Integracionpor fraccionesparcialespor pasos

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Cómo ya se ha mencionado son

varios los Artificios de Integración

que nos permiten resolver

Integrales Complejas, estos

Artificios son principalmente:

Integración por Partes

Integración por Fracciones Parciales

Integración por Sustitución Trigonométrica

Hoy vamos a ver

Método de integración por

fracciones parciales

Consiste en que a partir de una fracción que se

presenta en el problema, se encuentre dos o

más fracciones cuya suma ó resta de ellas nos

de el problema-fracción-original.

Estas dos o más nuevas

fracciones se integran por

separado.



Son dos los REQUISITOS

que debe cumplir la

integral original:

1.El Problema debe de ser una FRACCIÓN

2. El denominador debe de ser factorizable



Veamos un ejemplo de lo que son las


Hasta el momento a

ustedes les han

enseñado a sumar o

restar fracciones de

la siguiente manera

2(x+1) - 3(x) = 2x + 2 – 3x = 2 – x .

(x) ( x+1) x2 + x x2 + x

Se obtiene el común

denominador

Y se multiplican

cruzados.

Denominador por

numerador opuesto

Multiplicando los

denominadores

Se tienen dos fracciones

Sumando y

restando

numeradores



2(x+1) - 3(x) = 2x + 2 – 3x = 2 – x .

(x) ( x+1) x2 + x x2 + x

Se obtiene el común denominador

Y se multiplican cruzados.

Denominador por numerador opuesto

Multiplicando los

denominadores

Se tienen dos fracciones que se están

restando

Sumando y

restando

numeradores

Veámoslo nuevamente



2(x+1) - 3(x) = 2x + 2 – 3x = 2 – x .

(x) ( x+1) x2 + x x2 + x

Algo de Teoría

Cada una de estas fracciones se llama

Fracción simple o Fracción parcial

Esta Fracción se llama

Fracción Compleja

Ahora el problema está en cómo

encontrar las fracciones parciales cuando

sólo me dan la

Fracción compleja

Este método nos permite encontrar esas


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CASO I A .

(ax + b) (ax + b)

CASO II A + B ... + N .

(ax + b)n (ax + b) (ax + b)2 (ax + b)n

CASO III Ax + B .

(ax2 + bx + c) ax2 + bx + c

CASO IV Ax + B + Cx + D … + Mx + N .

(ax2 + bx + c)n (ax2 + bx + c) (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)n

Primero tienes que conocer la

siguiente tabla de Fracciones

Parciales

Para convertir una fracción en dos

o más fracciones parciales, se

emplean cuatro casos, los cuales

se comparan con los factores del

denominador de la fracción

original

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CASO I A .

(ax + b) (ax + b)

CASO II A + B ... + N .

(ax + b)n (ax + b) (ax + b)2 (ax + b)n

CASO III Ax + B .

(ax2 + bx + c) ax2 + bx + c



Con esta tabla sabrás en cuantas fracciones

parciales se dividirá tu fracción original

Uno de los

factores del

denominador

Si el denominador tiene un factor sin

exponentes, a ese factor le

corresponde el CASO I que señala

una fracción con una CONTANTE en

el NUMERADOR sobre el factor

analizado

Si el denominador tiene un factor elevado a un

exponente (n) , a ese factor le corresponde el

CASO II que señala (n) fracciones sumándose

con una CONTANTE en el NUMERADOR sobre

el factor con un exponente de 1 hasta (n)

analizado

Este Factor

tiene un

exponente

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CASO III Ax + B .

(ax2 + bx + c) ax2 + bx + c



Este factor

tiene una x2

Si el denominador tiene un factor cuadrático, es decir con

una x2, a ese factor le corresponde el CASO III que señala

una fracción con DOS CONSTANTES en el NUMERADOR,

una de esas constantes multiplica a X

Finalmente tenemos el CASO IV, se usa si el denominador tiene

un factor cuadrático, es decir con una x2, y aparte todo el factor

esta elevado a un exponente (n), este caso señala que a ese

factor le corresponden (n) fracciones con DOS CONSTANTES en

el NUMERADOR, una de esas constantes multiplica a X. Cada

fracción tiene el factor como denominador y en cada fracción el

denominador va elevando su exponente hasta llegar a (n)

Este factor

tiene una x2 y

aparte tiene un

exponente (n)

Con esta tabla sabrás en cuantas fracciones

parciales se dividirá tu fracción original

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• ∫ 3 dx

x2 + x

(x2 + x) x (x + 1)

Ejemplo 1

Se tiene la siguiente integral, para usar el

método de FRACCIONES PARCIALES la

integral debe de ser una fracción

factorizable en su denominador

_3__

x2 + x

Separamos la FRACCION de la integral

Factorizamos el denominador,

en este caso se saca factor

común “x”

Veamos un ejemplo de Fracciones Parciales

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• ∫ 3 dx

x2 + x

(x2 + x) x (x + 1)

Ejemplo 1

_3__

x2 + x

Factorizamos el

denominador, en

este caso se saca

factor común “x”

El segundo paso es comparar

cada factor con un caso de

fracciones parciales y obtener

la o las fracciones parciales

que le corresponden a cada

factor.

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• ∫ 3 dx

x2 + x

(x2 + x) x (x + 1)

Ejemplo 1

(x) A/x

3 = A + B__

x(x + 1) x x + 1

_3__

x2 + x

El segundo FACTOR es

una (x+1) como no

tiene exponentes se

parece al CASO I

A este factor le

corresponde una

fracción parcial(x + 1) B/(x + 1)

Como se puede observar llevamos dos

fracciones parciales una por cada

factor, ambas fracciones siempre se

suman

El primer FACTOR de este

ejemplo es una (x) como

no tiene exponentes se

parece al CASO I

A este factor le

corresponde una

fracción parcial

Continuando

con el

ejemplo 1

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• ∫ 3 dx

x2 + x

(x2 + x) x (x + 1)

Ejemplo 1

(x) A/x

3 = A + B__

x(x + 1) x x + 1

_3__

x2 + x

(x + 1) B/(x + 1)

Las Fracciones Parciales siempre se

colocan sumándose

Sólo falta obtener los

valores de “A” y de “B”

Continuando

con el

ejemplo 1

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• ∫ x dx .

x2- 3x – 4

Ejemplo 2

(x – 4) A/(x – 4) caso I

(x – 1) B/(x + 1) caso I

x = A + B

(x – 4)(x + 1) (x – 4) (x + 1)

x .

x2- 3x – 4

x2- 3x – 4 ( x – 4 ) ( x + 1)

Separamos la

FRACCION

de la integralEl Primer paso es Factorizar el

denominador, en este caso

es un trinomio cuadrado, se

usan dos paréntesis

El segundo paso es comparar cada

factor con un caso de fracciones

parciales y obtener la o las fracciones

parciales que le corresponden a cada

factor.

Ambos factores son del CASO I

ya que no tienen exponentes y

cada uno de ellos será una

FRACCION PARCIAL

Finalmente todas las FRACCIONES

PARCIALES se suman

Veamos otro ejemplo

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• ∫ 3x + 5 dx .

x3 – x2 – x + 1

Ejemplo 3

(x – 1) 2 A / (x – 4) + B / (x – 1) 2 caso II

(x + 1) C / (x + 1) caso I

A + B + C .

(x – 1) (x – 1) 2 (x + 1)

3x + 5 .

x3 – x2 – x + 1

x3 – x2 – x + 1 x2 (x – 1) – 1 (x – 1)

Queda (x – 1) 2 (x + 1)

Separamos la

FRACCION de

la integral

El segundo paso es

comparar cada factor

con un CASO de


Un Factor es el CASO I ya que

no tienen exponentes y el otro

el CASO II con exponente (n)

Finalmente todas las

FRACCIONES PARCIALES se

suman

El Primer paso es Factorizar el

denominador, ahora la

factorización es por agrupación.

Debes de practicar

FACTORIZACION NUEVAMENTE

Veamos otro ejemplo

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• ∫ (x3 + x2 + x + 2) dx .

x4 + 3x2 + 2

Ejemplo 4

( x2 + 2 ) ( Ax + B) / ( x2 + 2) caso III

( x2 + 1) ( Cx + D) / ( x2 + 1) caso III

Ax + B + Bx + C .

( x2 + 2 ) ( x2 + 1 )

x3 + x2 + x + 2.

x4 + 3x2 + 2

x4 + 3x2 + 2 ( x2 + 2 ) ( x2 + 1)

Separamos la

FRACCION

de la integral

El segundo paso es

comparar cada factor

con un CASO de


Ambos factores son el CASO III

ya que tienen una x2. En las

Fracciones Parciales las

Constantes nunca se repiten

Finalmente todas las

FRACCIONES PARCIALES se

suman

El Primer paso es Factorizar el

denominador, en este caso

es un trinomio cuadrado,

se usan dos paréntesis

Un último ejemplo

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Sólo hemos practicado los dos primeros pasos del

método de Integración por Fracciones

Parciales, faltaría obtener el valor de las constantes

(A, B, C, etc.) y resolver las integrales de cada

Fracción Parcial. Pero eso lo haremos más adelante

Por lo pronto debes practicar los casos de

FACTORIZACIÓN que vimos en el primer

semestre

Repasa este método en el Manual de

Matemáticas

Nos vemos pronto

Viva Jesús en

Nuestros Corazones

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