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INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL.

CÁLCULO INTEGRAL.

HOJA 10/11: INTEGRAL DOBLE. EJERCICIOS.

1. Calcular ( )∫∫=

Q

dxdyxyxI cos3 siendo Q la región del plano limitada por y = x2, y = 0, x = 2.

[Sol. (1 – cos 8) / 3] 2. Calcular ∫∫=

Q

dxdyxyI 2 siendo Q el triángulo de vértices (0,0), (3,1), (-2,1).

[Sol. 1/2]

3. Calcular ∫∫ +=

Q

dxdyyx

xI 22

2

siendo Q la región limitada por x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.

[Sol. 3π/2]

4. Calcular ∫ ∫−

=3

0

9

0

2

4x

dxdyxI

[Sol. 36]

5. Calcular ( )∫ ∫−

+=4

0

16

0

22

2y

dxdyyxI

[Sol. 32π] 6. Calcular ∫∫=

Q

dSI 10 en Q = { (x, y) ∈ R2; x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + (y - 2)2 ≤ 4 }.

[Sol. 20π] 7. Definir los límites de integración en ( )∫∫=

Q

dxdyyxfI , siendo Q la región del plano:

7.1. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. 7.2. x2 + y2 ≤ x. 7.3. y ≥ -1, y ≤ 1, y ≥ x. 8. Calcular ∫∫=

Q

y dxdyxeI2

en Q = { (x, y) ∈ R2; x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 4, x2 ≤ y }.

[Sol. (e16 – 1) / 4] 9. Calcular ∫∫ −=

Q

dxdyyxyI 2 siendo Q el triángulo de vértices (0,0), (10,1), (1,1).

[Sol. 6]

10. Calcular ∫∫=Q

yx

dxdyeI donde Q es la región limitada por y2 = x, x = 0, y = 1.

[Sol. 1/2]

2/3

11. Calcular ( )∫∫ +−=Q

yx dxdyeI22

en la corona circular Q: a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2.

[Sol. π (exp(–a2) – exp(–b2))] 12. Calcular ( )( )∫∫ +−=

Q

dxdyyxI 222 donde Q es el círculo x2 + y2 – 4x = 0.

[Sol. 8π] 13. Calcular ( )∫∫ +=

Q

dxdyyxI 23 donde Q es la región [0,1] x [0, 1 + x].

[Sol. 29/6] 14. Calcular ( )∫∫ +=

Q

dxdyyxI 22 donde Q es la región [0,2] x [x2, 2x].

[Sol. 88/15] 15. Calcular ( )∫∫ −+=

Q

yx dxdyeyxI 4 siendo Q el triángulo de vértices (-1,1), (1,1), (0,0).

[Sol. 6.323] 16. Calcular ∫∫ +=

Q

dxdyyxI 22 siendo Q el triángulo de vértices (0,0), (4,0), (4,4).

[Sol. 24.486]

Aplicaciones 17. Calcular el volumen del sólido limitado por z = 4 – x2 – y2, z = 0. [Sol. 8π] 18. Área encerrada por las gráficas x = y2 + 1, x = 0, y = 0, y = 2. [Sol. 14/3] 19. Área encerrada por las gráficas x = y + 3, x = y2 + 1. [Sol. 9/2] 20. Área encerrada por las gráficas y = 6x – x2 , y = x2 – 2x. [Sol. 64/3] 21. Área encerrada por las gráficas x = – y, x = 2y – y2 . [Sol. 9/2] 22. Volumen del sólido limitado por las superficies z = 2x2 + y2, z = 4 – y2. [Sol. 4π] 23. Superficie de la porción de plano 2x + 3y + 4z = 12 que se encuentra en el primer octante. [Sol. 3√29] 24. Superficie de la porción de cilindro x2 + z2 = 16 situada sobre el plano z = 0 y limitada por los planos: x = 0, x = 2, y = 0, y = 5. [Sol. 10π/3]

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25. Superficie del paraboloide z = x2 + y2 tal que z ≤ 2. [Sol. 13π/3] 26. Superficie del paraboloide z = 2 – x2 – y2 situada sobre el plano z = 0. [Sol. 13π/3] 27. Superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = 2 interior al cono z2 = x2 + y2. [Sol. 4π (2 – √2)] 28. Superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 interior al cilindro x2 + y2 = ay. [Sol. 2a2 (π – 2)] 29. Superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = 25 limitada por los cilindros x2 + y2 = 9 y x2 + y2 = 16. [Sol. 20π] 30. Calcular el volumen limitado por el plano 2x + 2y – z + 2 = 0 y el paraboloide x2 + y2 = z. [Sol. 8π] 31. Sea un paralelogramo de área S situado sobre el plano ax + by + cz + d = 0, y sean Sxy, Syz, Szx respectivamente las áreas de las proyecciones del paralelogramo sobre cada uno de los planos coordenados. Demostrar que S es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las tres áreas proyectadas. 32. Calcular el área de la superficie intersección de los cilindros x2 + y2 = a2 , y2 + z2 = a2. [Sol. 16a2] 33. Calcular el área de la porción de cono x2 + y2 = z2 interior al cilindro x2 + y2 = 2ax. [Sol. 2√2 πa2] 34. Calcular el área de la parte de superficie helicoidal z = Arctg (y/x) que está situada en el primer octante y está comprendida entre los cilindros x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4. [Sol. 2.843] 35. Demostrar el teorema de Guldin que dice: El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano de la figura pero que no se corta con ella, es igual al producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de la misma. 36. Una lámina tiene forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden a y b < a. Su densidad superficial en cada punto es igual a la distancia al cateto menor. Hallar las coordenadas de su centro de gravedad. [Sol. (b/4, a/2]

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