1) FLUJO, CIRCULACION Y TRABAJO.

Flujo

Tambin se pueden usar integrales de lnea para determinar la razn a la que un fluido que fluye a travs de una curva.Clculo de Flujo de Fluidos. Si V representa el campo de velocidades de un Fluido entonces la integral de V. dSes la cantidad neta de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.

Clculo de Flujo de Elctrico: Si E representa un campo elctrico entonces la integral de E .dS es la cantidad neta de flujo elctrico que atraviesa la superficie.

Clculo de Flujo Trmico: Sea la funcin T (t,x,y,z) la temperatura en un punto (x,y,z) W 3, donde W es alguna regin slida y T es una funcin cuyas primeras derivadas parciales son continuas en la regin W.T representa entonces al campo gradiente de temperaturas, y como la temperatura fluye de la regiones calientes a las regiones fras, entonces el campo de calor fluye.a razn del campo vectorial F T = , es importante recordar que T apunta en la direccin en la que el valor de la temperatura T crece, pero como es un hecho fsico que el calor fluye de las zonas caliente a las fras, se incorpora el signo negativo, para reflejar est condicin fsica. Por lo tanto la integral F.dS es el flujo de calor a travs de la superficie S.

CirculacinSe llama as a la cantidad total de fluido que rodea a una curva cerrada C.Dada una funcin vectorial de punto F(x,y,z) y la curva que va de A a B, se calcula como:

Decimos que un campo vectorial es conservativo cuando su circulacin a la largo de cualquier curva cerrada es nula:

Si tenemos un sistema de coordenadas x,y,z y una curva, para calcular la circulacin de un campo vectorial E(x,y,z) entre los puntos A y B de la curva, tenemos que obtener E.dr donde: dr = dx i + dy j + dz kE = Ex i + Ey j + Ez k

Por lo tanto:

Ejemplos: Dado el vector a = (x+y) i + xy j, calcular su circulacin a lo largo de la recta y = x+1 desde el punto A(0,1) al B(1,2).

Dado el vector v = (x+y) + xy j, calcular su circulacin a lo largo de la recta y = x+1 desde el punto A(0,1) al B(1,2).

TRABAJOLa definicin ms elemental del trabajo es aquella que se da cuando una fuerza constante acta sobre una partcula, mientras esta se desplaza segn una trayectoria plana a lo largo de la lnea de accin de la fuerza.La integral de lnea de una fuerza sobre una trayectoria es igual al trabajo realizado por esa dicha fuerza. W=C F.drSea F(x,y,z) un campo de fuerzas continuo, definido sobre los puntos de una curva acotada C, el trabajo realizado por el campo de fuerzas F para mover una partcula a lo largo de una curva C de Rn regular a trozos y parametrizada por medio de est determinado por:

Dondees un vector tangente unitario a C que representa la direccin en el cual se aplica la fuerza.

2) PRIMER Y SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE CLCULO PARA INTEGRALES DE LINEA.

Integrales De LneaEs aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una curva.En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama tambin Integral de Contorno.Ejemplos prcticos de su utilizacin pueden ser: El clculo de la longitud de una curva en el espacio; El clculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva; tambin para el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que acten sobre el mismo.

El teorema fundamental del clculo puede escribirse como:

Dondees continua en. El teorema del cambio total tambin se llama ecuacin 1, La integral de una razn de cambio es el cambio total.Si pensamos que el valor gradientede una funcinde dos tres variables es una especie de derivada de, entonces el teorema siguiente puede considerarse como una versin del Teorema Fundamental para las Integrales de Lnea.Teorema:Sea una Curva C una curva suave dada por la funcin vectorial. Sea "f" una funcin derivable de dos tres variables, cuyo vector gradientees continuo sobre C.Entonces:

El teorema nos dice que podemos evaluar la integral de lnea de un campo vectorial conservativo (el campo vectorial gradiente de la funcin potencial f) con solo conocer el valor de "f" en los extremos de C. De hecho el teorema nos expresa que la integral de lnea dees el cambio total de "f". Si "f" es una funcin de dos variables y C es una curva plana con punto inicial A(X1, Y1) y punto final B(X2 , Y2), entonces el teorema se convierte en:

Si "f" es una funcin de tres variables y C es una curva en el espacio que unecon,

Entonces tenemos:

Ejemplo 1Demuestre quees conservativo

Dado que las derivadas cruzadas son iguales el campo es conservativo. Ahora encontremos la funcin f que cumpla que el campo es igual al gradiente de f. Para esto integraremos P respecto de x, y Q respecto de y e igualaremos las funciones para encontrar la funcin f.

Ejemplo 2Demuestre que el campo es conservativo

No es conservativo

Ejemplo 3Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas del puntoaVerificamos si es el campo es conservativo.

Con esto demostramos que si es conservativo.Integramos con respecto ay a

Evaluamos en el punto inicial y final.

3) AREA DE SUPERFICIE La integral doble puede ser utilizada para determinar el rea de la porcin de la superficie z=f(x,y) que se localiza sobre un cerrada R en el plano x,y. Para demostrar esto primero debe definirse que significa la medida de esta rea y luego obtener una frmula para calcularla. Supongamos que F y y sus primeras derivadas parciales son continuas en R y supongamos adems que f(x, y)>0 en R. Sea una particin de R en n subregiones rectangulares. El i-simo rectngulo tiene dimensiones de medidas ix iy asi como un rea de medida iA. Sea (i i) cualquier punto en el i-simo rectngulo, y en el punto Q (i i ,F(i i)) de la superficie consideramos el plano tangente a la superficie. Proyectamos verticalmente hacia arriba el i-simo rectngulo sobre el plano tangente y sea i la medida del rea de esta proyeccin. La figura 1 muestra la regin R y la proyeccin del i-simo rectngulo sobre el plan tangente a la superficie en Q. El nmero i es una aproximacin de la medida del rea de la parte de la superficie que esta sobre el i-simo rectngulo. Como hay n de dichas partes, la sumatoria iEs una aproximacin a la medida del rea de la porcin de la superficie que esta sobre R. esto lleva a definir como sigue: ec.(1)Ahora necesitamos obtener una frmula para calcular el lmite de la ecuacin (1). Para esto encontramos una frmula para calcular ic como la medida del rea de un paralelogramo. Para mayor simplicidad del clculo, tomamos el punto (i i) en el i-simo rectngulo en la esquina (xi-1, yi-1). Sean Ay B vectores que tienen como representaciones los segmentos rectilneos dirigidos con puntos iniciales en Q y forman los lados adyacentes del paralelogramo cuya rea tiene la medida i. Entonces i = ||A x B ||. Ya que:

Concluimos que:

= Por lo tanto: i = ||A x B ||. = Sustituyendo esta expresin de i en (1) se tiene:

Este lmite es una integral doble que existe en R debido a la continuidad de en R. tenemos entonces el siguiente teorema:

TEOREMA: Supongamos que f y sus primeras derivadas parciales son continuas en la regin cerrada R en el plano xy. Entonces, si es la medida del area de la superficie z = F(x,y) que esta sobre R

Ejemplo: Determinar el rea de la superficie que se forma cuando el cilindro es cortado por los planos x=0, x=2, Y=0, y=3Solucin: la regin R es el rectngulo en el primer cuadrante del plano xy limitada por las rectas x=2 y y=3. La superficie tiene la ecuacin . Despejando z se obtiene por lo tanto , asi pues si es la medida del rea de la superficie, entonces del teorema:

BIBLIOGRAFA:

http://estudiarfisica.wordpress.com/2008/10/27/fisica-general-4-teoria-de-campos-campos-escalares-campos-vectoriales-gradiente-circulacion-flujo-divergencia-y-rotacional/ http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/11355/3/Campos_esc_y_vect.pdf http://tamarisco.datsi.fi.upm.es/PEOPLE/mapascual/TEORIA_DE_CAMPOS.pdf http://personales.unican.es/junqueraj/JavierJunquera_files/Fisica-1/1.9Circulacion_y_flujo.pdf http://www.ing.uc.edu.ve/~amejias/Archivos_pdf/int_sup_intsupcv.pdf Calculo 6ta edicin LOUIS LEITHOLD PAG