Calculo Diferencial e Integral II

Integrales Definidas Ciclo escolar 2013-2014

Integrales Definidas

• La siguiente notación se lee:

La Integral definida de “𝒂” a “𝒃” de 𝒇(𝒙).

Y representa el área con signo de la región limitada por el eje 𝑋, la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥)

y las rectas

𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.

Ejemplos 2𝑥 − 1 𝑑𝑥

3

1

2 − 𝑥 𝑑𝑥6

2

𝑥

2+ 1 𝑑𝑥

5

1

𝑥

3− 1 𝑑𝑥

5

−1

Sumas de Riemann

Sumas de Riemann • Si hacemos 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏, una

partición del segmento 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, y Δ𝑥𝑗 = 𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗, entonces

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑘 Δ𝑥𝑘

𝑛−1

𝑘=0

= lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑘 Δ𝑥𝑘−1

𝑛

𝑘=1

• A esta expresión se le conoce como sumas de Riemann.

Sumas de Riemann x fx dx fxdx

0 0.000 0.1

0.1 0.095 0.1 0.0095

0.2 0.180 0.1 0.0180

0.3 0.255 0.1 0.0255

0.4 0.320 0.1 0.0320

0.5 0.375 0.1 0.0375

0.6 0.420 0.1 0.0420

0.7 0.455 0.1 0.0455

0.8 0.480 0.1 0.0480

0.9 0.495 0.1 0.0495

1 0.500 0.1 0.0500

1.1 0.495 0.1 0.0495

1.2 0.480 0.1 0.0480

1.3 0.455 0.1 0.0455

1.4 0.420 0.1 0.0420

1.5 0.375 0.1 0.0375

1.6 0.320 0.1 0.0320

1.7 0.255 0.1 0.0255

1.8 0.180 0.1 0.0180

1.9 0.095 0.1 0.0095

2 0.000 0.1

0.665

Sumas de Riemann

𝑥3𝑑𝑥2

1

2𝑥2 − 10 𝑑𝑥4

2

Teorema Fundamental del Calculo

• Si 𝑓 𝑥 es continua en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, y 𝐹 𝑥 es una antiderivada de 𝑓 𝑥 , entonces

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝐹 𝑥 𝑎

𝑏= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎

• teorema

Ejemplos

𝑥2𝑑𝑥4

1

=𝑥3

3 1

4

=43

3−

13

3

=64

3−

1

3=

63

3= 21

𝑥4 − 2𝑥 + 1 𝑑𝑥4

2

=𝑥5

5− 𝑥2 + 𝑥

2

4

=4 5

5− 4 2 + 4

−2 5

5− 2 2 + 2

=964

5−

22

5=

942

5

Ejemplos

2𝑥 − 3 4𝑑𝑥4

0

=1

2⋅

2𝑥 − 3 5

5 0

4

=2𝑥 − 3 5

10 0

4

=2 4 − 3 5

10

−2 0 − 3 5

10

=5 5

10−

−3 5

10

=3125

10−

−243

10=

3368

10

𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥𝜋/2

0

= 𝑥 sen 𝑥 + cos 𝑥 0

𝜋/2

=𝜋

2⋅ sen

𝜋

2+ cos

𝜋

2− 0 ⋅ sen 0 + cos 0

=𝜋

2⋅ 1 + 0 − 0 ⋅ 0 + 1

=𝜋

2− 1 =

𝜋

2− 1