTAL. APROXIMACIÓN POR DIFERENCIALES.49

14. Se estima que el ingreso anual de cierta revista por publicidad será de

R(x) = 0.5x2 + 3x+ 160

millones de pesos cuando su circulación sea de x miles. La circulaciónde la revista es actualmente de 10,000 y está creciendo a un ritmo de2,000 por año. ¿A qué ritmo está creciendo el ingreso por publicidad?

15. Se estima que si se invierten x miles de dólares en publicidad, se ven-derán aproximadamente Q(x) = 50− 40e−0.1x miles de unidades de unautomóvil de edición especial al mes. En la actualidad se invierten 8000dólares en publicidad

a) Estime el aumento en las ventas del primer mes del automóvil,si se invierten 750 dólares adicionales en publicidad publicidad.Interprete su resultado.

b) Calcule el incremento real en la ventas del primer mes, despuésde la inversión adicional en publicidad. Compare con su resultadodel inciso anterior y comente.

16. Una compañ́ıa de deportes ha desarrollado una nueva pelota de golfque promete ser la mejor del mercado. Los analistas afirman que desdeque se inició la campaña de promoción de este art́ıculo deportivo, lasventas se han comportado de acuerdo con la ecuación

S(t) =10

1 + 4e−t

donde t es el tiempo en años desde el inicio de la promoción y S(t) sonlas ventas en miles de dólares.

a) Estime el incremento en las ventas durante el segundo trimestredespués de iniciada la promoción de dicha pelota. Interprete suresultado.

b) Calcule el incremento real en las ventas para el mismo peŕıodo ycompare con el resultado del inciso anterior


2.7. Aproximación de segundo orden

Recuerde que:

∆y ≈ f ′(x)∆x+ 12f ′′(x)(∆x)2

En los siguientes ejercicios, aproxime el valor pedido mediante diferencialesy usando las aproximación de segundo orden. Compare los resultados entreśı y con el valor que ofrece su calculadora.

1.√

48

2. 4√

82

3. (2.012)4

2.8. Diferenciación impĺıcita

1. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) a travésdel punto P0 , si la curva queda impĺıcitamente definida por la relación:

a) 32y = (x3 + y)2 y P0 = (2, 8).

b) 9x2 + 4y2 = 36 y P0 = (√

2, 3√2).

c) x2 − x√xy = 3y − 12 y P0 = (4, 4).(Verifique antes que P0 pertenece a la relación)

2. Hallar la pendiente de la recta que es tangente a la curva x2y3 +8 = 5y3

cuando x = 2.

3. Usando diferenciación impĺıcita, muestre que las rectas tangentes a lascurvas: y2 = 4x3 y 2x2 + 3y2 = 14 en el punto común P0 = (1, 2) sonperpendiculares.

2.8. DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA 51

4. Obtenga dydx

para x = 6 en la relación y3 + 3x2 + 17 = 0 como sigue:

a) Derivando impĺıcitamente.

b) Despejado y luego derivando (El resultado debe ser el mismo queel del inciso anterior).

5. Hallar dydx

por diferenciación impĺıcita.(NOTA: Si y puede despejarseexpĺıcitamente como función de x, derive directamente también y veri-fique que el resultado coincide con el de la diferenciación impĺıcita).

a) 3x+ 4y = 8 (Recta).

b) x2 + y2 = 25 (Circunferencia).

c) x2 + y = x3 + y2.

d) x3 + y3 = 9xy (Folio de Descartes).

e) xy = 1 (Hipérbola equilátera).

f ) y2 + 2xy2 − 3x+ 1 = 0.g) 1

x+ 1

y= 1

h) (2x+ y)3 = x.

i) (x− 2y)2 = y.j ) (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2) (Lemniscata de Bernoulli).k) 4x2 + 9y2 = 36 (Elipse).

6. Determine las coordenadas de los puntos a través de los cuales la curvax2 + y2 = xy + 12 tiene una:

a) Tangente horizontal.

b) Tangente vertical.

7. Muestre que la recta tangente a la curva cuya ecuación es 4y = (y2+x)2

en el punto P0 = (−3, 1) es perpendicular a la recta y = 3x+ 13 .

8. Suponga que x y y representan cantidades de dos materias primasnecesarias para un proceso productivo y que la ecuación:

60x3/4y1/4 = 3240

unidades describe las cantidades x y y para las cuales la producción esde 3240 unidades. Use la derivación impĺıcita para calcular las razonesmarginales cruzadas dy

dxy dx

dyen x = 81 y y = 16.


9. Suponga que la relación de demanda de cierto producto es p+2x+xp =38 en donde x está dado en miles de unidades y p es el precio endólares por unidad. Suponga también que el precio (y en consecuenciala demanda) cambia semanalmente, esto es, p es función del tiempo.¿A qué ritmo está cambiando la demanda cuando x = 4 si el precioestá disminuyendo a razón de 0.40 dólares por semana?

10. Igual que el anterior, pero ahora halle el ritmo de cambio de la demandasi el precio aumenta a razón de 0.20 dólares por semana.

2.9. Diferenciación logaŕıtmica

Recuerde que para diferenciar una función f , por ejemplo:

f(x) = 3√x+ 1

Utilizando el logaritmo natural de f :

ln f(x) =1

3ln(x+ 1)

Aplicando la regla de la cadena:

f ′(x)

f(x)=

1

3(x+ 1)

Resolviendo para f ′(x):

f ′(x) =1

3(x+ 1)3√x+ 1.

2.9. DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA 53

1. Utilizando la diferenciación logaŕıtmica obtenga la derivada de las si-guientes funciones:

a) f(x) = e5x.

b) f(x) = 3e4x+1.

c) f(x) = x2ex.

d) f(x) = xe−x.

e) f(x) = x2 lnx.

f ) f(x) = x ln√x.

g) f(x) = xlnx.

h) f(x) = ex lnx.

i) f(x) = ln e2x.

j ) f(x) = e(lnx+x ln 3x).

k) f(x) = 61+e−x

.

l) f(x) =√

x+1x−1 .

m) f(x) = (x+2)5

(3x−5)6

n) f(x) = 2x.

ñ) f(x) = xx.

2. Elija 8 funciones en el ejercicio anterior, deŕıvelas directamente y com-pruebe que el resultado coincide con el resultado de la diferenciaciónlogaŕıtmica.

3. Calcule f ′(c) usando diferenciación logaŕıtmica si:

a) f(x) = (x+ 1)x + (ex)x y c = 0.

b) f(x) = (x)ex

+ (xe)x y c = 1.

c) f(x) = (x3)1/5

(3x+2)5y c = −1 .

4. Determine dydx

mediante diferenciación logaŕıtmica:

y = xex

+ xx2


5. Determine dydx


f(x) = e2x(1 + x2)x

6. Determine dydx


ex2y = 3xy3

7. Usando diferenciación logaŕıtmica calcule la pendiente de la recta tan-

gente a la gráfica de la función f(x) = (e4−x2 ) 3

√9x−10

(x2−3)4 cuando x = 2.

8. Sea y = xr con r = mn

y m, n números enteros. Use diferenciación

logaŕıtmica para probar que dydx

= rxr−1. (Sugerencia: como y = xm/n

entonces yn = xm. Ahora use diferenciación logaŕıtmica).

9. Obtenga f ′(x) si:

a) f(x) = x2x+1 si x > 0 .

b) f(x) = (ln√x)x si x > 0 .

2.10. Elasticidad de la demanda

Para un art́ıculo dado, sea p el precio por unidad y x el número de unidadesque se adquirirán durante un peŕıodo determinado de tiempo al precio p, ysea x = f(p). La elasticidad de la demanda por lo regular se denota con laletra griega η (eta) y se define como:

η = −px

dx

dp=−pf ′(p)f(p)

.

Note que se deriva con respecto a p. Si R = px representa el ingreso, entoncesse obtiene: dR

dp= x(1−η) y dR

dx= p(1− 1

η). Estas fórmulas permiten determinar

cambios en el ingreso total correspondientes a pequeños cambios de p y de xrespectivamente si se conoce la elasticidad.

2.10. ELASTICIDAD DE LA DEMANDA 55

1. Calcule la elasticidad de la demanda para las relaciones de demandasiguientes:

a) x = 100(5− p).b) x = 50(4−√p).c) x = 200

√9− p.

2. Si la relación de demanda es: x = 1000 − 5p, calcule la elasticidad dela demanda como:

a) p = 5.

b) p = 10.

c) p = 15.

3. En el caso de la relación de demanda:

x

600+

p

12= 1

determine los valores de p y las correspondientes demandas para loscuales:

a) η = −1.b) η = −2.c) η = −2

3.

4. La relación de demanda es x = k(1−p−p2)(k > 0 constante).Determineel valor de p y la correspondiente demanda que haga unitaria a laelasticidad de la demanda.

5. Si la relación de demanda es x2 + p2 = 25 determine la elasticidad dela demanda cuando p = 4.

6. Con respecto a la relación de demanda x2 + px+ p2 = a

a) Calcule la elasticidad de la demanda cuando p = 2 y a = 7.

b) Calcula la elasticidad de la demanda cuando p = 2 y a = 12.


7. Para cualquier función de demanda lineal p = mx + b con m < 0 yb > 0 verifique que la elasticidad de la demanda es:

a) elástica si p > b2.

b) inelástica si p < b2.

c) unitaria si p = b2.

8. La relación de demanda de cierto articulo es x = 27(1− p− p2), dondep es precio en dólares y x las unidades demandadas. Determine a quéprecio p y su correspondiente valor x, la elasticidad de la demanda esunitaria.

9. Sea x2 + p2 = 36 la ecuación de demanda de cierta empresa, donde pes el precio por unidad en dólares y x el número de unidades que seadquieren a ese precio.

a) Determine la elasticidad de la demanda como una función de p.

b) Determine el valor de la elasticidad de la demanda cuando p = 3dólares. A ese precio, ¿qué tipo de elasticidad se tiene?

c) Determine a qué precio la elasticidad es unitaria.

10. Suponga que las unidades demandas q y el precio p en pesos, se rela-cionan mediante la siguiente ecuación lineal de demanda 4p+ q = 480

a) Exprese la elasticidad de la demanda en términos del precio p.

b) Calcule la elasticidad de demanda cuando p = 100 pesos. ¿Quétipo de elasticidad se tiene?

c) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es de p = 40pesos ¿qué tipo de elasticidad se tiene?

11. La relación de demanda de cierto art́ıculo es q − p2 + 30p = 240 dondeq unidades se venden a p dólares cada una. Determine la elasticidad dela demanda cuando p = 12 dólares

2.10. ELASTICIDAD DE LA DEMANDA 57

12. La relación de demanda de cierto producto es p = 10− 0.2√x. Utilice

la elasticidad de la demanda para determinar si un pequeño aumentoen el precio conlleva a un aumento o a una disminución en el ingreso sila demanda es:

a) x = 900.

b) x = 1600.

13. La relación de demanda es x = 500(10 − p). Utilice la elasticidad dela demanda para determinar si un pequeño aumento en la demanda dalugar a un aumento o a una disminución en el ingreso si el precio es:

a) p = 2.

b) p = 6.

Caṕıtulo 3

INTEGRACIÓN

3.1. Integrales indefinidas

1. Calcule las siguientes antiderivadas:

a)∫x3dx

b)∫

2x5dx

c)∫

4√xdx

d)∫

7dx

e)∫

3xdx

f)∫e2xdx

g)∫

(2x5 + 8x3 + 4)dx

h)∫

(√x+ 5√

x− 9

x− 8)dx

i)∫

1+x−x2+x3x2

dx

j)∫

1√t− 2

t+ 3

t2dt

k)∫e5xdx

l)∫e1−xdx

2. Verifique que F (x) = 13x3 +5x+2 es una antiderivada de f(x) = x2 +5.

3. Halle la función cuya tangente tiene una pendiente x3 − 2x2

+ 2 paratoda x 6= 0 y cuya gráfica pasa por el punto (1,3) .

59

60 CAPÍTULO 3. INTEGRACIÓN

4. Encontrar la regla de la función F cuya tangente tiene pendiente 3x2+1para cada valor de x y cuya gráfica pasa por el punto (2,6).

5. Construya un polinomio de grado 3 tal que sea: creciente en (−∞,−2)∪(1,∞) , decreciente en (-2,1), f ′(−2) = 0, f ′(1) = 0 y cuya gráfica pasepor el punto (0,1).

6. Encuentre la regla de una función cuya gráfica tiene un mı́nimo relativocuando x = 1 y un máximo relativo cuando x = 4.

7. Determine un polinomio de grado 3 de tal modo que su gráfica tengaun mı́nimo relativo cuando x = 2 , un máximo relativo cuando x = 4 ,un punto de inflexión si x = 3 y tal que su gráfica pase por el origen.

8. En los siguientes incisos, obtenga la antiderivada pedida. Compruebesus respuestas mediante diferenciación:

a)∫

ex+e−x

2dx

b)∫

(x1/2 + x1/3 + x−1/2)dx

c)∫

(x+ 1x)2dx

d)∫

(x+ 2)3dx

e)∫x(√x+ 1

x2)dx

f)∫x(2x+ 1)2dx

g)∫ex − 4e−x + 3

2e2xdx

h)∫

(2ex − 2e−x)2dx

i)∫

x4−3x3+x+5√x

dx

3.2. Aplicaciones de la integral indefinida

1. Se estima que dentro de x meses la población de una cierta ciudadestará cambiando a un ritmo de 2+5

√x personas por mes. La población

actuales de 5000.

a) ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?

b) ¿Cuánto habrá crecido la población entre el noveno y el trigési-mosexto mes?

3.2. APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 61

2. Se estima que dentro de t meses, la población de cierto municipio cam-birá a razón de 4 + 5t2/3 personas por mes. Si la población actual es de10,000 personas, ¿cuál será la población dentro de 8 meses?

3. Un fabricante considera que el costo marginal de un producto es 6q+ 1dólares por unidad cuando se han producido q unidades. El costo total(incluidos los costos indirectos) de producción de la primera unidad esde 130 dólares. ¿Cuál es el costo total de producción de las primeras10 unidades?

4. El ingreso marginal de una empresa por su producto es

I(x) = 30x1/2 + 4x1/3 dólares:

a) Determine la función de ingreso del producto (Recuerde I(0) = 0).

b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 64 unidades?

5. El beneficio marginal (ingreso marginal menos costo marginal)de unacierta compañia es de 100− 2q dólares por unidad cuando se producenq unidades. Si el beneficio de la compañia es de 700 dólares cuando seproducen 10 unidades, ¿cuál es el mayor beneficio posible dela compañiay a qué nivel de producción alcanza este?

6. El valor de reventa de cierta maquinaria decrece a un ritmo que de-pende del tiempo. Si la maquinaria tiene t años, el ritmo al que estácambiando su valor es de 220(t− 10) dólares por año. Si la maquinariase compró nueva por 12,000 dólares, ¿Cuál será su valor de reventa 10años después?

7. El ingreso marginal de cierta compañ́ıa está dado por: I ′(x) = 10−0.02xdólares cuando se producen x unidades. Determine:

a) La función de ingreso.

b) La relación de demanda.

c) Suponga además que la función de costo está dada por C(x) =5x− 0.005x2 + 1000 dólares. Determine el número de unidades yel precio correspondiente que maximicen la utilidad y mencionacuál es ésta.


8. Se ha proyectado que dentro de t años, la demanda de azúcar refinadade cierto páıs estará cambiando a un ritmo de e0.02t toneladas por año.Si la demanda actual es de 50 toneladas,

a) ¿Cuánta azúcar se consumirá en el páıs en los próximos 10 años?

b) ¿Cuándo se habrá duplicado la demanda inicial?

9. El costo marginal C ′(t) e ingreso marginal I ′(t), por la fabricación yventa de cierto medicamento, están dados por: C ′(t) = 4 + 4t1/3 eI ′(t) = 36 − 4t1/3 , respectivamente. Donde t se mide en meses y C(t)e I(t) en miles de dólares. Determine

a) El tiempo t en el que se obtiene la utilidad máxima (pruebe quees un máximo).

b) El valor de la utilidad máxima correspondiente, si se sabe que alos 27 meses la utilidad es de 466 mil dólares.

10. Cierta epidemia de varicela está creciendo a razón de c′(t) = 4 + 5t3/4

miles de personas contagiadas por semana, donde t es el número desemanas y c(t) el total de personas infectadas. Si el número de personascontagiadas inicialmente es de 28 mil ¿cuántas personas contagiadashabrá a las 16 semanas?

11. Un fabricante determina que, el ingreso marginal por la venta de x uni-dades es de I ′(x) = 100x−1/2 dólares por unidad, mientras que el costomarginal correspondiente por producir x unidades es de C ′(x) = 0.4dólares por unidad. Supón que la utilidad del fabricante por produciry vender 25 unidades es de 520 dólares, determine cuál será la utilidadpor producir y vender 36 art́ıculos.

12. El ingreso marginal de cierta compañ́ıa es de Img = 8− 0.2x miles dedólares cuando se venden x unidades, determine:

a) La función de Ingreso si se sabe que I(0) = 0

b) Si la función de costo total de la compañ́ıa es de C(x) = 4x −0.05x2 + 60 miles de dólares, determine el número de unidadesque maximizan la utilidad de la compañ́ıa

c) Determine el valor de la utilidad máxima, aśı como el precio co-rrespondiente.

3.3. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 63

3.3. Método de sustitución

1. Encuentre la antiderivada indicada utilizando el método de integraciónpor sustitución:

a)∫

(2x+ 6)5dx

b)∫ √

4x− 1dxc)∫

13x+5

dx

d)∫

2xex2−1dx

e)∫x(x2 − 1)5dx

f )∫

2x4

x5+1dx

g)∫

ln 5xxdx

h)∫

1x lnx

dx

i)∫ 2x ln(x2+1)

x2+1dx

j )∫

e2x

1+e2xdx

k)∫

3x(√x2 − 1)dx

l)∫

6x4(2x5 + 3)12dx

m)∫

e√x

√xdx

n)∫

lnxxdx

2. Calcule por medio de una sustitución y cambio de variable.

a)∫x(x+ 1)10dx

b)∫x√x+ 5dx

c)∫

x(x−5)6dx.

d)∫

xx−1dx

e)∫x√x+ 1dx

3. Integre por sustitución

a)∫

1√x4+x3

dx (Sugerencia: factorice x4 y ponga u = 1x

+ 1).

b)∫

1x−√xdx (Sugerencia: factorice

√x y use u =

√x− 1).


4. Calcule las siguientes integrales, se recomienda antes de integrar, resol-ver el cociente de polinomios.

a)∫

6x2−11x+53x−1 dx

b)∫

2x3+3x2+x+22x+1

dx

c)∫

9x2+6x+33x+2

dx

d)∫

3x2−10x+5x−3 dx

e)∫

4x2+9x−4x+2

dx

5. Un árbol ha sido trasplantado y después de x años está creciendo a unritmo de

1 +1

(x+ 1)2

metros por año. Después de 2 años, ha alcanzado una altura de 5 me-tros. ¿Qué altura teńıa cuando fue trasplantado?

6. Se estima que dentro de x años el valor d

Instituto Tecnologico Aut onomo de M...

Documents

Transcript of Instituto Tecnologico Aut onomo de M...