República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

I.U.T “Antonio José de Sucre”

Departamento de Informática 78

Profesora:

Ranielina Rondón Bachiller

Solorzano Ricardo

C.I:18010063

Barcelona, 05 de diciembre del 2014

Integración de funciones racionales

Una función racional S(x) definida en un intervalo cerrado [a, b] se puede expresar en la forma:

En las integrales racionales suponemos que e l grado del numerador es menor

que del denominador, si no fuera así se dividi ría.

Una vez que sabemos que e l denominador tiene mayor grado que numerador,

descomponemos e l denominador en factores.

Siendo P(x) y Q(x) dos polinomios primos entre sí y de forma que Q(x) no se anula en el

intervalo [a, b].

En el caso de que el grado del numerador sea mayor que el del denominador, la función puede

expresarse como suma de un polinomio G(x) y de una función racional cuyo numerador sea de

grado inferior que el denominador, es decir:

Suponiendo que ya tenemos S(x) en esta última forma y que el polinomio Q(x) admite una

descomposición del tipo:

Donde a1, a2, … son raíces reales de multiplicidad a,b,..., … respectivamente y b1 ± c1.i , b2 ± c2.i

… son raíces imaginarias conjugadas de multiplicidad h, k, … respectivamente, entonces existe

la descomposición en fracciones simples del tipo:

Se demuestra que esta descomposición existe y que es única.

La obtención de los coeficientes indeterminados puede hacerse de distintas formas. Así, por

ejemplo, escrita a priori, la fórmula de descomposición, con coeficientes indeterminados en los

numeradores del segundo miembro, se quitan denominadores multiplicando ambos miembros

por Q(x). Basta entonces igualar coeficientes de las mismas potencias de x en la igualdad que

resulta para formar un sistema lineal de ecuaciones de solución única de las incógnitas

buscadas, Aj, Bj, Cj.

En algunos casos puede aplicarse un método sencillo que consiste en ir dando a x cada uno de

los valores que son raíces del denominador. Vamos a desglosar el problema de la

determinación de los coeficientes indeterminados en tres casos.

Caso de ceros simples reales.

No se precisa aplicar el método de los coeficientes indeterminados, pues si la descomposición

en fracciones simples se queda en la forma

Los coeficientes vienen dados por la expresión:

Y la función integral será de la forma:

Ejemplo 1.- Vamos a obtener la función primitiva de:

Esta función descompuesta en fracciones simples quedará en la forma:

Y los coeficientes A1, A2, A3 se pueden obtener por el método de las derivadas. Se tiene, siendo

la derivada del denominador 3•x² + 4•x-1:

Por lo tanto, la primitiva buscada será:

Caso de ceros simples imaginarios.

Consideremos el caso más sencillo, en el que el denominador Q(x) es de grado dos. Si sus raíces

son a + b•i y a – b•i, se tiene:

Y la fracción queda en la forma:

Así transformada, la función se integra como sigue:

Ejemplo 2.- Calcular la integral de la función:

La descomposición en fracciones simples de esta función nos da:

Y los coeficientes son: A = 1; B = -1; C = 0. De ese modo, la función integrada queda en la forma:

Caso de ceros múltiples.

Si en el denominador hay un factor (x-a) h, esta raíz h-ple origina h fracciones simples:

Multiplicando por (x-a)h y poniendo F(x) = P(x)/q(x), tenemos:

Los coeficientes se determinan entonces haciendo:

También se puede emplear el método de los coeficientes indeterminados, sobre todo cuando

hay raíces imaginarias.

Ejemplo 3.- Considerar la integral de la función:

Quitando denominadores resulta:

Identificando coeficientes y resolviendo se tiene: A = 1; B = 2; C = 1 y la función queda en la

forma:

E integrando:

Una vez estudiados los distintos métodos existentes para obtener los coeficientes, vamos a

analizar los tipos de funciones a integrar que aparecen. Los distintos tipos de funciones simples

que tenemos son:

El primer caso corresponde a una raíz real simple del denominador. Su integral se obtiene

inmediatamente y es de la forma A.Ln(x-a).

El segundo caso corresponde a una raíz real de multiplicidad, por lo menos, p del denominador.

Su integral se obtiene haciendo:

El tercer caso corresponde a un par de raíces conjugadas en el denominador y su integración se

realiza como se ha visto en el apartado “Caso de ceros simples imaginarios”:

El último caso corresponde a un par de raíces conjugadas, de multiplicidad por lo menos p, en

el denominador. La integral de una expresión de ese tipo debe resolverse por un método de

reducción:

La primera de las integrales se obtiene como sigue:

Para resolver la segunda de las integrales hacemos:

Haciendo ahora el cambio:

Podemos poner:

Llamando Ip a la expresión comprendida bajo el signo integral podemos hacer:

La primera de las integrales queda Ip-1, la segunda pude integrarse por partes haciendo:

Y a partir de ahí:

Con lo que tenemos:

Y sustituyendo en la expresión de Ip

Agrupando términos y deshaciendo el cambio de variable realizado al principio, se tiene:

La expresión general para las integrales racionales con raíces conjugadas de multiplicidad por

lo menos p en el denominador queda, por tanto, en la forma:

Donde Ip tiene el valor obtenido anteriormente, que operado sucesivamente queda en la

forma:

Método de Hermite. En el caso de que el denominador tenga ceros múltiples es posible y conveniente descomponer el integrando en la siguiente forma:

Siendo en dicha expresión: Q1(x) el máximo común divisor de Q(x) y Q’(x); Q2(x) el cociente (exacto) entre Q(x) y Q1(x) y los polinomios P1(x) y P2(x), de grados inferiores a Q1(x) y Q2(x), respectivamente, cuyos coeficientes se determinan por el método de los coeficientes indeterminados. La integral de la fracción propuesta viene entonces dada en la forma:

Que se compone de una parte racional ya integrada y otra trascendente, por tener Q2(x) todos sus ceros simples, ya que cada raíz h-ple de Q(x) es raíz (h-1)-ple de Q1(x). La determinación de Q1(x), Q2(x), P1(x) y P2(x) es racional no exigiéndose la determinación de los ceros y esta sólo se necesita para el polinomio de menor grado, Q2(x), al calcular la parte trascendente de la integral. Demostración. Sea el polinomio del denominador Q(x) con h raíces distintas:

Cada una de las cuales tenga multiplicidad a1,…, ah, respectivamente. El grado de dicho polinomio será, por ejemplo, n. El polinomio Q1(x), máximo común divisor de Q(x) y Q’(x) vendrá dado en la forma:

Y su grado será n-h. Por último, el polinomio Q2(x), cociente exacto entre Q(x) y Q1(x) será de la forma:

Y su grado será h (menor o igual que n). Vamos a ver ahora cómo se determinan los polinomios P1(x) y P2(x), de grados inferiores a Q1(x) y Q2(x), respectivamente, que satisfagan la relación (1 – MH) que se puede poner en la forma:

O lo que es igual:

Si, por ejemplo, P1(x) es un polinomio indeterminado de grado (n-h)-1 y P2(x) otro polinomio de grado (h-1), el número total de coeficientes indeterminados, contando los términos independientes de los dos polinomios, es n; y como el primer miembro, P(x), es a lo sumo, de grado (n-1), se tiene un número suficiente de ecuaciones lineales para determinarlos. Estas ecuaciones lineales forman un sistema determinado, porque si fuera nulo su determinante, el sistema homogéneo que resultaría tomando términos independientes nulos, admitiría solución no formada por ceros, es decir, habría dos polinomios no idénticamente nulos, P 1(x) y P2(x) que satisfarían (1 – MH) y (2 – MH) para el polinomio idénticamente nulo P(x) y resultaría de (2 – MH) (cuyo primer miembro sería nulo) la igualdad de una función racional, P1(x)/Q1(x), con una trascendente. Ejemplo 4.- Determinar por el método de Hermite la integral

Formamos los distintos polinomios necesarios:

Y la ecuación de Hermite es:

Que da, igualando coeficientes, el siguiente sistema de ecuaciones:

En x4, c = 0 En x³, d – a – 2c = 0 En x², c + e – a – 2b – 2d = 0 En x¹, d – a – 2e = 0 En x0, e – a – 2b = 1

Que tiene por solución: a = ½; b = -3/4; c = 0; d = ½; e = 0 Y la expresión a integrar resulta:

Calculamos la última integral por descomposición en fracciones simples:

Igualando coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones lineales: En x², A + B = 0; en x¹, C – B = ½; en x0, A – C = 0 Que tiene como solución: A = ¼; B = - ¼; C = ¼

De ese modo la integral queda en la forma:

Y su solución es:

Con lo que la integral general queda en la forma:

En las integrales racionales suponemos que e l grado del numerador es menor

que del denominador, si no fuera así se dividi ría.

Una vez que sabemos que e l denominador tiene mayor grado que numerador,

descomponemos e l denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los

siguientes tipos de integrales racionales :

Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción puede escribi rse así:

Los coef icientes A, B y C son números que se obtienen efectuando la suma e

identi f icando coef icientes o dando valores a x .

Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen e l mismo denominador, los numeradores han de ser

iguales:

Calculamos los coef icientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al

denominador.

Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción puede escribi rse así:

Para calcular los valores de A, B y C, damo s a x los valores que anulan al

denominador y otro más.

Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción puede escribi rse así:

Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arco

tangente .

Hal lamos los coef icientes real i zando las operaciones e igualando

coef icientes: