RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

JHON ALEXANDER INSUATICRISTIAN GOMEZALUMNOS

LUZ ENEIDA DAZADOCENTE

GRADO 10-02

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Una rama que revoluciono el arte de la medición.

La trigonometría.

Razones trigonométricas.

Desde hace siglos se han ido conformando las razones trigonométricas de un triangulo con las cuales se comporta la trigonometría, esas razones son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Conformación de un triangulo rectángulo.

Función seno.

Es la función mas utilizada que se expresa a través de la expresión.

GRAFICA DE LA FUNCION SENO

CARACTERISTICAS DE FUNCION SENO

Dominio: R Recorrido: [-1, 1] Período: 2 π rad Continuidad: Continua en   Impar: sen(-x) = -sen x Cortes con el eje OX:  Creciente en:  Decreciente en:  Máximos:  Mínimos:  Impar: sen(-x) = -sen x

INVERSA DE LA FUNSION SENO O

ARCOSENO.

f ( sen( x)) = x

Dominio: { 1, -1}

Rango: {π/2, - π /2}

FUNCION COSENO.

Se define con la expresión:

GRAFICA DE LA FUNCION COSENO

CARACTERISTICAS DE COSENO

Dominio:  R Recorrido: [-1, 1] Período: 2 π rad Continuidad: Continua en   Par: cos(-x) = cos x Cortes con el eje OX:   Creciente en:  Decreciente en:  Máximos:  Mínimos: 

FUNCION ARCOCOSENO

f ( cos( x)) = x

Dominio: { -1, 1}

Rango: { 0, π }

FUNCION TANGENTE.

Se define con la expresión:

GRAFICA DE LA FUNCION TANGENTE

CARACTERISTICAS DE FUNCION TANGENTE Dominio:  Recorrido: R Continuidad: Continua en  Período:  π rad Cortes con el eje OX:   Impar: tan(-x) = tan x Creciente en:números reales  Máximos: No tiene. Mínimos: No tiene.

FUNCION ARCOTANGENTE

Línea roja: arcotangente

f ( tan( x)) = x

Dominio: { -∞, + ∞}

Rango: { -∞, + ∞}

FUNCION COTANGENTE.

Se define con la expresión:

GRAFICA DE LA FUNCION COTANGENTE

CARACTERISTICAS COTANGENTE

Dominio: Recorrido: Numeros Reales Continuidad: Continua en  Período:  π rad Cortes con el eje OX:    Impar: cotg(-x) = cotg x Decreciente en: números reales Máximos: No tiene. Mínimos: No tiene.

FUNCION ARCOCOTANGENTE

Línea verde: arcocotangente

y = cot-1x

Dominio: { +∞, - ∞}

Rango: {-π/2, +π /2}

FUNSION SECANTE.

Se define con la expresión:

FUNCION SECANTE

CARACTERISTICAS DE SECANTE

Dominio:  Recorrido: (- ∞, -1]  [1, ∞) Período: 2 π rad Continuidad: Continua en  Par: sec(-x) = sec x Cortes con el eje OX:    No corta Creciente en:     Decreciente en:  Máximos:  Mínimos: 

FUNCION ARCOSECANTE

y = sec-1x

Dominio: { 1, ∞} o { - ∞,-1}

Rango: {0,π/2} o {π, 3π/2}

FUNSION COSECANTE:

Se define con la expresión:

FUNCION COSECANTE

CARACTERISTICAS DE COSECANTE

Dominio:  Recorrido: (- ∞, -1]  [1, ∞) Período: 2 π rad Continuidad: Continua en Impar: cosec(-x) = -cosec x Cortes con el eje OX:    No corta Creciente en: Decreciente en:  Máximos:  Mínimos: 

FUNSION ARCOCOSECANTE

y = csc-1x

Dominio: { 1, ∞} o { - ∞,-1}

Rango: {0,π/2} o {-π, -π/2}

APLICACIONES.

Estas razones trigonométricas revolucionaron la forma de medir y se han venido utilizando hasta la actualidad en varias ciencias como en la astronomía, geografía, arquitectura para dar datos precisos y hacer mas fácil la idealización de las construcciones y de las representaciones.

APLICACIONES EN LA ASTRONOMIA.

Las razones trigonométricas tienen un papel muy importante en la astronomía para medir distancias entre estrellas, galaxias, cuerpos celestes y otros astros del universo.

APLICACIONES EN LA GEOGRAFIA. En la geografía

también fueron muy importantes para la localización, para la medición de distancias, creación de mapas.

APLICACIONES A LA ARQUITECTURA. Las razones en

este campo también se utiliza para la medición precisa de construcciones que pueden ser un problema a la hora de medir sus dimensiones.

SOLUCION DE PROBLEMAS.

Las razones no las tenemos mucho en cuenta pero son de gran utilidad ya que se acoplan a muchas de las situaciones en que necesitamos mediciones.

Problema 1: un soldado esta en batalla, esta ubicado detrás de un árbol en la base del barranco y su objetivo esta en la cima. El soldado y la cima del barranco forman un ángulo de 38° y a la base del barranco 15m. ¿Cuál es la altura del barranco?

A

a b

C

B c

tan A= a/15m a = 15 tan 38 ° a= 4.654644915

La altura del barranco es de tan solo 4.65 mt.

TRIANGULOS OBLICUANGULOS.

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por los teoremas de seno y de coseno.

TEOREMA DE SENO

En un triangulo cualquiera las razones obtenidos de dividir el seno de un ángulo entre su lado opuesto son iguales.

TEOREMA DE COSENO.

En un triangulo cualquiera el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces el producto de los dos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

Un pintor desea saber las proporciones de una montaña para plasmarlo en una de sus pinturas pero solo sabe que de un lado el ángulo es de 42°, del otro un ángulo de 49° y como base 1400mt.¿hallar la distancia de las pendientes de la montaña?

C

A B

ab

c1400m

42 49

180° -(42° +49°)=91sen 42° / a= sen 49° /b = sen 91° /1400a sen 91° = 1400 sen42°a = 1400* 0.66913060635886 / sen 91°a = 936.782848902404 / 0.99984769515639a= 936.9255472013447mb sen91= 1400 sen 49b= 1400 sen 49° / sen 91°b=1400* 0.75470958022277 /

0.99984769515639b= 1056.593412311878 / 0.99984769515639b= 1056.7543611195824

La pendiente a tiene una longitud de 937 mt y la pendiente b tiene una longitud de 1056.75 mt

Un niño desea recortar un triangulo con las siguientes medidas de los lados: 20cm, 15cm y 30cm. Hallar los ángulos de ese triangulo.

A

B

C

a

b

c

20cm15cm

30cm

20 ₂= 15 ₂+30 ₂-2*15*30 cos A cos A=(15 ₂+30 ₂)-20 ₂ / -

2*15*30 cos A = 1125-400 / -900 cos A= 725/-900 cos A= -0.80555555555556 A= cos -₁ (-0.80555555555556) A= 143.6639424853807° sin 143/ 20= sin B/ 15= sin

C/30 20 sin B = 15 sin 143 sin B = (15* 0.601815)/20 Sin B = 9/20 B= sin -₁(0.45) B= 26.7436° 180-(26+143) C=180-170 C= 10°

Los ángulos del triangulo son: A=143 B=27 C=10

Una mujer esta mirando a su compañero desde una ventana a unos 8m de altura, su compañero esta en un morro a unos 10m de la base del edificio, si la pendiente del morro esta a 32° del suelo, saber la distancia que hay entre la mujer y su compañero.

32°

10m

8m

A

B

C

c

a

b

90 ° -32° =58° a₂= 8 ₂+10 ₂-2*8*10 cos 58° a ₂=164-160 cos 58° a ₂= 164-19.068821672 a ₂= 144.931178328 a = 12.038736575239113m

La distancia a la que están el joven y la mujer es de 12.03m

Un poste averiado, esta a unos 72° del suelo y esta jalando peligrosamente un cable, ¿cual es la longitud del cable si el poste es de 5mt y el cable esta sujeto a unos 19m de la base?.

A B

C

ab

c

La longitud del cable es de 21 mt

180° -72° =108° a ₂= 5 ₂+19 ₂ -2*5*19 cos 108° a ₂= 25+ 361-190* -0.309 a ₂= 386+58.71 a ₂= 444.71 a= 21.088

Nos vamos a comprometer para el proximo año a ser mas responsables a la hora de entregar nuestros trabajos.

Gracias por su

atención.