INTEGRACIÓN POR PARTES

La técnica de integración por partes es aplicable cuando el integrando contienen un producto de funciones y se basa precisamente en la derivada de un producto de funciones:ddx

(u . v )=u ∙ v '+v ∙u'd (u ∙ v )=u ∙ v ' dx+v ∙u' dx=u dvdxdx+v d u

dxdx=udv+vdu

∫ d (u ∙ v )=∫udv+∫ vduu∙ v=∫udv+∫ vdu∫udv=u ∙ v−∫ vduConsideremos la integral del producto de dos funciones ∫ f ( x )g ( x )dx , donde f y g son

derivables, y sus derivadas f´ y g´ son continuas. Se trata de descomponer el integrando como producto de una función u=f ( x )ou=g(x ), y otra función dv=g ( x )dx odv=f ( x )dx , que es la diferencial de una función v, que habrá que determinar. Se recomienda tomar como u la parte del integrando que sea más fácil de derivar; si las dos funciones tienen igual nivel de complejidad para ser derivadas, tomar como dv a la más fácil de integrar. Una buena regla mnemotécnica para elegir dv lo da la clave ETALI, en la que están las iniciales de los tipos de funciones, a los que se les debe dar prioridad para la elección, de izquierda a derecha: Exponencial, Trigonométrica, Algebraica, Logarítmica e Inversa trigonométrica.

Ejemplo: ∫ x e2xdx u=x du=dx dv=e2x dx v=12∫e2x 2dx=1

2e2 x

∫ x e2xdx=¿ 12x e2x−1

2∫e2x dx=1

2xe2x−1

4∫e2x 2dx=1

2xe2x−1

4e2x+c ¿

La integral ∫ vdu debe resultar más sencilla que la integral ∫udv . Si al aplicar la fórmula de

integración por partes, la integral ∫ vdu no se ajusta a ninguna regla básica de integración, habrá

que integrarla también por partes, cuidando no intercambiar sustituciones. La integración sucesiva

por partes conduce a obtener una integral ∫ vdu cada vez menos compleja que la anterior.

Ejemplo: ∫ x2 cos x dxu=x2du=2xdx dv=cos x dx v=sen x∫ x2 cos x dx=¿ x2 sen x−2∫ x sen xdx u=x du=dx dv=sen xdx v=−cos x¿

∫ x2 cos x dx=¿ x2 sen x−2¿¿

Método tabular: En integrales ∫ xn eaxdx∫ xn sen ax dx∫ xn cosax dx la integración sucesiva por

partes se tiene que realizar n veces y, cada vez que se realiza, se reduce en un grado el polinomio

de la integral ∫ vdu

Ejemplo: ∫ x3 sen 4 x dxSignos u y sus

derivadasdv y sus

antiderivadas+ x3 sen4 x- 3 x2 −cos 4 x /4+ 6 x −sen4 x /16- 6 cos 4 x /64+ 0 sen4 x /256

∫ x3 sen 4 x dx=−14x3cos 4 x+ 3

16x2 sen4 x+ 6

64xcos 4 x− 6

256sen 4 x+c

¿(−x34 + 3 x32 )cos4 x+(¿ 3 x

2

16− 3128

)sen 4 x+c¿

En una integral ∫¿¿ donde f y g son polinomios y al menos uno de los exponentes m o n es un

entero mayor que 3. Se toma como dv el que tiene el exponente mayor.

Ejemplo: ∫ x3 ¿¿

Signos u y sus derivadas

dv y sus antiderivadas

+ x3 ¿- 3 x2 ¿+ 6 x ¿- 6 ¿+ 0 ¿

∫ x3 ¿¿ +6 x ¿Cuando se tienen integrales cuyos integrando tiene un solo factor, se considera el factor f (x) ∙1 y se toma u=f ( x ) y dv=dx

Ejemplo: ∫ ln x dx u=ln x du=dxx dv=dx v=x

∫ ln x dx=xln x−∫ dx=xln x−x+c=x¿¿¿¿

Ejemplo: ∫ tan−13 xdx u=tan−13 xdu= 3dx

1+9x2dv=dx v=x

∫ tan−13 xdx=x tan−13 x−∫ 3 xdx

1+9 x2=x tan−13 x−1

6∫18 xdx

1+9 x2

¿ x tan−13 x−16ln (1+9 x2¿¿)+c ¿¿

Cuando el integrando es el producto de una función algebraica y una logarítmica o trigonométrica

inversa, se toma u=ln (a xb )ou=sen−1ax y dv=xndu

Ejemplo: ∫ x ln (3x2¿)dxu=ln (3 x2) du= 6 x3x2

dx=2dxxdv=xdx v= x

2

2¿

∫ x ln (3x2¿)dx= x2 ln (3 x2)2

−∫ xdx= x2 ln (3 x2 )2

− x2

2+c=¿ x

2

2¿¿¿

Cuando el integrando es el producto de una función exponencial y una trigonométrica, se elige la trigonométrica como u y la exponencial como dv. Al cabo de dos integraciones sucesivas, en el segundo miembro de la fórmula resulta una integral igual a la de partida, con un coeficiente negativo; este múltiplo constante de la integral original se agrupa con ésta en el primer miembro y se realiza el despeje correspondiente, para así obtener la primitiva deseada.

Ejemplo: ∫ e3 xsen 4 x dx

Signos u y sus derivadas

dv y sus antiderivadas

+ sen4 x e3x

- 4 cos 4 x e3x /3+ −16 sen4 x e3x /9

∫ e3 xsen 4 x dx= e3x sen4 x3

−4 e3 xcos 4 x9

−169∫e3x sen 4 x dx

259∫e3x sen 4 x dx= e

3 x sen4 x3

−4 e3 xcos 4 x9

+c

∫ e3 xsen 4 x dx= e3x

25¿

Cuando el integrando es una función secante o cosecante elevada a una potencia impar, se elige como u la función trigonométrica simple y como dv la función trigonométrica elevada a una potencia par. En la primera integración, el segundo miembro de la fórmula arroja una integral igual a la de partida, con un coeficiente negativo.

Ejemplo: ∫ sec3 x dx u=sec x du=sec x tan x dxdv=sec2 xdx v=tan x∫ sec3 x dx=sec x tan x−∫ sec x tan2 x dx=¿ sec x tan x−∫ sec x¿¿¿¿¿¿

∫ sec3 x dx=sec x tan x−∫ sec3 xdx+∫ sec xdx2∫ sec3 x dx=sec x tan x+ ln|sec x+ tan x|+c∫ sec3 x dx=12 sec x tan x+

12ln|sec x+ tan x|+c