Integrales Dobles 01_01

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Notas de Clase 2007 Cálculo Vectorial Integrales Dobles M. M. Añino Cálculo Vectorial 2007

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Material sobre integrales dobles

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Notas de Clase

2007

Cálculo Vectorial

Integrales Dobles

M. M. Añino Cálculo Vectorial 2007

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1.- La integral definida y el cálculo de áreas. 2.- La integral doble y el cálculo de volúmenes. 3.- La integral doble sobre un rectángulo. 4.- Integrales Iteradas. 5.- El teorema de Fubini. 6.- Principio de Cavalieri. 7.- La integral doble sobre regiones más generales. 8.- La integral doble sobre regiones tipo I. 9.- La integral doble sobre regiones tipo II. 10.- Propiedades de la integral doble. Bibliografía:

1. STEWART, J.: “Cálculo. Trascendentes tempranas”

(Cuarta Edición). Thomson-Learning. 2001

2. MARSDEN, J. E. y TROMBA, A. J. : “Cálculo

Vectorial” (Cuarta Edición), Addison-Wesley

Iberoamericana, 1998.

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Integral Definida

función continua definida en:

subintervalos

Si f(x) ≥ 0

A

Área bajo la curva

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Volúmenes e Integrales dobles

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Objetivo:

Calcular el volumen encerrado por :

El plano z = 0

Los planos x = a, x = b

Los planos y = c, y = dY la superficie definida por z = f (x, y)

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DEFINIMOS UNA PARTICIÓN EN R

Se subdivide en partes

Se subdivide en partes

Esta partición genera m.n subrectángulos Rij

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Vij =

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Integrales dobles sobre rectángulos

Sea R = [a, b]x[c, d] un rectángulo en R2

f(x,y) definida en el rectángulo R

En R se efectúa una Partición (según lo visto anteriormente)

Se define la doble suma de Riemann:

Si existe el límite:

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Se dice entonces que f(x,y) es integrable en el rectángulo R y a dicho límite se lo indica:

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Significado del límite

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Notas

El límite si existe es independiente del punto de evaluación elegido

Una interpretación geométrica

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Un Teorema

Si f(x,y) es continua en R entonces el límite existe y se dice que f es integrable en R.

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Integrales Iteradas

f(x,y) definida y continua en R

R = [a,b]x[c,d]

Mantenemos la variable x fija e integramos con respecto a la variable y

Mantenemos la variable y fija e integramos con respecto a la variable x

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Cálculo de la integral doble sobre un rectángulo:

Teorema de FubiniSi f(x,y) es continua en un rectángulo R,

entonces:

Nota:

Una demostración formal puede encontrarse en

Textos de Cálculo (Ver Cálculo vectorial de Marsden )

Es posible dar una justificación del teorema de Fubini para un caso particular:

f(x,y) ≥ 0

usando el Método de Cavalieri

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Bonaventura Cavalieri

(1598-1647)

Discípulo de Galileo y profesor en Bolonia

¿En qué consiste el Método de Cavalieri para determinar volúmenes?

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Principio de Cavalieri

,-, ....., , ..... , .....0 - 1

* ,-

*

x x

a bb aa x x x x b xi i n n

x x xi i i

bx x dxi

a

= =

∑ ∫→ ∞

∆V A( )∆ (Volumendeunasección cilíndrica)

efectuandouna particiónen[ ]

,con ∆ =

cualquier punto en[ ]1

Resulta:

nlimV= A( )∆x= A( )

n i=1

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Apliquemos Cavalieri para calcular el volumen del cuerpo acotado por los planos x = a, x = b, y = c, y = d, z = 0 y debajo de z = f(x, y)

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Teorema de Fubini

Justificación para el caso: f(x,y) 0

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Plano de

Referencia

Y=0

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Integrales dobles sobre regiones más generales

D es una región acotadaf(x,y)es continua en D

Si (x,y) está en D

Si (x,y) está en R pero no en D

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Si (x,y) está en D

Si (x,y) está en R pero no en D

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Regiones D en el plano del tipo I

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Integrales dobles para funciones definidas en regiones tipo II

Región Tipo II:

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Propiedades de las Integrales Dobles

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