La Integral:

• En pocas palabras la Integral es la operación inversa a la Derivada

• Tiene muchas formas de trabajar y variadas aplicaciones

Tipos:

• Integral definida

• Integral indefinida

Integral definida

• Sirve para calcular el área de debajo de una curva lineal en un intervalo

• Dada una función continua en un intervalo [a,b]

se define la integral definida entre a y b de la función f como el área S limitada por las rectas x=a, x=b, el eje de abscisas y la curva definida por la representación gráfica de f. Se denota por:

• Por ejemplo, si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral de f entre 0 y 10 es el área del rectangulo limitado por las rectas x=0, x=10, y=0 y y=3. El área corresponde al producto de la anchura del rectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es 30.

• Si se tiene una primitiva (integral indefinida) de la función f:

• entonces, y según la Regla de Barrow

• Siempre y cuando ni la integral ni la función integrada no presenten singularidades en el intervalo de integración.

• A esta relación entre la integral indefinida y la superficie bajo la función se le denominaTeorema fundamental del calculo integral

• *tipos

Integral Indefinida:• Dada una función F(x) tal que su derivada es F'(x) = f(x), entonces

decimos que F es la integral o primitiva de f, definiendo así la integración como la inversa de la derivación. Simbólicamente, se denota por

• Una función dada no tiene una única integral indefinida. Por ejemplo, para la función f(x) = x + 2, las siguientes funciones son todas primitivas de la misma:

• En general, si F(x) es una primitiva de f(x), entonces cualquier función de la forma F(x)+c, siendo c una constante cualquiera, es también una primitiva de f(x). *tipos

Teorema fundamental del calculo• Teorema: Si una función f es continua en el intervalo [a,b], entonces

• donde F es cualquier función tal que F’(x) = f(x) para todo x en [a,b].

La función f se llama el integrando y las constantes a y b son los límites de integración. El proceso de hallar el valor de una integración definida se llama evaluar el integral.

*precursores

Resumiendo

Teorema:

-cuando c es una constante.

Propiedades de integración

• donde k es una constante

• donde a<c<b

Aplicaciones

• A) Cálculo de Áreas

• B) Cálculo de volúmenes

A)1.-Area de una región comprendida entre dos curvas

 • Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a,b] y

• para todo x en [a,b], entonces el área de la región limitada por y = f(x), y = g(x),

x = a y x = b. es:

• Donde f(x) representa la curva de arriba y g(x) representa la curva de abajo. En la ilustración a continuación, f(x) es la parábola que abre hacia abajo (observa que es la curva de arriba en la región limitada por ambas funciones) y g(x) es la parábola que abre hacia arriba (esta es la curva de abajo en la región limitada por ambas funciones). 

Pasos para hallar el área de una región comprendida por una curva arriba y otra abajo:

 1) Dibuja las gráficas. Esto permite visualizar qué curva está arriba y cuál está abajo.

• 2) Halla los límites de integración, los cuales se leen en el eje x.• 3) Halla:

A)2.-Región limitada por curva derecha y curva

izquierda • El proceso para calcular el área de una región limitada por una

curva a la derecha y otra a la izquierda es similar al anterior. Se recomienda dibujar las gráficas para visualizar qué curva está a la derecha y cuál a la izquierda. Los límites de integración se leen en el eje y, y se halla de la forma:

• Donde en esta ocasión f(y) representa la curva de la derecha y g(y) la curva de la izquierda.

*aplicaciones

B).-Volúmenes de cuerpos de revolución

• Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de ejes. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

• El volumen de un cono y de un cilindro se puede calcular por medio de fórmulas geométricas. Pero existen otros sólidos de revolución como la paraboloide donde no se dispone de una fórmula para hallar su volumen. La paraboloide surge al girar una región parabólica alrededor de una recta.

Cono paraboloide

B)1.-Volumen de un sólido de revolución cuya rotación

es alrededor del eje x por el método de discos: • El volumen de un sólido que se genera al

girar la región entre la gráfica de una función continua y = f(x) y el eje x de x = a a x = b alrededor del eje x es:

B)2.-Volumen de un sólido de revolución cuya rotación es

alrededor del eje y por el método de discos:

• El volumen de un sólido que se genera al girar la región entre la gráfica de una función continua y el eje y de y = c a y = d alrededor del eje y es:

B)3.-Volumen de un sólido de revolución que no tiene

borde en el eje de rotación por el método de arandelas: • Si la región que se gira para generar un sólido no tiene borde

en el eje de rotación, entonces el sólido tiene un agujero. El volumen se determina por:

• donde R es el radio exterior y r es radio interior.

B)4.-Volumen de un sólido de revolución por el método de capas

(cascarones cilíndricos) • Se conoce como el método de capas o cascarones cilíndricos

porque utiliza capas cilíndricas. Un cascarón cilíndrico es un sólido acotado por dos cilindros circulares rectos concétricos. Para hallar el volumen de un sólido de revolución por el método de capas se utilizan las siguientes fórmulas:

• I.- Si el eje de rotación es horizontal, entonces:

• Donde y representa el radio de la capa cilíndrica y g(y) la altura de la misma. El intervalo de integración se lee en el eje de y.

• II.-Si el eje de rotación es vertical, entonces:

• Donde x representa el radio de la capa cilíndrica y f(x) la altura de la misma. El intervalo de integración se lee en el eje de x

*aplicaciones

Precursores:

• Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, fueron los que dieron forma al Teorema fundamental del calculo

• Isaac Barrow formulo reglas sobre la integral y se llamaron: reglas de Barrow

Teorema de Barrow

• Dada una funcion f continua en el intervalo [a; b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F' = f

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• Francisco Fernández Robles 4ºC 2007