Licenciado Oscar Ardila Ch. Centro Tics

Solución de integrales Por el método de

sustitución

También llamada integral por cambio de variable, tiene una estrecha relación con el método “regla de la cadena” en la derivada, de aquí que sea aplicable a la integración de funciones compuestas.

A continuación se presenta un esquema donde se construye una función a partir de la composición de f en g.

Integración de funciones Método de Sustitución

Para introducir la formula y las características de una integral susceptible de aplicar el método de sustitución, empezamos por recordar la regla de la cadena para la derivación. En la definición se resalta en verde lo que de ahora en adelante notaremos como función interna.

Construcción del método

Aplicando la integral en ambos lados de la igualdad.

La identificación de la siguiente estructura será el primer paso para la aplicación del método de integración por sustitución. En rojo se resalta la anti derivada (integral) de f´(x).

Construcción del método

Cabe resaltar que esta estructura puede presentarse de forma explicita o implícita, y en este ultimo caso requeriremos de algunas transformaciones

o arreglos matemáticos para realizar la sustitución.

Resolver la siguiente integral indefinida por el método sustitución:

1- Identificamos la estructura para aplicar la sustitución.

Ejemplo 1

2- Planteamos la sustitución bajo la siguiente consideración.

De esta manera tenemos para la integral:

Ejemplo 1

3- Realizando la sustitución:

4- Realizamos la nueva integral en términos de u:

5- Y volvemos nuevamente a establecer nuestra respuesta (en naranja) en términos de la variable original:

Ejemplo 1

Resolver la siguiente integral definida por el método sustitución:

1- Identificamos la estructura para aplicar la sustitución.

Ejemplo 2

2- Planteamos la sustitución.

Ejemplo 2

Dado que la derivada.

No se aprecia explícitamente en la integral realizamos el siguiente despeje:

23 da u du

23

dadu

u

3- Dado que la integral posee limites es necesario un cambio de los mismos antes de plantear la nueva integral.

4- De esta manera planteamos la nueva integral:

Ejemplo 2

5- Solucionamos la nueva integral como sigue:

6- Evaluando finalmente la integral:

Ejemplo 2

Ejercicios Propuestos

Resolver las integrales indefinidas:

GRACIAS POR TU

ATENCIÓNEquipo Centro Tic:

Hugo Salcedo Guio Director

Oscar Ardila chaparro Coordinador.

Manuel Francisco Romero Unidad desarrollo de ovas

Andrés Mauricio Castro Pescador Administrador plataforma Moodle