interaccion termica

7/23/2019 interaccion termica

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1

Captulo II.Interaccin trmica y la distribucin cannica segn laaproximacin clsica.

Leccin 6Distribucin de energa entre sistemas macroscpicos.Factor de Boltzmann. Distribucin cannica.

Leccin 7Introduccin de la funcin de particin.Energa media de un gas ideal. Presin media de un gas ideal.

Leccin 8La distribucin cannica y la aproximacin clsica.Espacio de fases clsico. Distribucin de velocidades de Maxwell.

Leccin 9Aplicaciones de la distribucin de velocidades de Maxwell.

Efusin y haces moleculares

Leccin 10Aplicaciones de la distribucin cannica.El teorema de la equiparticin de la energa.


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2

Leccin 6

Distribucin de energa entre sistemas macroscpicos.

Factor de Boltzmann.

Distribucin cannica.


3/48

3

Vamos a tratar sobre la interaccin trmica entre sistemas macroscpicos

Situacin:Los parmetros externos de los sistemas (y los niveles de energa)permanecen fijos.

Objetivo:

Cmo calcular las propiedades de un sistema macroscpico enequilibrio trmico?


4/48

4

Distribucin de energa entre sistemas macroscpicos en contacto trmico:Ms es mejor

Sean dos sistemas A y A, con energas Ey E (intervalos E) que puedenintercambiar energa entre s

A A

E E

(E) (E)E* = E+E

A*= A+A

Una vez puestos en contacto, y alcanzado el equilibrio,cul es la probabilidad de que A tenga una determinada energa?

De todos los estados accesibles al sistema A*, cuntos tienen

energa E para el sistema A?

total

EEP

*

*)(

)(

=

Ejemplo: 1 slido de Einstein


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5

cmo vara P(E) con la energa?

cteEEP = )()( *

)(')()'(')()( **

EEEEEE ==

En equilibrio, el sistema estar en el estado ms probable: maximizar LnP(E)

)'('ln)(lnlnln)(ln)(ln * EEctecteEEP ++=+=

EP

PEP

==

10ln 0'

')'(ln)(ln =

+

EE

EE

EE

EEE = *'

'

)'(ln)(ln

E

E

E

E

=

Y la condicin de equilibrio es:

Si definimos:EE

EE

=

=

1)(ln)(

)'(')( EE =

-1

En dos sistemas en contacto trmico hay algo que es igual !

total

EEP

*

* )()(

=


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6

tiene unidades de inverso de energa:

Tk

1

k: cte con dimensiones de energa, constante de Boltzmann, kB

T: parmetro que da una medida de la energa en unidades de k

EEEE

=

= 1)(ln)(

T : temperatura absoluta

= lnkSEntropa, mide el nmero de estados cunticos

accesibles al sistema. Es una medida cuantitativadel grado de aleatoriedad del sistema

eV/KJ/K523 10617.810381.1k

==

Vemos que y ln son magnitudes importantes en la interaccin trmica.

EkTEE

=

=

ln1ln)(

E

S

TE

k

T

=

=

1ln1


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7

La condicin de P(E) mxima equivale a Stotal mxima:

''max'max)( * TTSSSEP ==+=

Los dos sistemas estn a la misma temperatura.

En equilibrio trmico el sistema total est distribuido entre el mayor nmerode estados posibles, es decir, est en su macroestado ms aleatorio.

Ejemplo: slido de Einstein2 sistemas en contacto

La energa se distribuye del modo que maximice el nmero de estados accesibles

Ley de la entropa creciente . 2 Ley de la Termodinmica

MS ES MEJOR (Y MS PROBABLE)


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8

Sistema en contacto con un foco trmico

Cul es la probabilidad, Pr, de que A est en un estado cuntico rcon energaEr?

E* = Er+E, y Er


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9

)(' *

rr EEaP =

rrr EEEE

EEE =

= )('ln

'

'ln)('ln)('ln

***

( ) cteEEEEErr

== )(',exp)(')(' *** Por tanto tendremos,

( )rr ECP = exp

( ) rEexp Factor de Boltzmann

Esta funcin de distribucin se llama distribucin cannica

Haremos lnPr, y desarrollaremos en seriealrededor deE=E*

Ejemplo: slido de Einstein2 sistemas en contacto: A


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10

Distribucin cannica: ( )rr ECP = exp

Conjunto cannico:Conjunto de sistemas en contacto con un foco

trmico a temperatura TCmo hallamos C ? Normalizacin de la probabilidad

1=

rr

P ( ) 1exp =

r r

EC ( )

( )

=

rr

r

r

E

EP

exp

exp

Valores medios de las distintas magnitudes:

( )( )

==

r

r

rrr

r

rrE

EyyPy

exp

exp

Vale para cualquier sistema en equilibrio con un foco trmico


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11

Ejemplo de uso de la distribucin cannica: Paramagnetismo

externoB

N0 tomos magnticos por unidadde volumen.

tomo: spin y momento magntico0.N0

Material paramagntico: sus propiedades se deben a la orientacin desus momentos magnticos individuales (no hay interaccin entre ellos)Ej. Sales de Tierras raras

Objetivo:Si el sistema est a una temperatura T, cul es el valor mediodel momento magntico para un determinado campo magnticoexterno?


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12

Trataremos uno de esos tomos:

B

B

B00 ,: =+=+ +

B00 ,: ==

( ) ( )BCCP 0expexp == ++

( )BCP 0exp =

( ) 100,1 +

+==+ BB

eeCPP

kT

BB 00 =Definimos:

: razn entre la energa magntica yla energa trmica

Si Tes muy grande, P+y P-son casi iguales, y el valor medio del momentomagntico tiende a cero


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13

=

+

=+=

+

kT

B

ee

eePP

BB

BB

00000 tanh)(

00

00

Imanacin por unidad de volumen:00 NM =

0 1 2 30.00.2

0.4

0.6

0.8

1.0

00

0

N

M

kT

B0

Lmites:

saturacinB

linealA

=>>

=


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14

Leccin 7

Introduccin de la funcin de particin.

Energa media de un gas ideal.

Presin media de un gas ideal.


15/48

15

Energa media de un gas ideal: Partculas en una caja 3D

N partculas en una caja de lados Lx, Ly, Lz,

Gas ideal, gas diludo:- interacciones moleculares despreciables- gas no degenerado (muchos ms estados accesibles que molculas)

Sistema A (1 molcula) en contacto con un sistema Amucho mayor ( elresto del gas) a temperatura T (foco trmico).

Cul es la probabilidad, Pr, de hallar la molcula en uno de susestados cunticos ( r, r) ?

++=

2

2

2

2

2

222

2z

z

y

y

x

x

rL

n

L

n

L

n

m

( )

( )

=

r

r

r

rP

exp

exp

Esto permite fijarnos en una sola molcula.


16/48

16

Calcularemos la energa mediade la molcula:

( )

( )

==

rr

r

rr

r

rrP

exp

exp

( ) ( ) ( )

=

=

r

r

r

r

r

rr

expexpexp

Si operamos...

=

=

=

ZZ

ZZ

Z ln1/

Y podemos escribir,

( ) r

rZ exp

Z : Funcin de particin

Esta es la forma general de calcular la energa media de un sistema.Hay que evaluar la funcin de particin de la molcula.

Vale para cualquier sistema en contacto con un foco trmico


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17

=

Zln

++=

x y zn n n z

z

y

y

x

x

L

n

L

n

L

n

mZ

2

2

2

2

2

222

2exp

Zes separable:Si la energa es grande comparada con i , separacin entre niveles,

zyx ZZZZ =

zyxx ZZZZ ==Calcularemos y

Calculemos la energa media del gas, y la funcin de particin.

( ) r rZ exp

++=

2

2

2

2

2

222

2z

z

y

y

x

x

rL

n

L

n

L

nm

= Zln


18/48

18

=

=

0

22/1

0 2

2

2

22)exp(exp 2 duudnZ xx

xL

xn

mx

Lm

x

x

nLm

u

2/1

2

= cte

Por tanto, 2/1b = xx LZzyx ZZZZ =

2/33b = VZ

=

ZlnY la energa media por molcula...

ln

2

3lnbln3ln += VZ

Tk2

3

,2

31

2

3==

=

La energa media por molcula es independiente

del volumen y proporcional a la temperatura

Para todo el gas: TkNNE2

3==

Cambio de variable


19/48

19

Presin media de un gas ideal

dAvm

- la molcula est en uno de sus estados cunticos, con energar

- la molcula har una fuerza Fr sobre la pared,

- y producir un desplazamiento dLx de la pared,

- la molcula habr ejercido un trabajo (igual a la variacin de su energa):

x

r

rrxrLFddLF

==

Por tanto, la fuerza media ejercida por una molcula:

( )( )

==

r

r

r x

r

r

r

rr

LFPF

exp

exp

P= F/dA

Supongamos que


20/48

20

( ) ( ) ( )

=

=

r

r

xr

r

xr x

rr

LLL

exp

1exp

1exp

Y la fuerza ejercida por una molcula es:x

x

L

Z

Z

LZF

=

=

ln1/

1

2/33b = VZ

ln2

3

lnbln3ln += VZ xxx L

Tk

LL

VF ==

=

1ln1

V= LxLyLz

Finalmente, la presin:V

NTk

LL

NFp

zy

==

vm

Ly

Lz

TkNVp =

Ecuacin de estado del gas ideal

Z

Cualquier gas diluido la cumple

Ley de Boyle (1662)

( )

( )

==

r

r

r x

rr

r

rr

LFPF

exp

exp


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21

Leccin 8

La distribucin cannica y la aproximacin clsica.

Espacio de fases clsico.

Distribucin de velocidades de Maxwell.


22/48

22

La distribucin cannica segn la aproximacin clsica.

Hemos estudiado el gas ideal por mtodos estadsticos a nivel microscpico(molculas, estados, niveles de energa discretos, probabilidades)

Para obtener la presin y la energa, calculamos la funcin de particin delsistema convirtiendo el sumatorio en integral.

++=

x y zn n n z

z

y

y

x

x

L

n

L

n

L

n

mZ 2

2

2

2

2

222

2exp

xx

L

xn

mx dnZ

=0 2

2

2

22

exp

Discreto Continuo, Clsico

En qu condiciones es vlida una teora estadstica expresada enfuncin de conceptos clsicos?

Cmo se formula la teora estadstica en trminos clsicos?

positivosenterosnnnnLm

E zyxzyx :),(2

,,

222

2

22

++= Niveles de energa de una

partcula en una caja:


23/48

23

Cundo podemos pasar de sumatorios a integrales?

E+EE

R

nx

ny

nz

(E) = n de estados hasta E+Emenos n de estados hasta E

dEEmV

E 2/12/332

)2(4

)(

=

dEdE

dEEEE

=+= )()()(

Tk2

3

=Obtuvimos la energa media por partcula:

cundo es igual (E) obtenido contandoy obtenido haciendo la integral?

Cuando E >>E Cuando k T >> E

Ej: Hallar (E) contandoy haciendola integral paraE=5,10,20 y E=1

La aproximacin clsica no vale a baja temperatura.

2/3

3

3 )2(63

4

8

1)( mE

LRE

=

=


24/48

24

Evitar efectos cunticos.

p q Principio de incertdumbre:

Gas: las distancias y velocidades tpicasasociadas a las molculas deben cumplir:

Brogliededeondadelongitudrp

r ,, 000

0 >>>>

>> 00 pr

Tkm

h

p

h

TkEvmEvmp

=

===

0

0

2

000

2

2

3,2

1,

3/1

0

3

0

=

=

nr

N

Vmolculaporvolumenr

Ej: Estimar la situacin para un gas ideal en C.N.A que T hay efectos cunticos?

13/1

0

0


25/48

25

2/3

3

3

)2(63

4

8

1

)( mE

L

RE

=

=

N de estados >> N de partculas

E

>>

2/3

2

2)()(

2/123

2,1

=


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26

Cmo se especifica el estado microscpico de un sistema descrito entrminos de la mecnica clsica?

Especificar las posiciones ymomentos de cada partcula Puntos en el espacio de fases

Sistema de N partculas:El espacio de fases tiene N x 6 dimensiones

El estado de un sistema, en mecnica clsica,puede describirse especificando la celdilla delespacio de fases en el que se encuentran lasposiciones y momentos de las partculas delsistema.

Definicin de equilibrio:Un sistema aislado est en equilibrio si se halla con igual probabilidad encada uno de sus estados accesibles, es decir, en cada una de las celdillasaccesibles del espacio de fases


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27

Volvemos a la distribucin cannica, ahora en trminos de posiciones ymomentos de las partculas

Antes:

++= 2

2

2

2

2

222

2z

z

y

y

x

x

rL

n

L

n

L

n

m

( )

},,.....,,,,{

exp

111 NzNyNxzyxr

rr

nnnnnnEE

EP

=

},,.....,,,,;,,.....,,,,{ 111111 NzNyNxzyxNzNyNxzyxr pppppprrrrrrEE =

Ahora:

Nh

pdrd

prEpdrdpr 30

)),(exp(),(

y usaremos una densidad de probabilidad:

dpdrh =0

pdrdprECpdrdpr

)),(exp(),( =

= 1),( pdrdprC


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28

Distribucin de velocidades de Maxwell

Gas ideal,Nmolculas en un volumen V, en equilbrio a temperatura T.

m

pvm

22

1 22==

Buscamos la probabilidad de hallar la molcula en una celdilla del espacio de fases:

pdrdmppdrdpr

)]2/(exp[),( 2

En el equilibrio, el gas est uniformemente distribuido en V:

Buscaremos el n medio de molculas, por unidad de volumen,con velocidad entre y vdvv

+

Tratamos una molcula (clsicamente):

vdeC

rd

vdrdvrNvdvf

mv

2

2

1),(

)(

==

Funcin de distribucin develocidades de Maxwell


29/48

29

Cmo hallamos C ?

vdeCrd

vdrdvrNvdvf mv

22

1

),()( == Si integramos a todas las velocidadestendremos el nmero de molculas porunidad de volumen, n

nvdeC

mv

=

2

2

1 2222zyx vvvv

++=

es separable

2/1

2

2

121exp

=

mdvmv xx

Para vx2/3

2

=

mnC

vdemnvdvfmv

22/3

2

1

2)(

=



30/48

30

Leccin 9Aplicaciones de la distribucin de velocidades de Maxwell.



31/48

31


Aplicaciones de la distribucin de velocidades de Maxwell

Es interesante estudiar:- la distribucin de una componente de la velocidad (movimientodel gas)

- la distribucin de los mdulos de las velocidades moleculares(molculas rpidas y lentas, distribucin de energa)

vdem

nvdvfmv

22/3

2

1

2)(

=


32/48

32

Distribucin de una componente de la velocidad

Buscaremos el n medio de molculas, por unidad de volumen,con la componente x de la velocidad entre vx y vx+dvx

==

y zv vxx

vdvfdvvg

)()(

=

+

=

zyzyxx dvdvvvmdvmvC )(2

1exp

2

1exp 22

2

= xx dvmvC

2

21exp'

2/1

2')(

==

mnCndvvg xxcmo hallamos C ?

= xxxx dvmv

mndvvg

2

2/1

2

1exp

2)(

vdem

nvdvfmv

22/3

2

1

2)(

=


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33

Cul es el valor medio de vx ? se desplaza el gas?

0)(1

==

xxxx dvvvgn

v

-4 -2 0 2 40.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2/

)(

mn

vg x

mvx

xxxx dvmvm

ndvvg

=

2

2/1

2

1exp

2)(

Anchura cuadrtica media:

mkTdvvvg

nv xxxx ==

22 )(1

( )m

kTvx =

2/12


34/48

34

Distribucin de los mdulos de las velocidades moleculares

Buscaremos el n medio de molculas, por unidad de volumen,con el mdulo de la velocidad entre v y v+dv

=

A

vdvfdvvF

)()(A : zona de velocidadescuyo mdulo est entre

v y v+dv

v+v

vx

vy

vz

v

Volumen de la corteza: ( )dvv 24

dvvvfdvvF 2

)(4)( =

dvve

m

ndvveCdvvF

mvmv2

22/3

22

2

1

2

1

244)(

==


35/48

35

dvvem

ndvvFmv

22

2/3

2

1

24)(

=

Propiedades de la funcin de distribucin delos mdulos de las velocidades moleculares

dvvekT

mndvvF

kTmv 222/3

2/2)(

=

0 1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

mkT

v

/

2/12

)(

kT

mn

vF

cul es la velocidad media?

cul es la velocidad ms probable?

cul es la velocidad raiz cuadrticamedia?

cul es la energa media por molcula?


36/48

36

dvvekT

mndvvF

kTmv 222/3

2/2)(

=

velocidad media: dvvekT

mdvvvF

nv

kTmv 322/3

0

2/2)(

1

==

velocidad ms probable, v*: mximo de F(v) 0)(=

dv

vFd

velocidad raiz cuadrtica media:( )

dvvekT

mdvvvF

nv

vv

kTmv

rcm

42

2/3

0

22

2/12

2/2)(

1

==

energa media por molcula: ( )

dvvekT

mmdvvvF

n

mvm

vvmv

kTmv

rcm

42

2/3

0

22

2/122

2/)(

1

22

1

,2

===

=


37/48

37

dvvekT

mndvvF

kTmv 222/3

2/2)(

=

mkT

v

/

2/1

2

)(

kTmn

vF

0 1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

kT

mkTv

m

kTv

mkTvrcm

2

3

2

8

3

*

=

=

=

=

rcmvvv*

Ejemplo: Nitrgeno, 1 atmsfera, 300K: m/s500*v


38/48

38

dvvekT

mndvvF

kTmv 222/3

2/2)(

=

N2

H2

Efecto de la temperatura Efecto de la masa

Por qu en la atmsfera terrestre hay mucho ms nitrgeno y oxgeno que hidrgeno?Por qu hay hidrgeno en la de Jpiter?


39/48

39

Validez del estudio clsico:

Brogliededeondadelongitudrp

r ,, 000

0 >>>>

Tkm

h

p

h

Tkmvmp

22

,2

0

0

*0

=

=

3/1

0

30

=

=

nr

NVmolculaporvolumenr

Lmite clsico:

Gas: las distancias y velocidades tpicasasociadas a las molculas deben cumplir: >> 00 pr

13/1

0

0


40/48

40


Recipiente con gas en equilibrio.El gas escapa por un pequeo orificio de dimetroD, de formaque el gas sigue en equilibrio.

cmo debe ser el agujero para que no se perturbe el equilibrio?

El equilibrio se alcanza, y se perturba, mediante choques moleculares.Por tanto, no deber haber choques cerca del agujero:

el tiempo que la molcula est por ah, t*, debe ser muchomenor que el tiempo medio entre choques, tc


41/48

41


Dcuntas molculas escapan porunidad de tiempo?cmo es este flujo?

Nmero medio de molculasque escapan por unidad de

tiempo (flujo)

Nmero medio de choques porunidad de tiempo sobre el rea del

agujero=

dtv

( ) vndtAdtvAn 611

6

10 =

=

[ ]

dvvedvv

vdvvFdvv

kTmv 32 2/)(

)(6

1)(

=

0 1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.01.2

mkT

v

/

Cv)(

mT

p 0

Debido a la efusin, el gas del interior secalienta, se enfra o sigue igual?


42/48

42

Leccin 10Aplicaciones de la distribucin cannica.

El teorema de la equiparticin de la energa.


43/48

43

El teorema de la equiparticin de la energa.

Tratamiento clsico de un sistema: su energa depende de la posicin de las partculasen el espacio de fases.

}.....,,;.....,,{ 11 ff pprrEE=

Hay casos (como el gas ideal) en que la energa es separable:

iffii psalvotodosEpprrEpE :'},.....,,;.....,,{')( 11+=

Cuando el sistema est en contacto con un foco trmico,cul es la contribucin a la energa total de cada uno de estos i?

Usaremos la distribucin cannica:

( )

( )

=

pdrdE

pdrdEi

i

exp

exp

El teorema de la equiparticin de la energa:


44/48

44

( )

( )

( )

( )=

+

+

=

=

pdrdEpdrdE

pdrdE

pdrdE

i

iiii

)'(exp

)'(exp

exp

exp

El teorema de la equiparticin de la energa:

( )

( )

( )

( )

=

*

*

'exp

'exp

exp

exp

dprdE

dprdE

dp

dp

ii

iii

ipsalvotodosdp :

*

( )

( )( )

=

=

ii

ii

iii

i dpdp

dp

expln

exp

exp

Si i es cuadrtica, como la energa cintica: i = b pi2

( ) ( ) ( ) 222/12 ,expexpexp iiiii pbycondyybdppbdp ===

( )

+

=

dyybi2

explnln

2

1

Tki2

11

2

1==

Teorema de la equiparticin de la energa: Si un sistema descrito por la mecnicaestadstica clsica est en equilibrio a la temperatura T, cada trmino cuadrticoindependiente en su energa contribuye a la energa total con un valor kT/2

Aplicaciones del teorema de la equiparticin de la energa:


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45

Aplicaciones del teorema de la equiparticin de la energa:

Calor especfico del gas ideal monoatmico:

( )2222

1zyx ppp

m++=Para 1 molcula: kT

2

3=

Para 1 mol: TkNE A2

3= RkN

T

EC A

V

V2

3

2

3==

=

Oscilador armnico:

22

2

1

2

1xp

m x +=masa m oscilando en 1D: kT=

Calor especfico de slidos:tomos oscilando en 3D:

22

2

1

2

1xp

m xx += kT3= kNC AV 3=

Ley de Dulong y Petit

validez de esta aproximacin?

Por tomo:

/2

1

2

1

2

1

2

1

0

2

0

2

kTrkTxm

mkTpkTpm

x

=

=

=>>

>>>>

kT

mkTpr

/,00


46/48

46

Energa cinticade traslacin:

Energa cinticade rotacin:

Energa cinticade vibracin :

Energa potencialde vibracin :

222

2

1

2

1

2

1zyx vmvmvm ++

222

2

1

2

1

2

1zzyyxx III ++

222

21

21

21 zyx vmvmvm ++

222

2

1

2

1

2

1zkykxk ++

Ejemplos

Calor molar del gas ideal


47/48

47

Calor molar del gas ideal

RT

E

nc

V

V2

31=

=

1) Gas monoatmico.

RRcT

H

nc v

pp

2

51=+=

=

2) Gas diatmico.

RT

E

nc

V

V2

51=

= RRc

T

H

nc v

pp

2

71=+=

=

3) Gas poliatmico. Grados de libertad, f = 6 ms,siendo traslaciones y rotaciones:

RRT

E

nc

V

V 32

61==

=

RRRRcT

H

nc v

p

p 431

=+=+=

=


48/48

48

Modelo del slido

Cristal formado por tomos o molculas monoatmicas.Ordenados en el espacio.

Cada partcula vibra sobre su posicin de equilibrio y

tiene tres grados de libertad cinticos y trespotenciales:

RRTE

ncc

V

pV 3261 ==

=

interaccion termica

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