INTEGRALMUGATUA

• Barrowen teorema

• Integral mugatuaren interpretazio geometrikoa

• Integral mugatuaren propietateak

• Azaleren kalkulua

• f(x) funtzioak eta OX ardatzak mugatzen dutena

• f(x) eta g(x) funtzioek mugatzen dutena

• Hiru funtziok mugatzen dutena

Kalkulu integralaren batez besteko balioaren teorema

BARROW-EN TEOREMA

f(x) funtzioa jarraitua bada [a,b] tartean eta G(x) bere jatorrizko bat bada, orduan

b

aaGbGdxxf )()()(

1. adibidea

dxxx 3

1

2 53

1

32

532

x

xx

5

3

1

2

115

3

27

2

9

53

1

2

1159

2

9

3

16

3

15

3

114

2. adibidea

dxx 2

013

2

0

2

2

3

x

x 40026

INTEGRAL MUGATUAREN INTERPRETAZIO GEOMETRIKOA

• bada , hau da, grafikoki:0)( xf bax ,

a b

f(x)

b

aAdxxf )( hau da, integral mugatuak f(x) funtzioak eta OX

ardatzak [a,b] tartean mugatzen duen azalera da.

b

adxxf 0)(

A

• bada , hau da, grafikoki:0)( xf bax ,

A

f(x)

ba

b

aAdxxf )(

b

adxxf 0)(

hau da, integral mugatuak f(x) funtzioak eta OX ardatzak [a,b] tartean mugatzen duen azalera da.

• bada , eta bada (edo alderantziz):

0)( xf cax , 0)( xf bcx ,

f(x)

b

ac

b

adxxf )( integral mugatuak ez dauka zerikusirik funtzioak [a,b] tartean

OX ardatzarekin mugatzen duen azalerarekin.

b

adxxf )( positiboa edo negatiboa izan daiteke, kasu honetan positiboa

izango da funtzioak [a,b] tartean azalera handiagoa eratzen duelako OX ardatzaren gainean azpian baino (azalera gorria azalera urdina baino handiagoa da).

b

adxxf )( Integral mugatuaren ikurrak esango digu non dagoen azalera

gehiago OX ardatzaren gainean edo azpian. Eta zenbakiaren balio absolutuak esango digu zenbat gehiago dauden.2u

Funtzioak OX ardatzarekin mugatzen duen azalerari [a,b] tartean A deituko diogu eta honela kalkulatuko geneke:

b

c

c

adxxfdxxfA )()(

1. adibidea: Kalkulatu eta interpretatu emaitza:

4

12 dxx

4

1

2

22

x

x

22

18

2

162

2

188

2

3

21 4

2)( xxf2

Funtzioak [1,4] tartean eta OX ardatzak

gehiago eratzen dute OX ardatzaren gainean azpian baino.

22/3 u

2. Kalkulatu aurreko funtzioak eta OX ardatzak [1,4] tartean mugatzen duten azalera.

dxxdxxA 4

2

2

122

2

1

22

12

22

x

xdxx

2

12

2

142

4

2

24

22

22

x

xdxx 24288

2

2

1u

22u

4

12 dxx

2

2

3u

urdina gorria baino.

handiagoa

22

1

2

2

52

2

1u

2. adibidea: Kalkulatu eta interpretatu emaitza:

3

02 dxx

3

0

2

22

x

x 0062

9

2

3

2 3

2)( xxf

1 Funtzioak [1,4] tartean eta OX ardatzak

gehiago eratzen dute OX ardatzaren azpian gainean baino.

22/3 u

2. Kalkulatu aurreko funtzioak eta OX ardatzak [0,3] tartean mugatzen duten azalera.

dxxdxxA 3

2

2

022

2

0

22

02

22

x

xdxx 20042

3

2

23

22

22

x

xdxx

2

1426

2

9

22u

2

2

1u

3

02 dxx

2

2

3u

gorria urdina baino.

handiagoa

2

12 2

2

5

2

12 u

3. Kalkulatu eta interpretatu emaitza: 4

2

21 dxx

4

2

21 dxx4

2

3

3

x

x3

50

3

562

3

82

3

644

42

f(x)A

f(x) funtzioa [2,4] tartean negatiboa da, beraz:

Au 2

3

50

3

50

f(x) funtzioak eta OX ardatzak [2,4] tartean mugatzen duten azalera.

4. Kalkulatu eta interpretatu emaitza: 1

0

3 4 dxxx

1

0

3 4 dxxx1

0

241

0

24

242

4

4

x

xxx 4

7002

4

1

xxxf 4)( 3 Ez dugu zertan funtzioaren adierazpen grafikoa egin behar.

1,00)( xxf 2

4

7

4

7uA

f(x) funtzioak eta OX ardatzak [0,1] tartean mugatzen duten azalera.

5. Kalkulatu eta interpretatu emaitza: 2

0

4 2 dxxx

2

0

4 2 dxxx2

0

25

2

2

5

xx

5

52004

5

32

2,00)( xxf 2

5

52uA

f(x) funtzioak eta OX ardatzak [0,2] tartean mugatzen duten azalera.

5. Kalkulatu eta interpretatu emaitza: 3

1

3 5 dxxx

3

1

3 5 dxxx3

1

24

2

5

4

xx

02

40

4

80

2

5

4

1

2

45

4

81

f(x) funtzioa batzutan positiboa da eta beste batzutan negatiboa (hau da, bere grafika batzutan OX ardatzaren gainean eta beste batzutan ardatzaren azpian dago).

Adibidez: f(2)=8-10=-2<0 eta f(3)=27-15=12>0

Beraz, integralaren emaitzak esaten digu non dagoen azalera kantitate gehiago ardatzaren azpian ala gainean. Kasu honetan 0 denez funtzioak eta OX ardatzak [1,3] tartean azalera kantitate berdina mugatzen dute ardatzaren azpian eta gainean.

6. Kalkulatu eta interpretatu emaitza: 3

0

3 dxxx

3

0

243

0

3

24

xx

dxxx 4

6300

2

9

4

81

f(0,5)<0 eta f(2)>0, beraz funtzioak eta OX ardatzak [0,3] tartean gehiago eratzen dute ardatzaren gainean azpian baino.

2

4

63u

6.

f(x)

a bc

22 u

23 u

Ondoko datuak ezagunak izanik, eman ondorengoen emaitzak:

a. c

axf )(

b. b

cxf )(

c. b

axf )(

d. Zein da f(x) funtzioak OX ardatzarekin mugatzen duen azalera [a,b] tartean? Nola adieraziko genuke integrazioa erabiliz?

2

-3

-1

25u25)()( udxxfdxxfA

b

c

c

a

7. Honako adierazpen hauetatik zeinek ematen digu f-ren grafikoak eta abzisa ardatzak mugatzen duten azalera?

a b c

a. c

axf )(

b. c

axf )(

c. dxxfdxxfc

b

b

a )()(

d. dxxfdxxfc

b

b

a )()(

INTEGRAL MUGATUAREN PROPIETATEAK

1. da f edozein dela ere. a

adxxf 0)(

2. bada eta jarraitua bada [a,b] tartean, orduan

da, eta bada [a,b] tartean, orduan .

0)( xf b

adxxf 0)(

0)( xf b

adxxf 0)(

3. badira eta f jarraitua bada [a,c] tartean, orduan: .

cba

b

a

c

b

c

adxxfdxxfdxxf )()()(

4. b

a

b

a

b

adxxgxfdxxfdxxf )()()()(

5. da, c zenbakia edozein dela ere. b

a

b

adxxfcdxxfc )()(

6. bakoitzerako bada, orduan bax , )()( xgxf b

a

b

adxxgdxxf )()(

AZALEREN KALKULUA

• f(x) funtzioak OX ardatzarekin mugatzen duena:

1. Kalkulatu OX ardatzarekin mugatzen duen eskualdearen azalera.

xxxf 2)( 2

xxA 222

0

2

0

23

2

2

3

xx

0043

8 2

3

4

3

4u

2. Kalkulatu OX ardatzarekin mugatzen duen eskualdearen azalera x=0 eta x=3 tartean.

xxxf 2)( 2

022 xx 02 xx

2

0

x

x

0 2 3

3

2

22

0

2 22 dxxxdxxxA

3

2

232

0

23

2

2

32

2

3

xxxx

4

3

899004

3

8 4

3

84

3

8

2

3

8

3

168 u

3. Kalkulatu kurbak eta OX ardatzak mugatzen duen eskualdearen azalera x=-1 eta x=2 abzisen artean.

22 xxy

022 xx

x=-2

x=1

dxxxdxxxA2

1

21

1

2 22

22

1

3

142

3

82

2

1

3

12

2

1

3

1

22

1

3

142

3

82

2

1

3

12

2

1

3

1

2

6

31

6

31024

2

1

3

54 u

2

1

231

1

23

223

223

xxx

xxx

4. 34)( 2 xxxfKalkulatu funtzioak eta OX ardatzak mugatzen duten eskualdearen azalera.

0342 xxx=1

x=3

dxxxA 3

1

2 34

3

1

23

32

4

3x

xx

323

19189

2

3

4

3

1132

3

19189 u

• f(x) eta g(x) funtzioek mugatzen dutena:

f(x)

g(x)

a b

b

axf )( = f(x) funtzioak OX ardatzarekin mugatzen duen eskualdearen azalera

b

axg )( = g(x) funtzioak OX ardatzarekin mugatzen duen eskualdearen azalera

b

adxxgxf )()( = f(x) eta g(x) funtzioek mugatzen duten azalera.

1. Kalkulatu eta funtzioek mugatzen duten eskualdearen azalera.

2xy 1y

12 x

x=-1

x=1

dxx 1

1

211

1

3

3

x

x

3

11

3

11

2

3

4

3

22

3

11

3

11 u

010

112

2

xxxx

xx

2. Kalkulatu eta funtzioek mugatzen duten eskualdearen azalera.

dxxx 1

0

2 11

xy 121 xy

x=0 x=1

dxxx 1

0

2

1

0

23

23

xx

2

6

1

2

1

3

1u

dxxxxx 3

0

22 24

3. Kalkulatu eta funtzioek mugatzen duten eskualdearen azalera.

xxy 42 xxy 22

032062

422

22

xxxx

xxxx

x=0 x=3

dxxx3

0

2 62

3

0

233

0

23

33

2

2

6

3

2

x

xxx 29002718 u

c

b

b

axhxgdxxhxfA )()()()(

• Hiru funtziok mugatzen duten azalera.

f(x)g(x)

h(x)

A

B

C

a b c

dxxdxx 5

2

2

1

2 0501

1. Kalkulatu , funtzioek eta OX ardatzak mugatzen duten eskualdearen azalera.

12 xy xy 5

012 x

0y1x

1x

1

0651 22 xxxx

2x 3x

05 x 5x2 5

5

2

22

1

3

25

3

xxx

x

210

2

25251

3

12

3

8 2102

25251

3

12

3

8

2

6

35

6

751496

2

25

3

716 u

dxxxdxxx1

0

2

1

222

2. Kalkulatu , , eta funtzioek mugatzen duten esparru lauaren azalera.

xy 2xy xy 2

A B

C

A

002 xxxx

B

01022 xxxxxx

x=0 x=1

C

02022 22 xxxxxx

x=0 x=2

10 2

2

1

32

1

0

2

1

0

2

1

2

32

2

xx

x

dxxxdxx

3

11

3

840

2

1

2

6

7

3

7

2

13

3

11

3

84

2

1u