INTEGRAL DEFINIDADada una funcin f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al rea limitada entre la grfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por . es el signo de integracin.a lmite inferior de la integracin.b lmite superior de la integracin.f(x) es el integrando o funcin a integrar.dx es diferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra.Propiedades de la integral definida1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los lmites de integracin.

2. Si los lmites que integracin coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales

5. La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin.

Funcin integralSea f(t) una funcin continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta funcin se define la funcin integral:

que depende del lmite superior de integracin.Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.Geomtricamente la funcin integral, F(x), representa el rea del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la funcin integral, F(x), tambin se le llama funcin de reas de f en el intervalo [a, b].La regla de Barrow dice que la integral definida de una funcin continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una funcin primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

El teorema fundamental del clculo dice que la derivada de la funcin integral de la funcin continua f(x) es la propia f(x).EF'(x) = f(x)El teorema fundamental del clculo nos indica que la derivacin y la integracin son operaciones inversas.Al integrar una funcin ccontinua y luego derivarla se recupera la funcin original.Ejemplos 1.

rea entre una funcin positiva y el eje de abscisasSi la funcin es positiva en un intervalo [a, b] entonces la grfica de la funcin est por encima del eje de abscisas. El rea de la funcin viene dada por:

Para hallar el rea seguiremos los siguientes pasos:1 Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuacin. 2 El rea es igual a la integral definida de la funcin que tiene como lmites de integracin los puntos de corte. Si la funcin es negativa en un intervalo [a, b] entonces la grfica de la funcin est por debajo del eje de abscisas. El rea de la funcin viene dada por:

El rea comprendida entre dos funciones es igual al rea de la funcin que est situada por encima menos el rea de la funcin que est situada por debajo.

El volumen del cuerpo de revolucin engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

LA INTEGRAL INDEFINIDAFunciones primitivasDefinicin. Sea f una funcin, se dice que F, funcin derivable, es una primitiva de f si se verifica F =fEjemplo 1. Si f(x)= 3x2 una primitiva es F(x)= x3. Otra G(x)= x3+7Proposicin.1. Si F es una primitiva de f entonces F+C tambin lo es.En efecto ya que (F+C)=F+C= F +0= fProposicin.2.Si una funcin f tiene derivada nula en un intervalo entonces f es constante. (se admite sin demostracin)Teorema. Si F1 y F2 son primitivas de f, entonces se diferencian en una constante, es decir F1= F2+CDemostracin Si F1 es primitiva de f F1(x)= f(x); si F2 es primitiva de f F2(x)= f(x) Luego F1(x)- F2(x)= 0 F1-F2= CConsecuencia. Dada una primitiva F de f, el conjunto de sus primitivas es F+C. A dicho conjunto se le llamar la integral indefinida de f y se escribir .A f(x) se le llama integrando y al smbolo , smbolo de integracin.Propiedades de la integral indefinida (Linealidad)1) Es consecuencia de que la derivada de la suma es la suma d las derivadas2) Es consecuencia de que si F es primitiva de f kF es primitiva de kf, pues (kF)= kF= kf2. Integrales inmediatasTabla de primitivas (hacerla teniendo en cuenta la de derivadas y su relacin)Integrales inmediatas (o casi inmediatas)Llamamos as a aquellas que no requieren ningn mtodo para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la funcin que se ha derivado.Ejemplo 2. a) ; b) 3. Mtodos de IntegracinI). Mtodo de descomposicinSe basa en la linealidad de la integral indefinida Ejemplo.3 =+CII). Integracin por partes.Se basa en la frmula de la derivacin de un producto.(u.v) = u.v +v.u Como , se tiene:

o utilizando diferenciales:

Ejemplo 4. Tomamos:

de donde: = III) Integracin por sustitucin o cambio de variable. Proposicin. Si F es una primitiva de f y h(x)=F(u(x))

Demostracin Se basa en la regla de la cadena. Si F es primitiva de f F(x)=f(x) y h(x)=F(u(x)).u(x) =f(u(x)).u(x), usando la regla de la cadena, luego h(x) es una primitiva de f(u(x))u(x).Ejemplo 5. I=. Hacemos u=x3-1du=3x2dx y sustituyendoI=Ejercicio 4. Calcula Nota. Teniendo en cuenta la proposicin anterior se puede ampliar la tabla de derivadas a funciones compuestas (hacerlo)Ejemplo 6. IV). Integracin de funciones racionales Son de la forma donde P y Q son polinomios.El mtodo para calcular este tipo de integrales supone que el grado del numerador es menor que el del denominador, luego en primer lugar, si esto no ocurre hay que hacer la divisin. , es decir y como , el problema queda reducido al de calcular , y aqu siempre se verifica grad R(x)< grad Q(x)Ejemplo 7. =Nota. Estudiaremos nicamente el caso en que el denominador tiene todas las races reales y distintas. Si x1, x2, ......xn son las races de Q(x) se verifica:

donde A1, A2,....., An son nmeros reales que hay que determinar

Ejemplo 8. Consideremos Igualando a cero el denominador:

Las races son 0 y Luego descomponiendo la fraccin en fracciones simples, se tiene:

y se trata de calcular estas constantes.Se tiene, efectuando la suma e igualando los numeradores, x+1= A1(x-2)(x+3)+A2x (x+3)+ A3x(x-2)Teniendo en cuenta que los dos polinomios son iguales, tomarn los mismos valores en todos los puntos, en particular:Para x=0 0+1=A1(-2)(3)A1=-1/6Para x=2 2+1= A2.2.5 A2 =3/10Para x=-3 -3+1=A3(-3)(-5) A3=-2/15Luego =Nota. Para el clculo de las constantes hay otro mtodo ms general, el de los coeficientes indeterminados, pero en el caso de las races simples y distintas este es mejor.

CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS N166PABLO TORRES BURGOSINTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL INDEFINIDAMAESTRO:Uriostegui Camacho Nombre Del Alumno: Valenzuela Rauda Roman SonnyESPECIALIDAD: INFORMATICA

GRADO: 6 GRUP: IFecha: 06/06/14