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FÍSICA 2º BACHILLERATO

BLOQUE TEMÁTICO: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

CAMPO ELÉCTRICO

1.- Introducción. Carga eléctrica.

2.- Fuerza entre cargas eléctricas. Ley de Coulomb.

3.- Campo eléctrico.

3.1.- Intensidad del campo eléctrico.

3.2.- Energía potencial eléctrica. Potencial eléctrico.

4.- Movimiento de cargas en el seno de un campo eléctrico.

1) Introducción. Carga eléctrica.

El electromagnetismo es una parte de las ramas más importantes de la Física. Se

dedica al estudio y unificación de los fenómenos eléctricos y magnéticos. Dentro del

electromagnetismo, la electrostática se dedica al estudio de las fuerzas que tienen lugar

entre cargas eléctricas cuando están en reposo.

① Propiedades básicas de las cargas eléctricas. Modelo de carga eléctrica.

Como sabemos, existen dos tipos de cargas eléctricas: positivas y negativas. Esta

denominación fue introducida por Benjamin Franklin (1706-1790) para establecer un

criterio de análisis de los fenómenos electrostáticos conocidos por entonces. Asi:

·Carga positiva: se asignó este tipo de carga al vidrio cuando era frotado con un

trozo de lana.

·Carga negativa: se asignó este tipo de carga al ámbar cuando era frotado con un

trozo de piel de gato.

Estas asignaciones fueron en un principio arbitrarias y de esta arbitrariedad ha

quedado, quizás, la asignación de cargas en las partículas subatómicas (hay que recordar

que ámbar en griego se dice elektron).

Además de la asignación de carga eléctrica a los cuerpos que se electrizan por

frotamiento, se estableció un modelo de carga eléctrica que permitiera interpretar los

fenómenos eléctricos:

·Las cargas del mismo signo se repelen y las cargas de signo cotrario se atraen.

·La carga se conserva. En la electrización no se crea carga, solamente se transmite

de unos cuerpos a otros, de forma que la carga total permanece constante.

③ Modelo de carga eléctrica y teoría atómica.

Una vez conocida la estructura del átomo, fue posible explicar el modelo de carga

eléctrica.

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·Las carga positiva reside en el protón, partícula que se encuentra en el núcleo de

los átomos. Las carga negativa reside en el electrón, partícula que se encuentra en la

corteza de los átomos.

·Los cuerpos adquieren carga positiva porque sus átomos han perdido electrones,

que han pasado al cuerpo que ha quedado cargado negativamente. Por tanto, son los

electrones los que se transfieren entre cuerpos que se electrizan.

·En los cuerpos regulares cargados positiva o negativamente, la carga se distribuye

uniformemente por el cuerpo y siempre por su superficie. Esto es debido a que es en la

superficie donde las cargas pueden estar más separadas y por tanto, tener menos

repulsión. No obstante, esta distribución de carga es más fácil en los conductores que en

los aislantes.

·La cantidad de carga más pequeña es la del electrón. La cantidad de carga total de

un cuerpo corresponde al número de electrones que ha perdido o que ha ganado.

·Hasta hace relativamente poco tiempo se ha creído que la carga del electrón era la

menor carga posible. Las nuevas teorías sobre la constitución de las partículas atómicas en

quarks han postulan la existencia de cantidades de carga iguales a 1/3, 2/3 o 1/2 de veces

la carga del electrón.

④ Unidad de carga eléctrica.

La carga eléctrica, que se simboliza como q o Q, se mide en Culombios (C).

Un culombio se define “oficialmente” como la cantidad de carga eléctrica que fluye

a través de la sección de un conductor durante un segundo cuando la corriente es de un

amperio.

Fue Millikan quien midió por primera vez la carga del electrón en la segunda

década del siglo XX. El valor admitido hoy es:

Por tanto, se puede conocer la cantidad de electrones que ha perdido o ganado un cuerpo

cuya carga es de un culombio:

Donde N es el número de electrones y e la carga del electrón. Sustituyendo obtenemos:

luego, también podemos decir que un culombio es la cantidad de carga de un cuerpo que

ha perdido o ganado 6,24 trillones de electrones.

Un culombio es una cantidad de carga muy grande. En la mayoría de los problemas

se suelen utilizar submúltiplos de esta cantidad: miliculombios (mC), microculombios

(μC) nanoculombios (nC) o, incluso, picoculombios (pC).

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2) Fuerza entre cargas eléctricas. Ley de Coulomb.

Uno de los primeros estudios cuantitativos serios sobre las fuerzas de atracción o

de repulsión existentes entre cargas eléctricas se debe a C.A. Coulomb en 1785. Estableció

que:

El valor de la fuerza con que se atraen o se repelen dos cargas puntuales

en reposo es directamente proporcional al producto de sus cargas e

inversamente proporcional al cuadrado de las distancia que las separa

En esta definición se habla de cargas puntuales. Quiere decir que los cuerpos

cargados tienen dimensiones despreciables en relación a la distancia que los separa y se

pueden considerar, por tanto, como puntos.

La expresión del módulo de la fuerza de atracción o repulsión eléctrica es:

Donde,

·F es la fuerza de atracción o repulsión eléctrica, en Newtons.

·Q y q son las cargas eléctricas, en culombiosc de los dos cuerpos cargados.

·r es la distancia, en metros, que separa los centros de los dos cuerpos cargados.

·K es una constante de proporcionalidad cuyas unidades son N·m2·C-2.

La constante de proporcionalidad, K, no es una constante universal. Depende del

medio en el que se encuentren inmersos los dos cuerpos cargados. En general podemos

escribir que

Donde ε es la constante dieléctrica del medio. En el vacío esta constante tiene un valor de

Utilizando este valor, el valor de la constante de proporcionalidad es de 9·109 N·m-2·C2. El

valor de K en el aire es prácticamente el mismo.

Las demás constantes dieléctricas se suelen expresar en función del valor de la

constante dieléctrica del vacio,

Donde εr es la constante dieléctrica relativa. Es evidente que la constante dieléctrica

relativa para el vacio tiene un valor de 1 (para el aire es 1,0006, para el agua a a 20º tiene

un valor de 80).

2.1.- Fuerza ejercida por un conjunto de cargas puntuales: principio de superposición.

La fuerza eléctrica es, como todas las fuerzas, una magnitud vectorial, por tanto:

[4]

Si una carga puntual se ve sometida simultáneamente a la acción de varias

cargas, la fuerza resultante será la suma vectorial de todas las fuerzas

ejercidas sobre dicha carga por las demás (principio de superposición).

Veamos un ejemplo concreto de aplicación: para el sistema de cargas de la figura,

determina la fuerza electrostática a la que se ve somitida la carga nº 2.

Normalmente es conveniente tomar como origen de

ejes cartesianos la carga que está sometida a la

fuerza resultante que deseamos calcular, pero en

este caso el sistema de coordenadas viene

impuesto.

Como cálculo previo la distancia entre q3 y q2

Procedemos ahora a dibujar las fuerzas a las que se

ve sometida q2: F1,2, que será una fuerza de

atracción y F3,2, que será una fuerza de repulsión

(ver figuras adjuntas).

Determinamos ahora los módulos de las fuerzas,

Como el ángulo α es º

sen

cos

Como vemos, no hemos tenido en cuenta los signos de las cargas pues hemos determinado

los módulos de las fuerzas. El signo de las cargas se tiene en cuenta ahora, al basarnos en

el dibujo y teniendo en cuenta los vectores unitarios cartesianos, cuando escribimos,

Aplicando el principio de superposición,

[5]

El módulo de esta fuerza es

Y su representación aproximada:

3) Campo eléctrico.

El concepto de campo ya fue establecido en el tema dedicado a la gravitación

universal, así como de las magnitudes que caracterizan un campo en física. Por este

motivo, en muchas ocasiones estos apuntes hacen referencia a dicho tema, centrándose en

las características que diferencian el campo eléctrico del gravitatorio.

Se dice que existe un campo eléctrico en una región del espacio si una carga

de prueba en reposo, colocada en un punto de esa región, experimenta una

fuerza eléctrica.

En la figura la carga q se encuentra en tres posiciones

diferentes respecto de la carga Q. Decimos que q se

encuentra inmersa en el campo eléctrico de Q ya que

experimenta una fuerza eléctrica de repulsión al ser Q

y q dos cargas positivas.

El campo eléctrico es conservativo. Como se vió en el

tema de gravitación universal, esto implica, entre

otras cosas que:

·) El trabajo necesario para mover la carga q a lo largo de una línea cerrada es cero.

·) El trabajo necesario para mover la carga q entre dos puntos del campo creado por Q no depende

del camino seguido sino de las posiciones de los puntos incial y final.

·) El campo conservativo eléctrico queda definido por dos magnitudes: la intensidad del campo

eléctrico y el potencial eléctrico.

[6]

3.1.- Intensidad del campo eléctrico.

① Definición.

Se define el vector campo eléctrico, , o intensidad de campo eléctrico en cualquier

punto como la fueza eléctrica, , que actúa sobre la unidad de carga positiva colocada en

ese punto.

Donde,

.) , es el vector intensidad de campo eléctrico creado por la

partícula cargada Q en un punto situado a una distancia r de

la misma. Su módulo se mide en N/C.

·) q, es la carga de prueba positiva colocada a una distancia

r de la carga Q.

·) K, es la constante electrostática.

·) r, es el punto del espacio donde se está determinando la intensidad de campo eléctrico.

En este punto se considera que hay una unidad de carga positiva.

·) , es un vector unitario. Su dirección es la línea de unión entre Q y el punto del campo

considerado y su sentido es desde Q hacia el exterior.

La fuerza eléctrica que se establece entre dos cargas queda expresada, en función

de la intensidad del campo eléctrico:

② Líneas de campo para cargas aisladas. Características de las líneas de campo.

A diferencia del campo gravitatorio donde el vector intensidad de campo siempre

va dirigido hacia el centro de la masa que crea en campo, en el campo eléctrico el sentido

de dicho vector depende del signo de la carga que crea el campo. En las figura siguiente se

representan las líneas de campo (también líneas de fuerza) de dos cargas eléctricas

aisladas, una positiva y otra negativa.

[7]

Características de las representaciones de intensidades de campos mediante líneas de

fuerza:

- Cada línea indica el camino que seguiría una carga de prueba positiva situada en un punto de dicha línea. - Cada línea representa la dirección y sentido de la intensidad de campo, no su valor. - Normalmente, una mayor densidad de líneas de campo indica un valor mayor de la intensidad de campo. - En el caso del campo eléctrico las líneas son abiertas, salen siempre de las cargas positivas y terminan en el infinito o en las cargas negativas. - Las líneas se dibujan de manera que el número de ellas que salgan de una carga positiva o entren en una carga negativa sea proporcional a dicha carga. - Las líneas de campo no pueden cortarse una a otras, pues un punto de corte indicaría que existen dos vectores intensidad de campo distintos en dicho punto. - Si el campo es uniforme, las líneas de campo son rectas paralelas.

③ Intensidad de campo creado por un sistema de cargas puntuales. Principio de

superposición.

Si en una región del espacio tenemos más de un cuerpo cargado, es decir, más de

una carga, la intensidad del campo eléctrico en un punto de dicha región será la suma

vectorial de las intensidades de campo eléctrico individuales de cada carga en dicho punto.

El método de cálculo de la intensidad de campo eléctrico

creado por un sistema de cargas en un punto es utilizar

las componentes cartesianas, como se ha hecho en el

problema resuelto de la página 4.

④ Campos eléctricos en sistemas de dos cargas.

Si, aplicando el principio de superposición, determinamos los valores de la

intensidad del campo eléctrico en los diferentes puntos del espacio que rodea a dos cargas

y representamos las líneas de fuerza que definen dichos valores, obtenemos las formas de

los campos eléctricos que aparecen en las siguientes figuras.

[8]

⑤ Analogías y diferencias entre el campo eléctrico y el campo gravitatorio.

[9]

5 problemas resueltos.

El campo eléctrico entre las armaduras del condensador de la figura es de 4000 N/C ¿Cuánto vale la carga de la esfera si su masa es de 3 mg?

[10]

[11]

Dos pequeñas bolitas, de 20 g cada una, están sujetas por hilos de 2,0 m de longitud suspendidas de un punto común. Cuando ambas se cargan con la misma carga eléctrica, los hilos se separan hasta formar un ángulo de 15º. Suponiendo que se encuentran en el vacío, próximas a la superficie de la Tierra: a) Calcula la carga eléctrica comunicada a cada bolita. b) Se duplica la carga eléctrica de la bolita de la derecha. Dibuja en un esquema las dos situaciones (antes y después de duplicar la carga de una de las bolitas) e indica todas las fuerzas que actúan sobre ambas bolitas en la nueva situación de equilibrio.

a) Las bolitas se separan por aparecer en ellas una fuerza de repulsión al tener la misma carga eléctrica. Esta fuerza de repulsión mueve las bolitas hasta alcanzar una posición de equilibrio, es decir, hasta que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre cada bolita sea nula. El esquema de fuerzas en esta posición de equilibrio aparece en la figura adjunta. La tensión de la cuerda puede descomponerse en sus componentes,

sen cos

En esta situación de equilibrio,

Ecuación que podemos resolver por ejes, de acuerdo con el sistema de referencia elegido en la figura adjunta. Así, en el eje y tenemos que,

cos

En el eje x tenemos,

sen

[12]

Si dividimos adecuadamente estas expresiones

sen

cos

tan

tan

Por otra parte, la fuerza de repulsión electrostática acata la ley de Coulomb, es decir,

donde q es la carga de cada bolita y r es la distancia entre ambas. Para calcular esta distancia (ver figura de la página anterior),

sen

sen

Despejando y sustituyendo,

b) Si duplicamos la carga eléctrrica de la derecha el equema de fuerzas cambia de la siguiente manera:

En él se puede observar que las fuerzas que actúan sobre ambas bolitas no cambian en dirección y sentido en la nueva situación de equilibrio. Además las fuerzas del eje y no cambian en módulo pues la fuerza peso no ha cambiado y es compensada por Ty. Pero en el eje x, el módulo de la fuerza de repulsión sí ha cambiado (aumentado) y, por tanto, Tx, también cambia. Por tanto la tensión de la cuerda cambia y el ángulo de separación también. En esta nueva situación de equilibrio,

sen

cos

Dividiendo adecuadamente ambas expresiones,

tan

En esta expresión desconocemos el ángulo y la distancia.

Un cuerpo tiene una masa de 0,1 kg y está cargado con 10-6

C. ¿A qué distancia por encima de él se debe colocar otro cuerpo cargado con -10 ·10

-6 C para que el primero esté en equilibrio?

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de 0,1 kg al situar encima de él el otro cuerpo cargado se representan en la figura. El valor de la fuerza peso es, . La fuerza eléctrica entre los dos cuerpos cargados debe ser de atracción, por tanto las cargas de ambos cuerpos son de distinto signo. El módulo de esta fuerza eléctrica es,

[13]

La situación es de equilibrio, es decir,

De donde,

Una descripción simple del átomo de hidrógeno (modelo de Bohr) consiste en un único electrón girando en una órbita circular alrededor de un núcleo que contiene un solo protón, bajo la acción de una fuerza atractiva dada por la ley de Coulomb. Si el radio de la órbita es 5,28·10

-9 cm, calcula el número de

revoluciones que da el electrón en un segundo. Datos: carga del electrón = 1,6·10

-19 C, masa del electrón en reposo = 9,11·10

-31 kg

En la figura adjunta se representa la situación del protón y el electrón en el átomo de hidrógeno. La fuerza eléctrica que se establece entre el protón y el electrón viene dada por la ley de Coulomb,

donde q es la unidad fundamental de carga, la carga del electrón, y que coincide en valor con la carga del protón. Esta fuerza eléctrica es una fuerza central pues perpendicular a la velocidad del electrón, por tanto, el movimiento del electron se puede suponer circular uniforme donde

Despejando v y sustituyendo,

( )

Se trata de una velocidad pequeña comparable con la de la luz, por lo que la utilización de la masa del electrón en reposo (sin tener en cuenta consideraciones relativistas) es correcta. El periodo de revolución del electrón es (movimiento circular uniforme),

En número de revoluciones por segundo (frecuencia) que da un electrón en el átomo de hidrógeno es,

. . . . .

[14]

3.2.- Energía potencial eléctrica. Potencial eléctrico.

La fuerza eléctrica es una fuerza central y, al igual que ocurre con la fuerza

gravitatoria, es una fuerza conservativa. Las fuerzas conservativas permiten definir una

energía potencial, en este caso, eléctrica (Ep).

Para obtener la expresión de esta energía potencial procederemos como se hizo en

el caso de la energía potencial gravitatoria, es decir, determinaremos la expresión del

trabajo que realiza la fuerza eléctrica cuando una carga eléctrica cualquiera, q, se mueve

entre dos puntos A y B de un campo eléctrico qureado por una carga Q. La situación viene

representada en la siguiente figura.

Se puede observar que la carga que se mueve desde A hasta B lo hace por el camino APB.

Como la fuerza es conservativa, el camino tomado para ir desde A hasta B no influye en el

cálculo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica. Además, se ha considerado que ambas

cargas Q y q son de signos opuestos.

cos

cos

cos

Como rP = rB

( )

donde el término

representa la energía potencial de la carga q inmersa en el campo eléctrico de la carga Q a

una distancia r de la misma.

No es posible conocer la energía pontencial absoluta de una carga en un punto de

un campo eléctrico. Ahora bien, para dar un significado a esta energía potencial,

supongamos que el punto B se encuentra en el infinito. Entonces

[15]

( )

La energía potencial en un punto es el trabajo realizado por la fuerza

electrostática al trasladar una carga eléctrica q desde el punto al origen de

energía potencial que normalmente se toma en el infinito.

Valoración del signo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica.

( )

-El acercamiento de dos cargas eléctricas del mismo signo no es un proceso

espontáneo. Si rB<rA, entonces

Ya que el producto Q·q es siempre positivo en este caso.

Se dice en este caso que es necesario, para acercar las dos cargas del mismo signo,

realizar un trabajo externo en contra del campo eléctrico. El valor de dicho trabajo

externo es precisamente , pero cambiado de signo. Se dice también en este caso

que el acercamiento de dos cargas del mismo signo conlleva un aumento de la

energía potencial.

-El acercamiento de dos cargas eléctricas de signo contrario es un proceso

espontáneo. Si rB<rA y el producto Q·q es negativo, entonces

Se dice en este caso que el acercamiento de las dos cargas de signo contrario

conlleva una disminución de la energía potencial.

Se puede seguir un razonamiento similar para el alejamiento de dos cargas del

mismo signo o de signos contrarios.

Es importante señalar, por tanto, que para una valoración correcta en un problema

dado del trabajo realizado por la fuerza eléctrica, es necesario sustituir el signo de la carga

en la expresión de la energía potencial.

Potencial eléctrico

A partir del razonamiento anterior, el concepto de potencial eléctrico surge cuando

la carga eléctrica q situada en un punto del campo eléctrico creado por la carga Q es la

unidad de carga eléctrica positiva. Así,

[16]

El valor del potencial (V) en un punto se define como la energía potencial

eléctrica que adquirirá la unidad de carga positiva situada en dicho punto.

Así, decimos que la carga Q dota a los puntos que se encuentran a su alrededor de

la propiedad de que cualquier otra carga situada en uno de esos puntos adquiere una

energía potencial eléctrica.

No es posible conocer el potencial eléctrico en un punto determinado. Así, la

expresión anterior representa el trabajo que realiza la fuerza electrostática cuando la

unidad de carga positiva se mueve desde el punto situado a una distancia r hasta el

infinito. Si la unidad de carga positiva (q = 1 C) se mueve entre dos puntos A y B, el trabajo

que realiza la fuerza electrostática será,

( )

( )

Si en lugar de ser la unidad de carga positiva la que se mueve en el campo es una carga q

cualqueira, el trabajo será,

( )

La unidad del potencial eléctrico es el voltio (V)

( )

( )

( )

La electrostática permite dar una definición de voltio diferente a la que da el

estudio de la corriente eléctrica. Así, decimos que en un punto de un campo eléctrico existe

un potencial de 1 voltio cuando una carga de 1 culombio situada en dicho punto tiene una

energía potencial de 1 julio.

Otras consideraciones a tener en cuenta.

① Si en una región del espacio existe más de una carga eléctrica la energía potencial de

una carga situada en un punto de dicha región será:

Donde Q1, Q2 … Qn son las cargas que crean el campo eléctrico, que se encuentran situadas

a distancias r1, r2, … rn del punto donde se está calculando la energía potencial. Este valor

representa el trabajo necesario para mover la carga q desde donde se encuentra hasta el

infinito en presencia de Q1, Q2 … Qn.

②Si en una región del espacio existe más de una carga eléctrica el potencial eléctrico en

un punto de dicha región será:

[17]

Donde Q1, Q2 … Qn son las cargas que crean el campo eléctrico, que se encuentran situadas

a distancias r1, r2, … rn del punto donde se está calculando el potencial. Este valor

representa el trabajo necesario para mover la unidad de carga positiva desde donde se

encuentra hasta el infinito en presencia de Q1, Q2 … Qn.

③ La representación del campo eléctrico a través del potencial se consigue uniendo los

puntos del espacio donde el valor del potencial eléctrico es idéntico. Todos estos puntos

forman una superficie llamada superficie equipotencial. Por ejemplo, para dos cargas

aisladas de signos opuestos (las superficies equipotenciales vienen representadas por los

círculos concéntricos),

Para dos cargas enfrentadas, iguales y del mismo signo (a) o para dos cargas iguales de

signos contrarios (b)

④ Relación entre campo y potencial. Atendiendo a la relación entre la derivada y la

integral, se puede ver que el módulo del campo eléctrico en la dirección del movimiento es

la derivada del potencial eléctrico respecto del desplazamiento, es decir,

-El campo eléctrico marca cómo varía el potencial eléctrico con la distancia. Por

este motivo se puede ver también como unidad de campo eléctrico el Voltio por metro

(V/m).

-El vector campo va siempre dirigido hacia puntos de potenciales decrecientes.

-Las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies de potencial.

⑤ El electrón-voltio. Hemos visto que una carga q que se mueve en el seno de un campo

eléctrico desde un punto A a otro punto B cumple que,

[18]

Si esta carga q es la del electrón (1,6·10-19 C), y la diferencia de potencial entre A y B es de

un voltio, la variación de energía potencial será (en valor absoluto),

Esta cantidad de energía recibe el nombre de electronvoltio (eV). Es una unidad de energía

muy pequeña, apropiada en el estudio del movimiento de partículas cargadas

fundamentales o iones.

3 problemas resueltos.

Se tienen tres cargas situadas cada una de ellas en los tres vértices de un cuadrado de 8 m de lado, tal como indica la figura. Calcula el trabajo necesario para trasladar la carga situada en el vértice A hasta el punto B. Interpreta el signo del resultado obtenido.

El trabajo que realiza la fuerza electrostática cuando se lleva la carga q1 desde el punto A hasta el punto B es, independientemente del camino seguido,

Procederemos en primer lugar a calcular el potencial eléctrico del sistema formado por las cargas q2 y q3 en el punto A. Este potencial será la suma de los potenciales creados en A por cada carga:

Potencial de q en A

( )

Potencial de q en A

( )

Potencial en A

Pasamos ahora a calcular el potencial eléctrico del sistema formado por las cargas q2 y q3 en el punto B. Este potencial será la suma de los potenciales creados en B por cada carga:

Potencial de q en

( )

Potencial de q en

( )

Potencial en

La diferencia de potencial entre A y B será:

( )

El trabajo necesario para mover q1 desde A hasta B será,

El resultado muestra que una carga positiva como q1 no se mueve espontáneamente desde A hasta B, es decir, no se mueve espontáneamente de menor a mayor potencial. Por tanto, para que q1 vaya desde A hasta B es necesario realizar un trabajo externo debido a la aplicación de una fuerza externa sobre q1. El trabajo externo será de 2,3·10-3 J.

[19]

Tres cargas eléctricas de 10-6

C se encuentran situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcula la energía potencial asociada al sistema.

La energía potencial asociada a un sistema se interpeta como el trabajo necesario para traer las cargas que lo componen desde el infinito hasta la posición final. En nuestro caso se trataría de determinar el trabajo necesario para traer tres cargas positivas desde el infinito hasta los tres vertices del cuadrado de la figura adjunta.

Podemos suponer que esta figura se ha formado de la siguiente manera:

-Primero traemos q1 desde el infinito hasta su posición actual. El trabajo que realiza la fuerza electrostática será

. -En segundo lugar traemos q2 desde el infinto hasta su posición actual, en presencia de q1. El trabajo que realiza la fuerza electrostática será

. -En tercer lugar traemos q3 desde el infinito hasta su posición actual, en presencia de q1 y q2. El trabajo que realiza la fuerza electrostática será

. -El trabajo total de la fuerza electrostática será la suma de los trabajos anteriores.

Es claro que es cero pues para colocar la primera carga en su posición no hay que hacer

ningún aporte energético pues no existe ningún campo eléctrico que se oponga.

Cuando queremos colocar la segunda de las cargas eléctricas, la q1 ya ha establecido un campo eléctrico y, por tanto, el punto B tiene un potencial cuyo valor es,

( )

El trabajo que realiza la fuerza electrostática será:

( ) ( )

Ahora queremos colocar la tercera de las cargas en C, pero q1 y q2 generan en dicho punto un potencial

( ) ( )

El trabajo que realiza la fuerza electrostática será:

( )

El trabajo total que realiza la fuerza electrostática para formar la figura es

Según la definición de energía potencial asociada al sistema dada al principio, el valor de dicha energía es

í

Y su valor representa la energía necesaria para formar el sistema de cargas de la figura.

[20]

¿Qué potencial existe en un punto de un campo eléctrico si el campo tuvo que efectuar un trabajo de 0,24 J para trasladar una carga de 8 μC desde ese punto hasta el infinito?

Según el enunciado el valor del trabajo dado, 0,24 J, corresponde al trabajo que realiza el campo eléctrico, es decir, la fuerza electrostática cuando una carga positiva de μC se traslada desde un punto demandado hasta el infinito.

Se trata de un trabajo positivo es decir de un proceso “espontáneo”. En general el trabajo que realiza el campo electrostático cuando una carga se mueve entre dos puntos es,

En este caso concreto,

( ) ( )

Despejando,

4) Movimiento de cargas en el seno de un campo eléctrico.

Dentro de los diferentes tipos de situaciones que se suelen dar en los problemas

sobre campo eléctrico son habituales aquellos que tratan de analizar el tipo de

movimiento de una carga eléctrica cuando penetra en una región del espacio donde el

campo eléctrico es uniforme.

El sistema formado por dos láminas conductoras cargadas paralelas con cargas

opuestas a una distancia pequeña comparada con sus dimensiones se llama condensador

plano. Entre las placas del condensador se suele poner un material dieléctrico (aislante),

aunque en los diferentes problemas que nos podemos encontrar dicho espacio suele estar

ocupado por el vacío.

La conexión básica de un condensador y la representación de las líneas de campo

en su interior se representa en las siguientes figuras.

[21]

El campo eléctrico entre las placas de un condensador plano es uniforme. Se dice

que un campo eléctrico es uniforme cuando es constante en módulo dirección y sentido.

Cuando esto es así, las líneas de campo son rectas paralelas y las superficies

equipotenciales son superficies paralelas entre sí y perpendiculares a las líneas de campo.

Se debe recordar que, tal como se dijo al describir las características de las superficies

equipotenciales, el sentido del campo eléctrico es siempre hacia potenciales decrecientes,

es decir, en la figura anterior, V1>V2>V3.

La expresión de la diferencia de potencial entre dos puntos en el seno de un campo

eléctrico uniforme es

Donde E es el valor del campo eléctrico y d la

distancia entre las dos superficies

equipotenciales que contienen a los puntos A

y B.

Así, si se trata de mover una carga q

entre A y B en el seno de un campo eléctrico

uniforme, el trabajo que realiza el campo

viene dado por la expresión,

Este trabajo, como sabemos, es independiente

de la trayectoria seguida entre A y B. Como

ampliación, al final del tema se ofrece una

demostración de la expresión anterior.

Vamos a analizar anora el problema de una partícula cargada que penetra en un

campo eléctrico uniforme con una velocidad perpendicular al campo. Debemos describir el

tipo de trayectoria seguida por la partícula y explicar cómo cambia su energía. Las posibles

direcciones de entrada de la partícula respecto de la dirección del campo eléctrico son

infinitas. De todas ellas analizaremos lo que ocurre cuando la partícula penetra

perpendicularmente a la dirección del campo y cuando lo hace en la misma dirección. En

cualquier caso, en el momento en que la partícula penetra en la región del espacio con

campo eléctrico uniforme, se verá sometida a una fuerza de atracción o repulsión,

dependiendo del signo de la carga. La expresión de esta fuerza será,

[22]

Supongamos en primer lugar que la carga es positiva y que penetra de forma que el

vector velocidad y el vector campo eléctrico son perpendiculares. En este caso la fuerza

tiene la misma dirección y sentido que el campo eléctrico, como se ve en la figura

siguiente,

Si la carga es negativa la fuerza eléctrica y el campo tienen la misma dirección pero

sentidos opuestos, como en la figura siguiente,

Si aplicamos el principio fundamental de la dinámica

Donde m es la masa de la partícula cargada que entra en el campo eléctrico E, siendo q su

carga. Como se ve en las figuras anteriores, las partículas (positiva o negativa) se ven

sometidas a dos movimientos: uno a lo largo del eje X y otro a lo largo del eje Y. El

movimiento en el eje X es un movimiento rectilíneo uniforme y el movimiento en el eje Y

es rectilíneo uniformemente acelerado, siendo su aceleración la dada por la exprexión

anterior.

[23]

La composición de los dos movimientos hace que la partícula describa una

trayectoria parabólica, por lo que a este movimiento se le pueden aplicar las expresiones

correspondientes al llamado tiro horizontal en cinemática, tal como se ve en uno de los

problemas resueltos siguientes.

La otra situación mencionada, cuando la carga penetra de forma que el vector

velocidad y el vector campo eléctrico tienen la misma dirección, también es analizada en

los problemas resueltos siguientes.

Desde el punto de vista energético, como el campo eléctrico es conservativo la

energía mecánica permanecerá constante.

Por tanto, a medida que aumenta la velocidad de la partícula, aumentará su energía

cinética y disminuirá su energía potencial, y al contrario.

Tres problemas resueltos

Un campo uniforme vale 6000 N/C. Un protón (q = 1,6·10-19

C; m = 1,67·10-27

kg) se libera en la placa positiva. ¿Cuánto tarda en llegar a la placa negativa y con qué velocidad lo hace? La separación entre placas es 0,20 cm

En el momento en que el protón es liberado sufre una fuerza de

repulsión por parte de la placa positiva, fuerza que va en la misma

dirección y sentido que el campo eléctrico como se ve en la

siguiente figura adjunta. En esta situación el movimiento de la

carga positiva es rectilíneo uniformemente acelerado.

Según el 2º principio de la dinámica, la fuerza eléctríca que

actúa sobre la carga positiva es, en módulo,

Como se trata de un condensador plano

De donde,

Conocida la aceleración podemos establecer las ecuaciones del movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado,

En nuestro caso, tomando el origen del sistema de referencia en la placa positiva, considerando que

el inicia el movimiento desde el reposo y sabiendo que la distancia entre placas es de 0,2 cm,

[24]

de donde

Entre las armaduras de un condensador plano de separación 2 cm existe una diferencia de potencial de 5000 V. Se sitúa una carga puntual positiva en reposo en un punto equidistante de las placas. Se pide: a) El valor del campo eléctrico que existe en el interior del condensador. b) Describe cómo se mueve la carga eléctrica y la velocidad al chocar con la placa.

a) El campo eléctrico en el interior de un condensador cumple con la expresión

b) Despreciando los efectos gravitatorios, la partícula se mueve con movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado hacia la placa negativa. Suponiendo que la masa de la partícula cargada

es m, tenemos que la aceleración a la que está sometida la partícula es:

La velocidad que adquiere la partícula en un movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado es

que para nuestro caso:

[25]

Si entre las armaduras del condensador del problema anterior lanzamos un electrón con una velocidad

vo perpendicular al campo eléctrico, halla la ecuación de la trayectoria.

La figura siguiente muestra la situación en el momento en que el electrón entra en el campo

eléctrico que hay entre las dos placas.

En el eje x de la figura la velocidad es constante (movimiento rectilíneo uniforme) y en el

eje y, la velocidad iniciales cero aunque va aumentando desde el momento en que el electrón

penetra en el campo, por tanto, es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo el

valor de la aceleración (segundo principio de la Dinámica),

donde m es la masa del electrón y Fe la fuerza eléctrica a la que se ve sometido, en módulo,

ahora e representa la carga del electrón y E el campo eléctrico entre las armaduras del condesador.

Si el sistema de referencia tiene su origen en el punto de entrada en la región del campo

eléctrico, la distancia recorrida en horizontal obedece la ecuación

donde vo es la velocidad horizontal a la que el electrón es lanzado dentro del campo. Por otra parte,

la distancia recorrida en vertical obecede la ecuación.

Donde el signo “-“ indica que se trata de distancia recorrida en vertical por debajo del origen del

sistema de referencia elegido.

Eliminando t en ambas expresiones obtenemos la ecuación de la trayectoria,

que es la ecuación de una parábola.

[26]

Ampliación. Diferencia de potencial entre dos puntos en el seno de un campo eléctrico uniforme.

[27]

[28]

Estos apuntes se finalizaron el 1 de marzo de 2011

en Villanueva del Arzobispo, Jaén (España).

Realizados por: Felipe Moreno Romero

fresenius1@gmail.com

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