Integración múltiple - Calculo Vectorial · PDF file1 Notas de clase: Angel...

Integración Integración múltiplemúltiple

Unidad 4:Unidad 4:Unidad 4:Unidad 4:Unidad 4:Unidad 4:Unidad 4:Unidad 4:

Notas de clase: Angel Balderas Puga

INDICEINDICEINDICEINDICE

1. INTEGRALES DOBLES.................................................................................................................................. 1

1.1 Definición de integral doble ....................................................................................................................... 1

1.2 Propiedades de la integral doble ................................................................................................................. 4

2. EVALUACION DE LAS INTEGRALES DOBLES .......................................................................................... 4

2.1 Integrales iteradas ....................................................................................................................................... 5

3. INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES ............................................................................ 7

4. AREA SUPERFICIAL ..................................................................................................................................... 9

5. INTEGRALES TRIPLES................................................................................................................................ 10

5.1 Definición de integral triple...................................................................................................................... 10

5.2 Masa y carga ............................................................................................................................................. 10

5.3 Evaluación de integrales triples ................................................................................................................ 13

6. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS................................................................... 14

6.1 Coordenadas cilíndricas............................................................................................................................ 14

6.2 Evaluación de integrales triples en coordenadas cilíndricas..................................................................... 15

7. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS....................................................................... 15

7.1 Coordenadas esféricas............................................................................................................................... 15

7.2 Evaluación de integrales triples en coordenadas esféricas........................................................................ 17

8. MOMENTOS Y CENTROS DE GRAVEDAD ............................................................................................... 18

1


Unidad 4: INTEGRALES MULTIPLES

INTRODUCCIÓNEn esta unidad generalizaremos ahora otro de los conceptos básicos del Cálculo de una variable: el concepto

de integral, concepto que extenderemos a funciones de varias variables, para este tipo de funciones existenbásicamente 4 tipos de integrales: dobles, triples, de superficie y de línea. Los dos primeros tipos los veremos enesta unidad y los otros dos en la siguiente.

Nuestra definición de integral definida para una función f de una variable continua en un intervalo [a,b], fueintroducida para resolver problemas relativos a áreas, superficies, volúmenes, trabajo desarrollado por una fuerzavariable en la dirección del movimiento, etc.. A pesar de que las integrales definidas se usan para resolver aúnotro tipo de problemas (centros de masa, presiones de líquidos, intensidades de corriente, etc.) fue muy cómodoutilizar nuestra primera interpretación como área debajo de una curva para intuir y justificar sus propiedades.

En esta unidad veremos como las integrales de funciones de dos y tres variables nos permitirán obtener áreasde regiones más complicadas, volúmenes de muchos tipos de sólidos y masas y centros de gravedad de objetosbi y tridimensionales.

1. INTEGRALES DOBLES

1.1 Definición de integral dobleSeguramente recordarás como fue que utilizamos el método de

los límites para determinar el área de la región determinada por lagráfica de una función f:[a,b]→→→→RRRR continua y positiva ,el eje X y lasrectas verticales x=a y x=b.

Esencialmente desarrollamos los siguientes 4 pasos: Figura 1

paso 1: Se la partimos al intervalo [a,b] (es decir, hicimos una partición P del intervalo [a,b], en n subintervalosde la misma longitud (aunque esto lo hicimos más que nada para simplificar cálculos ya que no es estrictamentenecesario pues cada subintervalo podía tener una longitud diferente)

paso 2: Para cadasubintervalo ∆∆∆∆i tomamos unpunto cualquiera xi .

paso 3: Consideramos lassumas de Riemann:

∑∑∑∑====

n

i 1

f(x i) ∆∆∆∆i (1)

Figura 2 Figura 3

Recordarás también que cada uno de los términos de las sumas de Riemann representa el área de un rectángulode base ∆∆∆∆i y altura f(xi) y que la suma respectiva aproximaba al área buscada.

2 Integrales múltiples


paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriorescuando Ai→→→→0 (esto equivale a decir que "la norma dela partición P tiende a 0") y establecimos que

a

b∫∫∫∫ f(x)dx = limi∆∆∆∆ →→→→0

i

n

====∑∑∑∑

1 f(x i) ∆∆∆∆i (2)

El procedimiento anterior lo podemos generalizar parael caso de funciones de dos variables f(x,y) continuasen una cierta región del plano R y nuestra definición deintegral doble estará motivada por medio de ciertaspropiedades elementales que intuitivamente sabemosque tienen los volúmenes.

Figura 4

Sea f:R⊂⊂⊂⊂ RRRR2→→→→RRRR+ una función continua y positiva (es decir, que su gráfica se halla toda arriba del plano XY).

Sea D el sólido limitado por arriba por lagráfica de f, por abajo por el plano XY y por loslados por la superficie vertical que pasa a travésde la frontera de R.

Dicho sólido está representado en la Figura5: la región R es el rectángulo de vérticesOLQM y representa la parte del dominio de lafunción donde queremos trabajar, la gráfica de ffunciona como "techo" del sólido, el plano XYcomo "piso" y los planos verticales que pasanpor la frontera de R como las "paredes".

Figura 5 Figura 6

Si la función es constante no tenemos ningún problema para calcular el volumen de dicho sólido, porejemplo en la Figura 6 hay una representación de la función f(x,y)=4 en el rectángulo [1,3]××××[2,5] y su volumenestá dado por la fórmula V=Ah.

Consideremos ahora el problema de determinar el volumen de D (normalmente, a este volumen lellamaremos el volumen V entre f y R).

Una suposición básica es que R es un rectángulo (más adelante consideraremos el caso general usando losresultados de esta suposición).

De acuerdo con el método de los límites, lo que tenemos que hacer es hallar una serie de aproximacionessucesivas a V cada una de las cuales debe ser mejor que la precedente y recuerda que podemos comenzar conuna aproximación que sea muy burda, basta que sea susceptible de irla mejorando continuamente.

La idea central es la de obtener el volumen de D como la suma de los volúmenes de una serie deparalelepipeditos.

Repetimos los pasos hechos en Cálculo I con las necesarias modificaciones:

Integrales múltiples 3


paso 1: Se la partimos al rectángulo R (es decir, hacemos unapartición P del rectángulo R en n subrectángulos de la mismaárea (aunque esto lo hacemos más que nada para simplificarcálculos ya que no es estrictamente necesario pues cadasubrectángulo puede tener una diferente área). Ve la Figura 7.

paso 2: Para cada subrectángulo Ri sea ∆∆∆∆Ai el área de Ri ytomamos un punto cualquiera (xi,yi)∈∈∈∈ Ri.

Para cada subrectángulo Ri vamos a considerar el paralelepípedode base Ri y altura hi=f(xi,yi) (ve la Figura 8) y calculamos suvolumen que sería Vi=f(xi,yi) ∆∆∆∆Ai (ve la Figura 9).

Figura 7

Figura 8 Figura 9

paso 3: Consideramos las sumas de Riemann:i

n

====∑∑∑∑

1 f(xi,yi) ∆∆∆∆Ai (3)

(estas sumas aproximan el volumen total de D pues representan la suma de los volúmenes de todos losparalelepipeditos)

paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores cuando Ai→→→→0 (esto equivale a decir que "la norma de la

partición P tiende a 0") y establecemos que V= limAi∆∆∆∆ →→→→0

i

n

====∑∑∑∑

1 f(xi,yi) ∆∆∆∆Ai (4)

Consideremos ahora el caso más general de una región R cualquierapero que esté acotada, es decir, que exista un rectángulo R' que lacontenga (ve la Figura 10), podemos utilizar los resultadosanteriores usando la función g(x,y) definida en R' de la siguientemanera:

g(x,y) =

∉∉∉∉∀∀∀∀∈∈∈∈∀∀∀∀

RyxRyxyxf

),(0),(),(

como g está definida en un rectángulo, entonces valen nuestrosresultados y es claro que el volumen entre f y R coincide con elvolumen entre g y R.

Después de nuestro análisis, podemos dar la siguiente definición.Figura 10



DEFINICION 1 (integral doble)

Dada la función f:R⊂⊂⊂⊂ RRRR2→→→→RRRR+ (es decir, f(x,y)≥≥≥≥0 ∀∀∀∀ (x,y)∈∈∈∈ R), donde R es una región acotada y f es continua en R,se dice que f es INTEGRABLE EN R si y sólo si existe

limAi∆∆∆∆ →→→→0

i

n

====∑∑∑∑

1 f(xi,yi) ∆∆∆∆Ai

en ese caso, para representar a ese límite usaremos la notaciónR∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA

a ese límite se le dice INTEGRAL DOBLE de f sobre R.

De acuerdo a lo anterior, el volumen V entre f y R está dado por: V=R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA (5)

1.2 Propiedades de la integral dobleEn esta parte extenderemos toda una serie de propiedades de las integrales dobles análogas a las propiedades

de la integral definida para funciones de una variable, comenzamos por extender el concepto de integral doble alas funciones negativas y en este caso la definición 2 es evidente pues se trata de un sólido análogo al sólido Dconsiderado en el punto anterior sólo que "de cabeza" por lo que el volumen es el mismo (en este caso, el pisoestá dado por la gráfica de f y el techo por el plano XY).

DEFINICION 2 (integral doble de funciones negativas)

Dada la función f:R⊂⊂⊂⊂ RRRR2→→→→RRRR−−−− (es decir, f(x,y)≤≤≤≤0 ∀∀∀∀ (x,y)∈∈∈∈ R), donde R es una región acotada y f es continua en R,entonces:

R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA =

R∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−− f(x,y) dA

Ahora enunciamos varias propiedades en el teorema 1 en donde se supone que todas las regiones y lasfunciones son tales que las integrales indicadas existen.

TEOREMA 1

1) R∫∫∫∫∫∫∫∫ (f+g)(x,y) dA =

R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA +

R∫∫∫∫∫∫∫∫ g(x,y) dA 2)

R∫∫∫∫∫∫∫∫ (cf)(x,y) dA = c

R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA

3) Si f(x,y)≤≤≤≤ g(x,y), entonces R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA ≤≤≤≤

R∫∫∫∫∫∫∫∫ g(x,y) dA

4) Si R es la unión de dos regiones R1 y R2 que no se sobreponen ni setraslapan (ve la figura de la derecha), entonces:

R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA =

R1

∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA + R2

∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA

Figura 11

2. EVALUACION DE LAS INTEGRALES DOBLESEs prácticamente imposible, salvo en casos verdaderamente excepcionales, evaluar una integral doble

utilizando las sumas de Riemann, el siguiente ejemplo te dará una idea de la complejidad de tales cálculos. Nosólo es complejo evaluar una integral doble usando su definición sino que también sucede que existen regionesen las que no toda función continua es integrable por lo que sólo consideraremos dos tipos particulares deregiones en las que toda función continua es integrable y para las cuales se cuenta con un método directo paraevaluar integrales dobles.



DEFINICION 3 (regiones simples)1) Una región plana R se dice VERTICALMENTE SIMPLE (o REGION TIPO I) si existen dos funcionescontinuas g1 y g2 en un intervalo [a,b] tales que g1(x)≤≤≤≤g2(x) ∀∀∀∀ x∈∈∈∈ [a,b] y tal que R es la región entre las gráficasde g1 y g2 en [a,b].

2) Una región plana R se dice HORIZONTALMENTE SIMPLE (o REGION TIPO II) si existen dos funcionescontinuas h1 y h2 en un intervalo [c,d] tales que h1(y)≤≤≤≤h2(y) ∀∀∀∀ y∈∈∈∈ [c,d] y tal que R es la región entre las gráficas deh1 y h2 en [c,d].

3) Una región plana R se dice SIMPLE si es al mismo tiempo del tipo I y del tipo II.

Figura 12: Región verticalmente simple Figura 13: Región horizontalmente simple Figura 14: Región simple

Como ejercicio, determina de que tipo son las siguientes regiones (simples, verticalmente simples,horizontalmente simples o ninguna de las anteriores)

Figura 15 Figura 16 Figura 17 Figura 18

2.1 Integrales iteradasConsideremos una función f(x,y) continua en una

región rectangular R=[a,b]×[c,d], si x se mantieneconstante y variamos y, entonces f(x,y) es unafunción de la sola variable y y por lo tanto tienesentido evaluar

c

d∫∫∫∫ f(x,y)dy (6)al hacer esto se dice que se está haciendo unaintegración parcial con respecto a y en ese caso acada x∈ [a,b] le corresponde un valor único de dichaintegral por lo queda automáticamente determinada lafunción

A(x) = c

d∫∫∫∫ f(x,y)dy (7) Figura 19



Análogamente, si y se mantiene constante y variamos x, entonces f(x,y) es una función de la sola variable x y por

lo tanto tiene sentido evaluara

b∫∫∫∫ f(x,y)dx al hacer esto se dice que se está haciendo una integración parcial con

respecto a x y en ese caso, a cada y∈ [c,d] le corresponde un valor único de dicha integral por lo quedaautomáticamente determinada la función

B(y) = a

b∫∫∫∫ f(x,y)dx (8)

Se puede probar que las funciones A(x) y B(y) son continuas en sus respectivos dominios por lo que tienesentido entonces integrar con respecto a sus respectivas variables y evaluar:

a

b∫∫∫∫ A(x)dx =a

b∫∫∫∫ f x y dyc

d( , )∫∫∫∫

dx y

c

d∫∫∫∫ B(y)dy =c

d∫∫∫∫ f x y dxa

b( , )∫∫∫∫

dy

lo que justifica la siguiente definición.

DEFINICION 4 (integrales dobles iteradas)

las integrales a

b∫∫∫∫ c

d∫∫∫∫ f(x,y)dydx =a

b∫∫∫∫ f x y dyc

d( , )∫∫∫∫

dx y

c

d∫∫∫∫ a

b∫∫∫∫ f(x,y)dxdy = c

d∫∫∫∫ f x y dxa

b( , )∫∫∫∫

dy

reciben el nombre de INTEGRALES DOBLES ITERADAS.

Puede probarse que en el caso de que f sea continua, las dos integrales iteradas señaladas en la definiciónanterior, son iguales por lo que no importa el orden en el que integremos.

Ahora extenderemos la definición anterior para el caso de regiones simples.

DEFINICION 5 (integrales dobles iteradas sobre regiones simples)

Para regiones del tipo I se tiene quea

b∫∫∫∫ g x

g x

1

2

( )

( )∫∫∫∫ f(x,y) dydx =a

b∫∫∫∫ f x y dyg x

g x( , )

( )

( )

1

2∫∫∫∫ dx

y para regiones del tipo II se tiene que:c

d∫∫∫∫ h y

h y

1

2

( )

( )∫∫∫∫ f(x,y) dxdy =c

d∫∫∫∫ f x y dxh y

h y( , )

( )

( )

1

2∫∫∫∫ dy

Bonaventura Cavalieri(1598-1647)

El matemático italiano BonaventuraCavalieri dedicó gran parte de su trabajoal cálculo de volúmenes y hay unprincipio que lleva su nombre y que enesencia dice lo siguiente:

"podemos calcular el volumen de unsólido partiéndolo en rebanadastransversales, calculando el volumen decada rebanada y luego sumando dichosvolúmenes" (ve la figura de al lado).

Figura 20Naturalmente, la mejor aproximación la podemos lograr haciendo que las rebanadas tengan el menor espesorposible y esto se logra considerando rebanadas que en realidad son secciones transversales del sólido (ve lafigura).

Con lo que hemos visto hasta ahora, finalmente, podemos ya enunciar el teorema que nos permitirá evaluarintegrales dobles sobre regiones simples usando integrales iteradas.



TEOREMA 2 (teorema de Fubini)

1) Sea R una región del tipo I. Si f es una función continua en R, entonces:R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA=

a

b∫∫∫∫ g x

g x

1

2

( )

( )∫∫∫∫ f(x,y) dydx

2) Sea R una región del tipo II. Si f es una función continua en R, entonces:R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA=

c

d∫∫∫∫ h y

h y

1

2

( )

( )∫∫∫∫ f(x,y) dxdy

3) Si R es una región simple y si f es una función continua en R, entonces:

R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA =

a

b∫∫∫∫ g x

g x

1

2

( )

( )∫∫∫∫ f(x,y)dydx = c

d∫∫∫∫ h y

h y

1

2

( )

( )∫∫∫∫ f(x,y) dxdy

En la aplicación del teorema para la evaluación de integrales dobles debes tener cuidado de esquematizar laregión R y determinar su frontera, de tal manera que puedas identificar el tipo de región y los límites deintegración.

En el caso de las regiones simples, puede ser que una de las dos integrales sea muy difícil de calcular oincluso !imposible de hacerlo! por lo que con cuidado se puede invertir el orden de integración. La integraciónsobre regiones R más generales puede llevarse a cabo siempre y cuando R se pueda descomponer en regionessimples R1, R2,..., Rn y tales que Ri y Rj sólo tengan en común los puntos de su frontera y en ese caso:

R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA =

R1

∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA + R2

∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA +…+ Rn

∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA (9)

Con un pequeño truco, las integrales dobles pueden servirnos también para calcular áreas de regiones planas,basta considerar poner:

A = R∫∫∫∫∫∫∫∫ 1 dA (10)

3. INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARESYa vimos en la Unidad I que ciertas regiones del plano XY, tales como círculos, cardioides o lemniscatas se

pueden describir más fácilmente en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares por lo que también elcalcular integrales dobles sobre dichas regiones se simplifica usando tales coordenadas.

Nuestro problema sigue siendo el problema de dada una región R (ahora en coordenadas polares) determinarel volumen V del sólido D limitado por arriba por la gráfica de una función f de dos variables, por abajo por elplano XY y por los lados por la superficie vertical que pasa a través de la frontera de R.

El tipo de región sobre la que debemos integrar en coordenadas polares se puede describir de la siguientemanera:

Supongamos que las funcionespolares h1 y h2 son continuas en elintervalo [αααα,ββββ], donde 0≤≤≤≤ββββ−−−−αααα≤≤≤≤2ππππ ytales que 0≤≤≤≤h1(θθθθ)≤≤≤≤h2(θθθθ) paraαααα≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ββββ, sea R la región del planocuya frontera está determinada porlas rectas θθθθ=αααα, θθθθ=ββββ y las gráficaspolares de r=h1(θθθθ) y r=h2(θθθθ), en esecaso decimos que R es la regiónentre las gráficas polares de h1 y h2

en [αααα,ββββ] (ve la Figura 21). Figura 21: región polar Figura 22

La región antes descrita no tiene por que ser del tipo I o del tipo II.



Ahora suponemos -para simplificar- que nuestra región R sobre la que queremos integrar es una regióndelimitada por arcos de circunferencia con centro en el origen y por dos rectas que salen del mismo punto (másadelante consideraremos el caso general usando los resultados de esta suposición). En este caso, nuestra figuraelemental para hacer la partición de una región R dada en coordenadas polares no será un rectángulo sino unaregión elemental como la descrita en el párrafo anterior (ve la Figura 22).

Y ahora repetimos nuestros famosos 4 pasos con las necesariasmodificaciones:

paso 1: Partimos la región R con una retícula radial (es decir, hacemosuna partición P de la región R en n subregiones con el mismo ángulo deamplitud (aunque esto lo hacemos más que nada para simplificarcálculos ya que no es estrictamente necesario pues cada subregión puedetener una diferente amplitud).

paso 2: Para cada subregión Ri sea ∆∆∆∆Ai el área de Ri (en ese caso sitomamos el punto (ricosθθθθi, risenθθθθi)∈∈∈∈ Ri con los valores medios de r y deθθθθ, entonces ∆∆∆∆Ai=ri ∆∆∆∆ri ∆∆∆∆θθθθi (ve la gráfica de la derecha). Figura 23

paso 3: Consideramos las sumas de Riemann: i

n

====∑∑∑∑

1 f(ri cosθθθθi , ri senθθθθi) ∆∆∆∆Ai (11)

paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores cuando Ai→→→→0 y establecemos que

V = limAi∆∆∆∆ →→→→0

i

n

====∑∑∑∑

1 f(ri cosθθθθi , ri senθθθθi) ri ∆∆∆∆ri ∆∆∆∆θθθθi (12)

Por otro lado, podemos observar que la región R corresponde a una región simple S en el plano rθθθθ y entoncescada subregión Ri corresponde a un subrectángulo Si en S por lo que identificamos el límite anterior con la doble

integral S∫∫∫∫∫∫∫∫ f(r cosθθθθ, r senθθθθ) r dA , pero desde el momento que S es simple, entonces:

S∫∫∫∫∫∫∫∫ f(r cosθθθθ, r senθθθθ) r dA =

αααα

ββββ∫∫∫∫ h

h

1

2

( )

( )

θθθθ

θθθθ∫∫∫∫ f(r cosθθθθ, r senθθθθ) r dr dθθθθ (13)

Si consideramos ahora el caso más general de una región R en coordenadas polares cualquiera pero que estéacotada, es decir, que exista una región R' entre dos arcos de circunferencia que la contenga, podemos utilizarlos resultados anteriores usando la función g(x,y) definida en R' de la siguiente manera:

g(x,y) = f x y x y R

x y R( , ) ( , )

( , )∀∀∀∀ ∈ ∈∈∈

∀∀∀∀ ∉ ∉∉∉

0

(14)

como g está definida en una región entre dos arcos circulares, entonces valen nuestros resultados y es claro queel volumen entre f y R coincide con el volumen entre g y R.

Sintetizamos nuestra discusión anterior en el siguiente teorema que nos permitirá evaluar integrales dobles encoordenadas polares usando también integrales iteradas.

TEOREMA 3 (integrales dobles en coordenadas polares)

Dadas las funciones continuas h1,h2:[αααα,ββββ]→→→→RRRR, donde 0≤≤≤≤ββββ−−−−αααα≤≤≤≤2ππππ y tales que 0≤≤≤≤h1(θθθθ)≤≤≤≤h2(θθθθ) para αααα≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ββββ, sea R laregión entre las gráficas polares de r=h1(θθθθ) y r=h2(θθθθ), para αααα≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ββββ. Si f es continua en R, entonces:

R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y) dA =

αααα


h

1

2

( )

( )

θθθθ

θθθθ∫∫∫∫ f(r,θθθθ) r dr dθθθθ

En el caso de que f sea una función dada en coordenadas polares f(r,θθθθ), puede probarse que:

R∫∫∫∫∫∫∫∫ f(r,θθθθ) dA =

αααα


h

1

2

( )

( )

θθθθ

θθθθ∫∫∫∫ f(r,θθθθ) r dr dθθθθ



4. AREA SUPERFICIALRecordarás que en tu curso anterior de Cálculo viste fórmulas para la obtención de la superficie de un sólido

de revolución pero no se hizo un análisis sobre sólidos más generales, en esta parte veremos como las integralesdobles juegan un papel preponderante en la solución de este problema.

Consideremos una función f continua, positiva y definida sobre una región R tipo I o tipo II en el plano XY ytal que f tenga parciales continuas en R. Sea G la gráfica de f en R y nos interesa obtener el área S de G. Yasabemos que podemos tranquilamente suponer que R es un rectángulo ya que si no lo es tomamos un rectánguloR' que la contenga y sustituimos f por una función g adecuada para extender nuestros resultados.

Y ahora como era de esperarse volvemos a repetir los famosos 4 pasos con las necesarias modificaciones:

paso 1: Se la partimos al rectángulo R.

paso 2: Para cada subrectángulo Ri sean ∆∆∆∆xi y ∆∆∆∆yi las longitudes delos lados y tomamos un punto cualquiera (xi,yi,0)∈∈∈∈ Ri y sea Pi(xi,yi,f(xi,yi)) el punto correspondiente en G. Consideremos ahora el planotangente a G en Pi y sean ∆∆∆∆Ti y ∆∆∆∆Si las áreas de las regiones en elplano tangente y en G (Qi y Si en la figura de la derecha,respectivamente) y dado que el plano tangente es el plano que mejoraproxima localmente a G. ∆∆∆∆Ti es la mejor aproximación a ∆∆∆∆Si quepodemos hacer.

paso 3: Consideramos las sumas:i

n

====∑∑∑∑

1 ∆∆∆∆Ti

Figura 24

Ahora lo que necesitamos es obtener una fórmula que nos permita obtener el valor de cada ∆∆∆∆Ti.Cortemos a G en Pi con dos planos paralelos a los planos XZ y YZ. Los vectores T1i=i+fx(xi,yi)k y

T2i=j+fy(xi,yi)k son tangentes a las trazas obtenidas (ve la nota 10 de la definición 13 de la unidad III) por lo quepertenecen al plano tangente en Pi por lo que podemos usar a los vectores

∆∆∆∆xi T1i =∆∆∆∆xi [i + fx(xi, yi) k] y ∆∆∆∆yi T2i =∆∆∆∆yi [j + fy(xi, yi) k]

para determinar el área de Qi, ∆∆∆∆Ti = ||∆∆∆∆xi T1i ×××× ∆∆∆∆yi T2i ||, de donde

∆∆∆∆Ti = [ ( , )] [ ( , )]f x y f x yx i i y i i2 2 1++++ ++++ ∆∆∆∆Ai (15)

paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores cuando ∆∆∆∆Ai→→→→0 y establecemos que:

S = limAi∆∆∆∆ →→→→0

i

n

====∑∑∑∑

1 [ ( , )] [ ( , )]f x y f x yx i i y i i

2 2 1++++ ++++ ∆∆∆∆Ai (16)

de donde identificamos que en el lado derecho de la anterior igualdad aparece el límite de una suma de Riemannque aproxima a

S = R∫∫∫∫∫∫∫∫ [ ( , )] [ ( , )]f x y f x yx y

2 2 1++++ ++++ dA

por lo que después de nuestro análisis, podemos dar la siguiente definición:

DEFINICION 6 (área superficial)

Sea R una región tipo I ó tipo II y sea f una función con derivadas parciales continuas en R. Si G es la gráfica def en R, entonces el área superficial S de G se define de la siguiente manera:

S = R∫∫∫∫∫∫∫∫ [ ( , )] [ ( , )]f x y f x yx y

2 2 1++++ ++++ dA

Esta fórmula sirve también en el caso que f sea una función negativa en R. Por lo general es usualmenteimposible obtener el área superficial usando la fórmula de la definición aunque en algunos casos es posible.



5. INTEGRALES TRIPLES

5.1 Definición de integral tripleUn proceso análogo al de las integrales dobles se puede llevar a cabo para definir una integral triple para

funciones de varias variables, en ese caso la función ya no estaría definida en una región R del plano XY sino enun sólido D del espacio.

Las integrales múltiples no sólo se usan para definir y para calcular áreas y volúmenes sino que tienen granaplicación en muchos otros problemas, por ejemplo para definir y evaluar momentos de inercia de un cuerpo,centros de gravedad de regiones planas y sólidas, masa de un cuerpo, y carga total de una partícula.

En esta parte sólo veremos algunas aplicaciones que no requieren de conceptos de Cálculo I y de Física queseguramente no viste.

5.2 Masa y cargaDe acuerdo con la teoría molecular de la materia, cualquier pedazo de materia es simplemente una colección

de moléculas por lo que su masa es igual a la suma de las masas de sus moléculas. Sin embargo, sus moléculasson tan numerosas que no lograríamos contarlas y hallar una suma de ese tipo desafía incluso a las computadorasmás modernas.

Para poder calcular la masa de un cubo de hielo o de una viga de acero es necesario idealizar la masa ypensarla como si estuviera "extendida" a través de todo el objeto y no sólo localizada en sus moléculas.

Si la masa m de un objeto se distribuye uniformemente u homogéneamente a través del objeto y el volumenV del objeto no es cero, entonces la DENSIDAD DE MASA δδδδ del objeto se define por la ecuación:

δδδδ = mV

(17)

y esta ecuación se aplica a cualquier objeto no sólo a un cubo de hielo o una viga de acero o de madera sinoincluso a líquidos.

En cambio si por ejemplo, consideramos un cubo de naranjada congelada. Debido a los asentamientos, laporción inferior del cubo probablemente será más pesada que la parte superior en cuyo caso la masa no sedistribuye homogéneamente a través del cubo.

Para el caso de objetos no homogéneos D es necesario entonces describir la masa para sus diferentes partes loque nos lleva a hacer un análisis local para definir la densidad de masa en un punto:

δδδδ(x,y,z)= limV∆∆∆∆ →→→→0

∆∆∆∆∆∆∆∆

mV

(18)

donde ∆∆∆∆m es la masa y ∆∆∆∆V es el volumen de un paralelepípedo con centro en (x,y,z) y donde ∆∆∆∆V representa ala mayor dimensión del paralelepípedo.

Nuestra suposición de que la masa se distribuya a lo largo de todo el sólido D se formaliza con la suposiciónde que la función δδδδ sea continua en D. Bajo esta hipótesis los científicos están en posibilidades de describirmuchos fenómenos físicos con una muy buena exactitud.

Consideremos entonces un sólido D de masa no homogénea del cual conocemos la función densidad de masaδδδδ(x,y,z) y nos ponemos el problema de determinar su masa total.

Y a estas alturas ya estás hasta las chanclas con los famosos 4 pasos pero ni modo tenemos que volverlos ausar con las necesarias modificaciones:



Figura 25 Figura 26

paso 1: Consideremos ahora un paralelepípedo D' que contenga a D y hagamos una partición P de D' enparalelepipeditos numerados de tal manera que D1, D2,..., Dn sean los paralelepipeditos contenidos totalmente enD mientras que Dn+1, Dn+2,..., Dp son los paralelepipeditos que sólo parcialmente están contenidos en D y sea funa función continua en D.

paso 2: Para cada subsólido Di sea (xi , yi ,zi ) un punto cualquiera de Di y ∆∆∆∆Vi el volumen de Di.Entonces δδδδ(xi , yi ,zi ) ∆∆∆∆Vi aproxima a ∆∆∆∆mi y como la masa m está dada aproximadamente por ∆∆∆∆m1 + ∆∆∆∆m2 +...+∆∆∆∆mn entonces:


n

====∑∑∑∑

1δδδδ(xi , yi ,zi ) ∆∆∆∆Vi (19)

paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores cuando ∆∆∆∆Vi →0: limVi∆∆∆∆ →→→→0 i

n

====∑∑∑∑

1δδδδ(xi , yi ,zi ) ∆∆∆∆Vi (20)

Consideremos ahora otro problema que nos conduce al mismo tipo de límite.

Si un objeto tal como una bola de cobre tiene una distribución homogénea de carga eléctrica (eso quiere decirque dadas dos porciones cualquiera del objeto que tengan el mismo volumen entonces tienen la misma carga),entonces se define LA DENSIDAD DE CARGA ρρρρ del objeto como

ρρρρ=Vq (21)

donde q es la carga del objeto y V su volumen. Si un objeto no tiene una distribución homogénea de cargaentonces en cualquier punto (x,y,z) se define su densidad de carga como

ρρρρ(x ,y ,z) = limV∆∆∆∆ →→→→0

∆∆∆∆∆∆∆∆

qV

(22)

donde ∆∆∆∆q es la carga y ∆∆∆∆V es el volumen de un paralelepípedo con centro en (x,y,z) y donde ∆∆∆∆V representa a lamayor dimensión del paralelepípedo.

Con una argumentación similar al caso anterior tenemos que la CARGA TOTAL q en un objeto cargadoeléctricamente está dada por



limVi∆∆∆∆ →→→→0

i

n

====∑∑∑∑

1ρρρρ(xi, yi, zi)∆∆∆∆Vi (23)

Un tercer problema que da origen al concepto de integral triple es el siguiente:

Consideremos una región R tipo I ó tipo II en el plano XY y sean F1 y F2 dos funciones continuas en R talesque

F1(x,y) ≤≤≤≤ F2(x,y) ∀∀∀∀ (x,y)∈∈∈∈ R

sea D el sólido determinado por todos los puntos (x,y,z) tales que (x,y)∈∈∈∈ R y F1(x,y) ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤ F2(x,y)

a ese sólido se le llama sólido entre las gráficas de F1 y F2 en R. Y pensemos en una función f(x,y,z) definida encada punto de D.

Hay van otra vez los cuatro pasos:

paso 1: Consideremos ahora un paralelepípedo D' que contenga a D y hagamos una partición P de D' enparalelepipeditos numerados de tal manera que D1, D2, ... , Dn sean los paralelepipeditos contenidos totalmenteen D mientras que Dn+1, Dn+2, ... , Dp son los paralelepipeditos que sólo parcialmente están contenidos en D y seaf una función continua en D.

paso 2: Para cada subsólido Di sea (xi, yi, zi) un punto cualquiera de Di y ∆∆∆∆Vi el volumen de Di.


n

====∑∑∑∑

1∆∆∆∆Vi (24)

paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores cuando ∆∆∆∆Vi →0: limVi∆∆∆∆ →→→→0

i

n

====∑∑∑∑

1∆∆∆∆Vi (25)

y este último límite es de la forma limVi∆∆∆∆ →→→→0

i

n

====∑∑∑∑

1f(xi, yi, zi) ∆∆∆∆Vi con f(xi, yi, zi)=1

los tres problemas anteriores nos conducen a la misma operación sobre una función de tres variables lo quesugiere la siguiente definición.

DEFINICION 7 (integral triple)Sea D una región sólida. Si f es continua en D definimos la INTEGRAL TRIPLE de f en D como:

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y,z) dV = lim

Vi∆∆∆∆ →→→→0

i

n

====∑∑∑∑

1f(xi, yi, zi)∆∆∆∆Vi

entonces, de acuerdo a la definición, dado un sólido no homogéneo D, su masa m y su carga eléctrica q estándadas por:

m=D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ δδδδ(xi, yi, zi ) dV y q=

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ(x ,y ,z) dV



5.3 Evaluación de integrales triplesEn general, las sumas de Riemann no son muy efectivas a la hora de evaluar integrales triples, una vez más,

las integrales iteradas (en esta ocasión tres integrales consecutivas) nos proporcionan un método de evaluacióncomo se señala en el siguiente teorema.

TEOREMA 4 (evaluación de integrales triples)

Sea D la región sólida entre las gráficas de dos funciones continuas F1 y F2 en una región R tipo I o tipo II en elplano XY. Si f es continua en D entonces:

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x, y, z) dV=

R∫∫∫∫∫∫∫∫ [ f x y z dz

F x y

F x y( , , )

( , )

( , )

1

2∫∫∫∫ dA]

Evaluamos f x y z dzF x y

F x y( , , )

( , )

( , )

1

2∫∫∫∫ integrando con respecto a z y manteniendo constantes a x y a y y luego

integramos la integral doble sobre R como ya sabemos hacerlo.

Si R es una región tipo I entre las gráficas de g1 y g2 en [a,b], se evalúa la integral doble usando el teorema deFubini y obtenemos:

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x, y, z) dV=

a

b∫∫∫∫ [ g x

g x

1

2

( )

( )∫∫∫∫ [ f x y z dzF x y

F x y( , , )

( , )

( , )

1

2∫∫∫∫ ]dy]dx (26)

En cambio si R es una región tipo II entre las gráficas de h1 y h2 en [c,d], se evalúa la integral doble usando elteorema de Fubini y obtenemos:

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x, y, z) dV=

c

d∫∫∫∫ [ h y

h y

1

2

( )

( )∫∫∫∫ [ f x y z dzF x y

F x y( , , )

( , )

( , )

1

2∫∫∫∫ ]dx]dy (27)

A las integrales que aparecen en los lados derechos de las anteriores igualdades se les dice INTEGRALESTRIPLES ITERADAS y normalmente se acostumbra no escribir los paréntesis por lo que podemos escribir:

a

b∫∫∫∫ g x

g x

1

2

( )

( )∫∫∫∫ f x y z dzF x y

F x y( , , )

( , )

( , )

1

2∫∫∫∫ dy dx y c

d∫∫∫∫ h y

h y

1

2

( )

( )∫∫∫∫ f x y z dzF x y

F x y( , , )

( , )

( , )

1

2∫∫∫∫ dx dy

Otra vez, con un pequeño truco, las integrales triples pueden servirnos también para calcular volúmenes deregiones sólidas entre las gráficas de dos funciones F1 y F2, basta poner:

V = D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 1 dV (28)

y en ese caso tendríamos que: V=R∫∫∫∫∫∫∫∫ [F2(x ,y) −−−− F1(x ,y)]dA

en el caso de que F1 sea la función constante cero, entonces la fórmula anterior es la misma que aparece en ladefinición 1 con F2 remplazando a f por lo que nuestra nueva fórmula define el volumen para una clase mayor desólidos que la que tenemos en la definición 1 ya que ahora no se requiere que F1 sea igual a cero.

La integración sobre sólidos D más generales puede llevarse a cabo siempre y cuando D se puedadescomponer en sólidos del tipo de la definición 6 D1 ,D2 ,...,Dn y tales que Di y Dj sólo tengan en común lospuntos de su frontera y en ese caso:

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x, y, z) dV=

D1

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x, y,z) dV + D2

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x, y,z) dV + ... + Dn

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x, y,z) dV (29)



6. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICASAsí como el calcular integrales dobles sobre ciertas regiones se simplifica usando coordenadas polares, el

calcular algunas integrales triples sobre ciertas regiones se simplifica usando las llamadas coordenadascilíndricas que introducimos a continuación.

6.1 Coordenadas cilíndricas

Se trata de una generalización del sistema de coordenadaspolares. En este caso cada punto P del espacio está determinado portres coordenadas, las dos primeras son coordenadas polares en elplano XY y la tercera es la distancia dirigida de dicho plano a P.

Entonces las coordenadas de P serían (r,θθθθ,z) con

r∈∈∈∈ [0,+∞∞∞∞), θθθθ∈∈∈∈ [0,2ππππ) y z∈∈∈∈ (−−−−∞∞∞∞,+∞∞∞∞)

Al igual que con las coordenadas polares la utilización de unsistema de coordenadas no rectangular está justificada por lasimplicidad con la que algunos entes geométricos pueden serdescritos en otro tipo de coordenadas. Figura 27: coordenadas cilíndricas

Por ejemplo, en la siguiente tabla se comparan las ecuaciones de algunas superficies usando coordenadasrectangulares y coordenadas cilíndricas (de hecho el nombre de coordenadas cilíndricas está dado en base a laecuación tan sencilla que tiene un cilindro en dicho sistema):

Tabla 1

superficie rectangulares cilíndricas

Cilindro x2 + y2 = a2 r = a

Esfera x2 + y2 + z2 = a2 r2 + z2 = a2

Doble cono circular x2 + y2 = a2 z2 r = az ó z = rcotθθθθ

Paraboloide circular x2 + y2 = az r2 = az

A la derecha se muestra lagráfica en coordenadas cilíndricas dela superficie

r=1+cos(2θθθθ)cosz

con valores de θθθθ en el intervalo[0,2ππππ].

Se presentan dos vistas paradiferentes valores de z.

Figura 28 Figura 29



6.2 Evaluación de integrales triples en coordenadas cilíndricasEl teorema 4 señala que bajo ciertas condiciones vale la siguiente igualdad:

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x, y, z) dV=

R∫∫∫∫∫∫∫∫ [ f x y z dz

F x y

F x y( , , )

( , )

( , )

1

2∫∫∫∫ dA] (30)

Por otro lado ya sabes evaluar integrales dobles encoordenadas polares, estos dos resultados nos proporcionanun método para la evaluación de integrales triples usandocoordenadas cilíndricas.

TEOREMA 5 (evaluación de integrales triples usandocoordenadas cilíndricas)

Sea D la región sólida entre las gráficas de dos funcionescontinuas F1 y F2 en una región R del plano entre las gráficaspolares de h1 y h2 en el intervalo [αααα,ββββ] con 0≤≤≤≤ββββ−−−−αααα≤≤≤≤2ππππ y 0≤≤≤≤h1(θθθθ) ≤≤≤≤h2(θθθθ) para αααα≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ββββ.

Si f es continua en D, entonces:Figura 30

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x, y, z)dV=

αααα


h

1

2

( )

( )

θθθθ

θθθθ∫∫∫∫ F r r

F r r

1

2

( cos , sen )

( cos , sen )

θθθθ θθθθ

θθθθ θθθθ∫∫∫∫ f(rcosθθθθ, rsenθθθθ, z)r dzdrdθθθθ (31)

La integración por medio de coordenadas cilíndricas es especialmente efectiva cuando expresiones quecontienen x2+y2 aparecen en el integrando o en los límites de integración y la región sobre la cual se va a integrarpuede ser descrita de una manera sencilla por medio de coordenadas polares.

Además es frecuente encontrar integrales triples iteradas en coordenadas rectangulares que pueden serevaluadas de una manera más sencilla cambiando a coordenadas cilíndricas. El procedimiento consiste endescribir en coordenadas cilíndricas la región sobre la que se desea integrar y luego evaluar la correspondienteintegral triple en coordenadas cilíndricas.

7. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICASEl uso de las llamadas coordenadas esféricas simplifica la evaluación de integrales triples cuando se debe

integrar sobre una región sólida cuyas fronteras son superficies tales como esferas y conos, a continuaciónintroducimos dichas coordenadas.

7.1 Coordenadas esféricas

Este sistema es una modificación delsistema de latitudes y longitudes usado enla esfera terrestre como sistema dereferencia para puntos sobre su superficie(ve las gráficas de la derecha).

Figura 31: Latitud Figura 32: Longitud



En el sistema de coordenadas esféricas cada punto P delespacio está determinado por tres coordenadas, la primera es ladistancia ρρρρ entre el origen O y P, la segunda es el ángulo θθθθ formadopor la proyección del segmento OP en el plano XY con una rectahorizontal fija (por lo general el eje X) y la última coordenada estádada por el ángulo ϕϕϕϕ formado por el segmento OP con una rectavertical fija (por lo general el eje Z).

Entonces las coordenadas de P serían (ρρρρ,θθθθ,ϕϕϕϕ) con ρρρρ∈∈∈∈ [0,+ ∞∞∞∞),θθθθ∈∈∈∈ [0,2ππππ) y ϕϕϕϕ∈∈∈∈ [0,ππππ). Frecuentemente θθθθ se dice longitud y ϕϕϕϕcolatitud (por ser el complemento de la latitud).

Figura 33: coordenadas esféricas

Al igual que en el caso de las coordenadas cilíndricas, el nombre de coordenadas esféricas está dado conbase en la ecuación tan sencilla que tiene una esfera en dicho sistema. Por ejemplo, en la siguiente tabla semuestran las superficies en las que alguna de las coordenadas esféricas es constante.

Tabla 2

superficie ecuación

Esfera ρρρρ = a

Cono circular ϕϕϕϕ = a

Semiplano θθθθ = a

Para pasar de una ecuación en coordenadas rectangulares a su correspondiente ecuación en coordenadasesféricas se usan las siguientes fórmulas:

x = ρρρρ senϕϕϕϕ cosθθθθ, y = ρρρρ senϕϕϕϕ senθθθθ y z = ρρρρ cosϕϕϕϕ (32)

Abajo se muestra la gráfica en coordenadas esféricas de la superficie r=0.8θθθθ senϕϕϕϕ

La primera gráfica corresponde a los valores de θθθθ en el intervalo [0,2ππππ] y valores de ϕϕϕϕ en el intervalo [0,ππππ],mientras que en la segunda θθθθ∈∈∈∈ [0,4ππππ] y ϕϕϕϕ∈∈∈∈ [0,ππππ/2].

Figura 34 Figura 35



7.2 Evaluación de integrales triples en coordenadas esféricasAsí como los paralelepípedos forman los sólidos tridimensionales básicos para la integración en coordenadas

rectangulares, trozos esféricos forman los sólidos tridimensionales básicos para la integración en coordenadasesféricas.

Figura 36 Figura 37

Un trozo esférico es la región sólida D cuyas fronteras están dadas por las siguientes superficies:

ρρρρ =ρρρρ0 y ρρρρ =ρρρρ1, φφφφ=φφφφ0 y φφφφ=φφφφ1, θθθθ=θθθθ0 y θθθθ=θθθθ1 (33)

donde 0≤≤≤≤ρρρρ0≤≤≤≤ρρρρ1, 0≤≤≤≤φφφφ0≤≤≤≤φφφφ1≤≤≤≤ππππ, 0≤≤≤≤θθθθ0≤≤≤≤θθθθ1≤≤≤≤2ππππ

En ese caso, puede probarse que el volumen V del trozo esférico D arriba descrito está dado por:

V = ρρρρ ρρρρ1

303

3−−−−

(cosφφφφ0 −−−− cosφφφφ1) ( θθθθ1 −−−− θθθθ0 ) (34)

Podemos expresar la fórmula anterior de una manera más útil aplicando el teorema del valor medio a lasfunciones ρρρρ3

en el intervalo [ρρρρ0,ρρρρ1] y coseno en el intervalo [φφφφ0,φφφφ1], esto nos proporciona valores ρρρρ1* y ϕϕϕϕ1

* con

ρρρρ0≤≤≤≤ρρρρ1*≤≤≤≤ρρρρ1 y φφφφ0≤≤≤≤ϕϕϕϕ1

*≤≤≤≤φφφφ1 y tales que:

ρρρρ13−−−−ρρρρ0

3=3(ρρρρ1*)2(ρρρρ1 −−−− ρρρρ0) y cos φφφφ1 −−−− cos φφφφ0 = (−−−−sen(ϕϕϕϕ1

*)) (φφφφ1 −−−−φφφφ0)

por lo que

V = (ρρρρ1*)2 (−−−−sen ϕϕϕϕ1

* ) (ρρρρ1 −−−− ρρρρ0 ) (φφφφ1 −−−− φφφφ0 ) ( θθθθ1 −−−− θθθθ0 ) (35)

El interés por trabajar con coordenadas esféricas deriva de su utilidad para la evaluación de integrales triples.

Sean h1, h2, F1 y F2 funciones continuas y sea D la región sólida del espacio formada por todos los puntos concoordenadas esféricas (ρρρρ,φφφφ,θθθθ) tales que:

αααα≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ββββ 0≤≤≤≤h1(θθθθ)≤≤≤≤φφφφ≤≤≤≤h2(θθθθ)≤≤≤≤ππππ y F1(φφφφ,θθθθ)≤≤≤≤ρρρρ≤≤≤≤F2(φφφφ,θθθθ)

con 0≤≤≤≤ββββ−−−−αααα≤≤≤≤2ππππ. Ahora buscamos evaluar D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y,z) dV donde f es una función continua en D.



Lo primero que hacemos (como siempre) es circunscribir D en un trozo esférico D', luego se la partimos a D'en trocitos esferiquitos chiquititos y sean D1, D2, … , Dn aquellos que quedan enteramente contenidos en D. Si Des el trocito i-ésimo, entonces su frontera consiste de las siguientes superficies:

ρρρρ=ρρρρi−−−−1 y ρρρρ=ρρρρi, φφφφ=φφφφi−−−−1 y φφφφ=φφφφi, θθθθ=θθθθi−−−−1 y θθθθ=θθθθi

por lo que el volumen de cada trocito está dado por: Vi= (ρρρρ1*)2 (sen ϕϕϕϕ1

* ) ∆∆∆∆ρρρρi ∆∆∆∆φφφφi ∆∆∆∆θθθθi (36)donde ρρρρi−−−−1≤≤≤≤ρρρρ1

*≤≤≤≤ρρρρ1 y ϕϕϕϕi−−−−1≤≤≤≤ϕϕϕϕ1*≤≤≤≤ϕϕϕϕ1.

lo que sugiere que la triple integral D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y,z) dV es aproximadamente

i

n

====∑∑∑∑

1f(ρρρρ1

* sen ϕϕϕϕ1* cos θθθθi, *

1ρρρρ sen ϕϕϕϕ1* sen θθθθi, ρρρρ1

* cos ϕϕϕϕ1*) (ρρρρ1

*)2 sen ϕϕϕϕ1* ∆∆∆∆ρρρρi ∆∆∆∆φφφφi ∆∆∆∆θθθθi (37)

y se puede probar que ésta es una suma de Riemann para la integral triple

αααα

ββββ∫∫∫∫h

h

1

2

( )

( )

θθθθ

θθθθ∫∫∫∫F

F

1

2

( , )

( , )

ϕϕϕϕ θθθθ

ϕϕϕϕ θθθθ∫∫∫∫ f(ρρρρ senφφφφ cosθθθθ, ρρρρ senφφφφ senθθθθ, ρρρρ cosφφφφ) ρρρρ2 sen φφφφ dρρρρ dφφφφ dθθθθ (38)

Sintetizamos nuestra discusión en el siguiente teorema.

TEOREMA 6 (evaluación de integrales triples usando coordenadas esféricas)

Sean αααα y ββββ números reales con αααα≤≤≤≤ββββ≤≤≤≤αααα+2ππππ. Sean h1 ,h2 ,F1 y F2 funciones continuas con 0≤≤≤≤h1≤≤≤≤h2≤≤≤≤ππππ y 0≤≤≤≤F1≤≤≤≤F2.Sea D la región sólida del plano formada por todos los puntos con coordenadas esféricas (ρρρρ,φφφφ,θθθθ) tales que:

αααα≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ββββ 0≤≤≤≤h1(θθθθ)≤≤≤≤φφφφ≤≤≤≤h2(θθθθ)≤≤≤≤ππππ y F1(φφφφ,θθθθ)≤≤≤≤ρρρρ≤≤≤≤F2(φφφφ,θθθθ)

Si f es continua en D, entonces:

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ f(x,y,z) dV =

αααα

ββββ∫∫∫∫h

h

1

2

( )

( )

θθθθ

θθθθ∫∫∫∫F

F

1

2

( , )

( , )

ϕϕϕϕ θθθθ

ϕϕϕϕ θθθθ∫∫∫∫ f(ρρρρ senφφφφ cosθθθθ, ρρρρ senφφφφ senθθθθ, ρρρρ cosφφφφ) ρρρρ2 sen φφφφ dρρρρ dφφφφ dθθθθ

8. MOMENTOS Y CENTROS DE GRAVEDADTodos sabemos que cuando dos escuincles juegan en un sube y baja, rápidamente aprenden que el escuincle

más pesado tiene un mayor efecto de rotación sobre el sube y baja, pero que el escuincle más ligero, si se alejadel eje de rotación, puede equilibrar el sube y baja. En esta parte, definimos una cantidad llamada “momento” yque mide la tendencia de una masa a producir rotación.

Consideremos una situación ideal en la que un objeto de masa m se concentra en un punto P(x, y) del plano.El momento de P alrededor del eje Y se define como el producto mx, podemos pensar que éste producto, midela tendencia de P a girar alrededor del eje Y. Entre más grande sean m ó x, más grande será el momento por loque esta definición se ajusta a nuestra observación de que es más fácil girar el sube y baja entre más pesado se eso entre más lejos se está del eje.

Ahora consideremos varios puntos con masas m1, m2, ... , mn , localizados en los puntos (x1, y1), (x2, y2), ... ,(xn, yn), respectivamente.

El momento My de la colección de puntos alrededor del eje Y se define como la suma de los momentosindividuales de cada punto:

My = m1 x1 + m2 x2 + ... + mn xn (39)Análogamente, el momento Mx de la colección de puntos alrededor del eje X se define como:

Mx = m1 y1 + m2 y2 + ... + mn yn (40)



en el caso de que los puntos se hallen en equilibrio con respecto a alguno de los ejes, se tendría que My=0 óMx=0.

Ahora, sea m=m1+m2+...+mn la masa combinada de todos los puntos y buscamos un punto (((( ))))x y, con la

propiedad de que si un punto de masa se colocara en (((( ))))x y, , entonces sus momentos alrededor de los ejes, sean

Mx y My , respectivamente.

Después de nuestras observaciones, notamos que (((( ))))x y, está dado por:__x =

mM y

__y =

mM x (41)

a (((( ))))x y, se le dice centro de gravedad o centroide de la colección de puntos.

Consideremos ahora una región verticalmente simple R en la que se distribuye su masa de manera uniformea través de toda la región en ves de estar concentrada sólo en algunos puntos y cuyas fronteras son: por laizquierda x=a, por la derecha x=b, por abajo g(x) y por arriba f(x), ambas definidas en [a,b].

Hacemos una partición del intervalo [a,b] y para cada k entre 1 y n, sea tk un número cualquiera en elsubintervalo (xk−−−−1,yk) y sea Rk la porción de R que queda entre las rectas x=xk−−−−1 y x=xk, entonces el área Ak deRk está dada aproximadamente por [f(tk)−−−−g(tk)]∆∆∆∆xk.

El momento Mk de Rk alrededor del eje Y estaría dado aproximadamente por el momento que resultaría si laentera masa de Rk estuviera concentrada en la recta x=tk. Por lo tanto, Mk debería estar aproximado por tkAk ydesde que el momento My de R alrededor del eje Y está dado por la suma de los momentos M1, M2 , ... , Mn,entonces My esta dado aproximadamente por tk[f(tk)−−−−g(tk)]∆∆∆∆xk, que es una suma de Riemann para x(f−−−−g) en elintervalo [a,b].

Se puede hacer una análisis similar para obtener Mx. En base a nuestro análisis anterior, podemos dar lasiguiente definición:

DEFINICION 8 (momentos y centro de gravedad de una región verticalmente simple)

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo [a,b], tales que g(x)≤f(x) en dicho intervalo y sea R laregión plana entre las gráficas de f(x) y g(x) en [a,b].

El momento Mx de R alrededor del eje X y el momento My de R alrededor del eje Y, se definen por:

Mx = 1

2 a

b∫∫∫∫ [f2(x) −−−− g2(x)] dx y My = a

b∫∫∫∫ x[f(x) −−−− g(x)] dx

Si R tiene un área positiva A, entonces, el centro de gravedad (o centro de masa, o centroide) de R, es el

punto (((( ))))x y, , definido por:__x =

AM y

__y =

AM x (42)

Si aplicamos ahora la definición anterior a un rectángulo de área A cuyas fronteras son x=a, x=b, y=0 y y=c ycuyo centro es el punto (xk,yk) tenemos que My = xkA y Mx = ykA.

Consideremos ahora el caso general de una región R verticalmente u horizontalmente simple y sea R’ unarectángulo que circunscribe a R.

Hacemos una partición de R’ en subrectángulos y sean R1, R2 , ... ,Rn aquellos que quedan enteramentecontenidos en R. Para cada k entre 1 y n, sea (xk,yk) el centro de Rk y sea ∆∆∆∆Ak el área de Rk.



Entonces, el momento Mk de Rk alrededor del eje X es yk ∆∆∆∆Ak. Más en general, el momento Mk de Ralrededor del eje X, sería aproximadamente, el momento de la región comprendida por los rectángulos R1, R2 , ..., Rn, que es igual a la suma de los momentos M1, M2 , ... , Mn.

Por lo tanto Mx es aproximadamente igual a kn====∑∑∑∑ 1 yk ∆∆∆∆Ak, que es una suma de Riemann para la función y en

R. Análogos razonamientos valen para My , lo que sugiere la siguiente definición.

DEFINICION 9 (momentos y centro de gravedad de una región plana)Sea R una región verticalmente simple u horizontalmente simple. El momento Mx de R alrededor del eje X y elmomento My de R alrededor del eje Y, se definen por:

Mx = R∫∫∫∫∫∫∫∫ y dA y My =

R∫∫∫∫∫∫∫∫ x dA

Si R tiene un área positiva A, entonces, el centro de gravedad (o centro de masa, o centroide) de R, es el

punto (((( ))))x y, , definido por:__x =

AM y

__y =

AM x (43)

Los análisis hechos anteriormente se pueden extender para el caso de sólidos en el espacio, lo que nospermite dar la siguiente definición.

DEFINICION 10 (momentos y centro de gravedad de un sólido en el espacio)

Supongamos que un objeto con densidad de masa continua δδδδ(x,y,z), ocupa una región sólida D. El momento Mxydel objeto alrededor del plano XY, el momento Mxz del objeto alrededor del plano XZ y el momento Myz delobjeto alrededor del plano YZ, se definen por:

Mxy = D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ z δδδδ(x,y,z) dV , Mxz =

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ y δδδδ(x,y,z) dV y Myz =

D∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ x δδδδ(x,y,z) dV

Si la masa m del objeto es positiva, entonces, el centro de gravedad (o centro de masa) del objeto, es el punto

( , , )_ _ _x y z , definido por:

__x =

mM yz

__y =

mM xz

__z =

mM xy (44)

Podemos observar que un punto con masa m localizado en el centro de gravedad del sólido D tiene losmismos momentos alrededor de los planos coordenados que un objeto con densidad de masa constante queocupe D. Cuando la densidad de masa es constante, el centro de gravedad del objeto se denomina centroide y eneste caso, éste punto es independiente de la densidad de masa por lo que se habla del centroide de la regiónsólida.

Si tanto la densidad de masa como la región sólida D son simétricas con respecto a un plano, entonces, elcentro de gravedad queda en dicho plano. En particular, si la densidad de masa es constante y D es simétrica conrespecto a todos los planos coordenados (como sucede con una esfera con centro en el origen), entonces el centrode gravedad de D queda en el origen.

Integración múltiple - Calculo Vectorial · PDF file1 Notas de clase: Angel...

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