Interacción entre los mercados eléctricos a plazo y …En los últimos 20 años, muchos de los...

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INSTITUTO DE POSTGRADO Y FORMACIÓN CONTINUA

MÁSTER EN GESTIÓN TÉCNICA Y ECONÓMICA EN EL SECTOR ELÉCTRICO

Tesis de máster

Interacción entre los mercados eléctricos a plazo y los mercados eléctricos al contado.

Estudio del comportamiento estratégico de los generadores.

Autor: Pilar Vázquez Martínez

Director: Dr. Íñigo Rupérez García del Carrizo

Madrid, 2008

Índice

1. Introducción 5

1.1 Objetivos de la tesis de máster 6

1.2 Organización del documento 6

2. El mercado eléctrico 9

2.1 Organización del mercado eléctrico 10

2.1.1 Sistemas tradicionales fuertemente regulados 10

2.1.2 Mercados con competencia perfecta 12

2.1.3 Mercados con competencia imperfecta 17

2.2 Mercados spot y mercados a plazo 18

2.3 Modelos de planificación de la operación en un mercado en competencia

imperfecta 20

2.3.1 Organización jerárquica de la planificación 20

2.3.2 Tipos de modelos de planificación 21

2.3.3 Modelos clásicos de equilibrio 23

2.4 Modelos del comportamiento estratégico en los mercados a plazo 26

3. Modelo de una etapa 29

3.1 Metodología basada en el problema de complementariedad 30

3.1.1 Planteamiento 30

3.1.2 Descripción 31

3.2 Planteamiento del modelo 33

3.3 Formulación del problema del equilibrio del mercado 35

3.3.1 Formulación del problema de optimización de cada empresa 35

3.3.2 Construcción del lagrangiano del problema de optimización de cada

empresa 37

3.3.3 Obtención de las condiciones de optimalidad de cada empresa 37

3.3.4 Formulación del equilibrio del mercado como un problema mixto de

complementariedad 42

3.4 Equilibrio de Cournot 43

3.5 Conclusiones 44

4. El modelo de Allaz y Vila 47

4.1 Planteamiento 48

4.2 Formulación del modelo 50

4.2.1 Mercado spot 50

4.2.2 Mercado a plazo 54

4.3 Análisis de los resultados 58

4.4 Conclusiones 65

5. Generalización del modelo de Allaz y Vila 67


5.2 Formulación del modelo 68

5.2.1 Mercado spot 68

5.2.2 Mercado a plazo 81

5.3 Análisis de los resultados 91

5.4 El coste de producción 95

5.5 Formulación general del modelo como un problema de equilibrio con

restricciones de equilibrio 97

5.6 Conclusiones 97

6. Efectos dinámicos en el comportamiento estratégico de los agentes 101


6.2 Análisis del comportamiento de los agentes en mercados sucesivos 104

6.3 Conclusiones 110

7. Conclusiones 113

Referencias 117

Los resultados, conclusiones y puntos de vista reflejados en este documento son

exclusivamente los de su autora y no comprometen ni obligan en modo alguno a

ninguna otra empresa, persona o entidad.

5

1 Introducción

En los últimos 20 años, muchos de los mercados eléctricos han sido liberalizados para

funcionar de forma competitiva con el objeto de incentivar la toma de decisiones más

eficientes. Este objetivo se consigue plenamente en un entorno de competencia perfecta

pero, en estos momentos, existen múltiples mercados en los que el nivel de

competencia no es tan alto. Por tanto, para el estudio de los mercados eléctricos reales

se necesitan modelos de equilibrio que reflejen que no se verifican las condiciones de

competencia perfecta, sino que las decisiones de las empresas sí pueden influir en los

precios.

La gran mayoría de los modelos de este tipo no tienen en cuenta la existencia de

mercados a plazo, y sólo en los últimos años se han desarrollado varios tipos de

modelos para representar el comportamiento de los agentes que tienen la posibilidad

de operar tanto en un mercado spot como en un mercado a plazo. Sin embargo, los

mercados eléctricos de numerosos países –Francia, Alemania, Holanda, entre otros–

cuentan con mercados a plazo en los que se negocian importantes volúmenes de

energía. Incluso en España, que hasta hace poco constituía una excepción en este

sentido, se han tomado recientemente diversas medidas encaminadas a fomentar la

contratación a plazo de los agentes del mercado.

Los mercados a plazo son herramientas eficaces para gestionar el riesgo de las

empresas. Así, su utilidad principal consiste en reducir los efectos de la volatilidad de

los precios que reciben los agentes. Los precios de los mercados de corto plazo son

muy volátiles, ya que cualquier variación en alguno de los factores que intervienen en

la formación del precio, como, por ejemplo, la demanda de energía de los

consumidores o el precio de los combustibles empleados para generar electricidad, se

refleja de manera casi inmediata en el precio de la energía. Mediante la negociación de

1 Introducción

6

contratos a plazo, los agentes pueden asegurar la venta de una cierta cantidad a un

precio determinado a lo largo de un periodo futuro y gestionar, así, su riesgo de precio.

Sin embargo, la existencia de un mercado a plazo podría influir en el comportamiento

estratégico de los agentes cuando éstos toman sus decisiones de producción en el

mercado spot. Surge, por tanto, la necesidad de estudiar si los agentes modifican sus

estrategias de oferta en los mercados de corto plazo cuando contratan parte de su

energía.

1.1 Objetivos de la tesis de máster

Esta tesis de máster pretende realizar un análisis teórico de la posible influencia que

puede tener los mercados a plazo en el comportamiento de los agentes que operan en

un mercado spot. Este problema, aún sin resolver, está siendo objeto de una intensa

actividad investigadora. El objetivo de la tesis de máster es profundizar en la

interacción existente entre los mercados eléctricos a plazo y los mercados eléctricos al

contado y, en particular, en los efectos que la contratación a plazo puede tener sobre las

estrategias de producción de las empresas.

Para ello, se partirá del modelo descrito en Allaz y Vila (1993), que ha sido en buena

medida el trabajo pionero en este campo y ha dado lugar a numerosos artículos de

investigación, analizando las hipótesis y resultados de este modelo. A continuación, se

desarrollará un modelo original que permite representar de una manera más realista

los mercados eléctricos existentes. Aparecen, entonces, algunos efectos que modifican

drásticamente las conclusiones del modelo de Allaz y Vila.

1.2 Organización del documento

La tesis de máster está organizada como se describe a continuación.

En el capítulo 2 se estudia cómo la liberalización del sector eléctrico ha modificado

profundamente los mecanismos de gestión económica y estratégica de las empresas, y

se presentan diferentes alternativas en el modelado de la operación de una empresa en

un mercado en competencia imperfecta.

El capítulo 3 presenta una metodología basada en el problema de complementariedad

que permite resolver el problema del equilibrio de un mercado en competencia. Esta

metodología se aplica a un modelo de una etapa en el que no se considera la existencia

de mercados a plazo para realizar una primera aproximación al problema de la

representación de un mercado eléctrico en competencia imperfecta.

En el capítulo 4 se describe el modelo desarrollado en Allaz y Vila (1993), que define el

punto de partida del análisis que se realizará en esta tesis de máster, estudiando

detalladamente los resultados obtenidos y sus implicaciones.

1.2 Organización del documento

7

El modelo que se presenta en el capítulo 4 no permite representar un caso general, ya

que las hipótesis adoptadas por Allaz y Vila son muy inflexibles en lo que se refiere a

la estructura del mercado y las características de las empresas generadoras. Por este

motivo, el capítulo 5 se dedica al desarrollo de un modelo general basado en el modelo

del capítulo anterior. Esta generalización, que constituye una aportación original de la

tesis de máster, permite aplicar el modelo al estudio de algún mercado eléctrico

general.

En el capítulo 6 se revisan las hipótesis del modelo de Allaz y Vila. Este modelo no

tiene en cuenta la interacción repetida que existe entre los diferentes mercados

eléctricos. Al incorporar la existencia de periodos de negociación futuros, aparecen una

serie de efectos que invalidan las conclusiones de los capítulos anteriores. En concreto,

en este capítulo se desarrolla un modelo original basado en un juego repetido no

colusivo que revela que, cuando se tiene en cuenta que tras cada mercado spot existe un

nuevo mercado a plazo, los resultados de Allaz y Vila se modifican sustancialmente.

Finalmente, el capítulo 7 recoge las conclusiones de la tesis de máster.

9

2 El mercado eléctrico

La organización de la industria eléctrica ha experimentado en las últimas dos décadas cambios significativos a un ritmo sin precedentes en su historia, con el objeto de establecer nuevos esquemas regulatorios que permitan pasar desde los sistemas tradicionales fuertemente regulados a mercados en competencia. El objetivo último de estas transformaciones consiste en conseguir una mejora de la eficiencia mediante la introducción de mecanismos de mercado en aquellas actividades que pueden realizarse en condiciones competitivas, como es el caso del negocio de la generación.

En este nuevo entorno, el análisis y modelado del funcionamiento de los mercados de generación de electricidad han despertado gran interés tanto en las empresas productoras como en el regulador. Esto ha dado origen a numerosas publicaciones que tratan de conjugar el modelado realista del comportamiento estratégico de las empresas con la representación técnica detallada de la explotación de los medios de producción.

En este capítulo se analiza el proceso de liberalización del sector eléctrico y se presenta una revisión de los distintos enfoques y tendencias de modelado propuestos en la literatura.


10

2.1 Organización del mercado eléctrico

El sector eléctrico se ha considerado tradicionalmente como un monopolio natural sujeto a una fuerte regulación. Sin embargo, en los últimos 20 años se ha planteado la posibilidad de introducir competencia en la industria y ya son muchos los sistemas eléctricos en todo el mundo que se han organizado en torno a un mercado de generación.

Las características de las actividades del sector eléctrico son muy diversas, tanto en términos técnicos como económicos, y sólo algunas de ellas se pueden desarrollar en condiciones de competencia. En concreto, la desregulación es, realmente, desregulación de la generación y de la comercialización de la energía eléctrica. El transporte y la distribución son monopolios naturales que siguen estando fuertemente regulados en todo el mundo. En la mayor parte de los países, eran las mismas empresas las que se ocupaban de la generación y la distribución, así que la desregulación ha requerido, al menos, la separación clara dentro de la misma empresa de las diferentes actividades que incluye el sector. Esta tesis de máster se centra en la actividad de generación de electricidad.

2.1.1 Sistemas tradicionales fuertemente regulados

Hasta los años 80, la industria eléctrica de todo el mundo estaba formada por empresas nacionalizadas o empresas privadas, en general muy grandes, fuertemente reguladas. Existían una serie de factores que explicaban esta situación, pero la principal razón tenía que ver con la existencia de un monopolio natural. Si el sistema es de pequeño tamaño, las tecnologías aplicadas a la generación presentan economías de escala, es decir, el coste total del suministro eléctrico es menor cuando se emplea un único generador de tamaño, por ejemplo, 100 MW que cuando se usan dos generadores de 50 MW. En estas circunstancias, las centrales de gran tamaño se ven favorecidas y no tiene ningún sentido intentar que varias empresas compitan entre sí, ya que la solución más económica consiste en que una única empresa lleve a cabo todas las inversiones y capture todas las economías de escala. Al crecer el consumo de electricidad y, en consecuencia, la dimensión del sector, el impacto de las economías de escala se va reduciendo paulatinamente.

A esto hay que añadir la presencia de economías de coordinación. Si existen regiones aisladas unas de otras, en cada una de ellas se explotarán las centrales de esa zona de la mejor forma posible. Sin embargo, si esas regiones están conectadas entre sí, la explotación debe tener en cuenta todos los generadores para que la operación del conjunto sea lo más eficiente posible. Plantas generadoras que en su región no eran utilizadas pueden ser más económicas que otras de otras regiones que sí tenían que funcionar para ofrecer el suministro de energía a su zona. Al conectarse las regiones generarán aquéllas antes que éstas, por lo que se consigue una mejor operación del conjunto del parque eléctrico.


11

Con estas condiciones, la organización más adecuada del sistema eléctrico presenta un enfoque centralizado que permita aprovechar las economías de escala y coordinación. Esta centralización se ha plasmado de diferentes maneras en la organización del sector dependiendo del país. Dentro de ellas se pueden distinguir dos formas básicas.

Una primera opción consiste en una única empresa pública que controla completamente la actividad eléctrica del país. Esta empresa se encarga de decidir las inversiones necesarias en instalaciones e infraestructuras para adaptarse a las necesidades de los consumidores, así como de llevar a cabo la operación del sistema. Las inversiones y los costes de operación se pagan con dinero público. El gobierno a través de la empresa determina lo que han de pagar los consumidores para disfrutar de la energía eléctrica. Éste ha sido el sistema adoptado hasta hace pocos años por un buen número de países en el mundo. Uno de los ejemplos más notables es el caso de Francia, a través de la empresa Électricité de France.

Una alternativa diferente es la de un sector formado por varias empresas privadas, pero cuyo comportamiento depende del gobierno. Las decisiones de inversión las toman las empresas, pero para poder emprender tales inversiones deben solicitar el permiso del regulador. Si lo obtienen realizan la inversión, que posteriormente es pagada por la Administración Pública a través de las tarifas. La operación del sistema es realizada por las propias empresas, bajo supervisión periódica del regulador. Éste era el modelo empleado en Estados Unidos, entre otros países, hasta mediados de los años 80.

También es posible que las decisiones de inversión sean responsabilidad del gobierno. En este caso, en lugar de aprobar las decisiones de las empresas, el gobierno dicta directamente qué inversiones debe realizar cada una de ellas. Dichas inversiones son pagadas en último término con dinero público. La operación del sistema también es decidida de forma centralizada. Del mismo modo, el dinero que reciben las empresas por su producción de energía es determinado por los gobernantes. Esta alternativa ha sido la que se ha dado en España hasta el 1 de enero de 1998, donde el Ministerio de Industria a través del Plan Energético Nacional era el encargado de tomar las decisiones sobre inversiones referidas al sector eléctrico, que se remuneraban por medio del Marco Legal Estable. Igualmente, una empresa especializada, Red Eléctrica de España, era la encargada desde 1984 de tomar las decisiones sobre la operación del sistema, y los costes incurridos por las empresas eran de nuevo sufragados por medio del Marco Legal Estable.

Para que la gestión centralizada del sistema resulte eficiente, es necesario que la entidad que ha de tomar las decisiones lo haga manejando una información perfecta. Sin embargo, existen asimetrías de información: el operador del sistema no conoce todos los datos relevantes, sino que son las empresas las que poseen la mejor información disponible sobre sus centrales.

Por otro lado, la voluntad del responsable del sistema en la búsqueda de la mayor eficiencia posible resulta muy importante. En ocasiones, el empeño del organismo encargado de la explotación es cuestionable. Por ejemplo, si el sector se maneja como un departamento dentro de un gran ministerio, el interés y esfuerzo que pueden poner


12

esos funcionarios en lograr la mejor planificación y operación es a veces mejorable. Además, siempre se pueden producir errores en las decisiones tomadas debido a fallos de apreciación u otros motivos. En algunos países, por ejemplo, se han diseñado centrales eléctricas de muy gran tamaño en comparación con el total de las necesidades energéticas del país. Estas centrales resultaban muy atractivas en términos de gran obra

de ingeniería, pero suponían enormes riesgos económicos (y también técnicos) que no fueron suficientemente tenidos en cuenta. Cuando se producen estos errores en las decisiones tomadas por una entidad centralizada, son los consumidores los que pagan los extracostes.

También se dan algunos casos en los que se producen interferencias entre los papeles del gobierno como regulador y como propietario. Esto puede hacer que se introduzcan en la regulación del sistema eléctrico criterios ajenos al mismo (protección de las zonas mineras, objetivos generales de inflación, etc.) que terminan distorsionando completamente el funcionamiento del sector y conducen a medio plazo a la aparición de ineficiencias y situaciones absurdas en la operación del sistema.

2.1.2 Mercados con competencia perfecta

Todos los problemas anteriores son motivos para intentar quitar protagonismo en la operación de los sistemas eléctricos a las autoridades que centralizadamente toman decisiones sobre el sector e intentar diseñar esquemas que permitan que sean los distintos agentes generadores y los consumidores los que tomen las decisiones más importantes.

El proceso de liberalización traslada el riesgo a las empresas privadas, de forma que éstas dedicarán mayor atención a sus estudios e inversiones ya que lo que está en juego es su propio dinero. Si se comete un error, éste ya no repercutirá en los consumidores, sino que sus consecuencias las sufrirá la empresa que lo cometa. Por tanto, con la desregulación del sector existen más incentivos para maximizar la eficiencia económica, puesto que el beneficio de las empresas depende directamente de sus decisiones. Por ejemplo, si una empresa decide la construcción de una central que no resulta adecuada o eficiente, el mercado penalizará esta decisión. El hecho de que exista un conjunto de agentes tomando decisiones hace que el mercado escoja a las empresas más eficientes, por lo que el error de una empresa no tiene por qué afectar a los consumidores. En un sistema centralizado, los consumidores no tienen posibilidad de elegir, así que el error del único agente existente les afectará inevitablemente.

Para que la desregulación del sector eléctrico haya sido posible se han tenido que producir una serie de hechos, que resultaron fundamentales para que se iniciara la tendencia liberalizadora que existe en muchas partes del mundo.

Uno de los factores más importantes ha sido el aumento del tamaño de los sistemas eléctricos, que reduce considerablemente los efectos de las economías de escala. El aumento de la capacidad de transporte de las redes amplía los mercados a los que pueden acceder las empresas desde sus distintas centrales.


13

Por otro lado, el desarrollo de nuevas tecnologías también ha contribuido a hacer que las economías de escala no sean tan importantes como solían ser. Hoy en día, la tecnología más interesante parece ser la de las centrales de ciclo combinado, que tienen eficiencias máximas con tamaños del orden de los 400 MW, muy por debajo de, por ejemplo, los 1000 MW de una central nuclear. Por tanto, las inversiones no tienen que ser necesariamente tan elevadas, lo que permite la aparición de empresas más pequeñas capaces de sobrevivir frente a las grandes compañías. Además, estas centrales requieren menores tiempos de construcción que las plantas de otras tecnologías, lo que posibilita que las empresas comiencen a recuperar antes las inversiones de capital realizadas.

El gran desarrollo tecnológico que se ha producido en los últimos tiempos en las comunicaciones, las mediciones y el procesado de información ha sido un aspecto crítico para el sector eléctrico y su liberalización, pues con ello se facilitan los procesos necesarios para el funcionamiento del mercado y se reducen los costes que éstos conllevan.

Análisis microeconómico

En un mercado en competencia las empresas toman sus decisiones para maximizar su propio beneficio, así que en principio no está garantizado que el sistema se comporte de la forma más eficiente. Este hecho fue objeto de estudio1 del análisis microeconómico para determinar hasta qué punto es razonable organizar el sector eléctrico como un mercado competitivo.

Para ello, se propone un ejercicio en el que se compara la operación de un sistema eléctrico teórico regulado mediante dos esquemas distintos. En el primer modelo, las decisiones se toman de forma óptima desde el punto de vista centralizado y con información perfecta, lo que permitiría obtener la mejor solución posible para el sistema tradicional. En el segundo, cada agente toma sus decisiones maximizando su propio beneficio en función del precio del mercado y en condiciones de competencia perfecta. En estas condiciones, el tamaño relativo de cada empresa respecto al tamaño global del sistema es pequeño, así que las decisiones de producción de las compañías no pueden modificar significativamente el precio del mercado. Entonces, las empresas deciden su producción asumiendo que el precio de mercado es independiente de sus decisiones.

La optimización de la operación de forma centralizada se puede representar de forma simplificada por el siguiente problema de minimización de costes:

1 Schweppe et al. (1988).


14

( )min iC g

s.a. ii

g D=∑ ρ⊥

i ig g≤ giµ⊥ ; i∀

i ig g≥ giµ⊥ ; i∀

(2.1)

donde ig es la producción de energía del equipo i,

ig es la máxima potencia del grupo i,

ig es el mínimo técnico del grupo i,

D es la demanda de energía que debe ser satisfecha, ( )iC g son los costes de operación, que dependen de las cantidades

producidas por cada generador,

ρ , giµ y

giµ son las variables duales asociadas a las restricciones del

problema.

Para resolver este problema, se puede construir el lagrangiano asociado al problema:

( ) ( ) ( )ggi i i i i ii i

i i i

C g g D g g g gρ µ µ

= − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − ∑ ∑ ∑L (2.2)

Para hallar el mínimo coste de operación del sistema se deriva la función lagrangiana respecto a la generación de cada grupo y se iguala a cero:

( )0

gi gi i

i i

C g

g gρ µ µ

∂∂ = − − + =∂ ∂L

i∀ (2.3)

El generador marginal j se encontrará funcionando entre sus límites de producción máximo y mínimo. Por tanto, las variables duales asociadas a las restricciones de

capacidad de este grupo serán nulas ( )0gg

j jµ µ= = .

Para este generador marginal j, la ecuación queda:

( )0

j

j j

C g

g gρ

∂∂ = − =∂ ∂L

(2.4)


15

De donde:

( )j

j

C g

gρ

∂=

∂ (2.5)

Es decir, en la decisión óptima de un sistema centralizado se cumple que el multiplicador ρ2 es igual al coste marginal del grupo que completa la generación de energía.

Ahora se estudia el caso de un mercado eléctrico con una estructura de competencia perfecta. En una situación de competencia perfecta, cada una de las empresas buscará conseguir el máximo beneficio posible, suponiendo que no pueden modificar individualmente el precio de la energía, que es percibido como constante por las empresas generadoras.

El problema que se pretende resolver es el siguiente:

( )max e i ii e

B p g C g∈

= ⋅ −∑ ,e i e∀ ∈

s.a. i ig g≤ giµ⊥ ; i∀

i ig g≥ giµ⊥ ; i∀

(2.6)

donde p es el precio de mercado de la energía eléctrica.

Al igual que se hizo anteriormente, se construye el lagrangiano asociado para resolver el problema.

( ) ( ) ( )gge i i i i i ii i

i e i i

p g C g g g g gµ µ∈

= ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −∑ ∑ ∑L (2.7)

Para conseguir el máximo beneficio se deriva e iguala a cero esta función. Se obtiene:

( )0

gi gei i

i i

C gp

g gµ µ

∂∂ = − − + =∂ ∂L

i e∀ ∈ (2.8)

2 Este multiplicador representa cuánto cambia la función objetivo, es decir, cuánto se incrementan los costes de producción del sistema, cuando la demanda aumenta 1 MWh; esto es, el coste marginal del sistema.


16

Si se considera el generador marginal del sistema,

( )0

je

j j

C gp

g g

∂∂ = − =∂ ∂L

(2.9)

Entonces,

( )j

j

C gp

g

∂=

∂ (2.10)

A continuación se reúnen los resultados de este caso de mercado en competencia perfecta y los resultados de un sistema centralizado.

Sistema centralizado Mercado en competencia perfecta

( ) gi gi i

i

C g

gρ µ µ

∂= − +

∂ i∀

( ) gi gi i

i

C gp

gµ µ

∂= − +

∂ i∀

( )j

j

C g

gρ

∂=

∂

( )j

j

C gp

g

∂=

∂

Comparando estas expresiones, se concluye que basta con igualar el precio del mercado p con el valor del multiplicador ρ del sistema centralizado para que los resultados de ambos casos sean iguales.

( )j

j

C gp

gρ

∂= =

∂ (2.11)

Por tanto, si en unas condiciones de competencia perfecta se establece que el precio de la energía sea igual al coste marginal del grupo que opera para completar la producción necesaria, se obtienen los mismos resultados que operando el sistema de forma centralizada3.

Así, si se dan las condiciones de competencia perfecta, un mercado de electricidad puede gestionarse con el mismo resultado que un sistema centralizado, pero sin necesidad de que exista un agente centralizado único que decida cómo debe operarse

3 El análisis microeconómico incluye también el estudio de las señales óptimas para el equilibrio de largo plazo. Concluye igualmente que la remuneración de la producción de los agentes al coste marginal del sistema incentiva la toma de las decisiones de inversión óptimas.


17

el sistema, con lo que se evitan las ineficiencias derivadas de la toma de decisiones centralizada. En el nuevo marco serían las empresas las encargadas de decidir, contando con un gran incentivo que es la optimización de sus propios beneficios.

La conjunción de los hechos comentados anteriormente y los resultados que la teoría económica ofrece en su aplicación al sector eléctrico es lo que ha motivado el impulso liberalizador que experimenta este sector desde hace unos años.

2.1.3 Mercados con competencia imperfecta

Aunque lo deseable resulte la competencia perfecta, en la práctica no se dan las condiciones necesarias para alcanzar esta situación en el sector eléctrico. En el desarrollo anterior se ha supuesto que ninguna empresa era capaz de influir significativamente en el precio. Para que esta condición se cumpla es preciso que cada empresa produzca solamente una cantidad pequeña en relación al volumen total del mercado. Y para que esto ocurra no solamente se requiere que existan muchas empresas, sino también que la solución óptima del problema asigne una proporción pequeña de la producción a cada empresa. La elasticidad de la demanda también juega un papel muy importante en la capacidad de las empresas para influir en los precios del mercado: cuanto mayor es la elasticidad de la demanda, menor capacidad tienen las empresas para influir en el precio; por el contrario, si la demanda es muy inelástica, como en el caso del sector eléctrico, la dependencia del precio de las decisiones los agentes se vuelve más importante.

En muchos de los mercados eléctricos no se verifican las condiciones de competencia perfecta, sino que las actividades eléctricas en un entorno de mercado suelen realizarse por un número reducido de empresas con un tamaño considerable. En esta situación existen unos pocos competidores, de forma que alguno o algunos de ellos pueden influir en el precio. Así que en un mercado oligopolista, las empresas podrían distorsionar sus decisiones respecto a las de competencia perfecta para conseguir que el precio de la energía sea más alto y que sus beneficios aumenten, de modo que el sistema termine siendo más ineficiente.

Por tanto, los resultados del análisis microeconómico no son aplicables a la realidad, ya que la existencia de un oligopolio introduce distorsiones sobre los resultados del mercado perfecto y, en consecuencia, sobre los resultados de decisión óptima de un sistema centralizado. Esto podría considerarse como una razón que justifica la necesidad de que exista un monopolio regulado. Sin embargo, la regulación tradicional también presenta ciertos problemas y, en determinadas circunstancias, un mercado oligopolista resulta preferible al enfoque centralizado.

La regulación tradicional conlleva siempre un cierto nivel de ineficiencia que hace que, en general, resulte más cara que un mercado perfecto. Si el número de productores en un mercado no es muy pequeño, los resultados pueden resultar más eficientes que los del entorno regulado. Los precios de la energía serán menores y esto beneficiará a los consumidores (ver Figura 2.1). De existir muy pocos productores y de tamaño considerable, tendrán mucho poder sobre el precio y podrán hacer que éste aumente


18

sensiblemente reduciendo su producción, para así aumentar sus beneficios. Esto provoca un enorme perjuicio a los consumidores, resulta muy ineficiente y por tanto altamente indeseable, de modo que en este caso la regulación tradicional sí es preferible. Así que se establece un cierto umbral a partir del cual, si la competencia es mayor, aún siendo imperfecta produce mejores resultados que los de la regulación tradicional. A todos estos estados de competencia imperfecta más eficientes que la regulación centralizada se les conoce como mercados de competencia practicable.

Figura 2.1: Competencia practicable

2.2 Mercados spot y mercados a plazo

Los mercados eléctricos spot son mercados al contado en los que las transacciones que se realizan son de muy corto plazo. En este mercado se determinan las cantidades que producirá o consumirá por cada uno de los agentes y el precio que deben recibir o pagar por ello. Las operaciones de compra-venta de energía tienen una fecha de entrega casi inmediata, normalmente, al cabo de un día o unas pocas horas.

Los mercados a plazo ofrecen la posibilidad a los agentes de negociar parte de su energía mediante transacciones a plazo. En este caso, la fecha de entrega de la energía negociada tiene lugar a lo largo de un periodo futuro, de modo que se acuerda la venta o compra de energía para el siguiente mes, el siguiente trimestre, el siguiente año... Existen dos tipos básicos de contratos a plazo:

• Los contratos forward, que consisten en un acuerdo de compra o venta de energía para un cierto periodo futuro a un precio determinado. Los términos de estos contratos se fijan por las partes que lo negocian en función de las necesidades o características que deseen. Los contratos forward se negocian en los mercados OTC (Over The Counter), de naturaleza estrictamente bilateral, que se caracterizan por estar organizados alrededor de un conjunto de brokers.

• Los contratos de futuro, que son contratos forward en los que la cantidad de energía y la fecha de entrega están estandarizados. Estos contratos estándar se

p

nº agentes

oligopolio

centralizado

2.2 Mercados spot y mercados a plazo

19

negocian en mercados organizados, donde el proceso de negociación está reglamentado. Existe, además, una cámara de compensación que actúa como contraparte de los agentes que negocian un contrato, eliminando el riesgo de contrapartida.

La mayoría de los mercados eléctricos existentes cuentan con mercados a plazo donde se negocian importantes volúmenes de energía. El caso español constituye una excepción, ya que hasta la reciente implantación del Mercado Ibérico de la Electricidad (MIBEL) no ha habido ningún mercado a plazo organizado donde los agentes españoles pudieran negociar su energía y, aunque la regulación sí permitía la celebración de contratos bilaterales, éstos han jugado un papel insignificante en la venta de electricidad. Hay que señalar que la regulación penalizaba hasta el año 2005 a los generadores participantes en un contrato bilateral, excluyéndolos del pago por garantía de potencia, de modo que los agentes tenían fuertes incentivos para acudir al mercado spot. Así, más del 95% de la energía se negociaba en el mercado spot, situación que contrasta con otros mercados liberalizados del resto del mundo. Por ejemplo, en el mercado spot del NordPool (Noruega, Finlandia, Suecia y parte de Dinamarca) se negocia cerca del 45% del total de las transacciones de energía, en el mercado spot de APX en Holanda se negocia entre un 10% y un 15% de la demanda de energía, y en Alemania alrededor del 15% de la energía se negocia en el mercado spot EEX. Por tanto, todo parece indicar que esta situación cambiará pronto en España, impulsada también por medidas regulatorias que fijan en estos comienzos de los mercados a plazo ciertas obligaciones de compra a las distribuidoras, que deben adquirir parte de su energía a plazo.

Los mercados a plazo permiten negociar con anterioridad la energía de un cierto periodo. Esto ofrece a los agentes que operan en un mercado spot la posibilidad de gestionar su riesgo de precio asegurándose, por ejemplo, la venta de una determinada cantidad de energía a un precio fijo para un cierto periodo. Así, los mercados a plazo pueden emplearse como herramientas de gestión del riesgo, disminuyendo los efectos de la volatilidad de los precios spot sobre los agentes contratados.

Sin embargo, la existencia de mercados a plazo podría influir en el comportamiento de los agentes en el mercado spot. Esta tesis de máster se centra en el problema de la interacción entre los mercados eléctricos a plazo y los mercados eléctricos al contado, desarrollando diferentes modelos que profundizan en la cuestión de los posibles efectos de la contratación a plazo sobre el comportamiento estratégico de las empresas en el mercado spot. En cualquier caso, el estudio se limita a un análisis exclusivamente teórico del mercado.


20

2.3 Modelos de planificación de la operación en un

mercado en competencia imperfecta

2.3.1 Organización jerárquica de la planificación

La introducción de mecanismos de mercado traslada la responsabilidad de la toma de decisiones a las empresas generadoras. Al mismo tiempo el riesgo de estas decisiones pasa a ser asumido por los productores, cuando antes recaía en los consumidores. Por tanto, la planificación cobra un papel muy importante en las actividades de las empresas para enfrentarse adecuadamente al entorno liberalizado.

Figura 2.2: Organización jerárquica de los modelos de planificación

El objetivo de los estudios de planificación será diferente según el alcance temporal del estudio, por lo que se divide la planificación de acuerdo a este criterio. Las funciones de planificación se organizan de forma jerárquica, desde el plazo más largo al más corto, de modo que los resultados de los modelos de mayor alcance proporcionan información y consignas para los siguientes, de menor alcance. Con esta desagregación se puede abordar el estudio de la manera más apropiada para cada horizonte, utilizando distintos modelos para representar mejor las características más relevantes de cada estudio. Por ejemplo, para realizar las ofertas al mercado diario es necesario

Modelos de medio plazo

Explotación de la generación Gestión estacional de embalses

Programación horaria de la generación

Ofertas a los mercados de energía

• Capacidad instalada

• Contratos a largo plazo

• Cantidades objetivo

• Curvas de valor de agua

Modelos de largo plazo

Instalación de capacidad de generación Contratos a largo plazo

Gestión de embalses hiperanuales Programa de mantenimiento

Modelos de corto plazo

Operación de la generación

2.3 Modelos de planificación de la operación en un mercado en competencia imperfecta

21

modelar con bastante rigor el funcionamiento de los equipos, mientras que para decidir el programa de inversiones esto no resulta operativo.

La estructura jerárquica que presentan las funciones de planificación se representa esquemáticamente en la Figura 2.2. En ella se refleja cómo los modelos de orden superior determinan consignas que deben seguir los modelos que se encuentren por debajo de ellos.

2.3.2 Tipos de modelos de planificación

El nuevo marco regulatorio ha supuesto un gran cambio para los procesos de planificación que desarrollan las empresas generadoras, dotándolos de mayor importancia. En los sistemas centralizados, sólo era necesario conocer los costes y características técnicas de los grupos del sistema para determinar el despacho óptimo. Sin embargo, en un entorno de competencia las empresas intentan maximizar su beneficio, que depende del precio del mercado que, a su vez, depende del comportamiento de cada empresa y, en particular, de las acciones de los competidores. Es decir, para tomar sus decisiones cada empresa debe estimar el comportamiento del resto de los agentes. Esto supone una notable dificultad añadida respecto a los modelos tradicionales. Existen dos grandes líneas de trabajo para llevar a cabo esta estimación:

• Modelos de oferta, que utilizan fundamentalmente datos históricos

• Modelos de equilibrio, que se basan en la teoría de juegos

Figura 2.3: Clasificación de los modelos de programación de generación

Modelos de oferta

En los modelos de oferta, los mecanismos de mercado se introducen por medio del modelado del precio de la energía, que depende de la producción de la compañía. El comportamiento de los competidores se intenta predecir a través de series temporales, estudios de datos históricos y de la estrategia que cada empresa está siguiendo en la

Modelos del mercado de la energía

Modelos de oferta

Precio exógeno

Precio dependiente

de la producción

Modelos de equilibrio

Equilibrio de Cournot

Equilibrio en funciones de suministro


22

actualidad. Con las predicciones sobre la demanda de energía y las de las actuaciones de la competencia, se crea una función de demanda residual, que relaciona el precio que el mercado determinará para la energía con la generación de la empresa. La influencia de la situación de mercado en las decisiones de la empresa es considerada por medio de esta función de demanda residual.

En modelos más simples el precio se considera como una variable exógena, que no depende de las decisiones de la empresa. En este caso, se estaría ante un modelo de competencia perfecta.

En ambos casos se trata de problemas de maximización de los beneficios de las empresas, donde se incluyen restricciones que han de ser satisfechas por la programación resultante del modelo.

Se puede introducir la incertidumbre tanto en el comportamiento del precio como en el de la demanda, creando así modelos probabilistas.

Modelos de equilibrio

Los estudios que calculan el equilibrio del mercado hacen uso de métodos basados en la teoría de juegos para su resolución. La mayoría de ellos se basan en la búsqueda del equilibrio en el sentido establecido por Nash. El equilibrio de Nash es el resultado de un juego en el que ningún jugador puede mejorar su situación modificando de forma unilateral su estrategia. En este caso, el juego es el mercado eléctrico y la situación de un jugador o empresa está definida por sus beneficios.

La idea fundamental consiste en que, en lugar de hacer uso de datos históricos sobre el comportamiento de los competidores, se intentan formular hipótesis razonables sobre su comportamiento (que de alguna forma intentan expresar el hecho de que los competidores también quieren maximizar su beneficio) para, de esta forma, inferir cuáles son las decisiones más razonables que se pueden esperar del resto de las empresas de la competencia.

De la maximización simultánea de los beneficios de cada empresa se obtiene el equilibrio del mercado.

El precio de la energía en los mercados eléctricos varía con el tiempo. En general, se puede suponer que estas fluctuaciones pueden descomponerse en una serie de oscilaciones alrededor de una tendencia, que está determinada por el equilibrio del mercado en cada instante. Para estudios de corto plazo, se puede considerar que el equilibrio del mercado no varía porque no cambian los equipos existentes en el sistema y, en este caso, lo relevante es captar las oscilaciones alrededor del punto de equilibrio. Para hacerlo, los modelos que se basan en datos históricos resultan muy apropiados, porque la información del pasado recoge suficientemente bien esta componente del precio.


23

Sin embargo, en el medio y largo plazo el punto de equilibrio varía debido a cambios en la estructura del sector, como la introducción de nuevas tecnologías o las decisiones de inversión. Estas transformaciones hacen que los datos históricos no sean suficientemente representativos de la nueva situación. Entonces, en estos casos es más interesante capturar el valor medio del precio que el ruido alrededor de éste. Por este motivo, los modelos de equilibrio son más adecuados cuando se quiere observar la evolución del sistema a largo plazo.

2.3.3 Modelos clásicos de equilibrio

Esta tesis de máster se centra en los modelos de equilibrio. A continuación se revisan distintos planteamientos fundamentales para el cálculo del equilibrio del mercado, poniendo especial interés en el modelo de Cournot por su importancia y extensión.

Modelo de Cournot

Dentro de los modelos que pretenden la representación del equilibrio del mercado, el modelo de Cournot es el que ha sido utilizado como base en la mayoría de los estudios.

El modelo de Cournot representa un juego donde todos los competidores toman su decisión simultáneamente. Su principal característica es que se compite en cantidades, esto es, la decisión que toma cada empresa es la cantidad que ofrece al mercado.

El modelo de Cournot consiste en resolver simultáneamente todos los problemas de maximización del beneficio de todas las empresas. El beneficio de una empresa e viene dado por:

( )e e e eB p q C q= ⋅ − e∀ (2.12)

donde p es el precio del mercado, eq es la producción de una empresa e,

( )e eC q son los costes de cada empresa e, que dependen de la cantidad

producida.

Los consumidores se representan mediante la curva de demanda agregada, necesaria para establecer el precio. Esta curva expresa el precio en función de la cantidad total producida por el sistema, de forma que, fijadas las producciones de las empresas, el precio se convierte en una variable dependiente que se obtiene de la curva de la demanda.

ee

p f q

= ∑ (2.13)

Se busca la cantidad que maximiza el beneficio de cada empresa, para lo que se deriva este beneficio respecto a su producción y se iguala a cero, obteniendo la siguiente condición de optimalidad para cada empresa:


24

( )0ee

ee e e

C qB pp q

q q q

∂∂ ∂= + ⋅ − =∂ ∂ ∂

e∀ (2.14)

El problema es determinar cuánto vale e

p

q

∂∂

. La dificultad reside en el hecho de que en

el caso oligopolista es preciso conocer la reacción de las demás empresas, es decir, cómo varían las producciones de las empresas competidoras cuando la empresa e

modifica su generación ,ee

e

qee e

q

∂ ≠ ∂ . Llamando Q a la cantidad total producida en

el sistema,

e eeee e

Q q q≠

= + ∑ (2.15)

la derivada del precio respecto a la producción de la empresa e está dada por:

e e

p p Q

q Q q

∂ ∂ ∂= ⋅∂ ∂ ∂

e∀ (2.16)

Para resolver el problema se introduce la conjetura de Cournot, que supone que la reacción de los competidores es no hacer nada. Esta hipótesis considera un caso particular del equilibrio de Nash en el que la cantidad ofertada por cada empresa es independiente de las cantidades de las otras empresas. Es decir, la curva de oferta de una empresa es totalmente vertical y, en consecuencia, la derivada de las cantidades de

las demás empresas respecto a la suya es nula 0 ,ee

e

qee e

q

∂ = ≠ ∂ . Introduciendo esta

hipótesis en la ecuación (2.16),

1e e e

Q p p Q p

q q Q q Q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ = ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

e∀ (2.17)

La derivada del beneficio de una empresa respecto a su producción queda:

( )0ee

ee e

C qB pp q

q Q q

∂∂ ∂= + ⋅ − =∂ ∂ ∂

e∀ (2.18)

En esta ecuación,p

Q

∂∂

es la pendiente de la curva de demanda y ( )e

e

C q

q

∂∂

son los costes

marginales de la empresa en el punto de producción. De cada ecuación de optimalidad se deduce que, en el punto de equilibrio, los ingresos marginales son iguales a los costes marginales para cada empresa:

( )ee

e

C qpp q

Q q

∂∂+ ⋅ =∂ ∂

e∀ (2.19)


25

La resolución de este sistema de E ecuaciones determina el equilibrio de Cournot.

El modelo de Cournot se adapta bien a la representación de sistemas térmicos, ofreciendo resultados acordes con los que la realidad determina. Tiene el respaldo teórico del equilibrio de Nash y empíricamente ha demostrado la bondad de sus resultados, de ahí que se mantenga en plena vigencia en los estudios de planificación.

Modelo de Bertrand

Si en el modelo de Cournot la competencia es en cantidades, en el de Bertrand se compite con el precio. Cada empresa ofrece toda su producción a un precio determinado y, por tanto, la curva de oferta es completamente horizontal. Todas las ofertas se realizan simultáneamente para cubrir una demanda que se considera constante e independiente del precio. De esta forma, las ofertas de menor precio son las seleccionadas para atender la demanda.

Los resultados que ofrece este modelo no se corresponden con los que se obtienen en la realidad en los mercados eléctricos. Uno de sus grandes inconvenientes es que no tiene en cuenta las limitaciones de capacidad de generación que tienen las empresas. Por tanto, este modelo no refleja satisfactoriamente los mercados de la energía eléctrica.

Modelo de equilibrio en funciones de suministro (SFE)

La competencia en este modelo no se produce sólo por precio o sólo por cantidad, sino que se hace con una combinación de ambas. La estrategia de una empresa se define con una función que relaciona precio y cantidad producida, la función de suministro de la empresa. Ésta es la curva de oferta de la empresa. El propio modelo es el que determina la forma de esta función de suministro. Es un modelo más realista en cuanto a la representación de la forma de competencia.

Sin embargo, este planteamiento da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales que resulta muy difícil de tratar. Cuando las empresas generadoras se enfrentan a cierta incertidumbre en el comportamiento de la demanda, este enfoque resulta especialmente apropiado. Cuando no hay incertidumbre, la solución está indeterminada y el equilibrio en funciones de oferta no es aconsejable.

Modelo de equilibrio en variaciones conjeturales

En este caso, también se considera que tanto el precio como la cantidad son variables pero, a diferencia del equilibrio en funciones de suministro, están relacionados linealmente, por lo que las curvas de oferta son rectas.

Este modelo presenta la ventaja frente al SFE de que tiene un único grado de libertad, por lo que puede resolverse sin indeterminación sin necesidad de introducir incertidumbre en la demanda (como en el modelo de Cournot). Frente al modelo de Cournot, tiene la ventaja de que no depende de la elasticidad de la demanda, por lo que permite mayor realismo en la determinación de los precios.


26

Modelo de Stackelberg

En este modelo se compite en cantidades pero, a diferencia del modelo de Cournot, las ofertas no se realizan simultáneamente. El proceso de oferta se produce en dos fases: una empresa decide su producción y, posteriormente, el resto de las empresas (denominadas seguidoras) seleccionan la cantidad óptima que deben producir en función de la decisión de la empresa líder. Para resolverlo se analiza primero la segunda fase y luego se vuelve hacia atrás. La empresa líder obtiene ventajas por adelantar su decisión y consigue unos beneficios superiores a los que tendría en el equilibrio de Cournot.

Los mercados eléctricos reciben las ofertas de forma simultánea, por lo que este tipo de modelo en dos fases no resulta muy adecuado. Se adapta mejor al problema de decisión de la ampliación de la capacidad de generación donde, si una empresa se adelanta, el resto de las empresas actuarán ya condicionadas por su decisión.

Modelo de liderazgo en la elección del precio

El modelo de liderazgo en la elección del precio es similar al de Stackelberg pero con competencia en precio. También se estudia en primer lugar la segunda fase y después la primera. En este caso son las empresas seguidoras las que obtienen mejores resultados al aprovechar que conocen la actuación de la empresa líder.

No es aplicable a los mercados eléctricos por los mismos motivos que el modelo de Bertrand, es decir, no refleja adecuadamente las restricciones de capacidad, que son un elemento fundamental en un mercado eléctrico.

2.4 Modelos del comportamiento estratégico en los

mercados a plazo

La mayoría de los modelos que se han desarrollado hasta ahora para calcular el equilibrio de los mercados eléctricos son modelos de una etapa, que pueden incorporar más o menos detalles sobre las restricciones técnicas de los equipos (restricciones hidráulicas,...). Estos modelos permiten obtener resultados satisfactorios para el problema de la producción de los agentes en un mercado spot.

El modelado de equilibrio de los mercados eléctricos incorporando la existencia de mercados a plazo está mucho menos desarrollado. Uno de los trabajos más relevantes sobre el problema de la interacción entre los mercados a plazo y los mercados spot es Allaz y Vila (1993). Este modelo describe un equilibrio no colusivo en dos etapas y concluye que los contratos a plazo tienen un efecto procompetitivo, ya que reducen la cantidad de energía que puede beneficiarse de un incremento del precio spot. Según Allaz y Vila, la existencia de mercados a plazo influye en el comportamiento de los agentes que operan en el mercado spot de manera tal que las empresas aumentan su producción respecto al equilibrio de un único mercado de corto plazo, reduciendo con

2.4 Modelos del comportamiento estratégico en los mercados a plazo

27

ello el precio de la energía y acercándose a los resultados de competencia perfecta. Allaz y Vila muestran que contratar en un mercado a plazo supone una ventaja competitiva respecto a no negociar contratos, luego las empresas tienen incentivos estratégicos para participar en estos mercados.

Esta capacidad de los contratos a plazo para reducir los incentivos de los agentes para ejercer su poder de mercado en el spot ha sido ampliamente estudiado –véase, por ejemplo, Von der Fer y Harbord (1993), Newbery (1998), Green (1999) o Wolak (2000)–. Estos resultados se han obtenido bajo diferentes hipótesis del comportamiento de las empresas en el mercado, que incluyen desde equilibrios de Cournot hasta equilibrios en funciones de suministro.

Sin embargo, Mahenc y Salanié (2004) identifica algunos casos en los que la existencia de mercados a plazo puede incrementar el poder de mercado de los agentes. El modelo considera un juego repetido en el que dos duopolistas compiten en un mercado spot según el modelo de Bertrand. Los resultados del modelo muestran que, en el equilibrio, las empresas pueden comprar parte de su propia energía a plazo, lo que eleva los precios respecto al caso en el que no existen mercados a plazo.

En los últimos años se han desarrollado diversos trabajos que consideran la naturaleza repetida de la interacción entre mercados a plazo y spot y concluyen que, en este caso, aparecen diferentes efectos que compensan el efecto procompetitivo del modelo de Allaz y Vila. Existen dos líneas fundamentales de trabajo: un primer enfoque que se centra en la posible aparición de estrategias cooperativa entre los agentes, y una segunda línea que investiga el problema en el marco de un juego dinámico no colusivo.

Dentro del primer grupo, Ferreira (2001) estudia un modelo idéntico al de Allaz y Vila (y, por tanto, no repetido) salvo porque el número de periodos anteriores al mercado spot en los que las empresas pueden negociar su energía a plazo es infinito. Los resultados parecen estar en la línea de un folk theorem: cualquier resultado entre el equilibrio competitivo y el equilibrio de Cournot es posible. A continuación, el artículo analiza los diferentes equilibrios cuando se considera la existencia de mercados a plazo posteriores al spot donde renegociar los contratos adquiridos, y muestra que la solución del equilibrio de Cournot puede mantenerse en este caso, mientras que la solución competitiva no es sostenible.

Le Coq (2004) describe un modelo en el que dos empresas firman contratos de largo plazo con comercializadores para el suministro de su energía y, posteriormente, interactúan repetidamente en el mercado spot. Le Coq muestra que los mercados a plazo contribuyen a mantener una colusión en el mercado spot. De hecho, los contratos hacen posible la aparición de estrategias cooperativas entre los agentes que no existirían si no hubiese mercados a plazo, ya que los incentivos de las empresas para desviarse de la estrategia colusiva son menores que en un mercado sin contratos.

Liski y Montero (2006) analizan el problema de las empresas que interactúan tanto en el mercado a plazo como en el mercado spot durante un número infinito de periodos. En este caso, los generadores que venden energía en el spot pueden, al mismo tiempo, tomar posiciones compradoras en el mercado a plazo y mantener una colusión tácita.


28

Por tanto, la existencia de mercados a plazo permite a las empresas alcanzar equilibrios colusivos que de otra forma no serían posibles, de modo que amplían el número de casos en los que puede sostener una cooperación entre los agentes. Aparece, entonces, un efecto procolusivo que tiende a dominar, salvo en el caso de que se articulen medidas regulatorias específicas, compensar en el efecto procompetitivo del modelo de Allaz y Vila.

En Green y Le Coq (2007) se estudia el efecto de la duración de los contratos a plazo sobre las posibilidades de mantener una colusión en un juego repetido en el que las empresas compiten en precios. Los contratos a plazo pueden favorecer la aparición de estrategias cooperativas, ya que reducen la producción de cada empresa que puede beneficiarse de una desviación de la estrategia colusiva. Los agentes siempre pueden mantener un cierto grado de colusión pero, a medida que la duración de los contratos aumenta, resulta más complicado sostener la cooperación.

Dentro del segundo grupo de trabajos que estudian el comportamiento estratégico de los agentes en un juego multiperiodo destacan Amaya et al. (2006) y Zhang y Zwart (2006). En Amaya et al. (2006) se muestra que la existencia de mercados posteriores al mercado spot puede compensar el efecto procompetitivo de los contratos a plazo. Zhang y Zwart (2006) plantean un juego repetido en el que un monopolista propietario de los activos de generación debe vender parte de su energía mediante contratos a plazo para limitar su poder de mercado. En este contexto, la estrategia del monopolista tiende a fijar precios elevados, superiores a los que maximizan su beneficio en cada mercado spot considerado de manera individual, para ganarse una reputación frente a los compradores del mercado a plazo y mantener, de esta forma, un precio elevado para sus contratos. Así, los compradores están dispuestos a pagar mayores precios por los contratos futuros, en la medida en la que esperan que los precios de la energía en los siguientes periodos sean altos. Tras la negociación de cada contrato, al monopolista podría interesarle fijar precios más bajos, en línea con los resultados de Allaz y Vila, pero al hacerlo estaría reduciendo el precio de los contratos en el siguiente periodo, obteniendo unos beneficios globales menores.

Esta tesis de máster forma parte del esfuerzo por desarrollar nuevos modelos que puedan recoger el problema de la interacción entre los mercados a plazo y los mercados spot en toda su complejidad. En concreto, partiendo del modelo de Allaz y Vila, se pretende corregir algunas deficiencias detectadas y profundizar en el análisis teórico del comportamiento de los agentes teniendo en cuenta la existencia de los mercados a plazo.

29

3 Modelo de una etapa

La mayoría de los mercados eléctricos existentes están formados por unas pocas

empresas de tamaño considerable que podrían tener una cierta capacidad para influir

en el precio de la energía a través de sus decisiones de producción. Por tanto, los

modelos tradicionales de minimización de costes ya no representan adecuadamente el

comportamiento de los agentes, y es necesario desarrollar nuevos modelos basados en

teoría de juegos para estudiar el funcionamiento de los mercados en competencia

imperfecta.

En este capítulo se introduce la notación que se empleará en el desarrollo de los

distintos modelos incluidos en la tesis de máster y se presenta una metodología basada

en el problema de complementariedad. Para ilustrar esta forma de plantear y resolver

problemas de equilibrio, se aplica la metodología descrita a un modelo de Cournot de

una etapa adaptado a un entorno de competencia (Ventosa (2001)).


30

3.1 Metodología basada en el problema de

complementariedad

3.1.1 Planteamiento

Una de las cuestiones que se tratan en esta tesis de máster es la búsqueda de un

modelo que represente adecuadamente un mercado oligopolista. El método utilizado

se basa en la formulación matemática del equilibrio del mercado mediante la

consideración de los problemas de optimización que modelan el comportamiento

óptimo de las empresas. De este modo, el comportamiento de cada empresa se

representa mediante su objetivo natural de maximizar el propio beneficio, unido a una

serie de restricciones técnicas que modelan la explotación de forma realista. Este

problema se representa de forma esquemática en la Figura 3.1.

( ),

,

maximizar

sujetoa 0

0

11

1 j

1 k

fo x

h

g

=

≤

( ),

,

maximizar

sujetoa 0

0

ee

e j

e k

fo x

h

g

=

≤

( ),

,

maximizar

sujetoa 0

0

EE

E j

E k

fo x

h

g

=

≤

( ) 0precio m x− =

Figura 3.1: Formulación matemática del equilibrio del mercado

En la figura se aprecia cómo los problemas de optimización de las empresas que

compiten en el mercado eléctrico están acoplados por la ecuación del precio de

mercado, que es función de la producción total. Este acoplamiento entre problemas es

producto de la interdependencia que tienen las decisiones de las empresas que

compiten por satisfacer la misma demanda. La existencia de un nexo de unión a través

del mercado impide resolver los E problemas de optimización de forma independiente

mediante métodos tradicionales, y hace necesario buscar una forma de resolución

simultánea.

El método propuesto consiste en formular las condiciones de optimalidad de

Karush-Kuhn-Tucker (KKT) de cada problema de optimización para formar un

problema mixto de complementariedad con todas las condiciones de optimalidad que

puede ser resuelto directamente empleando algoritmos específicos.

Mercado de electricidad

Problema de optimización de la empresa 1

Problema de optimización de la empresa e

Problema de optimización de la empresa E

●●● ●●●

3.1 Metodología basada en el problema de complementariedad

31

3.1.2 Descripción

El método utilizado para formular el equilibrio del mercado como un problema de

complementariedad se puede dividir en cuatro pasos:

Formulación del problema de optimización de cada empresa

El siguiente cuadro recoge la fracción de la Figura 3.1 correspondiente a la formulación

genérica del problema de optimización de la empresa e.

( ), ,

, ,

maximizar

sujetoa 0

0

e e

e j e j

e k e k

fo x

h

g

λµ

= ⊥

≤ ⊥

Figura 3.2: Problema de optimización de una empresa

donde fo representa la función objetivo,

x son las variables de decisión de cada empresa,

,e jh y ,e kg son las restricciones de igualdad y de desigualdad,

,e jλ y ,e kµ representan sus variables duales asociadas, respectivamente.

Se observa que el problema de optimización de cada empresa es totalmente flexible.

Por un lado, la función objetivo no tiene que ceñirse a la maximización pura del

beneficio obtenido en el mercado, sino que se pueden incluir otros ingresos u objetivos

estratégicos de las empresas. Por otro lado, las restricciones pueden representar todas

las limitaciones técnicas de la generación y todas las limitaciones de carácter estratégico

relacionadas con el mercado que se consideren relevantes, siempre éstas que se puedan

representar mediante funciones convexas. Si el modelado de las restricciones incluye

variables binarias, las condiciones KKT ya no garantizan la optimalidad de la solución.

Las variables duales tienen un claro sentido económico, ya que la variable dual

asociada a una cierta restricción es el beneficio o incremento de la función objetivo que

se obtendría si se relajase unitariamente dicha restricción.

Construcción del lagrangiano del problema de optimización de cada empresa

La construcción del lagrangiano de cada problema de optimización a partir de la

formulación anterior se emplea como una función auxiliar que facilita la obtención de

las condiciones de optimalidad.

( ) , , , ,, , e j e j e k e ke ej k

x fo h gλ µ λ µ= − ⋅ − ⋅∑ ∑L (3.1)


32

Obsérvese que se ha optado por formular el problema de maximización equivalente,

de forma que las variables duales de las restricciones de desigualdad ,e kµ resultan

positivas.

Obtención de las condiciones de optimalidad de cada empresa

Las condiciones de optimalidad de cada uno de los problemas de optimización están

formadas por tres conjuntos de ecuaciones:

i. Derivada del lagrangiano respecto de las variables de decisión igual a cero

0ex

∂=

∂eL

(3.2)

Las derivadas del lagrangiano respecto de las variables estratégicas son las que

permiten a cada empresa tomar las decisiones óptimas para maximizar su

función objetivo.

ii. Derivada del lagrangiano respecto de los multiplicadores de las restricciones de

igualdad

,,

0e je j

hλ

∂= =

∂eL

(3.3)

Las derivadas del lagrangiano respecto de los multiplicadores de las

restricciones de igualdad son las propias restricciones de igualdad. Por tanto,

la función de estas ecuaciones es forzar la factibilidad de la solución.

iii. Condición de complementariedad de holguras

, ,

,

,

0

0

0

e k e k

e k

e k

g

g

µ

µ

⋅ =

≤ ≥

(3.4)

El conjunto de ecuaciones , , 0e k e kgµ ⋅ = impone la relación lógica existente

entre cada restricción de desigualdad ,e kg y su variable dual ,e kµ asociada. Si

la restricción no está activa ( ), 0e kg ≤ , la solución óptima del problema ya

cumple esta restricción sin necesidad de forzar que alguna de las variables

tome un determinado valor; por tanto, relajar dicha restricción no tiene ningún

efecto sobre la función objetivo, por lo que su variable dual asociada es igual a

cero ( ), 0e kµ = . Si la restricción está activa ( ), 0e kg = , alguna de las variables

ha modificado su valor óptimo para que el problema sea factible, de modo que

su variable dual asociada toma un valor distinto cero ( ), 0e kµ ≥ indicando el

3.2 Planteamiento del modelo

33

beneficio adicional que se obtendría si se relajase unitariamente esta

restricción.

Estas ecuaciones no lineales son las que presentan la estructura de un

problema de complementariedad.

Las condiciones de optimalidad forman un sistema de ecuaciones no lineales con la

estructura de un problema mixto de complementariedad (MCP), ya que éste se define

como la unión de un sistema de ecuaciones -derivada del lagrangiano respecto de las

variables de decisión y derivada respecto de los multiplicadores iguales a cero- con un

problema de complementariedad -condición de complementariedad de holguras-.

Formulación del equilibrio del mercado como un problema mixto de

complementariedad

Finalmente, el equilibrio del mercado se formula uniendo las condiciones de

optimalidad de cada empresa e en un único problema mixto de complementariedad,

como se muestra en la Figura 3.3.

En la figura no se ha incluido la ecuación del precio del mercado a través de la que

interactúan los problemas de optimización de los agentes, ya que este vínculo está

considerado dentro de las condiciones de optimalidad de las empresas.

,,,

, ,

,,

,

0

0

0

0

0

11

1

11 j1 j

1 j

1 k 1 k

1 k1 k

1 k

xx

h

g

g

λλ

µµ

µ

∂= ∀

∂

∂= = ∀

∂

⋅ =≤ ∀≥

L

L ,,

,

, ,

,,

,

0

0

0

0

0

ee

e je je j

e k e k

e ke k

e k

xx

h

g

g

λλ

µµ

µ

∂= ∀

∂

∂= = ∀

∂

⋅ =≤ ∀≥

e

e

L

L ,,

,

, ,

,,

,

0

0

0

0

0

EE

E

EE je j

E j

E k E k

E kE k

E k

xx

h

g

g

λλ

µµ

µ

∂= ∀

∂

∂= = ∀

∂

⋅ =≤ ∀≥

L

L

Figura 3.3: Formulación matemática del equilibrio del mercado como un problema

mixto de complementariedad

3.2 Planteamiento del modelo

Las empresas que compiten en un mercado eléctrico se enfrentan al problema de

decidir cuál es la cantidad óptima que deben vender al mercado para conseguir los

mayores beneficios posibles. Si la estructura del mercado es oligopolista, los agentes

Condiciones de optimalidad de la empresa 1

Condiciones de optimalidad de la empresa e

Condiciones de optimalidad de la empresa E

●●● ●●●


34

deben tener en cuenta su capacidad para modificar el precio a la hora de tomar sus

decisiones, sabiendo que su ingreso unitario depende, en parte, de la cantidad de

energía que decidan producir. En este capítulo se describe un modelo que representa el

comportamiento de las empresas en un mercado en competencia imperfecta. En este

caso, se considera un estudio de alcance anual agrupado en un único periodo.

El objetivo del problema es el cálculo del equilibrio del mercado, definido como el

punto en el que ninguna empresa puede mejorar sus beneficios modificando de forma

unilateral sus decisiones. Para ello hay que considerar simultáneamente los problemas

de optimización de todas las empresas, lo que hace necesario encontrar una alternativa

a los métodos de resolución tradicionales. En esta tesis de máster se propone la

metodología descrita en 3.1.

El modelo supone que cada empresa tiene uno o varios generadores de su propiedad

con los que produce la cantidad total que vende en el mercado. Los costes de

producción más relevantes en los que incurre un generador térmico para producir

energía son los costes de combustible. No resulta sencillo modelar con precisión cómo

evoluciona el consumo de combustible de un grupo generador cuando cambia la

cantidad de energía producida, ya que depende de múltiples factores. Frecuentemente,

se emplea la representación de la Figura 3.4.

Figura 3.4: Coste de combustible de un generador térmico

La ordenada en el origen de la recta de la figura anterior, cb, son los costes de

acoplamiento del grupo, es decir, los costes en los que incurre el generador por estar

acoplado a la red. La pendiente de la recta, c, representa el incremento en el coste de

producción cuando aumenta unitariamente la producción del generador, esto es, los

costes variables del grupo. Como se aprecia en la figura, el coste de producción del

grupo se define únicamente para el rango de generación en el que es capaz de

mantener un funcionamiento estable; por tanto, estará definido entre su mínimo

técnico g y su potencia máxima g . Además, existen otros costes asociados a los

procesos de arranque y parada del grupo.

Como es habitual en los modelos de medio y largo plazo, en este modelo los

generadores térmicos se representan por sus costes variables de producción, ya que el

horizonte temporal considerado es suficientemente amplio como para que los costes de

C

g

c

g g

bc

3.3 Formulación del problema del equilibrio del mercado

35

acoplamiento, arranque y parada sean relativamente pequeños frente a los costes

variables. Entonces, es necesario suponer que el mínimo técnico de los grupos de

generación es igual a cero para permitir que existan centrales no acopladas que no

producen energía.

En contraste con la generación térmica, el coste variable de producción de los grupos

de generación hidráulica es prácticamente nulo, aunque en este caso la cantidad de

agua disponible está limitada. Los grupos hidráulicos se modelan agregados por

cuenca, caracterizándolos mediante su potencia máxima y la energía disponible, que

está limitada por la capacidad del embalse.

3.3 Formulación del problema del equilibrio del

mercado

3.3.1 Formulación del problema de optimización de cada

empresa

En un contexto de mercado ya no se realiza una minimización de costes centralizada,

sino que cada empresa tiene como objetivo la maximización de sus beneficios, para lo

que realiza su propia programación de la producción. Además, se deben satisfacer una

serie de restricciones en la operación del sistema.

Función objetivo

e e efo p q C= ⋅ − e∀ (3.5)

donde p es el precio de mercado de la energía,

eq es la producción total de la empresa e,

eC son los costes de producción de la cantidad eq .

El objetivo de cada empresa es la maximización de su beneficio, obtenido como los

ingresos procedentes del mercado menos los costes incurridos al generar la producción

vendida.

El primer sumando de la función objetivo representa los ingresos que obtiene cada

empresa de la venta de su producción de energía al mercado eléctrico como el

producto del precio p resultado del mercado por la cantidad total eq producida por la

empresa e. En el segundo sumando aparecen los costes de generación la empresa e.

Puesto que cada empresa posee uno a varios generadores con los que produce su

energía, los costes de producción de la cantidad eq corresponden con los costes de

operación de los equipos de la empresa, dados como el producto del coste unitario de

producción ic del generador i por la producción ig de dicho grupo, para todos los

generadores de la empresa.


36

La función objetivo queda, entonces:

e e i ii e

fo p q c g∈

= ⋅ − ⋅∑ e∀ (3.6)

siendo ic el coste variable del generador i,

ig la producción del generador i.

Restricciones y ecuaciones

• Limitación de potencia máxima de los generadores

i ig g≤ giµ⊥ ; ,e i e∀ ∈ (3.7)

La generación que puede producir un grupo tiene un máximo dado por ig que

depende de su tecnología y su tamaño.

• Limitación de potencia mínima de los generadores

i ig g≥ giµ⊥ ; ,e i e∀ ∈ (3.8)

Para conseguir un funcionamiento estable del grupo se debe alcanzar una

potencia mínima ig conocida como mínimo técnico. Sin embargo, en esta tesis de

máster se tratan modelos de medio plazo en los que se considera que el efecto de

los acoplamientos, arranques y paradas de los grupos es despreciable. Por tanto,

se establece que este valor mínimo sea nulo para permitir que existan grupos no

acoplados.

• Gestión de las reservas hidráulicas

i ig H≤ Hiµ⊥ ; ( ), , he i e i∀ ∈ (3.9)

El nivel de reservas hidráulicas se modela de forma simplificada suponiendo

conocida la energía disponible de cada grupo hidráulico para todo el horizonte

considerado. Por tanto, la gestión de las reservas se limita a imponer que la

energía consumida a lo largo de todos los periodos sea menor que la energía total

disponible.

• Producción total de cada empresa

e ii e

q g∈

=∑ e∀ (3.10)

La producción total de cada empresa e se obtiene como la suma de la generación

de todos sus grupos. Esta ecuación se ha considerado explícitamente con el objeto

de simplificar la notación.


37

Formulación completa del modelo de optimización

A continuación se recopila el modelo del problema de optimización de cada empresa

para tener una visión global.

max e i ii e

p q c g∈

⋅ − ⋅∑ e∀

s.a. i ig g≤ giµ⊥ ; ,e i e∀ ∈

i ig g≥ giµ⊥ ; ,e i e∀ ∈

i ig H≤ Hiµ⊥ ; ( ), , he i e i∀ ∈

(3.11)

3.3.2 Construcción del lagrangiano del problema de

optimización de cada empresa

Para la formación del lagrangiano del problema de optimización de cada empresa se ha

seguido el siguiente convenio:

• El problema de optimización es de maximización.

• Todas las restricciones de desigualdad se formulan como inecuaciones de signo

menor o igual, con lo que sus variables duales asociadas son positivas.

( )

( )( )

( ), h

e e i ii e

gi ii

i e

gi ii

i e

Hi i i

i e i

p q c g

g g

g g

g H

µ

µ

µ

∈

∈

∈

∈

= ⋅ − ⋅ −

− ⋅ − −

− ⋅ − −

− ⋅ −

∑

∑

∑

∑

L

(3.12)

3.3.3 Obtención de las condiciones de optimalidad de cada

empresa

Como se describió en el apartado 3.1.2, las condiciones de optimalidad están formadas

por tres conjuntos de ecuaciones. Sin embargo, en este caso no se han considerado

restricciones de igualdad.


38

Derivada del lagrangiano respecto de las variables de decisión igual a cero

El problema del equilibrio del mercado se resolverá a través del modelo de equilibrio

de Cournot, por lo que la única variable sobre la que pueden decidir las empresas es la

cantidad total de energía que van a producir o, lo que es lo mismo, las potencias

generadas por los grupos de su propiedad.

0

ee i

i i

gg Hii i

pq p c

g g

µ µ µ

∂ ∂= ⋅ + − −∂ ∂

− + − =

L

,e i e∀ ∈ (3.13)

Considérese primero un generador térmico. En este caso, la variable dual asociado a la

restricción de reservas hidráulicas será igual a cero ( )0Hiµ = , ya que esta restricción

sólo está definida para los grupos hidráulicos. Si el grupo no está generando en

ninguno de sus límites técnicos, entonces las restricciones de potencia mínima y

potencia máxima no están activas. Las variables duales asociadas a estas restricciones

son nulas ( )0g gi iµ µ= = , porque la empresa no obtiene ningún beneficio adicional por

poder producir 1 MWh más o menos con ese generador. La ecuación de optimalidad

anterior queda:

e ii

pp q c

g

∂+ ⋅ =∂

(3.14)

donde i ei

pIM p q

g

∂= + ⋅∂

es el ingreso marginal del grupo i,

i iCM c= es el coste marginal del grupo i.

Luego, la producción de un generador marginal que maximiza el beneficio de la

empresa e es aquella que hace que el coste marginal del grupo se iguale a su ingreso

marginal. Dado que el grupo no está produciendo en ninguno de sus límites de

funcionamiento, este generador puede responder ante cambios unitarios en la

demanda, siempre que los ingresos que obtenga por la variación de su producción

igualen el coste de generación incurrido.

Si las empresas compitieran en un mercado en competencia perfecta, ningún agente

tendría poder para influir en el precio de la energía, por lo que el precio de mercado

sería percibido como constante por las empresas generadoras:

0i

p

g

∂ =∂

i∀ (3.15)

Entonces, la ecuación de optimalidad de un generador marginal sería:

ip c= (3.16)


39

Comparando las ecuaciones (3.14) y (3.16), se observa que en un mercado en

competencia imperfecta el ingreso marginal de un generador tiene un término

adicional igual a ei

pq

g

∂ ⋅∂

. Este término recoge el efecto que tiene sobre los ingresos del

grupo la variación que sufrirá el precio al modificar unitariamente la producción del

generador i. En efecto, se ha comentado que las empresas oligopolistas deben tener en

cuenta cómo sus decisiones afectan al precio de mercado. Por tanto, cuando una

empresa está decidiendo si debe producir 1 MWh adicional, debe comparar dos

términos:

Figura 3.5: Efectos del incremento de producción sobre el beneficio de una empresa

• El beneficio que obtiene de la venta de ese megavatio-hora adicional, igual a la

diferencia entre el precio que recibe esa unidad de energía y el coste que supone

producirla ( )ip c− . El área verde de la Figura 3.5 representa este ingreso.

• La reducción de ingresos asociada a la bajada de precio, dada por el término

ei

pq

g

∂ ⋅∂

. El incremento de generación hace que el precio baje, de modo que toda

la producción de la empresa se remunera a un precio menor. Este término,

representado por el área roja de la Figura 3.5, será mayor cuanto mayor sea la

potencia de la empresa que ya está produciendo, conocida como potencia

inframarginal. Si la producción afectada por una bajada de precio tiene un

volumen importante, la empresa tendrá fuertes incentivos para retirar parte de

su generación y mantener los precios altos, consiguiendo así que toda esa

producción capture un precio más elevado. Para empresas pequeñas, es casi

siempre despreciable. Por otro lado, cuanto mayor sea (en valor absoluto) la

derivada del precio respecto a la producción de un grupo, mayor capacidad

tendrá la empresa para modificar el precio y más importante será este término.

Las empresas que compiten en un mercado en competencia imperfecta deben

considerar el efecto global de un aumento de generación sobre sus beneficios, teniendo

en cuenta tanto los ingresos adicionales asociados a la venta de energía, como el

impacto que la correspondiente bajada de precio tiene sobre la remuneración del resto

q

p

Coste de producción

Precio de la energía

∆qe

∆p


40

de su producción. De modo que en el proceso de toma de decisiones las empresas

tienen en cuenta la posibilidad de actuar sobre el precio reduciendo la cantidad

generada.

Considérese ahora un generador térmico con alguna restricción activa. En este caso, la

variable dual asociada a la restricción activa supone un coste que hace que la

producción del grupo se modifique para satisfacer la restricción. Por ejemplo, un

generador con coste menor que su ingreso marginal estará produciendo su potencia

máxima y, entonces, la variable dual asociada a la restricción de potencia máxima giµ

tomará un valor distinto de cero (mientras que 0giµ = ) de forma que se verifique su

condición de optimalidad:

ge i i

i

pp q c

gµ∂+ ⋅ = +

∂ (3.17)

Esto significa que si este grupo pudiese producir 1 MWh adicional, la empresa

obtendría un beneficio igual al valor de la variable dual de la restricción de potencia

máxima, dado por la diferencia entre el ingreso marginal y el coste marginal del grupo.

Análogamente, si un generador cuyo es mayor que su ingreso marginal está

produciendo, su restricción de potencia mínima está activa:

ge i i

i

pp q c

gµ∂+ ⋅ = −

∂ (3.18)

Esta limitación supone un coste para la empresa dado por giµ , ya que hace que parte

de la producción de la misma se genere con grupos más caros.

En el caso de un generador hidráulico, el coste variable de producción será igual a cero

( )0ic = . Si no hay ninguna restricción de potencia activa, los generadores producirán

hasta que la variable dual de la restricción de gestión de las reservas hidráulicas sea

igual a su ingreso marginal:

He i

i

pp q

gµ∂+ ⋅ =

∂ (3.19)

Esta variable dual Hiµ es el valor del agua, que representa cuánto cambia el valor de la

función objetivo, es decir, cuánto aumenta el beneficio de la empresa, cuando dispone

de 1 MWh adicional de energía hidráulica. Comprando esta ecuación con la

ecuación (3.14) que se obtuvo para un generador marginal térmico, se obtiene:

e ii H

i iH

e ii

pp q c

gc

pp q

g

µµ

∂ + ⋅ = ∂ ⇒ =∂ + ⋅ =

∂

(3.20)


41

El valor del agua de una empresa será el coste variable del generador térmico que es

marginal o, en otras palabras, el coste variable del último generador térmico al que

sustituye. Si la empresa no tiene ningún generador marginal, sino que todos sus

grupos se encuentran funcionando en alguno de sus límites técnicos,

ge i i

i gHi i i

He i

i

pp q c

gc

pp q

g

µµ µ

µ

∂ + ⋅ = + ∂ ⇒ = +∂ + ⋅ =

∂

(3.21)

ge i i

gi Hi i i

He i

i

pp q c

gc

pp q

g

µµ µ

µ

∂ + ⋅ = − ∂ ⇒ = −∂ + ⋅ =

∂

el valor del agua coincide con el coste variable del generador modificado por el coste

asociado a la restricción activa que impone algún límite a la producción de la empresa.

Considerar explícitamente el coste de la restricción activa en el cálculo del valor del

agua equivale al caso anterior, ya que cambia el coste variable del grupo, sumando o

restando la variable dual, y resultando el coste que tendría ese generador si no

estuviera activa su restricción.

Los comentarios sobre en qué condiciones los grupos térmicos se encuentran en sus

límites de producción máximo y mínimo son aplicables al funcionamiento de los

grupos hidráulicos reemplazando el concepto de coste marginal del grupo por el de

valor del agua del embalse.

ggHe i i i

i

pp q

gµ µ µ∂+ ⋅ = + −

∂ (3.22)

Si el ingreso marginal supera el valor del agua del embalse, el grupo hidráulico debe

producir a potencia máxima ( )0; 0gg

i iµ µ≥ = ; en caso contrario, debe producir a

mínima potencia ( )0; 0gg

i iµ µ= ≥ .

Condición de complementariedad de holguras

Se añade la condición de complementariedad de holguras para completar el conjunto

de ecuaciones que define el problema de optimización de cada empresa.


42

• Limitación de potencia máxima de los generadores

( ) 0

0

0

gi ii

i i

gi

g g

g g

µ

µ

⋅ − = − ≤

≥

,e i e∀ ∈ (3.23)

• Limitación de potencia mínima de los generadores

( ) 0

0

0

gi ii

i i

gi

g g

g g

µ

µ

⋅ − = − ≤ ≥

,e i e∀ ∈ (3.24)

• Gestión de las reservas hidráulicas

( ) 0

0

0

Hi i i

i i

Hi

g H

g H

µ

µ

⋅ − = − ≤

≥

( ), , he i e i∀ ∈ (3.25)

3.3.4 Formulación del equilibrio del mercado como un problema

mixto de complementariedad

El conjunto de todas las condiciones de optimalidad de todas las empresas forma el

problema mixto de complementariedad que define el problema del equilibrio del

mercado, tal y como se muestra en la Figura 3.3.

0gg H

e i ii ii

pq p c

gµ µ µ∂ ⋅ + − − + − =

∂ ,e i e∀ ∈

( ) 0

0

0

gi ii

i i

gi

g g

g g

µ

µ

⋅ − = − ≤

≥

,e i e∀ ∈

( ) 0

0

0

gi ii

i i

gi

g g

g g

µ

µ

⋅ − = − ≤ ≥

,e i e∀ ∈

3.4 Equilibrio de Cournot

43

( ) 0

0

0

Hi i i

i i

Hi

g H

g H

µ

µ

⋅ − = − ≤

≥

( ), , he i e i∀ ∈

(3.26)

3.4 Equilibrio de Cournot

Hasta este momento no se ha planteado el problema de cómo representar el

comportamiento de la demanda. En los modelos de explotación tradicionales, la

demanda se considera inelástica, es decir, que la cantidad total demandada es

independiente del precio y de las producciones de otras empresas. En el modelo de

Cournot las empresas compiten en un equilibrio de Nash considerando como única

variable estratégica la producción total ofertada al mercado.

En este modelo, los consumidores se representan mediante la curva de demanda

agregada, que relaciona el precio con la cantidad total producida por el sistema. Por

tanto, una vez que las empresas han decidido su producción, el precio es una variable

dependiente que puede obtenerse de la curva de demanda. La producción total del

mercado se puede formular como una función lineal del precio:

o

o eeee

p p Dp p qD q

αα

= − ⋅

⇒ = − ⋅=

∑∑ (3.27)

La ecuación anterior se puede expresar como:

o e eeee e

p p q qα≠

= − ⋅ +

∑ (3.28)

Según la ecuación (3.13), para calcular la cantidad que maximiza el beneficio de cada

empresa es necesario conocer la derivada del precio respecto de su producción. De este

modo, la derivada del precio respecto de la producción de un generador i

perteneciente a la empresa e queda:

1 ee

i iee e

qp

g gα

≠

∂∂ = − ⋅ + ∂ ∂ ∑ (3.29)

Así que es necesario conocer cómo varían las producciones de las empresas

competidoras cuando la empresa e modifica unitariamente la cantidad generada. Para

resolver el problema se introduce la llamada conjetura de Cournot, según la cual las

empresas competidoras no reaccionan ante cambios en la producción de una cierta

empresa. En consecuencia, la derivada de las cantidades de las demás empresas

respecto de la propia producción es nula. El mercado estará en equilibrio si ninguna


44

empresa obtiene beneficio adicional de cambiar la potencia que saca al mercado,

manteniéndose constantes las generaciones de las otras empresas. Esto implica, puesto

que debe mantenerse siempre el equilibrio entre generación y demanda, que debe ser

la demanda la que varíe su valor para responder al incremento en la potencia sacada al

mercado, por medio de la elasticidad demanda-precio. Así, un cambio en la potencia

generada supone un cambio en el precio del mercado y un cambio en el valor de la

demanda en ese periodo.

Entonces,

0ee

i i

q p

g gα∂ ∂= ⇒ = −

∂ ∂ (3.30)

Es decir, la derivada del precio respecto de la producción de un generador es igual a la

pendiente de la curva de demanda para todas las empresas.

Sustituyendo los resultados de (3.30) en (3.26), el equilibrio del mercado queda:

0gg H

e i ii ip q cα µ µ µ− ⋅ − − + − = ,e i e∀ ∈

( ) 0

0

0

gi ii

i i

gi

g g

g g

µ

µ

⋅ − = − ≤

≥

,e i e∀ ∈

( ) 0

0

0

gi ii

i i

gi

g g

g g

µ

µ

⋅ − = − ≤ ≥

,e i e∀ ∈

( ) 0

0

0

Hi i i

i i

Hi

g H

g H

µ

µ

⋅ − = − ≤

≥

( ), , he i e i∀ ∈

(3.31)

3.5 Conclusiones

La experiencia real del proceso de liberalización que han vivido muchos de los

sistemas eléctricos de todo el mundo muestra que, con frecuencia, los mercados

eléctricos cuentan con un número reducido de empresas generadoras con un tamaño

considerable, lo que hace que las decisiones individuales de producción de los agentes

tengan un impacto significativo en el precio del mercado. En estas condiciones, las

empresas deciden su generación teniendo en cuenta el efecto global que tiene cada

3.5 Conclusiones

45

megavatio-hora producido sobre sus beneficios totales: si el beneficio obtenido por la

venta de 1 MWh adicional es mayor que la reducción de ingresos debida a la bajada de

precio correspondiente, que afecta a toda la potencia inframarginal de la compañía,

entonces la empresa decidirá sacar ese megavatio-hora al mercado; por el contrario, si

el impacto de la disminución del precio en el resto de producción de la empresa es más

importante que el margen que obtendría por el incremento de producción, la decisión

óptima será no aumentar la generación y mantener los precios en niveles más altos que

los que determinan sus costes variables de producción. Por tanto, las estrategias de

oferta de los agentes dependen de su coste marginal y de un término adicional

–respecto a los mercados en competencia perfecta– que es función de la derivada del

precio respecto a la producción de la empresa y de su potencia inframarginal.

En este problema, la decisión óptima de los agentes está definida por el equilibrio del

mercado, que puede calcularse mediante la resolución de un problema de

complementariedad. En este capítulo se han explicado los fundamentos de esta técnica

y se ha aplicado al cálculo del equilibrio estático de un mercado eléctrico de corto

plazo.

47

4 El modelo de Allaz y Vila

El análisis que se ha realizado en el capítulo anterior no tiene en cuenta la existencia de

mercados a plazo. Sin embargo, este tipo de mercados en los que los agentes pueden

negociar transacciones de energía cuya entrega tiene lugar en un periodo futuro son

una realidad en muchos de los mercados eléctricos existentes en la actualidad. Por

ejemplo, los mercados de PJM (Pennsylvania-New Jersey-Maryland), Francia,

Alemania, Holanda o NordPool (Noruega, Finlandia, Suecia y parte de Dinamarca),

entre otros, cuentan con mercados a plazo consolidados en los que se negocian

importantes volúmenes de energía. España representa, en este sentido, una excepción,

ya que hasta la reciente implantación del Mercado Ibérico de Electricidad (MIBEL) en

2006 no ha existido un mercado a plazo organizado de energía eléctrica. En este

contexto, surge la necesidad de estudiar la influencia que los mercados a plazo pueden

tener sobre el comportamiento estratégico de los agentes que operan en un mercado de

corto plazo o spot.

Este problema, aún sin resolver, está siendo objeto de estudio de numerosos trabajos de

investigación. Una de las principales referencias que se encuentran en la literatura es

Allaz y Vila (1993), donde se presenta un modelo en dos etapas para analizar el efecto

que tienen los contratos negociados en los mercados a plazo sobre las decisiones de los

agentes cuando operan en el mercado spot. En este capítulo se realiza una primera

aproximación al problema de la interacción entre los mercados a plazo y spot partiendo

del modelo desarrollado por Allaz y Vila.


48

4.1 Planteamiento

El modelo de Allaz y Vila considera dos únicas empresas que compiten en un mercado

a plazo y en un mercado spot. Se trata, por tanto, de un duopolio en el que las empresas

no compiten en condiciones de competencia perfecta, sino que tienen capacidad para

modificar el precio a través de sus decisiones. Estas dos compañías se comportan, tanto

en el mercado a plazo como en el spot, según el modelo de Cournot. Esto significa que

cada una de ellas decide su producción para maximizar su beneficio suponiendo que la

cantidad generada en cada mercado no depende de las decisiones de producción de la

otra empresa en ese mercado.

El modelo consta de dos etapas. En la primera etapa, las dos empresas generadoras

pueden participar en el mercado a plazo vendiendo energía que tiene fecha de entrega

en el segundo periodo. Los contratos de futuro negociados son firmes y las cantidades

contratadas son conocidas por todas las empresas tras el cierre del mercado a plazo. De

este modo, cada agente conoce, una vez que ha finalizado esta primera etapa, la

posición adquirida por la otra empresa en el mercado a plazo y puede tener en cuenta

esta información al tomar sus decisiones de producción en la siguiente etapa.

En la segunda etapa, las empresas deciden su producción en el spot según el modelo de

Cournot. Sin embargo, la existencia de un mercado anterior introduce algunas

diferencias respecto al modelo descrito en el capítulo 3:

• Por un lado, la función objetivo de cada empresa se ve modificada por las

posiciones a plazo que han adquirido previamente al negociar una cierta

cantidad de energía a plazo. En efecto, parte de la generación de las empresas ya

ha sido vendida y, por tanto, el precio que recibe esta producción ya es fijo. Sólo

la parte no negociada a plazo se remunera al precio resultante del spot.

• Por otro lado, cada empresa conoce la energía que ha negociado su competidora

en el mercado a plazo, por lo que es capaz de reaccionar en el spot a las decisiones

previas de la otra empresa.

Plantear el modelo en dos etapas diferenciadas es fundamental para representar la

naturaleza secuencial del problema. En los mercados a plazo se negocia la compra o

venta de energía en un periodo futuro a un precio determinado. En consecuencia, las

transacciones a plazo tienen lugar antes del momento de entrega de la energía

acordada, que coincide con un momento futuro en el que los agentes determinan su

producción total en el mercado spot. Luego, las decisiones de producción en cada

mercado no se toman de manera simultánea, sino que las empresas deciden primero la

cantidad que van a contratar a plazo –teniendo en cuenta los efectos de estos contratos

en el mercado spot– y, posteriormente, deciden la cantidad que van a producir

compitiendo en el mercado de corto plazo.

El modelo propuesto supone que no existe incertidumbre y que los agentes son capaces

de predecir perfectamente el precio de la energía en el mercado spot. Se ignoran, por

tanto, los efectos asociados a la gestión del riesgo de las empresas para centrase en el

4.1 Planteamiento

49

estudio del comportamiento estratégico de las empresas. Según Allaz y Vila, en estas

condiciones el precio de los contratos negociados en el mercado a plazo debe ser igual

al precio del mercado spot. Supóngase que una de las empresas se encuentra en la

primera etapa decidiendo qué cantidad de energía debe contratar a plazo. Esta

empresa tiene la posibilidad de vender una cantidad qc a un precio pc, que es superior a

sus costes de producción C y que, por tanto, le reportará un beneficio igual a

( )c cp q C⋅ − . Si el precio del spot ps es superior al precio del contrato a plazo

( )s cp p> , la empresa podría decidir contratar 1 MWh menos a plazo y venderlo

posteriormente en el spot al precio ps. Al hacerlo, recibiría un beneficio adicional igual a

la diferencia entre el precio del mercado spot y el precio del mercado a plazo

( )s cp p− . Por tanto, al observar que obtiene un margen mayor por la venta de su

energía en el spot, la empresa iría reduciendo la cantidad vendida en el mercado a

plazo para venderla en la segunda etapa, y terminaría decidiendo no contratar a plazo.

Esto reduciría la cantidad ofertada en el mercado a plazo, haciendo que el precio de

este mercado suba. Análogamente, si el precio del spot fuese inferior al precio del

contrato a plazo ( )s cp p< , la empresa obtendría mayores beneficios vendiendo su

energía en el mercado a plazo y decidiría no vender en el spot. Entonces, se reduciría la

oferta en el spot, lo que haría que el precio del mercado de corto plazo aumentase.

Por tanto, en ausencia de incertidumbre el precio del mercado a plazo no debe diferir

significativamente del precio del mercado spot. Si los agentes pueden predecir

perfectamente el precio spot, siempre tienen la posibilidad de vender más o menos

energía en el mercado de corto plazo de modo que escojan la opción que les reporte

mayores beneficios. Así, cuando los precios de los dos mercados se separan, las

empresas realizan una serie de operaciones buscando optimizar sus resultados que

tienden a igualar los dos precios.

De esta forma, los precios de los mercados a plazo y spot en el modelo serán iguales:

s cp p p= = (4.1)

El precio viene dado por una función lineal de la demanda agregada del sistema de

pendiente unitaria:

( )oo 1 2

1 2

p p Dp p q q

D q q

= − ⇒ = − += −

(4.2)

donde q1 y q2 son las producción totales de las empresas 1 y 2, respectivamente.

Las curvas de coste no consideran explícitamente que cada empresa puede tener

diferentes grupos con distintos costes variables de producción, sino que se representan

simplificadamente como una función lineal de la producción de cada empresa. Estas

curvas son iguales para las dos empresas:


50

1 1C c q= ⋅ (4.3)

2 2C c q= ⋅ (4.4)

donde C1 y C2 son los costes de producción de las empresas 1 y 2, respectivamente.

Esto es equivalente a suponer que toda la producción de cada empresa se produce con

un único generador de coste variable c.

4.2 Formulación del modelo

Para obtener las condiciones de optimalidad que definen el equilibrio del mercado es

necesario tener en cuenta dos conjuntos de ecuaciones: las de la primera etapa, que

modelan el comportamiento óptimo de las empresas cuando se encuentran decidiendo

sus contratos a plazo, y las de los problemas de optimización en el mercado spot. Este

apartado comienza analizando la segunda etapa.

4.2.1 Mercado spot

El objetivo de las empresas sigue siendo –tal y como se ha expuesto en el capítulo

anterior–, la maximización de sus beneficios, pero en este caso hay que tener en cuenta

que en esta segunda etapa parte de la producción ya ha sido contratada en el mercado

a plazo. La función objetivo de cada empresa queda, entonces:

( )max s c1 1 1p q q c q⋅ − − ⋅ para la empresa 1 (4.5)

( )max s c2 2 2p q q c q⋅ − − ⋅ para la empresa 2 (4.6)

Sustituyendo la ecuación (4.1):

( )max c1 1 1p q q c q⋅ − − ⋅ para la empresa 1 (4.7)

( )max c2 2 2p q q c q⋅ − − ⋅ para la empresa 2 (4.8)

El primer término de la función objetivo representa los ingresos que cada empresa

obtiene en el mercado spot. Este término no tiene en cuenta los ingresos asociados a las

posiciones a plazo c1q y c

2q que cada agente ha adquirido en la etapa anterior puesto

que estas cantidades reciben el precio negociado previamente. El segundo término son

los costes de la producción total de las empresas, que sí incluyen las cantidades

contratadas a plazo ya que su fecha de entrega, es decir, el momento en el que deben

ser producidas, tiene lugar durante esta segunda etapa.


51

Siguiendo la metodología descrita en el apartado 3.1, se construye la función

lagrangiana del problema de optimización de cada empresa:

( )c1 1 1 1p q q c q= ⋅ − − ⋅L (4.9)

( )c2 2 2 2p q q c q= ⋅ − − ⋅L (4.10)

Las condiciones de optimalidad del problema vienen dadas por la derivada del

lagrangiano respecto de las variables de decisión. En este caso, la única variable de

decisión que tiene cada empresa es la cantidad total de energía que van a generar, ya

que comportan según el modelo de Cournot –deciden su producción– y las cantidades

contratadas a plazo ya se han decidido con anterioridad. Por tanto,

( ) 0c11 1

1 1

pq q p c

q q

∂ ∂= ⋅ − + − =∂ ∂L

(4.11)

( ) 0c22 2

2 2

pq q p c

q q

∂ ∂= ⋅ − + − =∂ ∂L

(4.12)

De la ecuación (4.2) se tiene:

( )1

1

2

1 1o 1 2

1

2 2

qp

q qp p q q

qp

q q

∂∂ = − + ∂ ∂ = − + ⇒ ∂∂ = − + ∂ ∂

(4.13)

y según lo descrito en el apartado 3.4,

0 1

10

2

1 1

1

22

q p

q q

q p

qq

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ⇒ ∂ ∂ = −=

∂∂

(4.14)

Así, las condiciones de optimalidad quedan:

( ) 0c1 1p q q c− − − = para la empresa 1 (4.15)

( ) 0c2 2p q q c− − − = para la empresa 2 (4.16)

Estas ecuaciones forman, junto con la ecuación (4.2), el siguiente sistema de ecuaciones:


52

( )( )

( )

0

0

c1 1

c2 2

o 1 2

p q q c

p q q c

p p q q

− − − = − − − =

= − +

(4.17)

Resultado 4.2.A

En el equilibrio, las producciones de las empresas y el precio del mercado están dados

por:

2

3 3

c co 1 2

1p c q q

q− −= + (4.18)

2

3 3

c co 2 1

2p c q q

q− −= + (4.19)

2

3 3

c co 1 2p c q q

p+ += − (4.20)

El precio del mercado spot depende de las cantidades de energía que las empresas han

negociado en el mercado a plazo. Un incremento en la cantidad contratada por alguna

de las empresas provoca una reducción del precio spot, mientras que un decremento de

la producción vendida a plazo hace que el precio del spot suba. Por tanto, los ingresos

que obtiene un agente en el mercado de corto plazo dependen de los contratos

negociados por el otro y, puesto que se ha definido que la información de la primera

etapa es pública, cada empresa puede reaccionar ante las decisiones de contratación de

la empresa competidora. Las ecuaciones anteriores recogen estas dependencias, de

forma que si un agente aumenta el volumen de sus contratos, el precio del mercado

baja y la otra empresa reacciona reduciendo su producción.

Demostración 4.2.A

( )( )

( )

0

0

c1 1

c2 2

o 1 2

p q q c

p q q c

p p q q

− − − = − − − =

= − +

Sustituyendo la tercera ecuación del sistema en la primera:

( ) ( ) 0co 1 2 1 1p q q q q c− + − − − =

( )2 0co 1 2 1p q q q c− + − − =


53

2 c2 o 1 1q p c q q= − − +

Al sustituir ahora en la segunda del sistema anterior se obtiene:

( ) ( ) 0co 1 2 2 2p q q q q c− + − − − =

( )2 0co 1 2 2p q q q c− + − − =

e incorporando la expresión obtenida para q2:

( )( )2 2 0c co 1 o 1 1 2p q p c q q q c− + ⋅ − − + − − =

( )2 2 3 2 0c co o 1 1 2p p c q q q c− − − + − − =

3 2 0c co 1 1 2p c q q q− + + − + =

2

3 3

c co 1 2

1p c q q

q− −

= +

La producción de la empresa 2 queda, entonces:

22

3 3

c cco 1 2

2 o 1p c q q

q p c q − −

= − − ⋅ + +

3 3 2 2 4 2 3

3 3

c c co o 1 2 1

2p c p c q q q

q− − + − + +

= +

2

3 3

c co 2 1

2p c q q

q− −

= +

El precio del mercado se obtiene sustituyendo las expresiones calculadas para las producciones

de cada una de las empresas.

2 2

3 3 3 3

c c c co o1 2 2 1

op c p cq q q q

p p − −− −

= − + + +

3 2 2

3 3

c co o 1 2p p c q q

p− + +

= −

2

3 3

c co 1 2p c q q

p+ +

= −


54

4.2.2 Mercado a plazo

En la primera etapa, los agentes tienen como objetivo la maximización de sus

beneficios eligiendo el volumen de las transacciones a plazo que van a realizar. Al

tomar sus decisiones de contratación deben tener en cuenta que las cantidades de

energía contratadas en el mercado a plazo afectan también a los resultados que

obtendrán posteriormente en el spot. En otras palabras, el problema de las empresas en

la primera etapa es decidir la cantidad de contratos óptima que les reporta los mayores

beneficios globales. Por tanto, su función objetivo será maximizar los beneficios

obtenidos en las dos etapas:

( )max c c s c1 1 1 1p q p q q c q⋅ + ⋅ − − ⋅ para la empresa 1 (4.21)

( )max c c s c2 2 2 2p q p q q c q⋅ + ⋅ − − ⋅ para la empresa 2 (4.22)

Como se ha comentado, el modelo supone que los precios de los mercados a plazo y

spot son iguales. Entonces, las funciones objetivo quedan:

max 1 1p q c q⋅ − ⋅ para la empresa 1 (4.23)

max 2 2p q c q⋅ − ⋅ para la empresa 2 (4.24)

El lagrangiano de cada empresa es:

1 1 1p q c q= ⋅ − ⋅L (4.25)

2 2 2p q c q= ⋅ − ⋅L (4.26)

y teniendo en cuenta que la variable sobre la que pueden decidir los agentes en esta

etapa es su producción a plazo, las condiciones de optimalidad son:

01 1 11c c c c

1 1 1 1

q qpq p c

q q q q

∂ ∂ ∂∂= ⋅ + ⋅ − ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂L

(4.27)

02 2 22c c c c

2 2 2 2

q qpq p c

q q q q

∂ ∂ ∂∂= ⋅ + ⋅ − ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂L

(4.28)

De las expresiones que se obtuvieron al resolver el problema de optimización de la

segunda etapa se tiene que:

2 2

3 3 3

c co 1 2 1

1 c1

p c q q qq

q

− − ∂= + ⇒ =∂

(4.29)

2 2

3 3 3

c co 2 1 2

2 c2

p c q q qq

q

− − ∂= + ⇒ =∂

(4.30)


55

1

32

13 33

cc c1o 1 2

c2

p

qp c q qp

p

q

∂ = −∂+ + = − ⇒ ∂ = −∂

(4.31)

ya que las empresas compiten según el modelo de Cournot 0c c1 2c c2 1

q q

q q

∂ ∂= = ∂ ∂ .

Resultado 4.2.B

Las condiciones de optimalidad de los problemas de optimización de las empresas en

la primera etapa forman el siguiente sistema de ecuaciones:

4 0

4 0

c co 1 2

c co 2 1

p c q q

p c q q

− − − =

− − − =

(4.32)

En el equilibrio, los contratos y producciones de las empresas y el precio de la energía

están definidos por el resultado del sistema de ecuaciones (4.32):

5c c o1 2

p cq q

−= = (4.33)

( )2

5o

1 2p c

q q⋅ −

= = (4.34)

4

5op c

p+= (4.35)

Y el beneficio total de cada empresa es igual a:

( )2 22 2

25

o o1 2

p p c cB B

⋅ − += = (4.36)

Demostración 4.2.B

01 1 11c c c c

1 1 1 1

q qpq p c

q q q q

∂ ∂ ∂∂= ⋅ + ⋅ − ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂L

02 2 22c c c c

2 2 2 2

q qpq p c

q q q q

∂ ∂ ∂∂= ⋅ + ⋅ − ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂L


56

Sustituyendo (4.29), (4.30) y (4.31),

221 2 20

3 3 3 3 3 3 3

221 2 20

3 3 3 3 3 3 3

c c c co o1 2 1 2

c c c co o2 1 1 2

p c p cq q q qc

p c p cq q q qc

− +− +− ⋅ + + ⋅ − − =

− +− +− ⋅ + + ⋅ − − =

2 4 6 2 2 2 0

2 4 6 2 2 2 0

c c c co o 1 2 1 2

c c c co o 2 1 1 2

p c p c c q q q q

p c p c c q q q q

− + + + − − + − − =

− + + + − − + − − =

4 0

4 0

c co 1 2

c co 2 1

p c q q

p c q q

− − − =

− − − =

Despejando en la primera ecuación del sistema:

4c c2 o 1q p c q= − −

y sustituyendo en la segunda ecuación:

( )4 4 0c co o 1 1p c p c q q− − ⋅ − − − =

4 4 16 0c co o 1 1p c p c q q− − + + − =

3 3 15 0co 1p c q− + + =

5c o1

p cq

−=

Entonces, la producción a plazo de la empresa 2 está dada por:

45

c o2 o

p cq p c

− = − − ⋅

5 5 4 4

5c o o2

p c p cq

− − +=

5c o2

p cq

−=

Sustituyendo ahora en las ecuaciones (4.18) y (4.19):

25 5

3 3

o o

o1

p c p cp c

q

− −−−

= +

5 5 2 2

15o o o

1p c p c p c

q− + − − +

=


57

( )2

5o

1p c

q⋅ −

=

25 5

3 3

o o

o2

p c p cp c

q

− −−−= +

5 5 2 2

15o o o

2p c p c p c

q− + − − +

=

( )2

5o

2p c

q⋅ −

=

Y el precio de la energía (ecuación (4.20)) será:

2 5 53 3

o o

o

p c p cp c

p

− −++= −

5 10

15o o op c p c p c

p+ − + − +

=

4

5op c

p+

=

El beneficio total de las empresas es el beneficio obtenido en las dos etapas:

1 1 1B p q c q= ⋅ − ⋅

2 2 2B p q c q= ⋅ − ⋅

Sustituyendo las expresiones de las ecuaciones (4.34) y (4.35):

( ) ( )2 24

5 5 5o oo

1 2p c p cp c

B B c⋅ − ⋅ −+

= = ⋅ − ⋅

2 2 22 8 2 8 2 2

25 5o o o o

1 2p p c p c c p c c

B B+ − − −

= = −

2 2 22 6 8 10 10

25o o o

1 2p p c c p c c

B B+ − − +

= =

2 2 22 6 8 10 10

25o o o

1 2p p c c p c c

B B+ − − +

= =

( )2 22 2

25

o o1 2

p p c cB B

⋅ − += =


58

4.3 Análisis de los resultados

Para analizar los resultados obtenidos en el juego en dos etapas, se comparará el caso

analizado en el apartado anterior con el problema de optimización de las empresas

suponiendo que no existe mercado a plazo y que los agentes sólo pueden vender su

producción en el mercado spot. Si la venta de energía se realiza en una única etapa, el

problema es equivalente al presentado en el capítulo 3, en el que las empresas sólo

compiten en el mercado de corto plazo.

Resultado 4.3.A

Si no existe un mercado a plazo, las producciones óptimas de las empresas son:

3o

1 2p c

q q−= = (4.37)

y el precio de mercado queda:

2

3op c

p+= (4.38)

El beneficio de cada empresa será, entonces:

2 22

9o o

1 2p p c c

B B− += = (4.39)

Al comparar el beneficio que obtienen las empresas cuando negocian su energía en un

mercado a plazo y en un mercado spot (ecuación (4.36)) con lo que obtienen al vender

su producción solamente en el mercado de corto plazo (ecuación (4.39)), se observa que

los resultados de las empresas empeoran cuando contratan parte de su energía a

futuro.

( )2 2 2 22 2 2

25 9

o o o o

beneficioconmercadoa plazo beneficio sinmercadoa plazo

p p c c p p c c⋅ − + − +<��

(4.40)

Luego, si el beneficio que obtienen las empresas cuando negocian en un mercado a

plazo es menor que el que resulta cuando operan únicamente en el mercado spot, cabe

preguntarse por qué los agentes querrían participar en un mercado a plazo. Pues bien,

supóngase ahora que existe un mercado a plazo, pero que sólo la empresa 1 participa

en él. En este caso, el problema de optimización de la primera etapa se plantea

únicamente para la empresa 1.

Resultado 4.3.B

El equilibrio del problema cuando el único agente que participa en el mercado a plazo

es la empresa 1 está definido por:


59

4c o1

p cq

−= (4.41)

2o

1p c

q−= ;

4o

2p c

q−= (4.42)

3

4op c

p+= (4.43)

Los beneficios que obtienen cada una de las empresas en este caso son:

2 22

8o o

1p p c c

B− += ;

2 22

16o o

2p p c c

B− += (4.44)

De modo que, cuando sólo uno de los agentes tiene la oportunidad de negociar a plazo,

los beneficios que obtiene mejoran frente a los que tendría si no lo hiciera. En cambio,

los resultados de la segunda empresa son notablemente inferiores a los del caso en el

que ningún agente contrata a plazo. Estos resultados son similares a los que se

obtienen en el modelo de Stackelberg4, en el que las ofertas no se realizan

simultáneamente. En este caso, la empresa 1 decide su producción a plazo,

adquiriendo un compromiso de venta que le hace estar menos expuesta al precio spot.

Por el contrario, toda la producción de la empresa 2 recibirá el precio spot, así que este

agente tiene más incentivos que el primero para mantener el precio alto. Cuando,

posteriormente, la empresa 2 selecciona la cantidad óptima que debe generar, lo hace

en función de la energía contratada por la empresa 1, teniendo en cuenta la menor

exposición que tiene ésta al precio. Por tanto, si la empresa 1 se adelanta, es capaz de

mejorar sus resultados capturando mayor cuota de mercado, ya que la otra empresa

actuará condicionada por su decisión retirando cantidad para mantener un precio spot

algo más elevado. Entonces, la empresa 2 también querrá participar en el mercado a

plazo en un intento por conseguir los mismos resultados que la empresa 1. Ambos

productores tienen incentivos estratégicos para contratar parte de su energía a plazo.

Sin embargo, cuando los dos agentes negocian contratos de futuro, los resultados de

ambos se reducen respecto al caso en el que sólo existe un mercado spot. Negociar en el

mercado a plazo representa un dilema del prisionero para las dos empresas: cuando

uno de los productores consigue ser el único que contrata a plazo, obtiene un

considerable aumento de sus beneficios; en cambio, cuando las dos empresas

participan en el mercado a plazo, las dos obtienen peores resultados.

4 Véase el capítulo 2.


60

Demostración 4.3.A

El problema del equilibrio de un único mercado spot queda definido por la siguiente función

objetivo para cada empresa:

max 1 1p q c q⋅ − ⋅ para la empresa 1

max 2 2p q c q⋅ − ⋅ para la empresa 2

donde ( )o 1 2p p q q= − + es el precio de mercado

Construyendo el lagrangiano y derivando respecto a la producción de cada empresa:

011 1 1 1

1 1

pp q c q q p c

q q

∂ ∂= ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ + − =∂ ∂L

L

022 2 2 2

2 2

pp q c q q p c

q q

∂ ∂= ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ + − =∂ ∂L

L

donde 11 2

p p

q q

∂ ∂= = −∂ ∂

Así, las condiciones de optimalidad que definen el equilibrio son:

01p q c− − =

02p q c− − =

De las condiciones de optimalidad anteriores y la ecuación del precio se obtienen el siguiente

sistema de ecuaciones:

( )

0

01

2

o 1 2

p q c

p q c

p p q q

− − =

− − = = − +

Sustituyendo la tercera ecuación del sistema en la primera:

( ) 0o 1 2 1p q q q c− + − − =

( )2 0o 1 2p q q c− + − =

22 o 1q p c q= − −

Sustituyendo ahora la ecuación del precio en la segunda ecuación del sistema:

( ) 0o 1 2 2p q q q c− + − − =

( )2 0o 1 2p q q c− + − =


61

e, incorporando la expresión obtenida para q2:

( )( )2 2 0o 1 o 1p q p c q c− + − − − =

2 2 3 0o o 1p p c c q− + − + =

3o

1p c

q−

=

La producción de la empresa 2 queda:

23

o2 o

p cq p c

−= − −

3 3 2 2

3o o

2p c p c

q− − +

=

3o

2p c

q−

=

El precio del mercado queda definido por las producciones de las empresas:

3 3o o

op c p c

p p− − = − +

3 2 2

3o op p c

p− +

=

2

3op c

p+

=

El beneficio de cada empresa es:

1 1 1B p q c q= ⋅ − ⋅

2 2 2B p q c q= ⋅ − ⋅

que, en este caso queda:

2

3 3 3o o o

1 2p c p c p c

B B c+ − −

= = ⋅ − ⋅

2 2 22 2

9 3o o o o

1 2p p c p c c p c c

B B+ − − −

= = −

2 2 22 3 3

9o o o

1 2p p c c p c c

B B+ − − +

= =

2 22

9o o

1 2p p c c

B B− +

= =


62

Demostración 4.3.B

Si la empresa 1 es la única que puede participar en el mercado a plazo, el problema de

optimización de la primera etapa se plantea sólo para este agente. La función objetivo será:

max 1 1p q c q⋅ − ⋅

y

1 1 1p q c q= ⋅ − ⋅L

Luego, la condición de optimalidad que define el equilibrio del mercado es:

01 1 11c c c c

1 1 1 1

q qpq p c

q q q q

∂ ∂ ∂∂= ⋅ + ⋅ − ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂L

donde 2 2

3 3 3

co 1 1

1 c1

p c q qq

q

− ∂= + ⇒ =

∂

2 1

3 3 3

co 1

c1

p c q pp

q

+ ∂= − ⇒ = −∂

Por tanto,

221 2 20

3 3 3 3 3 3 3

c co o1 1p c p cq q

c − +

− ⋅ + + ⋅ − − =

2 4 6 2 2 0c co o 1 1p c p c c q q− + + + − − − =

4 0co 1p c q− − =

4c o1

p cq

−=

Las producciones totales de cada empresa serán:

2

3 3

co 1

1p c q

q−

= +

24

3 3

o

o1

p cp c

q

−−

= +

4 4 2 2

12o o

1p c p c

q− + −

=

2o

1p c

q−

=


63

3 3

co 1

2p c q

q−

= −

43 3

o

o2

p cp c

q

−−

= −

4 4

12o o

2p c p c

q− − +

=

4o

2p c

q−

=

y el precio de mercado:

2

3 3

co 1p c q

p+

= −

2 43 3

o

o

p cp c

p

−+

= −

4 8

12o op c p c

p+ − +

=

3

4op c

p+

=

Los beneficios que obtienen cada una de las empresas son:

1 1 1B p q c q= ⋅ − ⋅

3

4 2 2o o o

1p c p c p c

B c+ − −

= ⋅ − ⋅

2 2 23 3

8 2o o o o

1p p c p c c p c c

B− + − −

= −

2 2 22 3 4 4

8o o o

1p p c c p c c

B+ − − +

=

2 22

8o o

1p p c c

B− +

=

2 2 2B p q c q= ⋅ − ⋅

3

4 4 4o o o

2p c p c p c

B c+ − −

= ⋅ − ⋅

2 2 23 3

16 4o o o o

2p p c p c c p c c

B− + − −

= −


64

2 2 22 3 4 4

16o o o

2p p c c p c c

B+ − − +

=

2 22

16o o

2p p c c

B− +

=

Según los resultados del modelo, los mercados a plazo afectan de una manera nada

obvia al comportamiento de los agentes en el mercado spot. Las condiciones de

optimalidad del problema de optimización de la segunda etapa (ecuaciones (4.15) y

(4.16)) en el que las empresas deciden su producción total conocidas tanto su posición a

plazo como la de su competidora, eran:

( ) 0ce ep q q c− − − =

En esta ecuación, la cantidad negociada a plazo minora la producción total de la

empresa. El ingreso marginal de la empresa ( )( )ce ep q q− − difiere del ingreso marginal

del modelo de una etapa ( )ep q− , ya que el decremento de precio que implica la venta

de 1 MWh adicional no afecta al ingreso de las ventas a plazo, que reciben un precio

que ya es fijo. Por tanto, cuando un agente con parte de su energía contratada se

plantea la posibilidad de vender 1 MWh más en el spot debe comparar las dos áreas

sombreadas de la siguiente figura:

Figura 4.1: Efectos del incremento de producción sobre el beneficio de una empresa con contratos a plazo

• El área verde que representa los beneficios que obtiene la empresa al incrementar

unitariamente su producción es igual al de la Figura 3.5 del modelo de una etapa

analizado en el capítulo 3.

• En cambio, el área roja que representa la reducción del beneficio asociada al

decremento en el precio spot es menor, ya que sólo afecta a la energía que no ha

sido vendida previamente en el mercado a plazo. Así que contratar parte de su

energía a plazo hace que los agentes sean menos sensibles a variaciones en el

q

ps



∆qe

∆ps

qec

4.4 Conclusiones

65

precio spot y, por tanto, sean menos dependientes de la elasticidad del precio ante

un incremento en su producción.

Allaz y Vila concluyen que la existencia de mercados a plazo mejora el nivel de

competencia. Aunque el mercado mantenga una estructura oligopolista, los contratos a

plazo tienen un efecto procompetitivo, ya que reducen los incentivos de las empresas

para ejercer su poder de mercado y, con ello, se acercan a las condiciones de

competencia perfecta. Estos resultados sugieren que los mercados a plazo podrían

emplearse como herramientas encaminadas a limitar el poder de mercado de los

agentes.

4.4 Conclusiones

El resultado fundamental del modelo de Allaz y Vila es la identificación de un efecto

procompetitivo asociado a la existencia de mercados a plazo. El modelo muestra que

contratar parte de su generación a futuro hace que las empresas modifiquen su

comportamiento en el mercado spot, adoptando estrategias de oferta más agresivas que

conllevan producciones más elevadas y menores precios de mercado. El mercado spot

mejora, entonces, su nivel de competencia. Este efecto se debe a que el ingreso

marginal de las compañías ( )( )ce ep q q− − aumenta con la cantidad contratada a plazo y,

por tanto, los agentes obtienen beneficios adicionales al incrementar su producción. En

efecto, el volumen de energía negociada a plazo minora la potencia inframarginal de la

empresa, que observa que las variaciones del precio spot no afectan a la parte de la

generación que ha sido negociada previamente –que recibe el precio fijado en la etapa

anterior–. El impacto de una bajada de precio sobre los beneficios de la potencia de la

empresa que se encuentra produciendo es menor que en el juego de una etapa, de

modo que los agentes son menos sensibles a la elasticidad del precio y tienden a

aumentar su producción. Por tanto, la existencia de un mercado a plazo anterior al spot

reduce los incentivos de los agentes para ejercer su poder de mercado.

Este resultado nada intuitivo del modelo de Allaz y Vila implica que las empresas

obtienen menores beneficios cuando deciden realizar transacciones a plazo. La

justificación para que, a pesar de lo anterior, las compañías negocien contratos es que

la posibilidad de operar en mercados a plazo crea un dilema del prisionero para los

agentes. Cuando las dos empresas se contratan a futuro, sus resultados empeoran

respecto al caso en el que no participan en el mercado a plazo. Sin embargo, si uno de

los agentes no se contrata, entonces la otra empresa tiene fuertes incentivos para

realizar ventas a plazo, ya que de este modo incrementaría sus beneficios. Como

consecuencia, los resultados de la primera empresa se reducirían notablemente. De

modo que ambos productores tienen importantes incentivos para negociar parte de su

producción a plazo pero, si los dos lo hacen, su situación empeora respecto a haber

operado exclusivamente en el mercado spot.

67

5 Generalización del modelo

de Allaz y Vila

El modelo de Allaz y Vila define una serie de parámetros como datos del problema

que, en general, no se adaptan a la realidad de los mercados eléctricos existentes. Esto

limita enormemente las posibles aplicaciones del modelo, ya que no se puede emplear

para realizar estudios realistas sobre la base de algún mercado conocido. En este

capítulo se presenta una generalización del modelo descrito en el capítulo anterior, que

extiende su formulación a un caso de mercado menos rígido que el considerado por

Allaz y Vila.

5 Generalización del modelo de Allaz y Vila

68

5.1 Planteamiento

El estudio de Allaz y Vila sobre la interacción entre mercados a plazo y mercados al

contado está desarrollado para unas condiciones de mercado muy particulares. El

modelo considera la existencia de dos únicas empresas con idénticas curvas de coste.

Estas curvas están representadas por funciones lineales de la producción de cada

empresa, lo que equivale a considerar que cada una de ellas es propietaria de un único

generador que produce toda la energía de la compañía sin ninguna restricción de

capacidad. Además, el precio viene dado por una función lineal de la demanda de

pendiente unitaria.

Sin embargo, estas condiciones no se cumplen en la mayoría de los mercados eléctricos

existentes. En el siguiente apartado se presenta una generalización del modelo de Allaz

y Vila, que extiende el estudio para el caso en el que opera un número E indeterminado

de empresas con costes Ce –que, en general, serán distintos para las diferentes

compañías de generación– e incorpora una función lineal general con pendiente α para

representar el precio de mercado.

o

o eeee

p p Dp p qD q

αα

= − ⋅

⇒ = − ⋅=

∑∑ (5.1)

En el apartado 5.2 se mantienen las hipótesis fundamentales del modelo de Allaz y

Vila: se plantea un juego en dos etapas en el que las empresas compiten en un mercado

a plazo y, posteriormente, en un mercado spot, comportándose en cada uno de ellos

según el modelo de Cournot. Además, se considera que los agentes son capaces de

predecir perfectamente el precio spot y que los precios de los dos mercados son iguales

( )s cp p p= = . Los resultados de la primera etapa son conocidos por todos los agentes

que participan en el mercado de corto plazo, de manera que pueden tener en cuenta las

posiciones a plazo adquiridas por todas las empresas e incorporar esta información en

el proceso de toma de decisiones en el spot.


5.2.1 Mercado spot

La función objetivo para cada una de las empresas que compiten en el mercado spot

está dada por:

( )max s ce e ep q q C⋅ − − e∀ (5.2)

donde ps es el precio del mercado spot, so e

e

p p p qα= = − ⋅∑ ,


69

qe es la producción total de la empresa e,

qec es la producción contratada a plazo por la empresa e,

Ce es el coste de producción de la empresa e, que será función de qe.

Los ingresos de la función objetivo no tienen en cuenta la producción vendida a plazo,

que recibe el precio negociado en primera etapa.

El lagrangiano del problema de optimización de cada empresa es:

( )ce e e ep q q C= ⋅ − −L e∀ (5.3)

Las condiciones de optimalidad que definen el comportamiento óptimo de los agentes

se obtienen derivando la función lagrangiana respecto de la variable de decisión de la

empresa (su producción total):

( ) 0ce ee e

e e e

Cpq q p

q q q

∂ ∂∂= ⋅ − + − =∂ ∂ ∂L

e∀ (5.4)

De la ecuación del precio (ecuación (5.1)),

1 eeo e

e ee ee e

qpp p q

q qα α

≠

∂∂= − ⋅ ⇒ = − ⋅ + ∂ ∂ ∑ ∑ (5.5)

e, introduciendo la conjetura de Cournot,

e

p

qα∂ = −

∂ (5.6)

Por tanto, la ecuación de optimalidad de cada empresa queda:

( ) 0c ee e

e

Cp q q

qα ∂− ⋅ − − =

∂ e∀ (5.7)

Entonces, se puede plantar un sistema de E+1 ecuaciones formado por las E

condiciones de optimalidad anteriores, una para cada una de las empresas, y por la

ecuación (5.1) que define el precio de mercado.


70

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )

0

0

0

0

0

0

0

α

α

α

α

α

α

α

α

−− −

−

−− −

−

− −

∂ − ⋅ − − = ∂

∂ − ⋅ − − = ∂ ∂− ⋅ − − = ∂

∂ − ⋅ − − = ∂∂− ⋅ − − =∂

∂− ⋅ − − =∂

∂− ⋅ − − =∂

= − ⋅ + + + + + + + +

⋮

⋮

… …

c 11 1

1

c 22 2

2

c 33 3

3

c e 1e 1 e 1

e 1

c ee e

e

c E 1E 1 E 1

E 1

c EE E

E

o 1 2 3 e 1 e E 1 E

Cp q q

q

Cp q q

q

Cp q q

q

Cp q q

q

Cp q q

q

Cp q q

q

Cp q q

q

p p q q q q q q q

(5.8)

Resultado 5.2.A

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene que, en el equilibrio, las

producciones de todas las empresas y el precio del mercado están dados por las

siguientes expresiones:

( ) ( )1 1α≠ ≠

∂ ∂− ⋅ + ⋅ −∂ ∂

= ++ ⋅ +

∑ ∑c ce eeo e ee

e eeee e ee ee

C Cp E E q q

q qq

E E e∀ (5.9)

( ) ( )1 1

α∂+ ⋅= −

+ +

∑ ∑ ceo e

ee e

Cp q

qp

E E (5.10)

Es fácil comprobar que para el caso en el que sólo compiten dos empresas ( )2=E con

costes iguales a una función lineal de la producción de la empresa de pendiente c

( )= ⋅e eC c q y la curva del precio tiene pendiente unitaria ( )1α = , las expresiones

anteriores toman los mismos valores que se obtuvieron en el capítulo 4.


71

Demostración 5.2.A

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )

0

0

0

0

0

0

0

α

α

α

α

α

α

α

α

−− −

−

−− −

−

− −

∂ − ⋅ − − = ∂ ∂

− ⋅ − − = ∂ ∂

− ⋅ − − =∂

∂ − ⋅ − − = ∂∂

− ⋅ − − =∂

∂− ⋅ − − =

∂∂

− ⋅ − − =∂

= − ⋅ + + + + + + + +

⋮

⋮

… …

c 11 1

1

c 22 2

2

c 33 3

3

c e 1e 1 e 1

e 1

c ee e

e

c E 1E 1 E 1

E 1

c EE E

E

o 1 2 3 e 1 e E 1 E

Cp q q

q

Cp q q

q

Cp q q

q

Cp q q

q

Cp q q

q

Cp q q

q

Cp q q

q

p p q q q q q q q

Sustituyendo en la primera ecuación del sistema la expresión del precio del mercado definida por

la última ecuación:

( ) ( ) 0α α− −∂

− ⋅ + + + + + + + + − ⋅ − − =∂

… … c 1o 1 2 3 e 1 e E 1 E 1 1

1

Cp q q q q q q q q q

q

( )2 0α − −∂

− ⋅ + + + + + + + + − − =∂

… … c 1o 1 2 3 e 1 e E 1 E 1

1

Cp q q q q q q q q

q

2α − −

∂−∂

= − − − − − − − − +… …

1o

c12 1 3 e 1 e E 1 E 1

Cp

qq q q q q q q q

Se sustituye ahora la ecuación del precio en la segunda ecuación del sistema y, posteriormente, se

incorpora la expresión obtenida para 2q :

( ) ( ) 0α α− −∂

− ⋅ + + + + + + + + − ⋅ − − =∂

… … c 2o 1 2 3 e 1 e E 1 E 2 2

2


q

( )2 0α − −∂

− ⋅ + + + + + + + + − − =∂

… … c 2o 1 2 3 e 1 e E 1 E 2

2

Cp q q q q q q q q

q


72

2

4 2 2 2 2 2 2

0

αα − −

− −

∂− ∂ − ⋅ + − − − − − − − − + +

∂+ + + + + + + − − = ∂

… …

… …

1o

1 co 1 1 3 e 1 e E 1 E 1

c 23 e 1 e E 1 E 2

2

Cp

qp q q q q q q q q

Cq q q q q q

q

2

3

2 0

αα − −

∂− ∂ − ⋅ − − − − − − − − +

∂+ − − = ∂

… …

1o

1o 1 3 e 1 e E 1 E

c c 21 2

2

Cp

qp q q q q q q

Cq q

q

( )2 3 2 0c c1 2o 1 3 e 1 e E 1 E 1 2

1 2

C Cp q q q q q q q q

q qα − −

∂ ∂− + − + ⋅ + + + + + + + − + =

∂ ∂… …

2

3 2

1 2o

c c1 23 1 e 1 e E 1 E 1 2

C Cp

q qq q q q q q q q

α − −

∂ ∂− +∂ ∂

= − − − − − − − + −… …

Sustituyendo en la ecuación 3:

( ) ( ) 0α α− −∂

− ⋅ + + + + + + + + − ⋅ − − =∂

… … c 3o 1 2 3 e 1 e E 1 E 3 3

3


q

( )2 0α − −∂

− ⋅ + + + + + + + + − − =∂

… … c 3o 1 2 3 e 1 e E 1 E 3

3

Cp q q q q q q q q

q

Incorporando la expresión obtenida para 2q :

2

2 0

αα − −

− −

∂ − ∂− ⋅ + − − − − − − − − + +

∂+ + + + + + + − − = ∂

… …

… …

1o

c1o 1 1 3 e 1 e E 1 E 1

c 33 e 1 e E 1 E 3

3

Cp

qp q q q q q q q q

Cq q q q q q

q


73

0αα

∂ − ∂∂ − ⋅ − + + − − =

∂

1o

c c 31o 1 3 1 3

3

Cp

Cqp q q q q

q

Y sustituyendo 3q según la ecuación que se obtuvo anteriormente:

2

3

2 0

αα α − −

∂ ∂ ∂ − − + ∂ ∂ ∂− ⋅ − + − − − − − − − +

∂+ − + − − = ∂

… …

1 1 2o o

1 1 2o 1 1 e 1 e E 1 E

c c c c 31 2 1 3

3

C C Cp p

q q qp q q q q q q

Cq q q q

q

2 3

4

3 0

αα − −

∂ ∂ − + ∂ ∂− ⋅ − − − − − − − +

∂+ − − − = ∂

… …

1 2o

1 2o 1 e 1 e E 1 E

c c c 31 2 3

3

C Cp

q qp q q q q q

Cq q q

q

(

)

3 4

3 0

α − −∂∂ ∂

− + − − + ⋅ + + + + + + −∂ ∂ ∂

− + + =

… …31 2o 1 e 1 e E 1 E

1 2 3

c c c1 2 3

CC Cp q q q q q

q q q

q q q

3

4 3α − −

∂∂ ∂− + +∂ ∂ ∂

= − − − − − − − + − −… …

31 2o

c c c1 2 34 1 e 1 e E 1 E 1 2 3

CC Cp

q q qq q q q q q q q q

Se repite el proceso y al llegar a la ecuación e-1 se tiene:

( ) ( ) 0α α −− − − −

−

∂− ⋅ + + + + + + + + − ⋅ − − =

∂… … c e 1

o 1 2 3 e 1 e E 1 E e 1 e 1e 1


q

( )2 0α −− − −

−

∂− ⋅ + + + + + + + + − − =

∂… … c e 1

o 1 2 3 e 1 e E 1 E e 1e 1

Cp q q q q q q q q

q


74

Sustituyendo 2q :

2

2 0

αα − −

−− − −

−

∂ − ∂− ⋅ + − − − − − − − − + +

∂+ + + + + + + − − = ∂

… …

… …

1o

c1o 1 1 3 e 1 e E 1 E 1

c e 13 e 1 e E 1 E e 1

e 1

Cp

qp q q q q q q q q

Cq q q q q q

q

0αα

−− −

−

∂ − ∂∂ − ⋅ − + + − − =

∂

1o

c c e 11o 1 e 1 1 e 1

e 1

Cp

Cqp q q q q

q

Se sustituye −e 1q , cuya expresión se habrá obtenido en el paso anterior al sustituir en la

ecuación e-2:

( )

( ) ( )

2

1 2

0

αα α

−

−

− −

−−

−

∂ ∂∂ ∂∂ − − ⋅ + + + +− ∂ ∂ ∂ ∂∂− ⋅ − + −

− − ⋅ − − − − + − ⋅ − − − − +

∂+ − − = ∂

…

… …

3 e 21 21oo

1 2 3 e 21o 1

c c c c1 e E 1 E 1 2 3 e 2

c c e 11 e 1

e 1

C CC CCp ep

q q q qqp q

e q q q q e q q q q

Cq q

q

( )

( )

2 1

1 0

αα

−

−−

−−

−

∂ ∂∂ ∂ − − ⋅ + + + + ∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ − ⋅ − − − − +

∂+ − ⋅ − − − − − = ∂

…

…

…

3 e 21 2o

1 2 3 e 2o 1 e E 1 E

c c c c e 11 2 3 e 1

e 1

C CC Cp e

q q q qp e q q q q

Ce q q q q

q

( )

( )( )1

1 0α

−

−

− −

∂ ∂∂ ∂− + − ⋅ − − − − +

∂ ∂ ∂ ∂

+ ⋅ ⋅ + + + + − − ⋅ + + + + =

…

… …

3 e 11 2o

1 2 3 e 1

c c c c1 e E 1 E 1 2 3 e 1

C CC Cp e

q q q q

e q q q q e q q q q

( )

( )

1

1

α

−

−

+ − −

∂ ∂∂ ∂− − ⋅ + + + +∂ ∂ ∂ ∂

= −

− ⋅ − − − − + − ⋅ − − − −

…

… …

3 e 11 2o

1 2 3 e 1e

c c c c1 e 1 E 1 E 1 2 3 e 1

C CC Cp e

q q q qq

e q q q q e q q q q


75

Sustituyendo en la ecuación E-1:

( ) ( ) 0α α −− − − −

−

∂− ⋅ + + + + + + + + − ⋅ − − =

∂… … c E 1

o 1 2 3 e 1 e E 1 E E 1 E 1E 1


q

( )2 0α −− − −

−

∂− ⋅ + + + + + + + + − − =

∂… … c E 1

o 1 2 3 e 1 e E 1 E E 1E 1

Cp q q q q q q q q

q

Se incorpora 2q :

2

2 0

αα − −

−− − −

−

∂ − ∂− ⋅ + − − − − − − − − + +

∂+ + + + + + + − − = ∂

… …

… …

1o

c1o 1 1 3 e 1 e E 1 E 1

c E 13 e 1 e E 1 E E 1

E 1

Cp

qp q q q q q q q q

Cq q q q q q

q

0αα

−− −

−

∂ − ∂ ∂ − ⋅ − + + − − =

∂

1o

c c1 E 1o 1 E 1 1 E 1

E 1

Cp

q Cp q q q q

q

Se sustituye −E 1q :

( )

( ) ( )

2

1 2

0

αα

α

− −

− −

− −

−−

−

∂ − ∂− ⋅ − +

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂− − ⋅ + + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ −

− − ⋅ − + − ⋅ − − − − − − − +

∂+ − − = ∂

… …

… …

1o

1o 1

3 e 1 e1 2 E 2o

1 2 3 e 1 e E 2

c c c c c c1 E 1 2 3 e 1 e E 2

c c E 11 E 1

E 1

Cp

qp q

C C CC C Cp E

q q q q q q

E q q E q q q q q q

Cq q

q


76

( )

( )

2 1

1 0

αα

− −

− −

−− −

−

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ − − ⋅ + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ −

∂− ⋅ − + − ⋅ − − − − − − − − = ∂

… …

… …

3 e 1 e1 2 E 2o

1 2 3 e 1 e E 2o

c c c c c c E 11 E 1 2 3 e 1 e E 1

E 1

C C CC C Cp E

q q q q q qp

CE q q E q q q q q q

q

( )

( )( )1

1 0α

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂− + − ⋅ − − − − − − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ ⋅ ⋅ + − − ⋅ + + + + + + + =

… …

… …

3 e 1 e1 2 E 1o

1 2 3 e 1 e E 1

c c c c c c1 E 1 2 3 e 1 e E 1

C C CC C Cp E

q q q q q q

E q q E q q q q q q

( )

( )

1

1

α

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂− − ⋅ + + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= −

− ⋅ + − ⋅ − − − − − − −

… …

… …

3 e 1 e1 2 E 1o

1 2 3 e 1 e E 1E

c c c c c c1 1 2 3 e 1 e E 1

C C CC C Cp E

q q q q q qq

E q E q q q q q q

Por último, sustituyendo ahora en la ecuación E:

( ) ( ) 0α α− −∂

− ⋅ + + + + + + + + − ⋅ − − =∂

… … c Eo 1 2 3 e 1 e E 1 E E E

E


q

( )2 0α − −∂

− ⋅ + + + + + + + + − − =∂

… … c Eo 1 2 3 e 1 e E 1 E E

E

Cp q q q q q q q q

q

Sustituyendo 2q :

2

2 0

αα − −

− −

∂ − ∂− ⋅ + − − − − − − − − + +

∂+ + + + + + + − − = ∂

… …

… …

1o

c1o 1 1 3 e 1 e E 1 E 1

c E3 e 1 e E 1 E E

E

Cp

qp q q q q q q q q

Cq q q q q q

q

0αα

∂ − ∂ ∂ − ⋅ − + + − − =

∂

1o

c c1 Eo 1 E 1 E

E

Cp

q Cp q q q q

q


77

Y sustituyendo Eq :

( )

( )

1

1

0

αα

α

− −

− −

− −

∂ − ∂− ⋅ − +

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂− − ⋅ + + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ −

− ⋅ + − ⋅ − − − − − − − +

∂+ − − = ∂

… …

… …

1o

1o 1

3 e 1 e1 2 E 1o

1 2 3 e 1 e E 1

c c c c c c1 1 2 3 e 1 e E 1

c c E1 E

E

Cp

qp q

C C CC C Cp E

q q q q q q

E q E q q q q q q

Cq q

q

( )

2

1 0

αα

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ − ⋅ + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ −

∂− + ⋅ + ⋅ − − − − − − − − − = ∂

… …

… …

3 e 1 e1 2 E 1o

1 2 3 e 1 e E 1o

c c c c c c c E1 1 2 3 e 1 e E 1 E

E

C C CC C Cp E

q q q q q qp

CE q E q q q q q q q

q

( )( )1 0α

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− + ⋅ − − − − − − − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + + + + + + + + =

… …

… …

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 1 2 3 e 1 e E 1 E

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

E q E q q q q q q q

( )

( )

1

1

α

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ + + + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ++ ⋅

⋅ − − − − − − − −+

+

… …

… …

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E1

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

C C CC C C Cp E

q q q q q q qq

E

E q q q q q q q

E

Una vez que se ha obtenido una ecuación para 1q que es función únicamente de las producciones

contratadas por todas las empresas, se sustituye progresivamente en las expresiones de las

producciones totales de cada agente que se han ido calculando.

Así, sustituyendo 1q en la expresión obtenida para Eq :


78

( )

( )

( )

( )

1

1

1

1

α

α

− −

− −

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂− − ⋅ + + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ +

+ ⋅

⋅ − − − − − − − −+ +

+

+ − ⋅

… …

… …

… …

3 e 1 e1 2 E 1o

1 2 3 e 1 e E 1E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

1

C C CC C Cp E

q q q q q qq

C C CC C C Cp E

q q q q q q qE

E

E q q q q q q q

E

E q − −− − − − − − −… …c c c c c c2 3 e 1 e E 1q q q q q

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )(( )( ) ( )( )( )( )

2

2

11

1

1 1 1

1 1

1 1

11 1 1

1

1 1

1

α

−

−

−

−

−

= ⋅ + − ⋅ −+ ⋅

∂ ∂− − ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ +

∂ ∂∂ ∂

+ + − ⋅ + + + − ⋅ +∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + − ⋅ + + + − ⋅ − ⋅ +∂ ∂ ∂

+ ⋅ − + − ⋅ + ⋅ + − + ⋅ ++

+ − + ⋅ + + − + ⋅ +

+ − + ⋅ +

…

…

…

E o

1 2

1 2

3 e 1

3 e 1

e E 1 E

e E 1 E

c c1 2

c c3 e 1

ce

q E E pE

C CE E E E E

q q

C CE E E E

q q

C C CE E E E E

q q q

E E E q E E qE

E E q E E q

E E q ( )( ) )1 −+ − + ⋅ + ⋅… c cE 1 EE E q E q

( )

( ) ( )

1

1

1

1

α− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + + + + + + + + − ⋅ + + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ ⋅ − − − − − − − − + ⋅+

… …

… …

3 e 1 e1 2 E 1 EE o

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

C C CC C C Cq p E

E q q q q q q q

q q q q q q E qE

( )

( )

1

1

α

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + + − ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ++ ⋅

− − − − − − − − + ⋅+

+

… …

… …

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 EE

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

C C CC C C Cp E

q q q q q q qq

E

q q q q q q E q

E

Sustituyendo ahora en la ecuación que define eq :


79

( )

( )

( )

1

1

1

3 e 11 2o

1 2 3 e 1e

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

31 2o

1 2 3

C CC Cp e

q q q qq

C C CC C C Cp E

q q q q q q qe

E

E q q q q q q q

E

CC Cp

q q q

α

α

−

−

− −

− −

− −

∂ ∂∂ ∂− − ⋅ + + + +∂ ∂ ∂ ∂

= −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ +

+ ⋅

⋅ − − − − − − − −+ −

+

∂∂ ∂+ + + + +∂ ∂ ∂

−

…

… …

… …

…

( )

( )

( )

1

1

1

e 1 e e 1 E 1 E

e 1 e e 1 E 1 E

c c c c c c c c1 2 3 e 1 e e 1 E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

C C C C CE

q q q q q

E

q q q q q E q q q

E

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

E

q

α

α

− + −

− + −

− + −

− −

− −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − ⋅ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +

+ ⋅

− − − − − − + ⋅ − − −+ − −

+

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + + − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ++ ⋅

−+

…

… ……

… …

( )

( )

1

1

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c1 2 3 e 1

q q q q q E q

E

e q q q q

− −

−

− − − − − − − + ⋅ +

+

+ − ⋅ − − − −

… …

…


80

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

11 1 1

1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

e oE

1

1

32

2 3E E

e 1

e 1E E

q E e pE

Ce E e E

q

CCE e E e

q q

CE e e

q

α −

− −

−

−− −

= ⋅ + − − − − ⋅ + + ⋅

∂+ − − ⋅ + + ⋅ − − − ⋅ +

∂

∂∂+ + − − − − ⋅ + + − − − − ⋅ + + ∂ ∂

∂+ + − − − − ⋅ + − − − − ∂

…��

…

… … …��

… …��

( ) ( ) ( )( )(

( )

1 1

1

1 1 1 1

1 1

11 1 1 1

1

1 1 1

e

e

e 1 E 1

e+1 E 1E E

E

EE

c1

E

C

q

C CE e E e

q q

CE e

q

e E e E qE

e E

+ −

−− + − +

− +

∂⋅ + ∂

∂ ∂+ − − − − ⋅ + + − − − − ⋅ + ∂ ∂

∂+ − − − − ⋅ + ∂

+ ⋅ − ⋅ + + + + − ⋅ + ⋅ ++

+ + + + − +

��

… … …��

…��

…

…�� ( )

( )

1 1

1

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

c c2 3

E

c ce 1 e

E E

c ce 1 E 1

E E

cE

E

q e E q

e E q e q

E e q E e q

E e q

−

+ −− −

−

⋅ + + + + − + ⋅ + +

+ + + + − + ⋅ + + + + ⋅ +

+ − + + + + ⋅ + + − + + + + ⋅ +

+ − + + + + ⋅

… …��

… …��

… … …��

…��

( )

( )

11 1 1

1

11 1 1

1

1e o

1E

3 e 1 e2 E 1 E

2 3 e 1 e E 1 E

c1

E

c c c c2 3 e 1 e E

Cq p e E E e E e

E q

C C CC C CE

q q q q q q

e E e e E E qE

q q q E q q

α −

− −

− −

−

∂= ⋅ + − ⋅ + + + ⋅ − − − − ⋅ + + ⋅ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + + + − ⋅ + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ ⋅ − ⋅ + + + + + ⋅ − − ⋅ − +

− − − − + ⋅ − −

…��

… …

…��

… … c c1 Eq−

−

( )

( )

1

1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 Ee

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

C C CC C C Cp E

q q q q q q qq

E

q q q q E q q q

E

α

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + − ⋅ + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ++ ⋅

− − − − − + ⋅ − − −+

+

… …

… …


81

Por tanto, la producción de cualquier empresa e se puede escribir como una función de las

producciones a plazo de todas las empresas dada por:

( ) ( )1 1

c ce eeo e ee

e eeee e ee ee

C Cp E E q q

q qq

E Eα≠ ≠

∂ ∂− ⋅ + ⋅ −

∂ ∂= +

+ ⋅ +

∑ ∑ e∀

El precio de la energía, entonces, se puede escribir como:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 2 Eo c c c

1 2 E 1 2 Eo

1 2 Eo c c c

1 2 E 1 2 E

1 2 Eo c c c

1 2 E 1 2 E

C C Cp E

q q q E q q qp p

E E

C C Cp E

q q q q E q q

E E

C C Cp E

q q q q q E q

E E

αα

α

α

∂ ∂ ∂ − ⋅ + + + ∂ ∂ ∂ ⋅ − − −= − ⋅ + +

+ ⋅ +

∂ ∂ ∂+ − ⋅ + +

∂ ∂ ∂ − + ⋅ − −+ + + +

+ ⋅ +

∂ ∂ ∂ + + + − ⋅ ∂ ∂ ∂ − − − + ⋅+ +

+ ⋅ +

……

……

…

……

( ) ( )1 1

1 2 Eo c c c

1 2 E 1 2 Eo

C C CE p

q q q q q qp p

E Eα

α

∂ ∂ ∂ ⋅ − − − − ∂ ∂ ∂ + + + = − ⋅ +

+ ⋅ +

……

( )( )

( )1 1

1 2 E c c co 1 2 E1 2 E

C C Cp q q qq q q

pE E

α∂ ∂ ∂+ + + + ⋅ + + +∂ ∂ ∂

= −+ +

… …

El precio del mercado es una función de las ventas a plazo de todas las empresas generadoras:

( ) ( )1 1

ceo e

ee e

Cp q

qp

E E

α∂+ ⋅

∂= −

+ +

∑ ∑

5.2.2 Mercado a plazo

En la primera etapa los agentes deben elegir qué cantidad contratar a plazo para

maximizar el beneficio total, teniendo en cuenta que sus decisiones de contratación

afectarán tanto al precio del mercado como a las cantidades totales producidas:

( )max c c s ce e e ep q p q q C⋅ + ⋅ − − e∀ (5.11)


82

y como c sp p p= =

max e ep q C⋅ − e∀ (5.12)

El lagrangiano de cada empresa queda:

e e ep q C= ⋅ −L e∀ (5.13)

y las condiciones de optimalidad:

0e e eec c c

e e e e

q Cpq p

q q q q

∂ ∂ ∂∂= ⋅ + ⋅ − =∂ ∂ ∂ ∂L

e∀ (5.14)

que, aplicando la regla de la cadena, se puede reescribir como:

0e e eec c c

ee e e

q C qpq p

qq q q

∂ ∂ ∂∂ ⋅ + ⋅ − ⋅ =∂∂ ∂ ∂

e∀ (5.15)

De las expresiones que se han obtenido al resolver el problema de optimización de la

segunda etapa:

( ) ( )

( )

1 1

1

c ce eeo e ee

e eeee e ee ee

ece

C Cp E E q q

q qq

E E

q E

Eq

α≠ ≠

∂ ∂ − ⋅ + ⋅ − ∂ ∂ = + + ⋅ +∂ =

+∂

∑ ∑

e∀ (5.16)

( ) ( )

( )

1 1

1

ceo e

ee e

ce

Cp q

qp

E E

p

Eq

α

α

∂ + ⋅ = − + + ∂ = −

+∂

∑ ∑

(5.17)

Sustituyendo,


83

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1

1 1 1

01

c ce eeo e ee

e eeee e ee e

ceo e

ee e

e

e

C Cp E E q q

q q

E E E

Cp q

qE

E E E

CE

E q

αα

α

≠ ≠

∂ ∂ − ⋅ + ⋅ − ∂ ∂ − ⋅ + + + + ⋅ +

∂ + ⋅ ∂ + ⋅ − − + + +

∂− ⋅ =+ ∂

∑ ∑

∑ ∑ e∀ (5.18)

Resultado 5.2.B

Las condiciones de optimalidad de las empresas están dadas por:

( )2

01

c ce eeo e ee

e eeee e ee e

C C Ep E q q

q q Eα

≠ ≠

∂ ∂− ⋅ + − ⋅ ⋅ + = ∂ ∂ − ∑ ∑ e∀ (5.19)

Entonces, se puede plantear un sistema de E ecuaciones –las E ecuaciones de

optimalidad de las empresas– con E incógnitas –las cantidades contratadas a plazo por

cada empresa–.


84

( )

( )

20

1

2

1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c1

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

Eq q q q q q q

E

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

Eq q

E

α

α

− −

− −

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ + + + + + + + + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ ⋅ + + + + + + + + = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ − ⋅ + + + + + + + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + ⋅−

… …

… …

… …

( )

0

20

1

c c c c c c2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 11 2o

1 2 3 e 1

q q q q q

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

Eq q q q q q q

E

C CC Cp E

q q q q

α

− −

− −

− −

− −

−

−

+ + + + + + + =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − ⋅ + + + + + + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + + ⋅ + + + + + + = −

∂ ∂∂ ∂+ + + + − ⋅ +∂ ∂ ∂ ∂

… …

… …

… …

⋮

…

( )

( )

20

1

2

1

e E 1 E

e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

C C C

q q q

Eq q q q q q q

E

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

Eq q q q q q q

E

α

α

−

−

− −

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂+ + + −∂ ∂ ∂

− ⋅ + + + + ⋅ + + + + = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + − ⋅ + + + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + + + + + ⋅ + + + = −

…

… …

… …

… …

( )

0

20

1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c1 2

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

Eq q q q q q q

E

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

q q q

α

α

− −

− −

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + − ⋅ + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + + + + + + + ⋅ + = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + + − ⋅ −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + +

⋮

… …

… …

… …

( )2

01

c c c c c3 e 1 e E 1 E

Eq q q q

E− −

+ + + + + + ⋅ = − … …

(5.20)

Resultado 5.2.C

En el equilibrio, las cantidades que cada empresa contrata a plazo son:


85

( )( )

( )( )

3

2

11

11

c e eee o

e eeee e

EE C Cq p E

E q qE α ≠

+− ∂ ∂ = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ∂ ∂+ ⋅

∑ e∀ (5.21)

Se puede comprobar fácilmente que en el caso en el que

• hay dos empresas ( )2E =

• los costes de producción de las empresas son una función lineal de la producción

( )e eC c q= ⋅

• la pendiente de la ecuación del precio es 1 ( )1α =

la ecuación (5.21) da los mismos resultados que se obtuvieron en el apartado 4.2.

Demostración 5.2.B

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1

1 1 1

01

c ce eeo e ee

e eeee e ee e

ceo e

ee e

e

e

C Cp E E q q

q q

E E E

Cp q

qE

E E E

CE

E q

αα

α

≠ ≠

∂ ∂ − ⋅ + ⋅ − ∂ ∂ − ⋅ + + + + ⋅ +

∂ + ⋅ ∂ + ⋅ − − + + +

∂− ⋅ =

+ ∂

∑ ∑

∑ ∑

( )1 0

c ce eeo e ee

e eeee e ee e

c ce eeo e ee

e eeee e ee e

e

e

C Cp E E q q

q q

C CE p E E E q E q

q q

CE E

q

α

α

≠ ≠

≠ ≠

∂ ∂− + ⋅ − − ⋅ ⋅ − + ∂ ∂

∂ ∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ∂ ∂

∂− ⋅ + ⋅ =

∂

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( )( ) ( )

( )

1 2 1 1

2 1 0

e eeo

e eeee e

c ce ee

ee e

C CE p E E E E

q q

E q E qα

≠

≠

∂ ∂− ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ −

∂ ∂

− ⋅ ⋅ + − ⋅ =

∑

∑

Por tanto, las condiciones de optimalidad de las empresas se pueden expresar como:

( )2

01

c ce eeo e ee

e eeee e ee e

C C Ep E q q

q q Eα

≠ ≠

∂ ∂− ⋅ + − ⋅ ⋅ + = ∂ ∂ −

∑ ∑


86

Demostración 5.2.C

( )

( )

20

1

2

1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c1

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

Eq q q q q q q

E

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

Eq q

E

α

α

− −

− −

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ + + + + + + + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ ⋅ + + + + + + + + = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ − ⋅ + + + + + + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + ⋅−

… …

… …

… …

( )

0

20

1

c c c c c c2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 11 2o

1 2 3 e 1

q q q q q

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

Eq q q q q q q

E

C CC Cp E

q q q q

α

− −

− −

− −

− −

−

−

+ + + + + + + =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − ⋅ + + + + + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + + ⋅ + + + + + + = −

∂ ∂∂ ∂+ + + + − ⋅ +

∂ ∂ ∂ ∂

… …

… …

… …

⋮

…

( )

( )

20

1

2

1

e E 1 E

e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

C C C

q q q

Eq q q q q q q

E

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

Eq q q q q q q

E

α

α

−

−

− −

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂+ + + −

∂ ∂ ∂

− ⋅ + + + + ⋅ + + + + = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + − ⋅ + + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + + + + + ⋅ + + + = −

…

… …

… …

… …

( )

0

20

1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c c1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c1 2

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

Eq q q q q q q

E

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

q q q

α

α

− −

− −

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + − ⋅ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + + + + + + + ⋅ + = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + + − ⋅ −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + +

⋮

… …

… …

… …

( )2

01

c c c c c3 e 1 e E 1 E

Eq q q q

E− −

+ + + + + + ⋅ = −

… …

Despejando c2q de la primera ecuación del sistema anterior:

( )2

1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

c 1 2 3 e 1 e E 1 E2

c c c c c c1 3 e 1 e E 1 E

C C CC C C Cp E

q q q q q q qq

Eq q q q q q

E

α

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ + + + + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= −

− ⋅ − − − − − − −−

… …

… …


87

Sustituyendo esta expresión en la ecuación E del sistema:

( )2

1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

c 1 2 3 e 1 e E 1 E1

c c c c c c1 3 e 1 e E 1 E

c c3 e 1 e

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

C C CC C C Cp E

q q q q q q qq

Eq q q q q q

E

q q q

αα

− −

− −

− −

− −

− −

−

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + + − ⋅ −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + −

− ⋅ − − − − − − − +−

+ + + +

… …

… …

… …

…( )

20

1c c c

E 1 EE

q qE−

+ + + ⋅ =

−

…

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 11 1 0

1 1c c1 E1 E

1 E

E EC CE E q q

q q E Eα

+ +∂ ∂+ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ − −

( ) ( ) 01

c c1 E1 E

1 E

C Cq q

q q E

α∂ ∂− − ⋅ − + =

∂ ∂ −

( )1 1 E

1 Ec cE 1

C CE

q qq q

α

∂ ∂− ⋅ − ∂ ∂ = +

Se sustituye ahora c2q en la ecuación E-1 del sistema:

( )2

1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

c 1 2 3 e 1 e E 1 E1

c c c c c c1 3 e 1 e E 1 E

c c3 e 1 e

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

C C CC C C Cp E

q q q q q q qq

Eq q q q q q

E

q q q

αα

− −

− −

− −

− −

− −

−

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + − ⋅ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + −

− ⋅ − − − − − − − +−

+ + + +

… …

… …

… …

… ( )2

01

c c cE 1 E

Eq q

E −

+ + ⋅ + =

−

…

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 11 1 0

1 1c c1 E 11 E 1

1 E 1

E EC CE E q q

q q E Eα−

−−

+ +∂ ∂+ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ − −

( ) ( ) 01

c c1 E 11 E 1

1 E 1

C Cq q

q q E

α−−

−

∂ ∂− − ⋅ − + =

∂ ∂ −


88

( )1 1 E 1

1 E 1c cE 1 1

C CE

q qq q

α

−

−−

∂ ∂− ⋅ − ∂ ∂ = +

Se sustituye c2q progresivamente en las distintas ecuaciones del sistema. Al llegar a la ecuación e

se tiene:

( )2

1

2

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

c 1 2 3 e 1 e E 1 E1

c c c c c c1 3 e 1 e E 1 E

c c3 e 1

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

C C CC C C Cp E

q q q q q q qq

Eq q q q q q

E

Eq q

αα

− −

− −

− −

− −

− −

−

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + − ⋅ + + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + −

− ⋅ − − − − − − − +−

+ + + +

… …

… …

… …

…( )

01

c c ce E 1 Eq q q

E −

⋅ + + + =

−

…

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 11 1 0

1 1c ce11 e

1 e

E ECCE E q q

q q E Eα

+ +∂∂+ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ − −

( ) ( ) 01

c ce11 e

1 e

CCq q

q q E

α∂∂− − ⋅ − + =

∂ ∂ −

( )1 e1

1 ec ce 1

CCE

q qq q

α

∂∂− ⋅ − ∂ ∂ = +

Se repite el proceso hasta que, finalmente, se sustituye c2q en la segunda ecuación del sistema:

( )

( )

2

1

2

1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

c 1 2 3 e 1 e E 1 E1

c c c c c c1 3 e 1 e E 1 E

C C CC C C Cp E

q q q q q q q

C C CC C C Cp E

q q q q q q qEq

E

Eq q q q q q

E

αα

− −

− −

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ − ⋅ + + + + + + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ + ⋅ − −

− ⋅ − − − − − − −

−

… …

… …

… …

0c c c c c3 e 1 e E 1 Eq q q q q− −

+

+ + + + + + + =

… …


89

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2

2 2

2

1 2 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 4 1 1 1

1 1 11

1

1

31 2o

1 2 3

e 1 e E 1 E

e 1 e E 1 E

c c c c1 3 e 1 e

E E E E E E CC Cp

E E q E q E q

E E E EC C C C

E q E q E q E q

E E E E Eq q q q

E E EE

Eq

E

α

− −

− −

−

+ + − ⋅ + + ∂∂ ∂− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − −

− − ∂ − ∂ − ∂

+ + + +∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

− ∂ − ∂ − ∂ − ∂

− − + + +− ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − − − −−

+− ⋅

−

…

…

… …

( )( )

10

1c cE 1 E

Eq

E−

+− ⋅ =−

( )( )

( )( ) ( )

2

2 2

2 1

1

1 40

1 1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c c c c c1 3 e 1 e E 1 E

E E C C CC C C Cp E

E q q q q q q q

E Eq q q q q q

E Eα

− −

− −

− −

+ − ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− + ⋅ − ⋅ − − − − − − − −

+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− − − ⋅ ⋅ − − − − − − − = − ⋅ +

… …

… …

Sustituyendo todas las expresiones obtenidas anteriormente:

( )( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2 2

2 1

1

1 4 1

1 1

1 1

3 e 1 e1 2 E 1 Eo

1 2 3 e 1 e E 1 E

c c311 1

1 3

c ce 1 e1 11 1

1 e 1 1 e

E E C C CC C C Cp E

E q q q q q q q

E E E CCq q

E E q q

E EC CC Cq q

q q q q

αα

α α

− −

− −

−

−

+ − ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− + ⋅ − ⋅ − − − − − − − −

+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− − − ∂∂− ⋅ ⋅ − ⋅ − − − − − ⋅ + ∂ ∂

− − ∂ ∂∂ ∂− ⋅ − − − ⋅ − − − ∂ ∂ ∂ ∂

… …

…

…

( ) ( )1 1c c1 E 1 1 E1 1

1 E 1 1 E

E EC C C Cq q

q q q qα α−

−

−

− − ∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ − − − ⋅ − − ∂ ∂ ∂ ∂

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

2

2 2

2 12 1 1 1

1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 42 0

1 1

31 2o

1 2 3

e 1 e

e 1 e

E 1 E

E 1 E

c1

E E CC Cp E E E E

E q q q

C CE E

q q

C CE E

q q

E EE q

E Eα

−

−

−

−

+ − ∂∂ ∂ − + + − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + − ⋅ − − + ∂ ∂ ∂

∂ ∂− + − ⋅ − + − ⋅ − −

∂ ∂∂ ∂

− + − ⋅ − + − ⋅ −∂ ∂

− − − ⋅ − − ⋅ = − ⋅ +

…

…


90

( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 3 2

2 2 3 2

2 1 2 2

1

2 1 4 2 10

1 1

1o

1

3 e 1 e2 E 1 E

2 3 e 1 e E 1 E

c1

E E E E E Cp

E q

C C CC C CE E E E E E

q q q q q q

E E E E E Eq

E Eα

− −

− −

+ − + − − + ∂ − + ⋅ − + ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + − − − − + − ⋅ ⋅ = − ⋅ +

… …

( )( )

( )( ) ( )

3

3 2

1

1

10

1 1

31 2o

1 2 3

e 1 e E 1 E

e 1 e E 1 E

c1

E CC Cp E E

E q q q

C C C CE E E E

q q q q

E E Eq

E Eα

− −

− −

+ ∂∂ ∂− + ⋅ − ⋅ − ⋅ − −

+ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −∂ ∂ ∂ ∂

− − − − − ⋅ ⋅ = − ⋅ +

…

…

( )( )

( ) ( )( ) ( )

3

2 2

1

1

1 10

1 1

31 2o

1 2 3

e 1 e E 1 E

e 1 e E 1 E

c1

E CC Cp E E

E q q q

C C C CE E E E

q q q q

E E Eq

E Eα

− −

− −

+ ∂∂ ∂− + ⋅ − ⋅ − ⋅ − −

+ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ + − + − ⋅ ⋅ = − ⋅ +

…

…

( )( )

( )( )

3

2

1

1

10

1

31 2o

1 2 3

e 1 e E 1 E

e 1 e E 1 E

c1

E CC Cp E E

E q q q

C C C CE E E E

q q q q

Eq

Eα

− −

− −

+ ∂∂ ∂− + ⋅ − ⋅ − ⋅ − −

+ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −∂ ∂ ∂ ∂

− + − ⋅ ⋅ = −

…

…

( )( )

( )( )

( )( )

3

2

11

11

c 31 21 o

1 2 3

e 1 e E 1 E

e 1 e E 1 E

EE CC Cq p E E

E q q qE

C C C CE E E E

q q q q

α

− −

− −

+− ∂∂ ∂= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ∂ ∂ ∂+ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅∂ ∂ ∂ ∂

…

…


91

Sustituyendo esta última expresión en la ecuación obtenida para ceq :

( )

( )( )

( )( )

( )( )

3

2

1

11

11

c e1e

1 e

31 2o

1 2 3

e 1 e E 1 E

e 1 e E 1 E

E CCq

q q

EE CC Cp E E

E q q qE

C C C CE E E E

q q q q

α

α

− −

− −

− ∂∂= ⋅ − + ∂ ∂

+− ∂∂ ∂+ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ∂ ∂ ∂+ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅∂ ∂ ∂ ∂

…

…

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

3 2 3

2

2

1 11

11

1 1

1

c 31 2e o

1 2 3

e 1 e E 1 E

e 1 e E 1 E

E E E EE CC Cq p E E

E q q qE

E E EC C C CE E E

q E q q q

α

− −

− −

+ + + − −− ∂∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ∂ ∂ ∂+ ⋅

− − + ⋅ +∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅∂ + ∂ ∂ ∂

…

…

( )( )

( )( )

2

3

1

1

1

1

c 31 2e o

1 2 3

e 1 e E 1 E

e 1 e E 1 E

E CC Cq p E E E

q q qE

EC C C CE E E

q E q q q

α

− −

− −

− ∂∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ∂ ∂ ∂+ ⋅

+∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅∂ + ∂ ∂ ∂

…

…

Por tanto, en el equilibrio, la producción a plazo de las empresas está dada por:

( )( )

( )( )

3

2

11

11

c e eee o

e eeee e

EE C Cq p E

E q qE α ≠

+− ∂ ∂ = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ∂ ∂ + ⋅

∑ e∀


La generalización del modelo de Allaz y Vila no altera ninguno de los resultados

obtenidos para el caso particular presentado en el capítulo 4. Como en el caso anterior,

el modelo –que no es más que una generalización del desarrollado por Allaz y Vila–

revela un efecto procompetitivo de los mercados a plazo5. Sin embargo, haber obtenido

unas expresiones generales permite no sólo aplicar el modelo a un caso más realista y

estudiar sus resultados en el contexto de alguno de los mercados eléctricos existentes,

5 Para más detalles, véase capítulo 4.


92

sino también analizar con mayor detalle la influencia de los mercados a plazo en el

comportamiento de los agentes cuando operan en un mercado spot.

Considérese una cierta empresa e que decide contratar un megavatio-hora adicional en

el mercado a plazo. Según su condición de optimalidad (ecuación (5.7)):

( ) 0c cee e e e

e

Cp q q q q

qα ∂− ⋅ − − = ⇒ ∆ = ∆

∂

La empresa e decidiría entonces aumentar un megavatio-hora su producción total. En

efecto, al aumentar la cantidad contratada disminuye la producción de la empresa

sensible al precio del spot, ya que una reducción del mismo no afecta a los contratos

negociados en la etapa anterior. Se puede decir que la potencia inframarginal de la

empresa se reduce y, por tanto, disminuyen los incentivos para retirar cantidad del

mercado y mantener los precios altos. En consecuencia, la empresa encuentra que

aumentando su producción total aumentan sus beneficios porque la bajada del precio

que conlleva el incremento de producción no tiene efecto sobre el megavatio-hora

adicional contratado, cuya remuneración ya es fija.

En principio, el aumento de producción de la empresa e haría que el precio de mercado

bajase una cantidad –α, suponiendo que ninguna empresa reacciona ante la variación

de generación y es la demanda la que absorbe el incremento de producción:

o ee

p p q pα α= − ⋅ ⇒ ∆ = −∑

Sin embargo, el incremento de producción de la empresa e no es una decisión

independiente, sino que se trata de una variación asociada al aumento de su

contratación. Por tanto, la información es pública para todos los agentes, que pueden

prever el aumento de generación en el spot y reaccionar modificando sus producciones

en este mercado. En otras palabras, la empresa e indica a todos los agentes su intención

de aumentar su generación en el spot mediante el incremento de su cantidad

contratada, de modo que todos los agentes, incluida la propia empresa e, pueden

modificar sus producciones para adaptarse al nuevo nivel de precio.

El efecto de estas reacciones se recoge en la demanda residual de los contratos de la

empresa e. La demanda residual es una función que relaciona el precio de mercado de

la energía eléctrica con la generación de cada empresa, teniendo en cuenta tanto la

demanda de energía de los consumidores como las actuaciones de las empresas en el

mercado. La curva de demanda residual de los contratos de la empresa e se define

como la diferencia entre la demanda total y la cantidad que ofertan a determinado

precio todos los agentes del spot, ya que todos ellos reaccionan ante los cambios en los

contratos de una empresa. Esta curva relaciona de forma directa el precio de la energía

con la cantidad que contrata a plazo la empresa e, considerando al mismo tiempo las

influencias de las reacciones de las empresas en el spot como las de la demanda de

energía.


93

Por tanto, la derivada del precio respecto de la contratación de una empresa puede

expresarse en función de un único parámetro: la pendiente de la demanda residual. De

acuerdo con la ecuación (5.17), esta pendiente tendrá valor:

( )1ce

p

Eq

α∂ = −+∂

(5.22)

En efecto, según (5.1) y (5.7):

1o

Dp p D

pα

α∂= − ⋅ ⇒ = −∂

(5.23)

( ) 10c e e

e ee

C qp q q

q pα

α∂ ∂− ⋅ − − = ⇒ =∂ ∂

e∀ (5.24)

La pendiente de la demanda residual de los contratos de una empresa, teniendo en

cuenta que una variación de los contratos influye tanto en la demanda total de energía

como en todas las empresas del spot, será:

11 1 1c

e

p

Eq E

α

α α

∂ = = −+∂ − − ⋅

(5.25)

Así que un aumento unitario de la cantidad contratada por la empresa e provoca una

reducción del precio igual a 1E

α−+

. Nótese que cuanto mayor es el número de

empresas que compiten en el spot, menor es la variación que experimenta el precio, ya

que cambios en los contratos de una empresa se ven amortiguados por un mayor

número de agentes, que contrarrestan sus efectos.

Las relaciones anteriores se representan gráficamente en la siguiente figura:

Figura 5.1: Efecto del incremento de la producción a plazo de una empresa

Demanda residual

∆qe

qe

∆qec

q

p

B

A

C


94

El punto A representa el equilibrio inicial del mercado, dado por el punto de corte de la

curva de demanda residual y la producción de la empresa e. Si ahora la empresa e

decide aumentar la cantidad contratada en una cantidad ceq∆ , su producción total

también crecerá en una cantidad igual al incremento del volumen de contratos ceq∆ , y

el precio sufrirá una cierta reducción. El punto B representa el precio que resultaría si

las empresas del spot no reaccionasen ante los cambios en la producción a plazo de la

empresa e. Sin embargo, estas variaciones en la cantidad de contratos sí son conocidas

por los agentes, que reducen su producción y compensan, en parte, la bajada de precio

anterior. De modo que el precio de mercado está representado por el punto C, definido

por el punto de corte de la curva de demanda residual de los contratos de la empresa e

y la nueva producción de esta empresa debido al incremento en su contratación.

Entonces, la bajada que experimenta el precio cuando una empresa aumenta la

cantidad vendida a plazo hace que los agentes disminuyan su producción total:

( ) ( )1

01

c ee e e

e

Cp q q q

q Eα ∂− ⋅ − − = ⇒ ∆ = −

∂ + e∀ (5.26)

Es decir, cuando la empresa e incrementa unitariamente su cantidad de contratos a

plazo, todas las empresas disminuyen su producción total en ( )1

1E−

+. Este efecto se

superpone, para el caso de la empresa e, al aumento de producción que se ha

comentado inicialmente, asociado a la reducción de producción sensible al precio del

spot. Por tanto, la derivada de la producción de la empresa e respecto de sus propios

contratos tiene dos términos:

• el aumento de producción debido a la disminución de su potencia inframarginal

en el spot

• la reducción de producción como reacción a la bajada de precio spot que implica

el aumento anterior, y que puede ser previsto por los agentes ya que conocen las

cantidades negociadas en el mercado a plazo

( ) ( )1

11 1

ece

q E

E Eq

∂ = − =+ +∂

(5.27)

En efecto, de la ecuación (5.9) que define la producción total de las empresas en

función de las ventas a plazo de todos los agentes se tiene que:

( )

( )

1

1

1

ece

ecee

q E

Eq

q

Eq

∂ = +∂ ∂ = − +∂

(5.28)

Por tanto, un aumento en las ventas a plazo de una empresa hace que esa empresa esté

menos expuesta al precio spot. La nueva cantidad óptima que debe producir aumenta,

5.4 El coste de producción

95

provocando con ello una reducción del precio del mercado spot. La cantidad contratada

a plazo por la empresa es conocida por todos los agentes, que modifican sus

producciones para adaptarse a las decisiones de la primera etapa. Así, todos los

agentes, incluida la propia empresa e, reaccionan reduciendo su producción en el

mercado de corto plazo para compensar, en parte, el aumento de producción y

amortiguar la bajada de precio.

5.4 El coste de producción

El modelo de Allaz y Vila representa los costes de producción de las empresas como

funciones lineales de la producción total de las mismas. Sin embargo, típicamente, cada

empresa tiene varios generadores de su propiedad con los que produce la cantidad

total que vende en el mercado. Cada generador tendrá, en general, diferentes costes de

producción.

En los modelos de largo plazo se suele aceptar que los costes de acoplamiento,

arranque y parada son despreciables cuando se considera un horizonte suficientemente

amplio. En estas condiciones, es necesario suponer que el mínimo técnico de los grupos

es igual a cero para permitir que existan generadores que no producen energía, ya que

el modelo no contiene variables que representen el estado de acoplamiento a la red de

las centrales eléctricas.

De modo que una representación razonable de los costes de producción de los

generadores consiste en suponer que el único coste relevante es el coste variable de

producción. Entonces, siguiendo lo descrito en el capítulo 3, el coste de producción de

un generador i está dado por una recta como la que se recoge en la Figura 5.2.

Figura 5.2: Coste de producción del generador i

Por tanto, una representación más realista de los costes de producción de una empresa

se muestra en la Figura 5.3

Ci

gi

ci

ig


96

Figura 5.3: Coste de producción de la empresa e

Se trata de una función lineal a tramos. La empresa comenzará produciendo con el

generador de menor coste, y lo hará hasta que el grupo alcance su límite máximo de

producción y agote su capacidad de generación. Si la empresa desea seguir

produciendo, tendrá que recurrir a otro grupo y, para ello, escogerá el de menor coste

de entre los generadores no acoplados. Este grupo tendrá un coste variable de

producción diferente, lo que cambiará la pendiente de la curva de coste de la empresa.

A medida que el agente incrementa su producción debe utilizar generadores de mayor

coste según los grupos más baratos van alcanzando su potencia máxima, haciendo que

la pendiente de la curva aumente con cada nuevo generador empleado.

La derivada de la curva de costes de una empresa será, entonces, una escalera en la que

cada tramo es el coste de combustible de cada grupo entre su potencia mínima y su

potencia máxima.

Figura 5.4: Derivada del coste de producción de la empresa e

Cuando un generador alcanza su potencia máxima y no puede seguir produciendo a

pesar de que el precio del mercado es suficiente para continuar generando, se activa la

restricción de potencia máxima del grupo y la variable dual giµ asociada a esta

restricción toma valor distinto de cero, tal y como se ha descrito en el capítulo 3.

Análogamente, si un grupo se ve forzado a producir una potencia mínima, la variable

Ce

qe

Grupo 1 Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

∂

∂e

e

C

q

qe

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

5.5 Formulación general del modelo como un problema de equilibrio con restricciones de equilibrio

97

dual giµ tomará un cierto valor, que representa el incremento que se tendría en la

función objetivo si se relajase unitariamente esta restricción.

5.5 Formulación general del modelo como un problema

de equilibrio con restricciones de equilibrio

La formulación del modelo de Allaz y Vila es la de un problema de equilibrio con

restricciones de equilibrio (EPEC). Cuando un problema consta de varias etapas que

suceden de manera secuencial, las decisiones de unas etapas sirven como datos de

entrada para las otras. En el caso particular del modelo de Allaz y Vila, las reacciones

de los agentes en el mercado spot se incorporan al proceso de decisión en el mercado a

plazo, que depende, por tanto, del comportamiento que tendrán las empresas en la

siguiente etapa.

El problema de optimización de cada una de las empresas puede formularse de

manera general como un problema de optimización cuya función objetivo coincide con

la de la primera etapa, y que incorpora todas las condiciones de optimalidad del

problema del mercado spot como restricciones del problema:

( )max c c s ce e e ep q p q q C⋅ + ⋅ − − e∀

( )s.a. 0s c eeee ee

ee

Cp q q

qα ∂− ⋅ − − =

∂ ee∀

(5.29)

donde s s so e

e

p p qα= − ⋅∑ es el precio del mercado spot,

c c c co e

e

p p qα= − ⋅∑ es el precio del mercado a plazo.

En este caso, el problema de cada empresa en el mercado a plazo considera

explícitamente todas las condiciones de optimalidad de todas las empresas. En el

planteamiento del apartado 5.2, estas condiciones se incluían en el problema de la

primera etapa a través de las expresiones calculadas para la producción de cada

empresa y el precio del mercado, que definían el equilibrio del spot. Aquí, sin embargo,

son las ecuaciones que definen el comportamiento óptimo de las empresas en la

segunda etapa las que aparecen como restricciones del problema.

5.6 Conclusiones

Los resultados del modelo de Allaz y Vila revelan que la existencia de mercados a

plazo hace que los agentes se comportan de forma más competitiva en el mercado spot.

Cuando una empresa se encuentra decidiendo su producción en el mercado de corto


98

plazo debe tener en cuenta que el volumen de energía que ya ha sido contratado recibe

el precio fijado en la primera etapa, de modo que las variaciones en el precio spot no

afectan a los ingresos de esa generación. Así, si una empresa decide aumentar la

cantidad de sus contratos en ceq∆ , su potencia inframarginal sensible a una bajada del

precio spot se reduce en ceq∆ . Por tanto, un mayor volumen de contratos a plazo hace

que la empresa incremente su producción total y, con ello, que el precio del mercado

baje.

Las decisiones de cada agente en el mercado a plazo son conocidas por todas las

empresas, de modo que éstas pueden anticipar el efecto de la contratación a plazo en el

equilibrio del mercado spot y adaptar sus producciones totales a las cantidades que

previamente se han comprometido en la primera etapa. La generalización del modelo

que se ha presentado en este capítulo permite analizar las reacciones de los agentes

ante una variación en la producción a plazo de una cierta empresa.

Cuando una empresa modifica su contratación en el mercado a plazo, todos los agentes

del spot prevén la variación en la producción de esta empresa y su influencia en el

precio de corto plazo. Por tanto, es esperable que todas las empresas que se verán

afectadas por los cambios en el precio spot reaccionen de alguna manera, cambiando su

producción en eq∆ , para amortiguar el efecto de estas variaciones. Así, si una empresa

e aumenta 1 MWh su generación en el mercado a plazo, su ingreso marginal en el

mercado spot aumenta y su decisión óptima será incrementar 1 MWh su producción

total. El precio spot sufrirá, por tanto, una reducción que afectará a la producción no

contratada de todas las empresas que operan en el mercado spot, de modo que todos

los agentes, incluida la propia empresa e, reaccionan reduciendo su producción para

adaptarse al nuevo nivel de precio y compensar, en parte, el incremento de producción

inicial. La reacción de la empresa e en el mercado spot tiene, entonces, dos términos:

• un aumento de producción asociado a la reducción de su potencia inframarginal

• una reducción de producción, igual a la reacción del resto de competidores,

asociada a la bajada de precio que implica el aumento anterior.

Análogamente, si la empresa e reduce 1 MWh la cantidad contratada a plazo, el

volumen de energía de esa empresa sensible a las variaciones del precio spot aumenta y

los incentivos de esta compañía para reducir su producción total y mantener un precio

más elevado crecen. Sin embargo, todos los agentes, incluida la empresa e, anticipan

este aumento de precio y reaccionan incrementando su producción para cubrir parte de

la demanda que la empresa e deja de servir. La subida del precio no será, finalmente,

tan elevada.

Por tanto, puesto que la información de la primera etapa es pública, el nivel de

contratos de una cierta empresa afecta no sólo al comportamiento de esa empresa en el

mercado de corto plazo, sino también a las decisiones de todos sus competidores, ya

que todos los agentes pueden prever la influencia de la producción a plazo en el

mercado spot y modificar sus decisiones para adaptarse a los resultados de la primera

5.6 Conclusiones

99

etapa. Estas reacciones son tenidas en cuenta por las empresas cuando toman sus

decisiones de contratación en el mercado a plazo.

Estos resultados se basan en la hipótesis de que la información relativa a los contratos

negociados en el mercado a plazo es pública. Sin embargo, esta información no suele

conocerse en los mercados eléctricos reales, de modo que los agentes no pueden

incorporar en el proceso de toma de decisiones los resultados de sus competidores de

la etapa anterior. En este caso, las empresas no pueden reaccionar ante las decisiones

de contratación del resto de agentes, resultando un equilibrio diferente en el mercado

spot al definido por Allaz y Vila. Dado que el equilibrio de la segunda etapa condiciona

las decisiones de las empresas en el mercado a plazo, el equilibrio en esta primera

etapa también cambia.

101

6 Efectos dinámicos en el

comportamiento estratégico

de los agentes

El modelo de Allaz y Vila –descrito en el capítulo 4 de esta tesis de máster y

generalizado en el capítulo 5– concluye que la existencia de mercados a plazo mejora el

nivel de competencia del mercado spot. Según Allaz y Vila, cuando las empresas

contratan parte de su producción a plazo, la cantidad de energía que puede

beneficiarse de un incremento del precio spot se reduce, de modo que las empresas

tienen menos incentivos para retirar energía y mantener un precio más elevado. Estos

resultados sugieren que los mercados a plazo pueden emplearse como mecanismos

eficientes para mitigar posibles problemas asociados a la estructura oligopolista de

algunos mercados, ya que reducen los incentivos de los agentes para ejercer su poder

de mercado en el spot.

Sin embargo, este efecto procompetitivo es resultado de un juego en el que las

empresas negocian su energía durante un número finito de periodos. En concreto, en el

modelo descrito en el capítulo 4 los agentes compiten solamente en dos instantes,

primero en el mercado a plazo y, posteriormente, en el mercado spot, ignorando que

existen más periodos futuros en los que la interacción definida en el modelo de Allaz y

Vila se repite. Cuando se considera la interacción repetida que existe en los mercados

eléctricos reales, aparecen una serie de efectos que modifican sustancialmente los

resultados del modelo de Allaz y Vila. En este capítulo se desarrolla un modelo no

colusivo que recoge la existencia de mercados posteriores al mercado spot.

6 Efectos dinámicos en el comportamiento estratégico de los agentes

102

6.1 Planteamiento

Una hipótesis crítica en el razonamiento que se ha expuesto en los capítulos anteriores

para concluir que los mercados a plazo mitigan el poder de mercado de los agentes es

la consideración de un horizonte finito de negociación. Sin embargo, los mercados

eléctricos reales presentan una naturaleza repetida, de forma que el número de

periodos en los que las empresas compiten de manera sucesiva tiende a infinito. Al

incorporar la existencia de múltiples periodos en el modelado de la interacción entre

los mercados eléctricos a plazo y los mercados eléctricos al contado, aparecen

diferentes efectos que tienden a compensar los resultados procompetitivos obtenidos

en los modelos anteriores.

Existe una importante línea de investigación que se centra en estudiar la posible

aparición de estrategias cooperativas entre los agentes en el marco de un juego

repetido (véase, por ejemplo, Liski y Montero (2006) o Green y LeCoq (2007)). En los

modelos estáticos los agentes no tienen ningún incentivo para desviarse de la estrategia

óptima que determina el equilibrio de Cournot, ya que en este tipo de juegos no existen

periodos futuros que pudieran modificar su comportamiento óptimo en el problema de

un único periodo. Los efectos colusivos aparecen, por tanto, en modelos dinámicos,

fruto de la interacción repetida entre las empresas en los sucesivos mercados. En estos

modelos los agentes podrían aprender a competir entre ellos de forma menos agresiva

a lo largo del tiempo, coordinando sus estrategias de oferta a través de una colusión

tácita.

Así, si las empresas se coordinan para alcanzar una solución colusiva, sus resultados

globales obtenidos en todo el horizonte mejoran. En esta situación, alguna de las

empresas podría plantearse producir 1 MWh adicional y desviarse unilateralmente de

la estrategia cooperativa anterior. Al hacerlo, la empresa observa que el beneficio

obtenido aumenta, ya que de esta forma es capaz de capturar los precios más elevados

que determina la cooperación entre sus competidores con un mayor volumen de

energía. Siguiendo esta lógica, la empresa continuaría incrementando su producción

hasta alcanzar la cantidad óptima definida por el juego de un periodo, es decir, la

cantidad óptima que produciría la compañía si tomase sus decisiones de manera

individual. Análogamente, el resto de las empresas del mercado llegaría a la misma

solución, de modo que el equilibrio final coincidiría con el equilibrio estático.

Todas las empresas tienen incentivos para romper unilateralmente la cooperación, pero

cuando todas ellas se separan de su estrategia cooperativa, el beneficio global que

obtienen en todo el horizonte considerado se reduce respecto a la solución colusiva.

Por tanto, para que una colusión sea sostenible en el tiempo es necesario que los

agentes sean capaces de detectar desviaciones respecto al comportamiento cooperativo

y puedan desarrollar estrategias de castigo para penalizar a las empresas que se

aparten de él. En un equilibrio colusivo el beneficio global que obtienen las empresas

es mayor que el que obtendrían en un juego no cooperativa, y aún cuando los agentes

tuviesen incentivos para desviarse de la colusión, el riesgo de ser castigados mediante

futuras conductas agresivas debe ser capaz de desanimarlos de romper la cooperación.

6.1 Planteamiento

103

Así, el equilibrio colusivo podrá mantenerse en el tiempo como un equilibrio de un

juego repetido infinitamente.

Todo lo anterior implica que, en la práctica, no resulta sencillo alcanzar soluciones

colusivas. El nivel de información que tienen los agentes no es perfecto, lo que dificulta

que las empresas puedan determinar la estrategia cooperativa óptima que deben

seguir. Además, en un mercado con información imperfecta es complicado detectar y

castigar posibles desviaciones respecto al comportamiento colusivo que, en caso de

darse, acabarían por romper la cooperación entre las empresas. Por ejemplo, es posible

que la información que manejen los agentes no sea suficiente como para que las

empresas productoras puedan distinguir si una caída de los precios del mercado se

debe a una reducción de la demanda de energía de los consumidores o a que sus

competidores se han desviado de la estrategia cooperativa.

Por otro lado, los agentes toman sus decisiones de manera racional, si bien esta

racionalidad está acotada (bounded rationality). La información y los recursos con los

que cuentan las empresas son limitados, y esto condiciona el proceso de toma de

decisiones. En efecto, cuando un agente está maximizando su beneficio global en un

cierto horizonte, la información acerca de los periodos futuros es limitada,

reduciéndose a medida que se consideran periodos más alejados en el tiempo. Esto

hace que los agentes no tengan en cuenta todos los posibles efectos de sus decisiones

presentes y acoten el estudio a las influencias más inmediatas. Así, los agentes pueden

preferir soluciones con peores resultados globales pero con las que obtienen márgenes

más elevados en el presente. En otras palabras, es frecuente que algunas empresas

opten por renunciar a un cierto beneficio futuro si estos ingresos corresponden a

periodos suficientemente alejados, a cambio de capturar un margen mayor en el

periodo actual.

En este sentido, la racionalidad acotada de los agentes puede hacer que poner en

práctica las estrategias de castigo resulte difícil. Si las empresas que se apartan de la

estrategia cooperativa deben ser penalizadas mediante un comportamiento agresivo en

el futuro, algunos agentes pueden considerar que sostener una guerra de precios

durante un cierto número de periodos resulta y muy costoso y decidan no castigar las

desviaciones de sus competidores y acabar alcanzando el equilibrio no cooperativo.

Entonces, hay múltiples factores que condicionan el juego cooperativo y determinan en

qué medida es posible alcanzar una solución colusiva. Existe, de hecho, un folk theorem

que establece que cualquier solución entre el equilibrio del juego no cooperativo y la

colusión perfecta es posible. Esto hace que los resultados de este tipo de estudios

puedan ser discutidos desde diferentes puntos de vista. En este capítulo se presenta un

enfoque alternativo que, sin considerar que los agentes cooperan siguiendo estrategias

diferentes de las que determina el equilibrio de Cournot, representa la existencia de

mercados posteriores al mercado spot.

En el modelo de dos etapas, las empresas se comportan de manera más competitiva en

el mercado spot cuando contratan parte de su producción a plazo porque el volumen

de energía que se ve afectado por las variaciones del precio spot se reduce. Sin

embargo, cuando se considera que existen más mercados posteriores, las empresas


104

deben tener en cuenta al tomar sus decisiones de producción que el precio del mercado

spot de un cierto periodo puede influir en la valoración de los contratos que se

negociarán en el siguiente periodo. En este contexto, los agentes tienen en cuenta no

sólo el impacto de las variaciones del precio spot en su producción no contratada, sino

también que este precio sirve como referencia para determinar el precio de sus

contratos futuros. Así, el efecto procompetitivo del modelo de Allaz y Vila se

compensa, al menos en parte, por la posibilidad de influir en el precio del siguiente

mercado a plazo, de modo que aunque la producción contratada para un cierto periodo

no esté expuesta al precio del mercado spot de ese periodo, los contratos del siguiente

periodo sí lo están.

Este efecto que se acaba de describir se incluye explícitamente en el modelo que se

propone en el siguiente apartado. Se trata, por tanto, de un juego dinámico no colusivo,

capaz de representar la existencia de periodos futuros de negociación sin considerar

estrategias cooperativas entre los agentes del mercado. Bajo este planteamiento, el

modelo permite analizar el impacto de los mercados a plazo en el comportamiento

estratégico de las empresas que interactúan repetidamente en los sucesivos mercados,

y estudiar si el efecto procompetitivo de la contratación a plazo que se ha identificado

en el modelo estático sigue teniendo consecuencias significativas en las estrategias de

oferta que resulten de este nuevo esquema.

A diferencia de los juegos cooperativos, las hipótesis de este modelo son compatibles

con el enfoque adoptado en los capítulos anteriores. En este caso, no se consideran

estrategias que no resulten de la propia maximización individual de los beneficios de

cada empresa, así que las hipótesis básicas de comportamiento corresponden con las

modeladas por Allaz y Vila. El modelo propuesto se adapta muy bien al planteamiento

de Allaz y Vila, pero incorporando la repetición de mercados que ellos ignoran. Esto

permitirá analizar si los resultados obtenidos en el capítulo 4 con consistentes con la

naturaleza repetida de los mercados eléctricos reales sin introducir estrategias

colusivas que pueden ser discutidas.

6.2 Análisis del comportamiento de los agentes en

mercados sucesivos

Considérese un juego similar al descrito por Allaz y Vila, pero teniendo ahora en

cuenta que tras la negociación de energía en el mercado spot, el esquema definido en el

capítulo 4 se repite en periodos posteriores. En este caso, el modelo consta de múltiples

etapas:

• En el instante inicial considerado las empresas participan en el mercado a plazo

decidiendo la cantidad de energía que van a contratar a plazo y cuya fecha de

entrega tiene lugar durante el periodo t ( ),ce tq

6.2 Análisis del comportamiento de los agentes en mercados sucesivos

105

• A continuación, los agentes eligen simultáneamente la cantidad que van a

producir en el mercado spot del periodo t ( ),e tq de acuerdo con el modelo de

Cournot

• En ese momento, los agentes también deciden en el mercado a plazo su cantidad

de contratos a plazo con fecha de entrega en el siguiente periodo t+1 ( ),ce t+1q

• En el periodo t+1 las empresas toman sus decisiones de producción en el

mercado spot, y sus decisiones de contratación para t+2

• El proceso se repite en los sucesivos mercados, decidiendo secuencialmente la

cantidad de energía contratada para t+3, t+4,...t+N, y eligiendo las cantidades

óptimas que van a producir en los diferentes mercados spot que tienen lugar en

cada periodo

La función objetivo de una empresa e que se encuentra tomando sus decisiones de

producción en el spot del periodo t es la maximización de sus beneficios globales

obtenidos a lo largo de todo el horizonte considerado:

( )( )( )

( )

, , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

max s ct e t e t e t

c c s ct+1 e t+1 t+1 e t+1 e t+1 e t+1

c c s ct+2 e t+2 t+2 e t+2 e t+2 e t+2

c c s ct+N e t+N t+N e t+N e t+N e t+N

p q q C

p q p q q C

p q p q q C

p q p q q C

⋅ − − +

+ ⋅ + ⋅ − − +

+ ⋅ + ⋅ − − + +

+ ⋅ + ⋅ − −

… (6.1)

donde stp es el precio del mercado spot del periodo t,

ctp es el precio de los contratos de energía negociados en t-1 con fecha de

entrega en t,

,e tq es la producción de la empresa e en el periodo t,

,ce tq es la cantidad contratada a plazo por la empresa e en el periodo t-1 con

fecha de entrega en t,

,e tC es el coste de producción de la empresa e en el periodo t.

Como se expuso en el capítulo 4, la función objetivo de una empresa que se encuentra

decidiendo su producción en el mercado spot del periodo t debe tener en cuenta que

una parte de su energía para ese periodo ya se ha negociado en el mercado a plazo del

periodo anterior. Pero, a diferencia del modelo de un único periodo, los agentes deben

tener en cuenta que existen nuevas oportunidades de contratación y producción en los

mercados posteriores al mercado spot.

El lagrangiano del problema de optimización de cada empresa está dado por:


106

( )( )( )

( )

, , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

s ce t e t e t e t

c c s ct+1 e t+1 t+1 e t+1 e t+1 e t+1

c c s ct+2 e t+2 t+2 e t+2 e t+2 e t+2

c c s ct+N e t+N t+N e t+N e t+N e t+N

p q q C

p q p q q C

p q p q q C

p q p q q C

= ⋅ − − +

+ ⋅ + ⋅ − − +

+ ⋅ + ⋅ − − + +

+ ⋅ + ⋅ − −

L

… (6.2)

En un mercado es equilibrio es razonable suponer que el comportamiento de los

agentes no variará significativamente de un periodo a otro. Por tanto, si las condiciones

entre t y t+1 son comparables, las cantidades contratadas a plazo por cada empresa

serán similares. Este modelo supone que la cantidad de contratos que negocia una

empresa no varía a lo largo del tiempo y, así,

, ,c ce t e t+1q q= (6.3)

En este caso, las empresas deben tener en cuenta que los contratos no tienen una

duración infinita, sino que en cada periodo deben renegociar los contratos del periodo

anterior, y que el precio del mercado spot que tiene lugar cuando los agentes están

negociando en el mercado a plazo puede influir en el precio que obtendrán sus

contratos futuros.

Como se ha explicado en el apartado 4.1, en ausencia de incertidumbre y suponiendo

que los agentes son neutrales al riesgo, el precio de los contratos para un cierto periodo

y el precio del mercado spot de ese periodo no pueden presentar diferencias

importantes. Dado que siempre existe la posibilidad de negociar en uno u otro

mercado, cuando los precios se separan los agentes pueden trasladar su energía al

mercado que les permite obtener mayores beneficios, haciendo con ello que los precios

tiendan a igualarse de nuevo. Sin embargo, resulta complicado predecir perfectamente

el precio de la energía del periodo para el que las empresas se están contratando, de

modo que el precio de los contratos negociados en t con fecha de entrega en t+1

coincidirá con la mejor estimación que hagan los agentes del precio spot en t+1.

En este contexto, el precio del mercado spot de t se convierte en un estimador relevante

del precio que puede resultar en t+1. En efecto, el precio en t+1 depende de una serie de

variables fundamentales, como la demanda de energía de los consumidores en ese

periodo o el coste futuro de los combustibles empleados en las centrales para generar

electricidad. Pero también depende del comportamiento que tendrán los agentes en el

mercado. Incluso ignorando los efectos asociados a la gestión del riesgo de las

empresas, para poder modelar las decisiones y reacciones que ocurren en el mercado

spot de t+1 es necesario estimar el comportamiento estratégico de los agentes. Entonces,

es necesario prever el valor de la pendiente de la función del precio en el siguiente

periodo, que determina la capacidad que tienen los generadores para influir en el


107

precio de la energía6. Este parámetro es particularmente difícil de estimar, por lo que

los agentes se basan en el funcionamiento actual del mercado y suponen que las

reacciones de los consumidores no cambian significativamente a lo largo del tiempo.

Por tanto, la mejor estimación de la derivada del precio spot en t+1 respecto a las

decisiones de producción de las empresas en ese mercado es la derivada del precio en

el presente.

La principal dificultad de este problema es que no es sencillo separa el efecto de las

numerosas variables que influyen en la formación del precio. La demanda de energía,

el coste de los combustibles o la producción eólica de cada periodo son sólo algunos

ejemplos del gran número de factores que, junto con el comportamiento de los agentes,

afectan al precio de la energía. Por tanto, resulta muy complicado determinar el

impacto de estas variables y separa el efecto de cada una de ellas. Por ejemplo, es difícil

distinguir en qué medida una bajada del precio spot se debe a una reducción en el

consumo de energía o a un aumento de la elasticidad de la demanda. De hecho,

normalmente, una variación en el precio estará causada por el efecto conjunto de

diversas variables. Por este motivo, los agentes del mercado a plazo toman como

estimador del precio futuro el precio spot del mercado actual, ya que no son capaces de

separa las variables fundamentales que sólo guardan relación con el periodo t de los

parámetros que determinan el comportamiento estratégico de las empresas.

De este modo, la mejor estimación del comportamiento futuro de las empresas es el

precio spot del mercado que está teniendo lugar cuando deciden sus contratos, y el

precio del mercado spot de un cierto periodo sirve como referencia para el precio de los

contratos que se están negociando en ese periodo para su entrega en un momento

futuro. Así, el precio de la energía a plazo con fecha de entrega en t+1 se puede

descomponer en dos términos:

• una cierta función de las variables fundamentales en t+1

• el precio del mercado spot de t, que representa la mejor estimación del

comportamiento de los agentes en t+1

( )c st+1 t+1 tp f fundamentales p= + (6.4)

Por tanto, existe una relación entre ct+1p y s

tp o, lo que es lo mismo, entre ct+1p y ,e tq ,

de manera que las decisiones de las empresas en el mercado spot del periodo t influyen

en la remuneración de sus contratos a plazo para el siguiente periodo.

Por otro lado, cuando los agentes participan en el mercado spot de t+1, el spot de t ya ha

pasado, y las decisiones en este segundo mercado spot se toman sin tener en cuenta lo

sucedido en t. En consecuencia, las decisiones de las empresas en cada mercado spot

6 Véase el capítulo 3 para una explicación más detallada.


108

son independientes de las del periodo anterior, de modo que los resultados obtenidos

en t no influyen en los que se obtendrán en el siguiente periodo.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, al derivar la función lagrangiana respecto de la

cantidad producida en t –que es la variable de decisión de los generadores en el

mercado spot de t– se obtiene la siguiente condición de optimalidad para cada

empresa e:

( ) ,, ,

, , ,

,,

0

se tc se t

e t e t te t e t e t

cct+1e t

e t

Cpq q p

q q q

pq

q

∂∂ ∂= ⋅ − + − +∂ ∂ ∂

∂+ ⋅ =∂

L

(6.5)

De la ecuación (6.4):

, ,

c st+1 t

e t e t

p p

q q

∂ ∂=∂ ∂

(6.6)

Y, por tanto,

( ) ,, , ,

, , ,

0s s

e tc s ct te t e t t e t

e t e t e t

Cp pq q p q

q q q

∂∂ ∂⋅ − + − + ⋅ =∂ ∂ ∂

(6.7)

Reagrupando términos:

,,

, ,

0s

e tste t t

e t e t

Cpq p

q q

∂∂ ⋅ + − =∂ ∂

(6.8)

Es decir, cuando los agentes tienen en cuenta la influencia que tienen sus decisiones de

producción en el precio de sus contratos futuros, la solución óptima para cada empresa

coincide con la solución del modelo de Cournot. Al tener en cuenta la existencia de

mercados posteriores al mercado spot, aparece un término adicional que el modelo de

Allaz y Vila ignora, y que anula el efecto procompetitivo de los contratos a plazo que

resultaba del modelo de dos etapas.

En estas condiciones, una empresa que tiene parte de su producción contratada a plazo

y decide aumentar sus ventas en el spot considerando que una bajada de precio no

afectará a la energía que ya ha negociado previamente en la etapa anterior, debe

también tener en cuenta que ese precio más bajo será el que sirva de referencia para

determinar el precio de sus contratos en el siguiente periodo. Entonces, cuando una

empresa está decidiendo su producción en el mercado spot debe comparar tres

términos:


109

• El beneficio que obtiene por cada megavatio-hora generado ,

,

e tst

e t

Cp

q

∂− ∂

,

representado por el área verde de la Figura 6.1.

• La reducción de ingresos que una bajada de precio supone sobre toda su

producción no contratada para este periodo ( ), ,,

sct

e t e te t

pq q

q

∂ ⋅ − ∂ , representada

por el área roja de la Figura 6.1.

• La reducción en el precio de los contratos del siguiente periodo asociada a una

bajada del precio spot cuando la producción de la empresa aumenta ,,

scte t

e t

pq

q

∂ ⋅ ∂ ,

representada por el área naranja de la Figura 6.1.

Figura 6.1: Efectos del incremento de producción sobre el beneficio de una empresa con contratos a plazo en

múltiples periodos

Este último término, que representa la reducción de ingresos que tiene los contratos del

siguiente periodo cuando el precio del mercado spot actual baja, reduce los incentivos

de las empresas para aumentar su producción. Al considerar el impacto que tienen las

decisiones actuales en la remuneración futura que obtendrá la empresa, ésta encuentra

que resulta rentable retirar cantidad del mercado spot para conseguir un precio más

alto en los contratos del siguiente periodo. La decisión óptima de los agentes buscará,

por tanto, no sólo maximizar el beneficio que obtiene por sus ventas en el mercado de

corto plazo, sino también conseguir unos ingresos elevados de sus contratos futuros.

De modo que las empresas tienen un incentivo adicional para mantener el precio spot

alto y conseguir así contratar más tarde a un precio superior.

Este efecto dinámico anula la capacidad de los contratos a plazo para mitigar el poder

de mercado de los agentes que resulta del modelo de Allaz y Vila, y el equilibrio del

mercado entonces coincide con el equilibrio del modelo de una etapa. El efecto

procompetitivo de la contratación a plazo se basa en la hipótesis de que los agentes no

tienen en cuenta que en el siguiente periodo tendrán que renegociar sus contratos y

qt

ps



∆qe,t

∆ps

qe,tc


110

que el precio que recibirán estos contratos depende del precio spot del periodo actual.

En otras palabras, el modelo de Allaz y Vila ignora la naturaleza repetida que

presentan los mercados eléctricos reales. Sin embargo, cuando se incorpora al modelo

de Allaz y Vila la interacción repetida que existe entre los mercados eléctricos a plazo y

los mercados eléctricos al contado, los resultados que se obtienen cambian

sustancialmente. En concreto, en el modelo presentado en este apartado la existencia

de un mercado a plazo en el que las empresas pueden negociar parte de su energía no

modifica el comportamiento estratégico de los agentes en el mercado spot.

6.3 Conclusiones

El modelo desarrollado por Allaz y Vila concluye que la existencia de mercados a plazo

reduce los incentivos de las empresas para ejercer su poder de mercado cuando

deciden su producción en el spot. Sin embargo, este modelo ignora que el número de

periodos en los que las empresas negocian su energía no es finito, sino que existen

múltiples mercados que suceden al mercado spot de la segunda etapa del modelo

anterior.

Existen diversos autores que indican que cuando se considera la naturaleza real de los

de los mercados eléctricos, en los que las empresas interactúan repetidamente, pueden

aparecer estrategias cooperativas que no sólo anulan el efecto procompetitivo del

modelo de dos etapas, sino que incluso pueden hacer en algunos casos que aparezcan

efectos colusivos que no existirían si los agentes no tuvieran la posibilidad de

participar en una mercado a plazo. Ahora bien, este tipo de estrategias colusivas son

difíciles de poner en práctica, de modo que los resultados de estos modelos pueden ser

discutidos.

En este capítulo se ha presentado un modelo que, sin considerar la posible cooperación

entre los agentes del mercado, incorpora la dinámica repetida del problema. Partiendo

del modelo de Allaz y Vila, se ha añadido la existencia de un mercado a plazo después

de cada mercado spot. En este contexto, las empresas deben tener en cuenta que el

precio spot de cada periodo constituye el mejor estimador del comportamiento futuro

de los agentes y que, por tanto, este precio sirve como referencia para el precio de los

contratos se están negociando para el siguiente periodo. Se trata de una modificación

sencilla del modelo de Allaz y Vila que incorpora una representación más realista del

funcionamiento de los mercados eléctricos. Sin embargo, al hacerlo, los resultados

obtenidos cambian sustancialmente.

Cuando las empresas tienen en cuenta que los ingresos que obtendrán los contratos

negociados para un cierto periodo dependen del precio spot del periodo anterior, el

efecto procompetitivo descrito en el capítulo 4 se compensa por la posibilidad de

influir en el precio del siguiente mercado a plazo. Es decir, los agentes tienen en cuenta

que, aunque la producción que han contratado a plazo en la etapa anterior no se verá

afectada por las variaciones del precio en este mercado, la energía a plazo del siguiente

periodo sí lo hará. Entonces, la decisión óptima de cada empresa incluirá el impacto de

una bajada de precio tanto en sus ventas en el mercado spot, como en los contratos del

6.3 Conclusiones

111

siguiente periodo. Esto reduce los incentivos de las empresas para producir 1 MWh

adicional incluso cuando la mayor parte de su producción ya haya sido contratada a

plazo. El equilibrio del mercado en este caso coincide con el equilibrio del modelo de

Cournot. Por tanto, al considerar la existencia de mercados posteriores al spot se

concluye que la mera existencia de mercados a plazo no reduce los incentivos de las

empresas para ejercer su poder de mercado.

113

7 Conclusiones

El objetivo marcado en el origen de esta tesis de máster consistía en estudiar las

posibles influencias de los mercados a plazo sobre las estrategias de oferta de los

agentes que operan en un mercado spot. Los desarrollos presentados permiten

profundizar en el problema de la interacción entre los mercados eléctricos a plazo y los

mercados eléctricos al contado, y ayudan comprender el comportamiento estratégico

de las empresas que contratan parte de su producción a plazo.

En los primeros capítulos de la tesis de máster se ha retratado la situación que

experimenta el sector eléctrico en la actualidad, en el que muchos países han procedido

ya a introducir mecanismos de competencia. Esto ha hecho que las empresas de

generación se enfrenten a la necesidad de planificar su operación en un marco

liberalizado, donde tienen que competir en los diferentes mercados con el resto de

compañías.

Muchos de estos mercados cuentan con mercados a plazo consolidados, que ofrecen la

posibilidad de negociar la compra-venta de energía mediante transacciones a plazo. En

este caso, los agentes pueden acordar la venta de una cierta cantidad de electricidad a

un precio fijo para un periodo futuro. Sin embargo, la gran mayoría de los modelos que

representan el comportamiento del mercado eléctrico en competencia imperfecta no

tienen en cuenta la existencia de un mercado a plazo, que puede influir en el

comportamiento de los agentes en el mercado spot.

En el capítulo 4 de esta tesis de máster se describe el modelo desarrollado en Allaz y

Vila (1993), que constituye una de las principales referencias que se encuentran en la

literatura sobre el problema de la interacción entre los mercados a plazo y los mercados

spot. Se basa en un juego de dos etapas que analiza el efecto que tienen los contratos

negociados en los mercados a plazo sobre las decisiones de los agentes con poder de

7 Conclusiones

114

mercado cuando operan en el spot, considerando dos únicas empresas simétricas con

costes de producción lineales, y representando el precio como una función lineal de la

demanda de pendiente unitaria.

El resultado fundamental del modelo de Allaz y Vila es que la existencia de mercados a

plazo incrementa el nivel de competencia entre los agentes. El modelo muestra que

contratar parte de su producción a plazo hace que las empresas adopten estrategias

más agresivas que dan como resultados una mayor generación y unos precios más

reducidos. Este efecto procompetitivo se debe a que las variaciones del precio spot no

afectan a la producción que ha sido negociada previamente y que recibe el precio fijado

en el mercado a plazo, por lo que los agentes son menos sensibles a la elasticidad del

precio y tienden a aumentar su producción. Por tanto, según el modelo de Allaz y Vila,

los mercados a plazo reducen los incentivos de las empresas para ejercer su poder de

mercado.

Este resultado implica que las empresas obtienen menores beneficios cuando deciden

realizar transacciones a plazo y, sin embargo, deciden negociar contratos. La

posibilidad de participar en un mercado a plazo crea un dilema del prisionero para los

agentes. Cuando sólo una empresa negocia un cierto volumen de energía a plazo, el

beneficio que obtiene aumenta respecto al caso en el que no se contrataba, mientras que

los resultados de la otra compañía empeoran notablemente. Por tanto, cada agente

tiene incentivos para contratar un parte de su producción. Sin embargo, cuando ambos

participan en el mercado a plazo, su beneficio disminuye respecto al caso sin contratos.

Las empresas saben que podrían capturar mayores márgenes si ninguna de las dos se

contratase, pero la posibilidad de que sólo su competidora lo haga incentiva a cada

empresa a negociar parte de su energía a plazo.

En el capítulo 5 se ha generalizado el modelo del capítulo anterior. El modelo de Allaz

y Vila está desarrollado para unas condiciones de mercado muy rígidas. Este modelo

considera la existencia de dos únicas empresas simétricas cuyas curvas de costes están

dadas por funciones lineales de su producción, y donde el precio del mercado está

caracterizado por una función lineal de la demanda de pendiente unitaria. Estas

condiciones no se adaptan a la mayoría de los mercados eléctricos existentes, lo que

limita enormemente las posibles aplicaciones del modelo. En el capítulo 5 se ha

presentado un desarrollo original que generaliza la formulación del modelo de Allaz y

Vila, extendiendo el estudio al caso en el que operan un número E indeterminado de

empresas caracterizadas por una curva general de costes, e incorporando una función

lineal con pendiente α para representar el precio de mercado.

La generalización del modelo permite analizar con mayor detalle las reacciones de los

agentes ante una variación en la producción a plazo de una cierta empresa. De acuerdo

con el efecto procompetitivo identificado en el modelo de Allaz y Vila, cuando una

empresa decide aumentar la cantidad de sus contratos, su potencia inframarginal

sensible a una bajada del precio spot se reduce y, por tanto, la empresa incrementa su

producción total, haciendo con ello que el precio del mercado baje. Por otro lado,

cuando una empresa modifica su contratación en el mercado a plazo, todos los agentes

del spot anticipan la variación en la producción de esta empresa y su influencia en el

7 Conclusiones

115

precio de corto plazo. Los cambios en el precio spot afectarán a la producción no

contratada de todas las empresas que operan en el mercado spot, incluida la propia

empresa que ha variado sus contratos, que reaccionan cambiando su producción para

amortiguar el efecto de estas variaciones. Por tanto, el volumen de contratos de una

cierta empresa afecta no sólo al comportamiento de esa empresa en el mercado de corto

plazo, sino también a las decisiones de todos sus competidores, ya que todos los

agentes pueden prever la influencia de la producción a plazo en el mercado spot y

modificar sus producciones para adaptarse a los resultados del mercado a plazo. Las

empresas incorporan estas reacciones en el proceso de decisión de la primera etapa, de

forma que cuando deciden la cantidad de energía que van a contratar a plazo tienen en

cuenta la influencia que sus decisiones de contratación tendrán en el spot.

Allaz y Vila no tienen en cuenta algunas consideraciones cruciales para representar de

forma realista el comportamiento de los agentes que modifican sustancialmente sus

resultados. Por un lado, para que las reacciones que se han comentado sean posibles es

necesario que la información relativa a los contratos negociados en el mercado a plazo

sea pública. Esta información no suele conocerse en los mercados eléctricos reales, de

modo que los agentes no pueden tomar sus decisiones óptimas de producción a partir

de los resultados de la etapa anterior, lo que altera los resultados del modelo de Allaz y

Vila.

Por otro lado, más importante que el problema de la información del mercado a plazo

en el análisis de las conclusiones obtenidas en los capítulos 4 y 5 resulta el hecho de

que el efecto procompetitivo del modelo de Allaz y Vila es resultado de un juego en el

que las empresas negocian su energía durante un número finito de periodos. En

concreto, en el modelo estudiado los agentes compiten solamente en dos instantes,

primero en el mercado a plazo y, posteriormente, en el mercado spot, ignorando que

existen más periodos futuros en los que el problema de la interacción entre mercados

se repite. Cuando se considera la naturaleza repetida de la negociación en los mercados

eléctricos, aparecen una serie de efectos que cambian radicalmente los resultados del

modelo de Allaz y Vila.

En el capítulo 6 se han analizado las implicaciones de ignorar la existencia de múltiples

periodos de negociación. Por un lado, existe un buen número de autores que estudian

la posible aparición de estrategias cooperativas entre los agentes que interactúan

repetidamente. Estos trabajos concluyen que al tener en cuenta la existencia de un

número infinito de periodos de negociación, las empresas pueden coordinar sus

estrategias y alcanzar una colusión tácita que anula el efecto procompetitivo del

modelo de dos etapas. Incluso se han descrito algunos efectos colusivos que sólo

pueden darse gracias a la existencia de mercados a plazo. Sin embargo, este tipo de

estrategias son difíciles de llevar a la práctica por distintos motivos, que van desde la

información imperfecta que manejan los agentes hasta la racionalidad acotada de los

mismos cuando toman sus decisiones, por lo que los resultados de este tipo de

modelos puede ser discutido.

En esta tesis de máster, en cambio, se ha desarrollado un modelo original que, sin

considerar la posible cooperación entre los agentes del mercado, incorpora la dinámica

7 Conclusiones

116

repetida del problema. Partiendo del modelo de Allaz y Vila, se ha añadido la

existencia de un mercado a plazo después de cada mercado spot. En este contexto, las

empresas deben tener en cuenta que el precio spot de cada periodo constituye el mejor

estimador del comportamiento futuro de las empresas y que, por tanto, este precio

sirve como referencia para el precio de los contratos que se están negociando para el

siguiente periodo. Cuando las empresas consideran que los ingresos que obtendrán los

contratos para un cierto periodo depende del precio spot del periodo anterior, el efecto

procompetitivo del modelo de Allaz y Vila se compensa por la posibilidad de influir en

el precio del siguiente mercado a plazo. El equilibrio del mercado en este caso coincide

con el equilibrio del modelo de Cournot y, entonces, la existencia de mercados a plazo

no reduce por sí misma los incentivos de las empresas para ejercer su poder de

mercado.

117

Referencias

Allaz, B. y Vila, J. L. (1993). Cournot competition, forward markets and efficiency. Journal of

Economy Theory 59, p. 1-16.

Amaya, F., Rodilla, P., García-González, J. y Vázquez, C. (2006). The strategic effects of

forward markets on oligopolistic electricity equilibria. 1st Enerday Conference on

Energy Economics and Technology, Dresden.

Le Coq, C. (2004). Long-term supply contracts and collusion in the electricity market.

Working Paper Series in Economics and Finance 552. Stockholm School of

Economics.

Von der Fer, N-H. M. y Harbord, D. (1993). Spot market competition un the UK electricity

industry. Economic Journal 103, p. 531-546.

Fernández, B. (2002). Modelo para la programación de unidades de una empresa generadora en

un sistema eléctrico liberalizado. Proyecto Fin de Carrera. E.T.S. de Ingenieros

Industriales, Universidad Politécnica de Madrid.

Ferreira, J. L. (2001). Strategic interaction between futures and spot markets. Journal of

Economic Theory 108, p. 141-151.

Green, R. (1999). The electricity contract market in England and Wales. Journal of Industrial

Economics 47, p. 107-124.

Green, R. y le Coq, C. (2007). The length of contracts and collusion. Center for the Study of

Energy Markets, paper CSEMWP-154.

Liski, M. y Montero, J. P. (2006). Forward trading and collusion in oligopoly. Journal of


Referencias

118

Mahenc, P. y Salanié, F. (2004). Softening competition through forward trading. Journal of


Newbery, D. (1998). Competition, contracts and entry in the electricity spot market. RAND

Journal of Economics 29, p. 726-749.

Pérez-Arriaga, I. J. (1998). Visión global del cambio de regulación. Monográfico sobre la

liberalización del sector eléctrico. Anales de Mecánica y Electricidad LXXV,

fascículo II.

Schweppe, F. C., Caramanis, M. C., Tabors, R. D. y Bhon, R. E. (1988). Spot pricing of

electricity. Kluwer Academic Publishers.

Ventosa, M. (2001). Modelado de la explotación de la generación en mercados eléctricos

liberalizados mediante el problema complementario. Tesis doctoral. Universidad

Pontificia Comillas de Madrid.

Wolak, F. A. (2000). An empirical analysis of the impact of hedge contracts on bidding

behaviour in a competitive electricity market. International Economic Journal 14,

p. 1-39.

Zhang, Y. y Zwart, G. (2006). Market power mitigation contracts and contrats duration.

mimeo, University of Toulouse.

Interacción entre los mercados eléctricos a plazo y …En los últimos 20 años, muchos de los...

Documents

Transcript of Interacción entre los mercados eléctricos a plazo y …En los últimos 20 años, muchos de los...