Integración Numérica

Integración Numérica Justificación del problema y

conceptos generales Fórmulas de cuadratura con

paso adaptativo Cuadratura de Gauss Integración sobre intervalos

finitos Integración sobre intervalos

infinitos Integración en varias

variables

Introducción Justificación del problema

Integral elíptica de segunda clase

Definición de funciones especiales:Función de Bessel

Función error

Discretización de ecuaciones integrales

J z z n dn ( ) cos( sen ) 1

0

erf x e dttx

( ) 2 2

0

Partición del intervalo [a,b, a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b

x0,x1,x2,...,xn-1,xn nodos

, 2,,..., n coeficientes o pesos

Error de integración.

Grado de precisión: mayor n N

tal que

En(xk)=0, k=0,1,...,m

En(xm+1)0

Conceptos generalesI f f x dx

a

b( ) ( )

I f f xn j jj

n

( ) ( )

0

E f I f I fn n( ) ( ) ( )

Fórmulas de Newton-Cotes

Fórmulas de cuadratura cerradas

Fórmulas de cuadratura abiertas

Fórmula de Trapecios para N

subintervalos

Fórmula de Simpson para N

subintervalos

Fórmulas de cuadratura cerradas

Dados n+1 puntos equiespaciados de

[a,b], xj=a+jh, j=0,...,n h=(b-a)/(n+2). Entonces h ]a,b[ tal que

n par y f Cn+2 [a,b], s=(x-x0)/h

n impar y f Cn+1 [a,b], s=(x-x0)/h

dsnsssfn

h

xfdxxf

nnn

n

jjj

b

a

)()1()()!2(

)( )(

0

2)2(3

0

dsnsssfn

h

xfdxxf

nnn

n

jjj

b

a

)()1()()!1(

)( )(

0

)1(2

0

n=1 Regla del Trapecio

n=2 Regla de Simpson

n=3 Regla de Simpson 3/8

n=4 Newton-Cotes (5 puntos)

10''

3

10

)(12

)()(2

)(

xxfh

xfxfh

dxxfb

a

20)(

5

210

)(90

)()(4)(3

)(

xxfh

xfxfxfh

dxxf

iv

b

a

40)(

5

43

210

)(945

8)(7)(32

)(12)(32)(745

2 )(

xxfh

xfxf

xfxfxfh

dxxf

vi

b

a

30)(

5

3210

)(80

3

)()(3)(3)(8

3 )(

xxfh

xfxfxfxfh

dxxf

iv

b

a

Fórmulas de cuadratura abiertas

Dados n+1 puntos equiespaciados de [a,b],

xj=a+(j+1)h, j=0,...,n h=(b-a)/(n+2).

Entonces h ]a,b [ tal que

Si n es par y f Cn+2 [a,b], s=(x-x0)/h

Si n es impar y f Cn+1 [a,b], s=(x-x0)/h

dsnsssfn

h

xfdxxf

nnn

n

jjj

b

a

)()1()()!2(

)( )(

1

1

2)2(3

0

dsnsssfn

h

xfdxxf

nnn

n

jjj

b

a

)()1()()!1(

)( )(

1

1

)1(2

0

n=0 Regla del Punto Medio

n=1

n=2

n=3

11''

3

0 )(3

)( 2 )( xxfh

xfhdxxfb

a

21

)(3

10

)(4

3)()(

2

3 )(

xx

fh

xfxfh

dxxf iib

a

41)(

5

3210

)(144

95

)(11)()()(1124

5 )(

xxfh

xfxfxfxfh

dxxf

iv

b

a

31)(

5

210

)(45

14

)(2)()(23

4 )(

xxfh

xfxfxfh

dxxf

iv

b

a

Fórmula de Trapecios para N

subintervalos

h=(b-a)/N, xk=a+kh k=0,1,2,...,N

Fórmula de Simpson para N

subintervalos

h=(b-a)/(2m), xk=a+kh k=0,1,2,...,2m

)('')(12

)()(2)(2

)(

2

1

10

fabh

E

xfxfxfh

dxxf

T

N

kNk

b

a

)()(180

)()(4)(2)(3

)(

)(4

1

12

11220

ivS

m

km

m

kkk

b

a

fabh

E

xfxfxfxfh

dxxf

Error de la Fórmula de Simpson

Extrapolación de Richardson

Eh

b a f ChSIV

44

180( ) ( )

][14

]2[][4

]2[][16)116(

][

)2(]2[

2

2

4

4

hIhIhI

I

hIhII

ChhII

hChII

Rdef

SS

SS

S

S

Integración de RombergIntegración de Romberg

Expresión general:

Error de orden h2j

Exacta para polinomios de grado 2j-1

II I

kj

jk j k j

j

4

4 1

11 1 1

1

, ,

Tabla de RombergTabla de Romberg

I h

I h I h

I h I h I h

I h I h I h I h

T

T S

T S R

T S R Q

[ ]

[ / ] [ / ]

[ / ] [ / ] [ / ]

[ / ] [ / ] [ / ] [ / ]

2 2

4 4 4

8 8 8 8

Algoritmo ROMBERGAlgoritmo ROMBERG

Datos de entrada: a, b, n, tol Proceso: Construcción de la tabla de

Romberg

k = 1, I(1,1) = trapecio(a,b,n); % Fila 1

mientras error > tol

k = k+1 % Fila k

I(k,1) = trapiter(a,b,2k-1n)

para j = 2 : k % Aplica el método de Romberg

I(k,j) = (4^(j -1)*I(k,j -1) - I(k -1,j -1)) / /(4^(j -1) -1)

fin para

error = abs(I(k,j) - I(k,j -1))

fin mientras

Fórmulas de cuadratura con paso adaptativo

Métodos adaptativos de cuadratura:

Regla compuesta de Simpson

Algoritmo de cuadratura adaptativa

implementado en MATLAB

(quad.m)

Métodos adaptativos Variaciones funcionales irregulares en el

intervalo de integración Combinamos la Regla compuesta de

Simpson, h=(b-a)/2, con la Regla de Simpson para m=2, de paso h/2=(b-a)/4:

)()(4)(3

:),(

,

)(90

)()(4)(3

)( )(5

bfhafafh

baS

ba

fh

bfhafafh

dxxf ivb

a

)()2

3(4)(

6,

2

)()2

(4)(62

,

, )(180

)(

16

)()2

3(4)(2)

2(4)(

6 )(

)(4

bfh

afhafh

bba

S

hafh

afafhba

aS

bafabh

bfh

afhafh

afafh

dxxf

iv

b

a

Estimación del error: si

Si

entonces

y será una buena

aproximación a I.

En otro caso, se aplica reiteradamente a los subintervalos [a,(a+b)/2[ y

[(a+b)/2,b[ (tolerancia TOL/2.)

bba

Sba

aSbaS

bba

Sba

aSdxxfb

a

,22

,),(15

1

,22

, )(

f fiv iv( ) ( )( ) ( )

f x dx S aa b

Sa b

b TOLa

b( ) , ,

2 2

S a b S aa b

Sa b

b TOL( , ) , ,

2 215

S aa b

Sa b

b, ,

2 2

Simpson con paso adaptativo

function I = adapsimp(f,a,b,tol,nivel)

% Integra f en [a,b] por el método de

% Simpson de paso adaptativo

% tol: error admitido (estimación)

% nivel: profundidad máxima de la recursión

h = (b-a)/2; % Paso inicial

c = a+h; % Punto medio

fa = feval(f,a);

fc = feval(f,c);

fb = feval(f,b);

int = h/3*(fa+4*fc+fb); % Simpson simple

tol = 10*tol;

I = refina(f,a,c,fa,fc,fb,int,tol,nivel);

Recursión sobre los intervalos

function I = refina(f,a,c,fa,fc,fb,int,tol,nivel);

h = (c-a)/2;

d = a+h; e = c+h; % Puntos medios

fd = feval(f,d);

fe = feval(f,e);

int1 = h/3*(fa+4*fd+fc); % Simpson % intervalo izq.

int2 = h/3*(fc+4*fe+fb); % Simpson % intervalo der.

if abs(int-int1-int2)<tol

I = int1+int2;

elseif nivel = = 0

error('Nivel excedido')

else

I = refina(f,a,d,fa,fd,fc,int1,tol/2,nivel-1) + refina(f,c,e,fc,fe,fb,int2,tol/2,nivel-1);

end

Cuadratura de Gauss

Elección de nodos apropiados

Casos particulares

Gauss-Legendre

Gauss-Chebyshev

Gauss-Laguerre

Gauss-Hermite

Cuadratura de Gauss

OBJETIVOS:OBJETIVOS:

Elección de nodos x1 , x2 ,..., xn para aumentar

el grado de precisión.

Máximo grado de exactitud.

CONCLUSIONES:CONCLUSIONES: Una fórmula de cuadratura con n nodos

es exacta para polinomios de grado

2n-1 si y sólo si: la fórmula es interpolatoria, y los nodos son las raices del n-esimo polinomio

ortogonal respecto del producto escalar inducido por w(x) en [a,b.

No existe ninguna fórmula con n nodos exacta para todos los polinomios de grado 2n.

)x(fc)x(fc)x(fcdx)x(f)x(w nn2211

b

a

Fórmula de cuadratura

w x f x dx c f xa

b

i ii

n

( ) ( ) ( )

1

n,1,2,=i

b

ai

n

ini dx)x(w

xx

)x(T

)x('T

1c

<ba<

dx)x(w)x(T)!n2(

)(f)f(E

b

a

2n

)n2(

CUADRATURA INTERVALO F. PESO

Gauss-Legendre [a,b]=[-1,1] w(x)=1

Gauss-Chebyshev [a,b]=[-1,1] w(x)=1/(1-x2)1/2

Gauss-Jacobi [a,b]=[-1,1] w(x)=(x-1)a(x+1)b

Gauss-Laguerre [a,b]=[0,+[ w(x)=xae-x

Gauss-Hermite [a,b]=]- , +[2

)( xexw

Gauss-Legendre En [-1,1], los polinomios de Legendre

forman una familia ortogonal:

pn(x) tiene n raices reales distintas,

y los coeficientes de la fórmula de cuadratura,

)x(pn)x(px1n21n

1)x(p

,2,1nx)x(p1)x(p

1nn1n

10

n,1,2,=k

432k nO

2n4

1k4cos

n8

1

n8

11x

n,,2,1i

)x(px1

2dx

xx

xxc

2

i'n

2i

1

1

n

ij1j ji

ji

n nodos coeficientes

2 0.5773502692 1.0000000000

3 0.7745966692 0.5555555556

0.0000000000 0.8888888889

4 0.8611361159 0.34785484510.3399810436 0.6521451549

Polinomios de Legendre Si [a,b [-1,1, el cambio de variable

es:

y la fórmula de cuadratura queda:

xb a

tb a

dxb a

dt

2 2 2,

b

a

n

1iii )f(E

2

abx

2

abfc

2

abdx)x(f

EJEMPLO:

cambio de variable a [-1,1

Gauss-Legendre n=2

Gauss-Legendre n=3

I f e dxx( ).

2

1

1 5

e dx e dxxt

2

2

1

1 55

16

1

11

4

.( )

1094003.0ee4

1)f(I 16

)55773.0(

16

)55773.0( 22

1093642.0

e555556.0e888889.0

e5555556.04

1)f(I

16

)5774596.0(

16

)50(

16

)5774596.0(

22

2

Gauss-Chebyshev

En [-1,1], los polinomios de Chebyshev

forman una familia ortogonal,

y Tn(x) tiene n raices reales distintas,

,3,2 )()(T 2)(

)(

1)(

21

1

0

nxTxxxT

xxT

xT

nnn

1-n,0,1,2,=k

2

12cos

n

kxk

f x

xdx

nf xi

i

n( )( )

1 21

1

1

En [0,+[, los polinomios de Laguerre

son una familia ortogonal,

Tn(x) tiene n raices reales y distintas,

,2,1n

)x(Ln)x()x1n2()x(L

x1)x(L1)x(L

1n2

n1n

10

L

Gauss-Laguerre

1,n-,2,1,0k=

)O(n

2

1n48

j21

2

1n4

jx 5-

2

2k0

2

2k0

k

+

e f x dx c f xxi i

i

n

( ) ( )

10

nixL

xnc

in

ii ,,2,1

)(

!2

1

2

Gauss-Hermite

En , los polinomios de Hermite forman una familia

ortogonal,

Hn(x) tiene n raices reales y distintas en - ,+[, y los

coeficientes son:

,2,1,0n

)x(H)1n(2)x(x2)x(H

x2)x(1)x(H

n1n2n

10

H

H

n

iii

x xfcdxxfe1

)()(2

ni

xH

nc

in

n

i ,,2,1 )(n

!22

12

1

Integrales impropias

Carácter de las integrales impropias.

Resolución numérica. I. impropias I. propias

cambio de variable, desarrollo por series, eliminación de la

singularidad.

Integrales Impropias Sea f(x) una función contínua con

una asíntota vertical en [a,b]. La integral

es una integral impropia

Si entonces

)(xflimbx

b

adxxf )(

b

b-

f(x)

a

)(xflimbx

b

a

b

adxxflimdxxf )()(

0

Si entonces

Cuando estos límites existen, decimos que la integral impropia es convergente.En otro caso, se dice que es divergente.

)x(flimax

ba a+

)(xflimax

b

a

b

adxxflimdxxf

)()(

0

EJEMPLO

=0.01

aplicando cuadratura de Gauss, n=5:

=0.0001 y cuadratura de Gauss, n=5:

no tiende a cero cuando

0 , luego no converge.

2

0dx)x(tanI

56666746051534 2

00102

00102

0102

2

0102

..dx)x(tan

dx)x(tandx)x(tan

.

.

..

2

2

dx)x(tan

2

0dx)x(tan

2

0102

2

0102

0102

0

6051874.

.

.

dx)x(tan.

dx)x(tandx)x(tanI

5666504

12

010010

22

010 1

1

2

0102

.

dtt.

.tan.

dx)x(tan.

EJEMPLO

=0.01

aplicando cuadratura de Gauss, n=5:

=0.0001 y cuadratura de Gauss, n=5:

1

0

1dx

xI

8.1111 01.0

0

1

01.0

01.0

0 dx

xdx

xdx

xI

1841600

10050

1

2

0101 5

1

010

0

.

)t(.c

.dx

x i i

i

.

1800184160

111 010

00010

00010

0

010

0

..

dxx

dxx

dxx

.

.

..

9984616181180018416011

0....dx

x

I. Impropias I.Propias Cambio de variable

Desarrollo por series

Eliminación de la singularidad

1

0

2

1

0

1

2

dt)t(ftnItx

ndx)x(fx nn

n

n

1

00010

23

1

00010

231

00010

3

21

21

.

x

..

x

dxx

xex

dxx

xxdxex

x t

t

edx

x

xcos0

1

0 1

Integrales Infinitas

Integrales infinitas

convergentes y divergentes.

Métodos de aproximación:

Descomposición en suma

de integrales

Cambio de variable

Integrales Infinitas: Métodos de Aproximación

Integrales sobre intervalos no acotados: [a,+[, -,b -,+[.

Convergencia existe el límite y es un número real.

b b

aa

a

b

ab

dx)x(flimdx)x(f

dx)x(flimdx)x(f

Descomposición en suma de integrales

Resulta conveniente doblar el intervalo en cada iteración: rn=2n

TOLdx)x(f

rrrra

dx)x(fdx)x(fdx)x(f

n

n

r

r

n

r

r

r

aa

1

2

1

1

I

n

321

n In

0 0.57202582

1 0.62745952

2 0.63043990

3 0.63047761

4 0.63047766

Valor exacto 0.63047783

EJEMPLO

nn

rx

n rdxx

eI

n

2 10 4

0 4

1dx

x

eI

x

Cambio de variable Depende de la función a integrar. El cambio transforma el intervalo

en .

EJEMPLO

cambio

aplicando cuadratura de Gauss, n=5.

tex t0 1t0

0dxexI x

886240862649002327300003190

1

1

1

1

1

010

010

00010

00010

0

1

0

1

00

....

dtt

logdtt

logdtt

log

dtt

logdttlogdxexI

.

.

.

.

x

dtt

dxtlogx1

EJEMPLO

cambio

aplicando Romberg.

1

2 2

dxexI x

dttdxt

x 23

2

1

1

0.25364

0

2

1

2

11

0

25

1

1

0 25

1

1

0

231

1

2 2

It

e)t(g

dtt

e

dttet

dxexI

tt

t

tx

Integración Indefinida

Integral definida sobre un

rango variable

Subdividir el intervalo de

integración y aplicar

cuadraturas

Solución del problema de

valor inicial asociado

x

abxadttfxF )()(

0)( , )( aFxfdx

dF

Ejercicio Calcúlese la función error como

la integral de la función de distribución gaussiana de 0 a x:

y como solución del problema de valor inicial:

x t dte

xxerf

0

22)(

0)0( ,2

)('2

yexy x

Integración Múltiple

Integración múltiple sobre

recintos rectangulares

Integración múltiple sobre regiones no rectangulares

Algoritmo de Integración Múltiple

Integracion Múltiple sobre recintos rectangulares

Aplicamos la Regla de Simpson a la integral considerando x como parámetro.

b

a

d

cRdxdyyxfdAyxfI ),(),(

d

cdyyxf ),(

b

a

b

a m

m

j

b

a j

m

j

b

a j

b

a

b

a

d

c

dxy

),x(fk

)cd(dx)y,x(f

k

dx)y,x(fk

dx)y,x(fk

dx)y,x(fk

dxdy)y,x(f

4

44

2

112

1

12

0

180

3

3

4

3

2

3

Aplicamos Simpson a cada una de estas integrales:

)y,x(f)y,x(f

)y,x(f)y,x(fh

dx)y,x(f

jn

n

iji

b

a

n

ijijj

21

12

1

120

4

2 3

4

44

180 x

)y,(fh

ab jj

m,n

n

im,i

n

im,im,

m

j

m

jj,n

n

ij,i

m

j

n

ij,i

m

jj,

m

jj,n

m

j

n

ij,i

m

j

n

ij,i

m

jj,,n

n

i,i

n

i,i,

b

a

d

c

ffff

ff

fff

ffff

fffhk

dxdy)y,x(f

221

212

1

12220

1 1122

11212

1

1

1122

1120

1

122

1

1 1212

1

1

1

122

1

120 02

1012

1

10200

4 2 2

4 16

84 2

842

4 2 9

Expresión del error:

R

180 4

44

4

44

ˆ,ˆ,,

ˆ,ˆy

fk,

x

fh

)ab)(cd(E

Coeficientes de la fórmula de cuadratura:

m

dck

n

abh

m,,,,jjkcy

n,,,,iihax

i

i

2

2

2210

2210

b=x2n

d=y2m

y2m-1

y2

y1

c=y0

a=x0 x1 x2 x3 x4 x2n-2 x2n-1

1

1 12 2 2

2 2 2 1

4 4 4

44 4

4 4

4 4 4

4 4

2

8 8 8

8 8 8

8

161616

161616

2 88

Integración Múltiple sobre recintos no rectangulares

h=(b-a)/2 k=k(x)

d

c

xb

xa

b

a

xd

xcdxdyyxfdydxyxf

)(

)(

)(

)( ),( ),(

))(,())()(,(4))(,(3

)(

))(,())(

)(,(4))(,(3

)(4

))(,( ))()(,(4))(,(3

)(

3

h

))(,())()(,(4))(,(3

)(

),()(

)(

bdbfbkbcbfbcbfbk

hadhafhak

hachafhachafhak

adafakacafacafak

dxxdxfxkxcxfxcxfxk

dydxyxfI

b

a

b

a

xd

xc

Algoritmo de la integral múltiple

Entrada: f(x,y), c(x), d(x), a, b, m, n. Salida: aproximación I

PASO 1: dividir [a,b] en 2n subintervalos

PASO 2: en cada nodo xi,

evaluar la función calcular (d(xi )-c(xi ))/(2m)

PASO 3: aplicar la regla compuesta de Simpson respecto a y

PASO 4: sobre el resultado obtenido del PASO 3 aplicar Simpson respecto

a la variable x I

b

a

xd

xcdydxyxf

)(

)( ),(

Integrales de Contorno

Casos Particulares Método de MonteCarlo

Integrales de Contorno

Llamamos integral de contorno a una integral de la forma:

siendo C una curva en el plano XY. Si C está parametrizada, es posible

transformar una integral de contorno en una integral ordinaria de una variable.

),(

,),( , ),(

C

CC

dsyxf

dyyxfdxyxf

Método de Monte Carlo El valor medio de la función f(x)

en el intervalo [a,b] es

Sean x1, x2, …xn n puntos

cualesquiera en [a,b], resulta previsible que

Cuando los valores de xi son

aleatorios, éste método es conocido como Método de Monte Carlo

)(1

b

adxxf

ab

)(1

)(1ˆ

1

b

a

n

iin dxxf

abxf

nf

Ejemplo

a b Valor aprox. Valor exacto

1.0 0.8 1.4180830 1.4180834

1.0 0.4 1.1506554 1.1506556

1.0 0.2 1.0505019 1.0505022

1.0 0.1 1.0159888 1.0159935

Calculamos el perímetro de elipses de distintas excentricidades utilizando en todos los casos 60 puntos.