Integral de Calibre

La Integral de Calibre: una Integral de TipoRiemann con el Poder de Lebesgue

Mario Roberto Hurtado Herrera

Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán

Seminario de Geometría

Mario Hurtado (UADY FMAT) Gauge Integral Seminario de Geometría 1 / 20

Motivación

Henri León Lebesgue (1875-1971)


Motivación

Arnaud Denjoy (1884-1974) Oskar Perron (1880-1975)

La integral de calibre fue definida en un principio por Denjoy en 1912 para poder integrarfunciones como

f (x) =1x

sen(

1x3

)Sin embargo, su definición era bastante complicada.

Tiempo después Oskar Perron definió independientemente la misma integral, pero también era

muy complicada.


Motivación

Ralph Henstock (1923-2007) y Jaroslav Kurzweil (1926)

Cerca del año 1960, R. Henstock y J. Kurzweil presentaron una integral equivalente a la integral

de Denjoy-Perron cuya definición es una ligera modificación de la integral clásica de Riemann.


Motivación


Preliminares

Longitudes y Etiquetas

Si I = [a, b], con a ≤ b, la longitud de I se define como

L(I) = b − a

Si P = {Ii : i = 1, · · · , n} es una partición de I = [a, b] tal que a cada subintervalo Ii se leasigna un punto ti ∈ Ii , entonces denotamos ti como una etiqueta de Ii . En este caso decimosque la partición está etiquetada y se denota como

P := {(Ii , ti ) : i = 1, · · · , n}


Preliminares

Sumas de Riemann

Si f es una función definida en un intervalo compacto no degenerado I con valores en R, y siP = {(Ii , ti )} es cualquier partición etiquetada en I, entonces la suma

S(f ; P) :=n∑

i=1

f (ti )L(Ii )

se denota como la suma de Riemann de f correspondiente a P. Si Ii = {[xi−1, xi ]}, entoncesesta suma de Riemann tiene la forma

S(f ; P) :=n∑

i=1

f (ti )(xi − xi−1)


Preliminares

Límites

Existen varios tipos de límites utilizados para definir una integral:

El "método tradicional de Riemann". Consiste en aproximar el límite haciendotender a cero la máxima longitud de los subintervalos.

El método de Darboux (1875). Consiste en introducir integrales "superiores" e"inferiores".

El método de Henstock-Kurzweil (1957).

Permite más variación en la longitud de los subintervalos siempre que lossubintervalos sobre los cuales la función "cambia rápidamente" sean "cortos".


Preliminares

Método de Riemann


Preliminares

Método de Darboux


Preliminares

Método de Henstock-Kurzweil


Preliminares

Calibres

Definición

Si I = [a, b] ⊂ R, entonces se dice que una función δ : I → R es un calibre en I siδ(t) > 0 ∀t ∈ I. El intervalo alrededor de t ∈ I controlado por el calibre δ es el intervaloB[t ; δ(t)] := [t − δ(t), t + δ(t)].

Definición

Sea I = [a, b] y sea P = {(I1, ti )}ni=1 una partición etiquetada. Si δ es un calibre en I, entonces

decimos que P es δ-fina siIi ⊆ B[ti ; δ(ti )], ∀i = 1, · · · , n

A veces, cuando P es δ-fina, decimos que P es subordinada a δ o escribimos P � δ.


Integrales

La Integral de Riemann

Una función f : I → R es Riemann integrable en I si existe un número A ∈ R tal que para cadaε > 0 existe un número γε > 0 tal que si P = {(Ii , ti )}n

i=1 es cualquier partición etiquetada de Ital que L(I) ≤ γε para i = 1, · · · , n, entonces

|S(f ; P)− A| ≤ ε

La colección de todas las funciones Riemann integrables en I se denota por R(I).

A continuación se presentan dos definiciones de la integral de calibre.


Integrales

La Integral de Calibre

Una función f : I → R es Calibre integrable en I si existe un número A ∈ R tal que para cadaε > 0 existe un calibre γε > 0 en I tal que si P = {(Ii , ti )}n

i=1 es cualquier partición etiquetada deI tal que L(I) ≤ γε(ti ) para i = 1, · · · , n, entonces

|S(f ; P)− A| ≤ ε

Sin embargo, es más práctico utilizar una definición basada en la noción de δ-finura de unapartición con respecto a un calibre:

Una función f : I → R es Calibre integrable en I si existe un número A ∈ R tal que para cadaε > 0 existe un calibre δε > 0 en I tal que si P = {(Ii , ti )}n

i=1 es cualquier partición etiquetada deI que es δε-fina, entonces

|S(f ; P)− A| ≤ ε

La colección de todas las funciones Riemann integrables en I se denota por R∗(I).


Propiedades de la Integral

Unicidad

Existe a lo más un número C que satisface la definición

Prueba:Suponer que C′ 6= C′′ y sea ε = 1

3 |C′ − C′′| > 0. Si C′ satisface la definición, entonces existe

un calibre δ′ε en I tla que si P es una partición δ′ε-fina de I, entonces |S(f ; P)− C′| ≤ ε.Similarmente, Si C′′ satisface la definición, entocnes existe un calibre δ′′ε en I tla que si P es unapartición δ′′ε -fina de I, entonces |S(f ; P)− C′′| ≤ ε.Ahora sea δε = min{δ′ε, δ′′ε } de modo que δε es un calibre en I y sea P una partición δε-fina. Dela desigualdad del triángulo tenemos

|C′ − C′′| ≤ |C′ − S(f ; P)|+ |S(f ; P)| ≤ ε+ ε < |C′ − C′′|

lo que es una contradicción.


Propiedades de la Integral

La integral de McShane

El matemático E. J. McShane presentó una sorprendente definición dela integral de Lebesgue como un caso especial de la integral decalibre.En su definición el único cambio es que no requiere que las etiquetasti estén en Ii si no sólo en I. Si la definición de la integral de calibre setatisface para todas las sumas de Riemann δε-finas cuando lasetiquetas no necesariamente están en los subintervalos, entoncestambién se cumple si se requiere que estén en los subintervalos.En otras palabras, La integral de Lebesgue está contenida en laintegral de calibre.


Un ejemplo

Consideramos la función

f (x) ={

1 si x ∈ [0, 1] es racional0 si x ∈ [0, 1] es irracional

Si {rk : k ∈ N} es una enumeración de los racionales en [0,1] y ε > 0, definimos elcalibre

δε(t) ={ε/2k+1 si t = rk

1 si t es irracional

Ahora sea P = {(Ii ; ti)}ni=1 una partición δε-fina de [0, 1]. Si ti es irracional, entonces

f (ti) = 0 y la contribución de este subintervalo a la suma es 0.


Un ejemplo

Si ti es racional, entonces f (ti) = 1 pero la longitud L(Ii) es pequeña por que P � δε.De manera más precisa, si rk es la etiqueta del intervalo Ii , entonces Ii ⊆ B[rk , δε(rk )],de modo que L(Ii) ≤ ε/2k . Entonces el racional rk a lo más puede contribuir a lasuma de Riemann con ε/2k . Como sólo etiquetas racionales hacen contribuciones nonulas, entonces

|S(f ; P)| =∞∑

k=1

ε

2k = ε

Y como ε > 0 es arbitrario, la función de Dirichlet es integrable y∫ 1

0 f = 0


Un ejemplo

GRACIAS


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