República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Fermín ToroCabudare – Estado Lara

Unidad 1

Integral Definida

Estudiante Giannino Florio

MateriaMatemática II

Profesor Domingo Méndez

1. La Integral Definida

Definición: Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una expresión algebraica. La sumatoria se denota con la letra griega sigma.

1.1 Notación Sigma

Partes:

n: índice Superior (deberá ser un número entero, mayor o igual al índice inferior).k=1: índice Inferior (puede comenzar en cualquier entero).Xk: variable

Ejemplos:

1. La Integral Definida

Propiedad 1

1.1 Notación Sigma1.1.1 Propiedades

Para la demostración de la propiedad 1, escribiremos el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera:

para obtener:

(Continuación) >>>

…Sabemos que la suma es asociativa y conmutativa por lo que los términos se reordenan y queda de la siguiente manera:

 

y sabemos que la sucesión:

y

Se pueden escribir:

y

por lo que al sustituir obtendremos:

1. La Integral Definida

Propiedad 2

1.1 Notación Sigma1.1.1 Propiedades

Para la propiedad 2 utilizaremos la propiedad distributiva de la suma:

Como sabemos, por la distributiva de la suma tenemos que:

(Continuación) >>>

…Y por notación sigma sabemos que:

 

Por lo que al momento de sustituir obtendremos la propiedad 2: 

Cabe resaltar que la Propiedad 3:

Es muy similar a la Propiedad 1, en donde solo cambiará el signo.

2. Suma Superior e Inferior

Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.

Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

Definición:

Variación de las sumas

La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. 

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:

La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye.

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye:

Mientras el número re rectángulos en el gráfico se haga mayor, entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

3. La Integral Definida3.1 Concepto y Propiedades

Si a una expresión obtenida para la suma de Riemann, le tomamos el límite ya que k = 1, 2, 3, 4…..n y existe, entonces podemos definir la integral definida de F desde a hasta b.

a = Limite inferiorb = Limite Superior

Definición:

Dxk = Ancho del rectánguloFbk = Altura del rectángulo

El producto del rectángulo vendrá siendo su área, y después de sumar cada una de estas mismas, se podrá obtener el área bajo la curva.

3. La Integral Definida3.1 Concepto y Propiedades

Las integrales definidas cuentan con puntos de integración para que podamos encontrar el valor del área bajo la curva de una función F(x),

tal que si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces F(x) es integrable en [a,b].

6. Si c   ∈ [ a ,b ]

4. Teorema del Valor Medio para IntegralesEn una Función continua en un intervalo cerrado, existe al menos un valor dentro del mismo, de modo que la derivada de la función evaluada representa dicho valor promedio, conocido también como Valor Medio para Integrales.Ejemplo:

Si F(x) es continua en [0,2] y derivable en (-1,2), podríamos aplicar el teorema:

5. Teorema Fundamental del CalculoSi f(x) es continua en el intervalo [a,b] y F es una primitiva de f en [a,b], entonces podemos decir:

F(x) =

Primer Teorema Segundo TeoremaSea f una función continua en

[a,b] y sea la función F definida por:

Entonces: F es antiderivada de f en [a,b], esto es

F(x) = f(x)

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b], si F es una antiderivada de f en [a,b]. Entonces:

6. Sustitución y cambio de variableNo siempre podremos resolver una integral directamente aplicando algún teorema de la

integración, por este modo se deberá ejecutar otros métodos para encontrar su antiderivada sin cambiar

la expresión integrando.

El cambio de variable se realiza cuando en el integrando existe una expresión que resulta de derivar otra parte de ella.

Ejemplo: Tenemos