Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

INTERACCIÓN OLEAJE-TUBERÍA-SUELO-PORO: CÁLCULO DE LA CINEMÁTICA DEL OLEAJE DE CRESTA CORTA SOBRE UN LECHO MARINO POROSO, PARA EL DISEÑO DE

TUBERÍAS SUBMARINAS

Enedina Musito Córdova1, Raúl López Chávez2, Rodolfo Silva Casarín3

RESUMEN

Este artículo presenta un nuevo modelo numérico para obtener las características del oleaje propagándose sobre un lecho marino poroso, alrededor de las tuberías submarinas. El procedimiento incluye la variación de las propiedades mecánicas del suelo marino. Este estudio comprende la disipación de energía de la ola, con el potencial de velocidades se analiza la cinemática del oleaje dentro y fuera del medio poroso. El método considera la respuesta del suelo marino inducida por fuerzas de oleaje y la transformación de la ola debido al medio poroso. Como resultado se calcula la presión de poro y los esfuerzos efectivos.

ABSTRACT This paper presents a new numerical model to obtain wave characteristics propagating over a porous seabed around of submarine pipelines. The procedure includes the variation of marine soil proprieties. This study comprise dissipation of wave energy, with velocity potential we analyze wave cinematic in and out of porous media. The method considers the answer of marine soil due of wave forces and wave transformation propagating over a porous media. As numerical results, we calculate porous pressure and effective stresses.

INTRODUCCIÓN Una de las razones que han provocado el interés del fenómeno de la interacción ola-lecho marino-estructura, es porque algunas instalaciones costa fuera (tuberías, plataformas, etc) han sido dañadas, como consecuencia de la respuesta del lecho marino inducida por oleaje en la vecindad de la estructura (Clukey et al., 1989; Lundgren et al., 1989), sin considerar las causas de construcción. En aguas someras ó en oleaje extremo, la variación de la presión del oleaje puede inducir esfuerzos y deformaciones considerables en el lecho marino, causando falla del suelo y/o ruptura de la tubería. Bajo oleaje extremo, se debe analizar la fatiga de la estructura y la estabilidad dinámica del suelo. La variedad de suelos es extensa, incluye desde rocas, arena, hasta arcilla; algunos suelos se comportan no linealmente bajo ciertas condiciones prácticas. Por lo tanto, para modelar su comportamiento en forma real, es una tarea realmente difícil. El diseño de tuberías submarinas es complejo, en general, las fluctuaciones de la presión de la ola en la superficie del lecho marino provocan exceso de presión de poro y esfuerzos efectivos, siendo los factores dominantes en el análisis de la estabilidad de un lecho marino. Cuando se excede la presión de poro acompañada con el decremento del esfuerzo efectivo, el lecho sedimentario se mueve en las direcciones, horizontal (licuación) y vertical (falla cortante) y se origina su inestabilidad (Jeng, 1997b; Rahman, 1997).

1 Investigador Especialista. Instituto Mexicano del Petróleo. México, D. F. Teléfono (55) 5389-4857, emusito@imp.mx 2 Investigador Especialista. Instituto Mexicano del Petróleo. México, D. F. Teléfono (55) 3003-7264, rlopezc@imp.mx 3 Investigador. Instituto de Ingeniería, UNAM. México, D. F. Teléfono (55) 5622-3326, rodo@quetzal.iingen.unam.mx

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Se han desarrollado numerosas teorías para obtener la respuesta inducida por oleaje en un medio elástico, empleando diferentes rigideces del esqueleto del suelo y de la compresibilidad poro-fluido. Madsen (1978) y Yamamoto et al., (1979) propusieron soluciones analíticas para el problema oleaje-suelo marino, dentro de un lecho marino uniforme, hidráulicamente isotrópico y anisotrópico de espesor infinito. Posteriormente, Mei y Foda (1981) encontraron una aproximación capa-contorno para la respuesta del suelo inducida por oleaje (arena fina). Después Jeng y Seymour (1997a), calcularon la solución exacta de la respuesta del suelo inducida por oleaje en un lecho marino con permeabilidad variable, la cual afecta significativamente la respuesta del suelo. Las soluciones numéricas se han aplicado ampliamente en los últimos años: el método de diferencias finitas (Magda, 1990; Zen y Yamazaki, 1990), el método de elemento finito (Thomas, 1989; Gatmiri, 1990; Lin y Jeng, 1997) y el método de elemento contorno (Raman-Nair y Sabin, 1991). Todos los investigadores antes mencionados, han obtenido la respuesta del suelo poro-elástico, bajo la acción de oleaje progresivo en dos direcciones, sin la presencia de una estructura marina. Aunque la importancia del fenómeno de la interacción agua-suelo-tubería se encuentra en la literatura (Clukey et al., 1989), no ha quedado totalmente entendido, debido al comportamiento complicado de los suelos y a la geometría del tubo. Con la teoría potencial se han estudiado las fuerzas hidrodinámicas de levantamiento en una tubería enterrada (MacPherson, 1978; Spierenburg, 1986; MacDougal et al., 1988). No se tiene información de los esfuerzos efectivos y desplazamientos del suelo marino. Cheng y Liu (1986) utilizaron el modelo de Biot (1941) para obtener la presión de poro inducida por oleaje alrededor de una tubería submarina, emplearon el método de la ecuación integral de contorno. Cheng y Liu 1986, consideraron un tubo enterrado en una región circundada por dos paredes impermeables. Magda (1997) aplicó el método de elemento finito y supuso un caso similar, con un rango muy amplio de grados de saturación. Este artículo presenta un modelo matemático de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden complejas, resueltas con el método de diferencias finitas, en un sistema de coordenadas cartesianas, para analizar el sistema ola-suelo-tubo. Se considera la distribución de la presión de poro inducida por oleaje y los esfuerzos del suelo en la vecindad de una tubería enterrada.

MODELO NUMÉRICO El modelo de la tubería submarina sujeta a fuerzas de oleaje de cresta corta en 3D, se muestra en la figura 1. Se produce una ola de cresta corta con oleaje incidente y reflejado de igual período y altura. La oblicuidad θ, se mide entre el oleaje ortogonal y normal a la pared, o entre la cresta de la ola incidente o reflejada y la alineación de la pared. La cresta de la ola se propaga en la dirección positiva-x paralela a la pared, la dirección-y se mide normal a la pared (Ly es la longitud de la ola). El eje-z es positivo hacia arriba de la superficie del lecho.

Impermeable

Permeable

∆

∆

2r

y

Suelo poro-elástico

z

Superficie del lecho

b

a

Agua

Tubería

Propagación del oleaje

N.M.M.O

x

h

Figura 1 Modelo para el análisis del sistema oleaje-suelo-tubería

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Este modelo, es una modificación de las dos soluciones propuestas anteriormente, la primera por E. Musito Córdova 1998 [6], emplea la teoría de flujo potencial en la propagación de un tren de olas monocromático, suponiendo un flujo incompresible e irrotacional, y la segunda, por E. Musito Córdova et al., 2001 [7], aplican las ecuaciones dinámicas poro-elásticas en 3D, desarrolladas por Biot 1941 [1], al primer modelo, como continuación de la teoría de consolidación del suelo en 1D de Terzaghi, para obtener los esfuerzos locales inducidos por oleaje, como consecuencia de la deformación del suelo marino alrededor de la tubería, el flujo dentro del poro se supone compresible. En las dos soluciones se utiliza el método de diferencias finitas; el número de ola, también es complejo. RESPUESTA DEL SUELO MARINO INDUCIDA POR OLEAJE, ALREDEDOR DE TUBERÍAS SUBMARINAS EN SUELOS PORO-ELÁSTICOS Con este modelo se obtiene la presión poro-agua y los esfuerzos del medio para propagación de olas sobre un lecho poro elástico. La respuesta del lecho marino al oleaje es dependiente de la permeabilidad y la relación de rigideces complejas entre la compresibilidad del medio poroso y el poro-fluido. Se incluyen los disturbios por la presencia de la tubería en el lecho marino de espesor finito, y las condiciones de contorno cinemáticas y dinámicas. Se supone el suelo poroso como hidráulicamente isotrópico y no isotrópico, con permeabilidad y módulo cortante variables; se varía el grado de saturación con propiedades homogéneas e incompresibles y se utiliza como válida la ecuación de la presión de poro, en función de la compresibilidad del poro-fluido y la deformación volumétrica del suelo. La tubería se supone como cuerpo rígido indeformable, sujeta a fuerzas de oleaje y del suelo marino, localizada en forma superficial, semi-enterrada y enterrada en el estrato poroso, como se presenta en la figura 2.

(a) Superficial

F L (t)

Concreto

F I N R L

W S (t)LF

SW

NRL

FR

(b) Semi-enterrada

FD

FI

TuberíaConcreto

(t)LF

SW

LR N

FI

Tubería

F D Concreto

Velocidad de Corriente Propuesta

N.M.M.

Velocidad de Corriente Tradicional

u

Lecho marino

Tubería

F D u

(c) Enterrada

Figura 2 Descripción del modelo Bajo la suposición de deformaciones planas, se acepta como válida la ley de Hooke, para obtener los esfuerzos efectivos del suelo. La variación de sus propiedades mecánicas e hidráulicas se analiza exponencialmente. La superficie del lecho marino se supone deformable hasta un espesor finito con frontera rígida indeformable en el fondo. A partir de la poro-elasticidad lineal, la ecuación dinámica de consolidación, Biot (1941), que gobierna el flujo de un poro-fluido compresible dentro de un medio poroso compresible es:

( )tu

tpn

zpK

ypK

xpK ww2

2

z2

2

y2

2

x ∂⋅∇∂γ=

∂∂β′γ−

∂∂+

∂∂+

∂∂

(1)

Donde u =(u,v,w) es el vector desplazamiento del suelo. γ w es el peso unitario del agua en el poro, p es la presión de poro, Kx, Ky, Kz son las permeabilidades del suelo en las direcciones x,y,z, respectivamente, es la porosidad del suelo y

n′β es la compresibilidad poro-fluido.

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Con la suposición de deformación plana, se resuelve la ecuación de movimiento y se calcula la presión de poro en términos del desplazamiento del suelo igual a:

( ) pu21

GuG 2 ∇=⋅∇∇µ−

+∇ (2)

G es el módulo cortante del suelo, µ es la relación de Poisson. Se consideran como válidas las siguientes relaciones esfuerzo-deformación:

⋅∇

µ−µ+

∂∂=σ′ u

21xuG2x ;

⋅∇

µ−µ+

∂∂=σ′ u

21ywG2y

(3a)

⋅∇

µ−µ+

∂∂=σ′ u

21zwG2z

(3b)

∂∂+

∂∂=τ

xw

zuGxz ;

∂∂+

∂∂=τ

yw

zvGyz ;

∂∂+

∂∂=τ

xv

yuGxy

(3c)

Donde son los esfuerzos efectivos normales en las direcciones x, y, z, respectivamente. τ es el esfuerzo cortante en la dirección-s perpendicular al eje-r. Siguiendo el mismo procedimiento propuesto por Yamamoto et al., 1978 [8] y Jeng 1997 [3], la presión de poro es igual a:

zyx ,, σ′σ′σ′ rs

( ) ( ) ( ) ( ) chdeeC1k

keC21212

Hip wtmkxi

1z

3

22kz

2iw ×Ψ

µ−−δ+λ−µ−

µ−γ

= −δ (4)

TRANSFORMACIÓN DEL OLEAJE AL PROPAGARSE SOBRE UN MEDIO POROSO Se consideran las perturbaciones estáticas y dinámicas del sólido-fluido, se analiza el acoplamiento dinámico del fluido-suelo. Con el potencial de velocidades de Laplace se calcula la distribución de las velocidades y aceleraciones, dentro y fuera del lecho marino horizontal. La aplicación incluye oleaje regular en condiciones ambientales adversas, actuando sobre tuberías submarinas, localizadas en aguas someras y profundas. Para evaluar los autovalores y autofunciones del sistema de ecuaciones diferenciales, se emplea la ecuación de Helmholtz en 2D. Con la ecuación de pendiente suave, se logra la transformación del oleaje al propagarse sobre un lecho marino de forma arbitraria. Con la ecuación de Lorentz, se obtiene la fricción del suelo. Para calcular el potencial de velocidades, la ecuación de Laplace, supone oleaje incompresible e irrotacional

0zyx 2

2

2

2

2

22 =

∂Φ∂+

∂Φ∂+

∂Φ∂=Φ∇

(5)

Las fluctuaciones en la superficie libre de la ola, con número de onda complejo, son:

( ) ( ){ }

+=η −−−+ wtnkymkxiwtnkymkxii ere

2HRe

(6)

Hi es la altura de la ola incidente; t es el tiempo; k(=kr+iki) es el número de ola complejo, k es un parámetro desconocido a ser determinado. La parte real kr, se obtiene en función de la longitud de ola (L), , representa la dispersión de la ola; el amortiguamiento del oleaje en el lecho marino poroso se obtiene con ik

L/2kr π=i.

La frecuencia de la ola es w, está en función del período de la ola (T), . El factor de disipación de energía, e

T/2w π=f, incluye las características de la ola y del suelo en términos de ki.

De acuerdo a la ecuación de Laplace y a las condiciones de contorno, el potencial de velocidades es:

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( ) ( ) ( ) ([ ]wtnkymkxiwtnkymkxi2

i eredzksenhgkwdzkcosh

w4giH −−−+ +×

−+−−=φ )

(7)

Por lo tanto, la nueva ecuación de dispersión del oleaje, para este modelo es:

FwgkgkFwtanhkd 2

2

−−=

(8)

La función paramétrica del suelo es: ( ) ( )( )

µ−−δµ−δ

γ+δ+

µ−

λ−µ−γ

+λ+−×ρ=21

k1G2kw

iKk

C2121G2

wkiK

k21C

Gk4wiF

22

w

z2

w

z1

2w (9)

El número de onda complejo k=kr+iki, en la relación de dispersión, “ec. 8”, se calcula con un método numérico iterativo, como el de Newton. Una vez conocido el número de onda complejo, se determinan los coeficientes Ci y los demás parámetros de respuesta del suelo. La nueva relación de dispersión se reduce a su forma convencional si se ignora la respuesta del lecho marino poroso, fue utilizada por Enedina Musito Córdova, 1998 [5], para representar la respuesta en suelos disipativos:

o

2

o gkwdtanhk =

(10)

CONDICIONES DE CONTORNO La condición de contorno en la superficie libre de la ola de pequeña amplitud es:

dzparatz

y0t

g =∂η∂=

∂φ∂=

∂φ∂+η

(11)

Donde, g es la aceleración de la gravedad y d la profundidad del agua. La condición de contorno para un medio poroso finito, supone que, las fluctuaciones dinámicas se desvanecen para todas las cantidades físicas:

−∞→→ zcuando0p,u (12)

En la superficie del lecho marino, los esfuerzos vertical efectivo y cortante, se desvanecen, por lo tanto:

0zpara0xzyzz ==τ=τ=σ′ (13)

La presión del fluido, se transmite hacia los poros, y la masa del fluido se conserva, Lee et al., 1998 [4]:

( )t

0zp w ∂φ∂ρ−==

(14)

tw

zpK

z w

z

∂∂+

∂∂

γ−=

∂φ∂

(15)

El esfuerzo friccionante en el fondo se desprecia, los esfuerzos normal efectivo vertical y cortante se desvanecen, la presión de poro es igual a la presión de la ola en la superficie del lecho marino (z=0):

( ) ( ) 0zparawtkxcosPt;0,xp o =−=

0yzxzz τ=τ=σ′

(16)

Donde, ( )kdcosh2

Ht;0,xP wo

γ= es la amplitud de la presión de la ola en la superficie del lecho marino.

No existe condición de deslizamiento en la superficie de la tubería:

( ) rrbyxpara0npvu 22 =−−+=

∂∂==

(17)

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La existencia de la tubería afecta la respuesta del suelo inducida por oleaje en la vecindad del tubo, la “Presión alterada” se desvanece en los puntos más lejanos, donde el suelo aún está sometido a cargas. Las condiciones de contorno laterales, se obtienen con la solución analítica sin tubería (Hsu y Jeng, 1994).

RESULTADOS NUMÉRICOS Se analizan los efectos de las características del suelo y los parámetros oblicuos sobre la longitud y perfil de la ola. Explícitamente se incluye en la nueva relación de dispersión los coeficientes paramétricos del suelo

, representan el grado de saturación, módulo cortante, permeabilidad y ángulo de incidencia de la ola. ( δλ , ) TRANSFORMACIÓN DEL OLEAJE AL PROPAGARSE SOBRE UN MEDIO POROSO La principal diferencia entre el presente modelo y las investigaciones previas, de la relación de dispersión del oleaje, Fenton et al., 1990 [2] y la interacción oleaje-lecho marino, Jeng 1997 [3], es el número complejo del oleaje. Sin este concepto no se puede describir el mecanismo de disipación de energía de la ola en un medio poroso. El modelo matemático desarrollado en diferencias finitas para analizar este comportamiento, “ec. 8”, considera el cálculo del número complejo de la ola. La parte real, kr, representa la propagación de la ola, su distribución se ilustra en la figura 3. La parte imaginaria del número de ola, ki, describe la disipación de la energía de la ola en el lecho marino poroso, su variación aparece en la figura 4. Aquí se define la relación de amortiguamiento, ki/kr, como aproximadamente dos veces menor con respecto a la parte real del número de ola; En la figura 5, se muestra la distribución de la relación de amortiguamiento, con respecto a la aproximación numérica del modelo matemático, se multiplica por 100 para facilitar su representación gráfica, 100ki/kr. La relación de amortiguamiento incrementa cuando incrementan los parámetros oblicuos y es mayor en un lecho marino granular. Esta es la razón por la cual el perfil y la longitud de la ola decaen más rápidamente en un lecho marino de grava que de arena. La energía generada por el campo del oleaje se mueve rápidamente hacia los poros vacíos en un material con alta permeabilidad. Generalmente hablando, la relación de amortiguamiento incrementa cuando el grado de saturación decrece. Esto significa que el sedimento contiene gas (no saturado) y es más probable que se transfiera la energía entre las partículas del suelo, debido a la alta compresibilidad del gas. El grado de saturación es más importante en los efectos del amortiguamiento en materiales finos que granulares. En material con alta permeabilidad (grava) el poro-fluido se transfiere más rápidamente entre el esqueleto del suelo. Por lo que la compresibilidad no es tan importante como en el material de baja permeabilidad (arena fina). De manera inversa a la figura 5, se muestra la relación paramétrica del suelo. La figura 6, representa el comportamiento hidro-mecánico del suelo (permeabilidad, porosidad, etc.) en relación con las propiedades del poro-fluido (densidad, módulo elástico, compresibilidad) y la propagación del oleaje (periodo, altura). RESPUESTA DEL SUELO MARINO INDUCIDA POR OLEAJE En la figura 7, se ilustran tres funciones de profundidad para la permeabilidad del suelo. Tipo 1, K(z) = K0, (K0 es constante = permeabilidad uniforme en la superficie del lecho marino), es la representación convencional. Tipo 2, K(z) = K0exp( α 1z/h), es la reducción exponencial de la permeabilidad con respecto a la profundidad. Tipo 3, K(z) = K0(1+ α 1z/h) es la disminución lineal de la permeabilidad, su valor en el fondo rígido, en este estudio, se supone igual a una décima de la permeabilidad en la superficie del lecho marino. De manera inversa a la permeabilidad, el módulo cortante incrementa con la profundidad del suelo, ver figura 8. Tipo 1, es para G(Z) = G0, es la representación convencional constante. Tipo 2, G(z) = G0(1+ α 2z/h), es un suelo Gibson, el módulo cortante se incrementa en forma lineal con la profundidad del suelo. Tipo 3, G(z) = G0exp( α 2z/h), es un incremento exponencial con respecto a la profundidad del suelo. El valor en el fondo rígido se supone igual a 10 veces el módulo cortante de la superficie del lecho marino.

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En la figura 9, se indica la variación del coeficiente de fricción, según la hipótesis equivalente de Lorentz, con respecto a la aproximación numérica del modelo. El coeficiente de fricción se obtiene a través de un sistema iterativo, suponiendo un valor inicial y posteriormente se verifica con la “ec. 18”, la cual representa el trabajo equivalente de Lorentz. Por facilidad se puede considerar el valor del coeficiente de fricción f, como constante, no siempre es la mejor solución, en algunos casos se utiliza para analizar la influencia de otros parámetros involucrados en el problema, se evalúa con la siguiente expresión:

∫ ∫

∫ ∫

ε

ε+νε

σ= T

0 V

2

T

0 V

3

p

f3

2

p

2

dtdVq

dtdVqK

Cq

K1f

(18)

Kp es la permeabilidad intrínseca del material, Cf es el coeficiente de fricción por turbulencia y q es la parte real de la velocidad de filtración. Kp y Cf describen el tipo de estructura. En las figuras 10 y 11, se representa la variación de la presión de poro y el esfuerzo normal efectivo, para un suelo marino parcialmente saturado, S=0.975 y un ángulo de incidencia de la ola de 45°. EFECTOS DE LA PERMEABILIDAD VARIABLE La distribución vertical de la presión de poro y el esfuerzo normal efectivo, inducidos por oleaje, se representa en las figuras 12 y 13. El análisis considera: permeabilidad uniforme (Tipo 1), saturado totalmente, e isotropía hidráulica. Como se observa en estas figuras, la presión de poro y los esfuerzos efectivos inducidos por oleaje, dependen de la permeabilidad variable (tipo 2 contra tipo 1) y de las condiciones del oleaje. EFECTOS DEL ÁNGULO DE INCIDENCIA DEL OLEAJE La solución convencional supone que la presión de poro es independiente de la incidencia oblicua de la ola (Teoría de oleaje lineal). En la figura 14, se demuestra la variación de la distribución vertical de la presión de poro inducida por oleaje contra la relación z/h para varios ángulos de incidencia de la ola. Se observa que la magnitud de la presión de poro se altera ligeramente cuando cambia el ángulo de incidencia de la ola. EFECTOS DE LA LONGITUD DE OLA Los métodos convencionales para determinar la longitud lineal de ola, dependen de la dispersión lineal de la ola, “ec. 10”, con fondo rígido. Sin embargo, en un lecho marino poroso, la longitud de ola se modifica por la respuesta del lecho marino y se calcula con la disipación de la ola y sus parámetros oblicuos, “ec. 8”. La figura 15 ilustra la distribución de la relación de la longitud de ola modificada (L/Lo) contra la profundidad adimensional del agua (d/Ld). En la figura, L es la longitud de ola en un lecho marino poroso, “ec. 8”, Lo es la longitud de la ola en un lecho marino impermeable “ec. 10” y Ld, es la longitud de la ola en aguas profundas (Ld=1.56T2). En la figura se observa que la longitud de ola solamente se afecta en aguas someras y es más pequeña en un lecho poroso que en uno impermeable en aguas someras (d/Ld ≤ 0.2). Para aguas profundas con lecho marino poroso se incrementa la longitud de ola. De acuerdo a la figura 15, se concluye que la longitud de la ola de cresta corta, sobre un lecho marino poroso, depende de los parámetros combinados del ángulo de incidencia de la ola y de la anisotropía hidráulica.

CONCLUSIONES Se propone una nueva relación de dispersión para un sistema de oleaje de cresta corta, propagándose de manera monocromática, a través de la cual se obtiene el número complejo de la ola, posteriormente, éste último se aplica en el modelo de poro-elasticidad, para obtener la respuesta del suelo marino inducida por oleaje alrededor de la tubería. Se concluye lo siguiente:

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1. La nueva relación de dispersión, propagándose sobre un lecho marino poroso, permite variar la permeabilidad, módulo cortante y grado de saturación del suelo y la oblicuidad del oleaje.

2. Suponer un medio poroso en el cálculo de la longitud y perfil de la ola es más importante en aguas someras que profundas, ya que la relación de amortiguamiento en mayor.

3. La permeabilidad y los parámetros oblicuos afectan la relación de ola L/Lo, es más significativa en aguas someras que profundas, ver figura 15.

4. El grado de saturación juega un papel muy importante en la evaluación de los parámetros del oleaje. 5. Se evalúa la cinemática del flujo dentro y fuera del estrato marino donde se localizan las tuberías. 6. Las tuberías enterradas están sujetas a esfuerzos y desplazamientos, ocasionados por la filtración

cinemática y dinámica del oleaje dentro del estrato marino. Para el desarrollo del modelo matemático en 2D, se utiliza el método de diferencias finitas, con ecuaciones diferenciales parciales complejas de segundo orden, implícitamente se incluyen las propiedades del sistema.

BIBLIOGRAFÍA Biot, M. A. (1941), “General theory of three-dimensional consolidation”. Journal of Applied Physics. Vol. 12, pp. 155-164. Fenton, J. D.; Mckee, W. D. (1990), “On calculating the length of water waves”: Coastal Engineering. Vol. 14, pp. 499-513. Jeng. D. S. (1997), “Wave induced seabed response in front of a breakwater”. PhD thesis. The University of Western Australia, Australia. Lee, J. F.; Lan, Y. J. (1998), “Wave propagating over poro-elastic bed”. Proceedings of eighth International Offshore and Polar Engineering Conference, Montreal, Canada. Vol. 1, pp. 605-614. Musito Córdova, E. (1998), “Respuesta estructural de ductos marinos expuestos a cargas hidrodinámicas”. Tesis de maestría. Instituto Politécnico Nacional, México. Musito Córdova, E. (1998), “Modelo numérico para predecir la cinemática del oleaje sobre tuberías submarinas”, XIII Jornadas Técnicas, Asociación de Ingenieros Petroleros Mexicanos, A. C. Musito Córdova, E.; López Chávez, R. y Sánchez Sesma, J. F. (2001), “Transformación dinámica del oleaje al propagarse sobre suelos marinos poro-elásticos y su efecto en tuberías submarinas”, XVI Jornadas Técnicas, Asociación de Ingenieros Petroleros Mexicanos, A. C. Yamamoto, T; Koning, H. L; Sellmeiher, H; Van Hijum E. V. (1978), “On the response of a poro-elastic bed to water waves”. Journal of Fluid Mechanics. Pp. 193-206.

0.00

0.01

0.01

0.02

0.02

0.03

0.03

0.04

0.04

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

Aproximación Numérica

K re

al

Figura 3 Variación de la parte real del número de ola

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-1.E-04

-1.E-04

-1.E-04

-8.E-05

-6.E-05

-4.E-05

-2.E-05

0.E+00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00Aproximación Numérica

K im

agin

ario

Figura 4 Variación de la parte imaginaria de la ola

-0.40

-0.35

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

Aproximación Numérica

100*

ki /

kr

Figura 5 Relación de amortiguamiento de k complejo

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

Aproximación Numérica

F0i

/ F0

r

Figura 6 Coeficiente complejo del suelo

321

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0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20K(z) / Ko

z / h

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Figura 7 Permeabilidad contra profundidad

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.50.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

G(z) / Go

z / h

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Figura 8 Módulo cortante contra profundidad

0

200

400

600

800

1000

1200

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

Aproximación Numérica

Coe

ficie

nte

de F

ricci

ón

Figura 9 Coeficiente de fricción del suelo de Lorentz

322

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-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

|S| /poz

/ h

Figura 10 Esfuerzo normal Vs z/h, suelo no saturado

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0|p| / po

z / h

Figura 11 Presión de poro Vs z/h, suelo no saturado

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0|p| / po

z / L

Tipo 1. Permeabilidad UniformeTipo 2. Permeabilidad Variable

Figura 12 Presión de poro contra z/L

323

202

XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

324

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1|Sz'| /po

z / L

Tipo 1. Permeabilidad Uniforme

Tipo 2. Permeabilidad Variable

Figura 13 Esfuerzo normal efectivo contra z/L

-1.0

-0.9-0.8

-0.7

-0.6-0.5

-0.4

-0.3

-0.2-0.1

0.0

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5p/po

z / h

lineal 0° 90 30 60°

Figura 14 Presión según ángulos de incidencia

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

1.001

1.0015

1.002

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

d / Ld

L / L

o

Figura 15 Longitud de ola Vs profundidad de agua

202