Integrales+Triples+xyz+Alumnos++01

7/21/2019 Integrales+Triples+xyz+Alumnos++01

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1032 CAPÍTULO 14 Integración múltiple

Ejercicios de la sección 4 6

En los ejercicios 1 a 8 evaluar la integral iterada.

1.

f

(x y z dx dy

d:

2.

f J J 1

2

y2z

2

dxdydz

3 f f Y x d: dy dx 4.

f

I:/3l yL 9X2 Z d: dx dy

5.

f L

2ze-

x2

dy dx d: 6.

f f a

l

xZ

In z dy d; dx

, 7.l

4

l"/2 L -x x cos y d: dy dx 8. l"/2 I:/

2

L Y sen y d; dx dy

En los ejercicios 9 y 10 utilizar un sistema computacional para

álgebra y evaluar la integral iterada.

9. ef.J4=X í r

2

d; dy dx

J o - J4=: ,jo

10 h

( (4-y2 y

dz

dy

dx

J 2 x

2

y2

En los ejercicios 11y 12 utilizar un sistema computacional para

álgebra y aproximar la integral iterada.

11. 2 (.J4= Xí 4 x

2

sen y d; dy dx

J o J o J I z

1

312-<2

Y

/3)16-2

Y

-3

2

_

2

12

ze x'y dx

d;

dy

o o o

En los ejercicios 13a 16 dar una integral triple para el volumen

del sólido.

13.

El sólido en el primer octante acotado por los planos coordena-

dos

y

el plano z 4 -

x -

y

14. El sólido acotado por z

=

9 -

X2, Z =

O

x =

O Y

Y = 2x

15. El sólido acotado por el paraboloide z 9 - x

2

- y2 Yel plano

z = O

16. El sólido que es el interior común bajo de la esfera x

2

y2

Z2 =

80 Y sobre el paraboloide z

= (x

2

y2)

Volumen

En los ejercicios 17 a 22 utilizar una integral triple

para hallar el volumen del sólido mostrado en la figura.

17.

18.

z =xy

x

x

sxs

sys

= O

y

19. 20.

z = 36 - x

2

_ y2

36

z = O

12

12 Y

21.

22.

z = 4 x

2

4

y= x 2

X ;

y;

z ; O

y

y

x

En los ejercicios 23 a 26 dibujar el sólido cuyo volumen está

dado por la integral iterada y reescribir la integral utilizando el

orden de integración indicado.

1

4

1

<4 -X)/21<12 - 3x-6y)/4

23. dz

dy dx

o o o

Reescribir utilizando el orden

dy dx

dz.

24. fl

r

X

Y

dz.dy dx


dz

dx dy.

25

l f l Y i

d:

dx dy


d; dy dx.

26.

f J :

f/YL4X2

dy dx

Reescribir utilizando el orden dx dy dz,

En los ejercicios 27 a 30 dar los seis posibles órdenes de inte-

gración de la integral triple sobre la región sólida

Q

xyzdV.

Q

27. Q

{(x, y, z : O s x s 1 O s y s x, O s z s 3}

28.

Q

=

{(x, y,

z O s

x

s 2

x

2

y

s 4 O s

z

s 2

x}

29.

Q

=

{(x, y,

z :

x

2

y2

9 0

z

4}

30.

{ x y,

z : O s

x

s 1

y

s 1 -

X2,

O

Z

s 6}



En los ejercicios 31 y 32, la figura muestra la región de inte-

gración de la integral dada. Reescribir la integral como una

integral iterada equivalente con los otros cincoórdenes.

l

l l l - y

1

Y

31.

dz dx dy

o o o

e

X 9 X 2

32. Jo Jo Jo dz dy dx

z

z=9-x2

z= l-y

y=x

y

x

X=1 _y2

x

y

Masa y centro de masa En los ejercicios 33 a 36, hallar la masa

y las coordenadas indicadas del centro de masa del sólido de

densidad dada acotado por las gráficas de las ecuaciones.

33. Hallar

x

utilizando p(x ,

y,

z

=

k.

Q: 2.x + 3y + 6z = 12 x = O Y = O z = O

34. Hallar utilizando p(x ,

y,

z

= ky.

Q: 3x 3y

5z = 15

x

= O = O z = O

35. Hallar z utilizando p(x, y, z = kx .

Q:

z = 4 - x, z = O

Y

= O

Y

= 4 x = O

36. Hallar utilizando p(x , y z = k.

x

y

z

Q: - -b - = 1 a, b, e > O x = O Y = O z = O

a e

Masa y centro de masa En los ejercicios 37 y 38, formular las

integrales triples para hallar la masa

y

el centro de masa del

sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones.

37 . x = O x = b,

y

= O Y = b, z = O z = b

p(x , y, z = kxy

38. x = O x = a,

y

= O Y = b, z = O z = e

p(x , y z =

k

Para pensar En la figura se muestra el centro de masa de un

sólido de densidad constante. En los ejercicios 39 a 42, hacer

una conjetura acerca de cómo cambiará el centro de masa

x, y, z con la densidad no constante

p x,y,

z . Explicar.

39. p(x , y, z = kx

40. p(x , y

z

= k;

41. p(x , y, z = k(y 2

42. p(x , y, z =kxZ2 (y 2 2

x

SECCIÓN 14.6

Integrales triples y aplicaciones

3 3

Centroide En los ejercicios 43 a 48, hallar el centroide de la

región sólida acotada por las gráficas de las ecuacioneso descri-

ta en la figura. Utilizar un sistema computacional para álgebra

y evaluar las integrales triples. Suponer densidad uniforme y

hallar el centro de masa.

h

43. z

=

_Jx2 y2 ,

= h

r

44. y = .J4 - x2,

z

= y,

z

= O

46.

z

=

.J4

2 - x2 - y2 ,

=

O

1

= ---

z

= O x = -2 x = 2 y = O

y2

l

45.

47.

x

48.

O, O, 4

x

Momentos de inercia En los ejercicios 49 a 52, hallar Ix Iy e L,

para el sólido de densidad dada. Utilizar un sistema compu-

tacional para álgebra y evaluar las integrales triples.

49. a p = k

b p = kxy

x

I

¡ \ \

51. a p(x , y z = k

b) p = ky

x

50. a p(x , y,

z

= k

b p(x , y, z

=

k(x

2

y2 )

y

y

52. a p

= kz

b p = k(4 - z

4

z=4 -y2

y

4

x

Momentos de inercia

En los ejercicios

53

y

54,

verificar los

momentos de inercia del sólido de densidad uniforme. Utilizar

un sistema computacional para álgebra y evaluar las integrales

triples.

53. Ix = m(3a 2 L2)

1y= ma

2

1,

= m(3 a2

U

y

y



CAPÍTULO 14

3 4

Integración múltiple

54. Ix

nm a2 b

2

1 m b

2

C

2

1,

nm a2 C

2

z

c-1 l

b

,V --, ,----,

M omento s de inercia

En los ejercicios 55

y

56, dar una integral

triple que represente el momento de inercia con respecto al eje

de la región sólida Q de densidad p.

55. Q

{(x, y, z): - sx s - sy sI Os z s - x}

p

= Jx

2

y2

Z2

56. Q={(x,y,z):X

2

+y

2

s I,Oszs4-x

2

-y2}

p

kx

En los ejercicios 57 y 58, utilizando la descripción de región só-

lida, dar la integral para la masa, b el centro de masa

y e

el

momento de inercia con respecto al eje z.

57. El sólido acotado por z

=

4 - x

2

- y2

Y z

=

O con la función

de densidad

p

k;

58. El sólido en el primer octante acotado por los planos coordena-

dos y

x

2

y2 Z2

25 con función de densidad

p

kxy

esarrollo de conceptos

59. Definir una integral triple y describir un método para eva-

luar una integral triple.

60. Dar el número de órdenes posibles de integración al eva-

luar una integral triple.

61. Considerar el sólido A y el sólido B de pesos iguales que se

muestran en la figura.

a Como los sólidos tienen el mismo peso, ¿cuál tiene la

densidad mayor?

b ¿Cuál sólido tiene el momento de inercia mayor?

Explicar.

e Los sólidos se hacen rodar hacia abajo en un plano

inclinado. Empiezan al mismo tiempo y a la misma

altura. ¿Cuál llegará abajo primero? Explicar.

Sólido A

Sólido B

esarrollo de conceptos continuación

62. Determinar si el momento de inercia con respecto al eje

y

del cilindro del ejercicio 53 aumentará o disminuirá con la

densidad no constante p x , y, z = x

2

Z2 Y a = 4.

Va lor pr omedio

En los ejercicios 63 a 66, hallar el valor prome-

dio de la función sobre el sólido dado. El valor promedio de una

función continuaf x, y, z sobre una región sólida Q es

i f(x, y, z)

dV

Q

donde Ves el volumen de la región sólida Q.

63. f(x,

y,

z

Z2

4 sobre el cubo en el primer octante acotado

por los planos coordenados, y los planos x = 1 y = 1 Y

z

= l

64. f(x, y,

z) =

.xyz sobre el cubo en el primer octante acotado por

los planos coordenados y los planos

x =

3 y

=

3 Y z

=

3

65. f(x, y, z

=

x y z sobre el tetraedro en el primer octante

cuyos vértices son O , O , O ), 2 , O , O ), O , 2 , O ) Y O , O , 2)

66.

f(x, y,

z)

x

y

sobre el sólido acotado por la esfera

x

2

y2 Z2

2

67. Hallar la región sólida Q donde la integral triple

(1 - 2x

y2 -

3z

2

dV

Q

es un máximo. Utilizar un sistema computacional para álgebra y

aproximar el valor máximo. ¿Cuál es el valor máximo exacto?

68. Hallar la región sólida Q donde la integral triple

J -

x

2

- y2 - Z2

dV

Q

es un máximo. Utilizar un sistema computacional para álgebra

y aproximar el valor máximo. ¿Cuál es el valor máximo exacto?

69. Encontrar a en la integral triple.

3 a

Y2

4 X

Y

2 _

14

dz dx dy 15

o o

a

70. Determinar el valor de b de manera que el volumen del elip-

soide

y2 Z2

x

2

+-+-=

b

2

9

es 167 T .

reparación del examen utnam

71. Evaluar

lím {1{1 .. . {IC O S2{ X +x + + X)}dxdx .. ·dx

,,_= J

o

J

o

J

o

2n

1 2 ,, 1 2

n

Este problema fue preparado por el Cornmittee on the Putnam Pr ize Competition.

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