Integrales Trigonométricas esc Lupe

Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I

Integrales Trigonométricas

Los ejercicios que se presentarán en este materialpretenden aclarar las dudas sobre integración deexpresiones trigonométricas.

Generalmente es necesario hacer una pequeñatransformación para resolver dichas expresiones.

La trigonometría será muy útil en la resolución deproblemas en áreas como electrónica yelectromecánica.

Presentación

2

Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII

Índice

Presentación 2

A manera de inicio 4Caso I 5Ejercicio 1 6Caso II 8Ejercicio 2 9Caso III 13Ejercicio 3 14Caso IV 18Ejercicio 4 19Cierre 24Créditos 25

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Para calcular integrales trigonométricas podemoshacer uso de una pequeña tabla de integrales básicaque nos será de mucha utilidad:

Dentro de los ejercicios que se le pueden presentar enintegrales de funciones trigonométricas es normalque aparezcan expresiones en términos de potenciasde las funciones seno y coseno, como tambiénpueden aparecer en términos de potencias de lasfunciones secante y tangente.

A manera de inicio


4

Para un primer caso es importante recordar algunasde las identidades trigonométricas como lassiguientes:

Con las cuales se pueden transformar la mayoría delas expresiones trigonométricas y con ello podersimplificarlas con mayor facilidad.

Así como las pitagóricas:

!"#$ % + #'($ % = 1#'!$ % = 1 + +,($ %

Caso I


5

Calcule la siguiente integral

!"#$ %&'( % )%

Paso 1 Se debe simplificar la expresión al máximo, en la medida de lo posible en términos de senos y cosenos.

!*+, -./0 - 1- = !

./, -03. -1

03. -1- =

!./, - 03. -03. - 1- = !./, - 1-

Ejercicio 1

Recuerde:

*+, - = 567 89:5 8 03. - = ;

569 8


6

Paso 2 Se calcula la integral

!"#$ % &% = ()" % + +

Paso 3 Respuesta

Ejercicio 1

()" % + +


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Integrales de la forma

!"#$$ % &'"( % )%

Para «m» imparComo el exponente del coseno es impar lo separamosde modo que quede *+, - multiplicando el otrocoseno que tendrá exponente par.

!"#$$ % &'"(./ % &'" % )%

Después se transforma la expresión de coseno a algoasí *+,0 - 1 , donde «r» es un número quemultiplicado por 2 da m−1 , se transforma laidentidad pitagórica

*+,0 - = 1 − ,560 -

Caso IITema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII

8


!"#$%& ' ()"* ' +'

Paso 1 Se separa la potencia de coseno para que quede un coseno elevado a la uno aparte.

!,-./0 1 23,4 1 51 = !,-./0 1 23,7 1 23, 1 51

Paso 2 Se coloca la potencia del coseno como 23,0 1 8, eneste caso : = 2.

! ,-./0 1 23,7 1 23, 1 51 =

!,-./0 1 23,0 1 023, 1 51

Ejercicio 2Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII

9

Paso 3Se hace cambio por la expresión pitagórica

!"#$ % = 1 − #)*$ %+#)*,$ % !"#$ % $!"# % -% =

+#)*,$ % 1 − #)*$ % $!"# % -%

Paso 4 Se resuelve la fórmula notable 1 − #)*$ % $

+ #)*,$ % 1 − 2#)*$ % + #)*0 % !"# % -%

Ejercicio 2

Recuerde:#)*$ % + !"#$ % = 1


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Paso 5Se multiplica la expresión∫"

#$%&'( ) *+$ ) − 2$%&'. ) *+$ ) +

$%&'0 ) *+$ ) 1)

Paso 6 Se separan los términos de la integral

2$%&'( ) *+$ ) 1) − 22$%&'. ) *+$ ) 1) + 2$%&'0 ) *+$ ) 1)

Paso 7 Se hace la sustitución de 3 = $%& ) y 13 =*+$ ) 1) para resolver la integral por sustitución

23'(13 − 223'.13 + 23'013

Ejercicio 2

Recuerde:3 = $%& )

13 = *+$ ) 1)


11

Paso 8Resolver las integrales que están separadas por lassumas o restas

!"#$%" − 2!"#(%" + !"#*%"

"##11 − 2 ,

"#-13 +

"#/15 + 1

Paso 9 Respuesta

Ejercicio 2

Recuerde:" = 345 6

%" = 783 6 %6

345## 611 − 2345

#- 613 + 345

#/ 615 + 1


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Integrales de la forma

!"#$$ % &'"( % )%

Para «n» imparComo el exponente del seno es impar lo separamosde modo que quede *+, - multiplicando el otroseno que tendrá exponente par.

!"#$$./ % "#$ % &'"( % )%

Después se transforma la expresión de seno a algo así*+,0 - 1 , donde «r» es un número que

multiplicado por 2 da , − 1 , se transforma laidentidad pitagórica *+,0 - = 1 − 56*0 -

Caso IIITema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII

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!"#$% & '(")* & +&

Paso 1 Se separa la potencia de coseno para que quede un seno elevado a la uno aparte.

!,-./ 0 12,34 0 50 = !,-.7 0 ,-. 0 12,34 0 50

Paso 2 Se coloca la potencia del seno como ,-.7 0 8, eneste caso : = 1.

! ,-.7 0 ,-. 0 12,34 0 50


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Paso 3Se hace cambio por la expresión pitagórica!"#$ % = 1 − )*!$ %

+ 1 − )*!$ % !"# % )*!,- % .%

Paso 4 Se multiplica la expresión

+ !"# % )*!,- % − !"# % )*!,$ % .%

Ejercicio 3

Recuerde:!"#$ % + )*!$ % = 1


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Paso 5 Se separan los términos de la integral

!"#$ % &'"() % *% − !"#$ % &'"(, % *%

Paso 6 Se hace la sustitución de - = &'" % y −*- ="#$ % *%, para resolver la integral por sustitución

!-() / −*- −!-(, / −*- =

−!-()*- + !-(, *- =


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Paso 7 Resolver las integrales que están separadas por lassumas o restas

−"#$%&# + "#$( &# =

−#*9 + #

$$

11 + -Paso 8Respuesta

Ejercicio 3

−./0* 19 + ./0

$$ 111 + -

Recuerde:# = ./0 1

&# = −023 1 &1−&# = 023 1 &1


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Integrales donde ambas potencias son pares

Como el exponente del seno es par es necesariotrabajar con la identidad:

!"#$ % = '$ 1 − *+! 2%

Como el exponente del coseno es par es necesariotrabajar con la identidad:

*+!$ % = 12 1 + *+! %

Caso IVTema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII

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!"#$% & '&

Paso 1 Se hace el cambio de

()*+ , = 12 1 + ()* 2,

!()*1 , 2, =

! ()*+ , +2, =

! 1 + ()* 2,2

+2,


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Paso 2Se simplifica la expresión que resulta

! 1 + $%& 2(2

)*( = ! 1 + 2$%& 2( + $%&) 2(

4 *(

Paso 3 Se separan los términos de la integral y se simplifica

! 1 + 2$%& 2( + $%&) 2(4 *(

! 14 +

2$%& 2(4 + $%&

) 2(4 *(

!14*( + !$%& 2(

2 *( + !$%&) 2(4 *(


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Paso 4 Hay que cambiar !"#$ 2& = ()*+, -.

$

/142& + /!"# 2&

2 2& + /!"#$ 2&4 2&

/142& + /!"# 2&

2 2& + /1 + !"# 4&8 2&

Ejercicio 4

Recuerde:

!"#$ & = 1 + !"# 2&2

!"#$ 2& = ()*+, -.$


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Paso 5Se separan los términos de la última integral

!14$% + !'() 2%

2 $% + !1 + '() 4%8 $%

!14$% + !'() 2%

2 $% + !18$% +18!'() 4% $%

Paso 6Se calculan las integrales, se aplica el método porsustitución

!14$% +12!'() 2% $% + !18$% +

18!'() 4% $%

%4 +

12!'() ,

$,2 + %8 +

18!'() -

$-4

Ejercicio 4

Recuerde:, = 2%

$, = 2$%$,2 = $%

Recuerde:- = 4%

$- = 4$%$-4 = $%


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Continúa paso 6

!4 +

12&'() *

+*2 + !8 +

18&'() -

+-4

!4 +

14 )./ * + !8 +

132 )./ - + 1

!4 +

)./ 2!4 + !8 +

)./ 4!32 + 1

Paso 7Respuesta

Ejercicio 4

!4 +

)./ 2!4 + !8 +

)./ 4!32 + 1


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Espero que estos ejercicios le sean de utilidad pararesolver problemas de Integración trigonométrica,con los cuáles pueda construir los nuevosconocimientos que vendrán en Cálculo I.

Factorizar la expresión

A manera de cierre

«El estudio de las matemáticas,como el Nilo, comienza conminuciosidad pero termina conmagnificencia».

Charles Caleb Colton.


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CréditosUniversidad Técnica Nacional

Coordinación de Matemáticas y Estadística

ContenidoAutor: Gerardo Arroyo Brenes

Producción del recurso didáctico:Productora académica: Guadalupe Zúñiga Camacho

Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde

Derecho de AutorQueda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obra multimedia[Integrales Trigonométricas], por cualquier medio oprocedimiento, conocido o por conocerse, sin elconsentimiento previo de los titulares de los derechos, asícomo de las obras literarias, artísticas o científicasparticulares que contiene.


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