Inters Compuesto con periodo de capitalizacin fraccionaria (II)

Tambin llamado,(MONTO COMPUESTO CON PERODOS DE CONVERSIN FRACCIONARIO)

Un inters compuesto es cuando el capital va aumentado al final de cada perodo de acuerdo a la suma de los intereses vencidos. La tasa de inters generalmente es anual indicando su forma de capitalizacin (el nmero de veces que se realizan en un ao). Un perodo de capitalizacin es el intervalo de tiempo convenido "n", ya sea nmero de periodos, aos y su frecuencia de capitalizacin.

Para el desarrollo del siguiente problema, la regla comercial nos ayudar con respecto a este tema. Esta consiste en: obtener el monto compuesto para los periodos enteros de capitalizacin y, utilizar el inters simple para la fraccin del periodo.

Ejemplo:Se invirtieron $15,600 hace 15 meses en una cuenta que capitalizaba los intereses cada bimestre. Si el monto de la cuenta al da de hoy, es de $17,877.93. Obtenga la tasa de inters anual aplicando el mtodo terico.1 ao 12 meses 6 bimestres

Ahora obtendremos la tasa anual capitalizable bimestral:=1.833% bimestral 1 ao hay 6 bimestres.=11.0033% bimestral

Luego calcularemos la tasa efectiva:

Por ltimo comprobaremos que estos clculos son correctos, con la frmula:

PROBLEMA PROPUESTOHallar el monto compuesto (terico) de $3,000 en 6 aos y 3 meses al 5% - R.: $4,069.63

DEFINICIN DETASA NOMINALUnatasaes un coeficiente que refleja la relacin entre dos magnitudes y permite expresar distintos conceptos, tales como elinters(la utilidad, el valor o la ganancia de algo). Latasa de inters, en este sentido, es un ndice que se expresa en forma de porcentaje y se usa para estimar el costo de un crdito o la rentabilidad de los ahorros.

Se conoce comotasa de inters nominalotasa nominalal inters quecapitaliza ms de una vez al ao. Se trata de un valor de referencia utilizado en las operaciones financieras que suele ser fijado por las autoridades para regular los prstamos y depsitos.La tasa nominal es igual a latasa de inters por perodo multiplicada por el nmero de perodos. La tasa efectiva, en cambio, es el inters real que una persona paga en uncrditoo cobra en un depsito.Pese a que se encuentra enmarcada en un cierto perodo de tiempo, la tasa nominal contempla variospagosde intereses en dicho plazo. Con la tasa efectiva, se calcula el rendimiento en un nico pago por perodo.Por ejemplo: la tasa nominal suele expresarse enbaseanual. Los contratos, de todas formas, pueden especificar que el inters se calcular varias veces durante el ao (ya sea de manera mensual, trimestral o semestral, entre otras). El ao, por lo tanto, puede dividirse en doce meses, cuatro trimestres o dos semestres. Si la tasa de inters es del 2% por trimestre, es posible hablar de una tasa nominal anual del 8% (ya que el ao tiene cuatro trimestres).Un concepto ntimamente ligado a la tasa nominal es el derentabilidad; se trata del margen degananciaque puede devolver una inversin. Si se tiene en cuenta el tiempo que transcurre para obtener dichos beneficios, entonces se utiliza la expresin ganancia en el tiempo. Veamos un ejemplo: si se adquiere una casa por $500.000 y luego de un ao se la vende por $510.000, la utilidad que se habr obtenido en 12 meses es de $10.000. Puesto en otras palabras, si en lugar de comprar el inmueble se invierten los $500.000 sabiendo que por cada $100 se recibirn $2, al cabo del mismo perodo podran obtenerse los $10.000.Estedineroes utilizado por quien lo recibe para producir ms, de modo que pueda abonar la ganancia al inversionista ($2 cada $100) y, cuanto ms tiempo se le brinde, ms ganancias ser capaz de generar. Volviendo a la tasa de inters nominal, se puede decir que es la rentabilidad que se obtiene de un producto financiero mes a mes o en un plazo de tiempo en particular, tomando en cuenta simplemente el capital de la inversin inicial y se considera un tipo de capitalizacin simple.Dado el ejemplo anterior, es sencillo entender su principal diferencia con la tasa de inters efectiva: se tiene en cuenta tanto elcapitalinicial como los intereses que se van produciendo en cada perodo. Se trata de un tipo de capitalizacin compuesta, dado que el inters generado en forma peridica se suma al capital y en base a este monto se liquidan los intereses del siguiente perodo.Ambos tipos de tasa de inters coinciden si se establece que los intereses generados se abonan nicamente al finalizar la vida del producto financiero; en cambio, si se realiza ms de un pago, la nominal es inevitablemente inferior a la efectiva.Si se contrata uncertificado de depsito a trmino(CDT) a 6 meses por el valor de $5000 con una tasa nominal anual del 5%, cuando concluya el perodo obtendremos tan solo el 2,5% del capital. Por otro lado, el mismo depsito con una tasa efectiva anual (tambin del 5%) nos devolver el 2,47%, dado que en este ltimo caso los intereses de cobran mes a mes.1. Tasa de Inters Efectiva

Cuando hablamos detasa deintersefectiva, nos referimos a la tasa que estamos aplicando verdaderamente a una cantidad de dinero en un periodo de tiempo. La tasa efectiva siempre escompuestay vencida, ya que se aplica cada mes al capital existente al final del periodo.

Si invertimos $100 al 2% efectivo mensual durante 2 meses obtendremos: en el primer mes $102 y $104,04 en el segundo mes, ya que estamos aplicando en el segundo mes latasa deintersdel 2% sobre el acumulado al final del segundo mes de $102.

Debemos recordar que cuando trabajamos con tasas efectivas no podemos decir que una tasa deintersdel 2% mensual equivale al 24% anual, ya que esta tasa genera intereses sobre los intereses generados en periodos anteriores. En caso de invertir los $100 durante un ao al 2% efectivo mensual el calculo sera el siguiente:

Usamos la formula de latasa deinterscompuesto: VF= $100*(1+0,02)^12 VF= $126,82

La tasa efectiva del 2% mensual expresada anualmente sera ($126,82-$100)/$100= 26,82% diferente de 24%.2. Tasa de Inters Nominal

Por otro lado, latasa deintersnominales una tasaexpresada anualmenteque genera intereses varias veces al ao. Para saber los intereses generados realmente necesitaremos cambiar esta tasa nominal a una efectiva.

Retomando el ejemplo anterior, si invertimos $100 al 24% capitalizable trimestralmente, significa que obtendremos intereses a una tasa del 6% cada tres meses. La tasa deintersla calculamos as:

i=24%/4, dnde 4 es el numero de veces que se capitaliza al ao (12 meses/3 meses) i=6% (Cada 3 meses se paga el inters del 6%)

3. Tasa de Inters Nominal a Efectiva

Para saber elintersreal generado utilizamos de nuevo la formula delinterscompuesto:

VF= $100*(1+0,06)^4 VF= $126,24

La tasa efectiva del 6% trimestral expresada anualmente sera ($126,24-$100)/100=26,24% diferente de 24% nominal. Se le llama nominal ya que solo es por nombre y no representa la realidad, sin embargo se utiliza mucho para denotar el tipo deintersque se va a aplicar.

Importancia en el Anlisis Financiero

En muchas ocasiones se generan problemas al no saber interpretar las tasas deintersy los tipos deinters, ms aun teniendo en cuenta las muchas formas en las cuales se pueden encontrar expresadas las tasas deintersnominales y efectivas. En elanlisis financierolo ideal es llevar todo a tasas efectivas para evitar confusiones que pueden generar imprevistos en las inversiones personales o de una organizacin.

Ecuaciones de ValorUna ecuacin de valor es una equivalencia financiera, la cual se ha convertido en una de las herramientas mas utiles de la matemtica financiera, debido a que nos permiten resolver diveros tipos de problemas financieros.Una ecuacin de valor se basa en el hecho que el dinero tiene un valor que depende del tiempo, es por esto que un peso en el presente no valdra lo mismo que un peso en el futuro.Para resolver ejercicios de ecuaciones de valor normalemente se deben seguir ciertos pasos:Paso 1: Colocar todas las cantidades en una escala de tiempo y valorPaso 2: LLevar todas las deudas a su fecha de vencimiento inicial con su tasa de inters especificaPaso 3: Llevar todas mis deudas y pagos a una fecha focal,la cual sera el punto de comparacin de la ecuacin de valorPaso 4: Igualar pagos y deudasPero a la hora de resolver estas ecuaciones en EXCEL cambia el procedimiento.Ahora lo que haremos ser resolver ejercicios de ecuaciones de valor en la hoja de clculo de EXCEL, para esto nos centraremos en las tablas de Amortizacin y en las tablas de Capitalizacin.1.Tablas de AmortizacinPara entender el procedimiento plantearemos el siguiente ejemplo:Se compra un producto por valor de 1.000.000 de pesos y se financia con dos pagos de igual valor el primero en 6 meses y el segundo en 12 meses, si la tasa de inters es del 2% mensual Cul es el valor de los pagos?SolucinEn primer lugar abrimos una nueva hoja de EXCEL

Ahora vamos a colocar en la celda A1 el valor de la compra del vehculo y en la celda B1 la tasa de inters, vale decir que hay ejercicios que no dan el valor inicial de la deuda, ya que puede ser este el interrogante y a su vez algunos ejercicios pueden pedir conversin de tasa de Nominal a Efectiva, en nuestro caso no tenemos problema porque es una tasa efectiva.

En seguida vamos a definir lo que va en cada columna de la tabla de amortizacin de esta manera:

Ahora establezcamos el perodo de nuestra tabla de amortizacin, segn los datos del ejercicio.Tenemos que se harn dos pagos con una tasa efectiva mensual, el ltimo pago se realizara en el mes 12, por tanto nuestro perodo sern 12 meses, hay que agregar que si la tasa por ejemplo no fuera efectiva mensual si no trimestral los periodos cambiarian.Entonces en nuestra columna perodo digitamos los 12 periodos empezando desde cero, si nuestra tasa fuera efectiva mensual anticipada comenzariamos desde uno.

El siguiente paso es formular, vamos a comenzar con la columna de Saldo de Deuda, en elperodo0 no formulamos como en las siguientes periodos ya que en elperodocero solo debemos un millon de pesos, que es el valor del producto, entonces en la celda B3 colocaremos simplemente =A1 ; del perodo 1 hasta el 12, el saldo de deuda ser el saldo de deuda del perodo anterior menos la amortizacin del perodo, entonces en la celda B4 formularemos =B3-E4 y arrastramos hasta el perodo 12

En la columna Intereses Pagados tendremos lo siguiente, en el perodo 0 no pagamos intereses por tanto la celda C3 queda vacia, a partir de la celda C4 formularemos de la siguiente manera, tenemos que multiplicar la tasa de inters por el saldo de deuda del perodo anterior, es decir en la celda C4 debemos formular =B3*B1 , pero como vamos a manejar la misma tasa de inters en todos los periodos fijamos la tasa de inters, entonces la formulacin quedaria=B3*$B$1 y arrastramos hasta el perodo 12

En la columna de cuota, segn el ejercicio solo tenemos que se haran dos pagos iguales en el perodo 6 y en elperodo12, lo que haremos sera colocar cualquier valor provisional en la celda D9 correspondiente alperodo6, en nuestro caso colocaremos 100 y como los pagos son iguales en la celda D15 que corresponde alperodo12 formularemos =D9 es decir igual alperodo6

En la ultima columna de Amortizacin, sabemos que la amortizacin es igual a la cuota menos los intereses pagados,por tanto formularemos apartir de la celda E4 que corresponde alperodo1, ya que en elperodocero no se amortiza en este caso, la formulacin quedaria =D4-C4 y arrastramos hasta elperodo12.

Ya con la tabla de Amortizacin completa solo falta encontrar el valor de las cuotas, para esto nos ubicaremos en la celda B15 y en la opcin de EXCEL de datos, vamos a "Anisis" y luego a "y si" que se reconoce facilmente por un signo de interrogacion, donde encontraremos "Buscar objetivo"

Seleccionamos "Buscar Objetivo" y encontramos un cuadro de dilogo donde debemos ingresar lo que queremos encontrar, en definir la celda debe aparece B15 que corresponde al saldo de deuda delperodo12, ahora donde dice "Con el valor" vamos a digitar el numero 0, colocamos 0 ya que queremos encontrar el valor de las cuotas con que pagaremos la deuda total, es decir un saldo de deuda cero y finalmente en "para cambiar la celda" vamos a seleccionar la celda D9, que corresponde a la cuota delperodo6 que es igual alperodo12.

Oprimimos "aceptar" y nos aparecer el valor de la cuotas buscadas, que son la respuesta al ejercicio

2.Tablas de CapitalizacinPara entender el procedimiento de la construccin de una tablade capitalizacin nos basaremos en el siguiente ejemploEjemploSe desea realizar un depsito en una cuenta que garantiza una tasa del 2% mensual de la cual se espera realizar los siguientes retiros 75000 pesos dentro de seis meses, 45.000 pesos dentro de 8 meses y la mitad del valor depositado dentrode 10 meses. Si al final del ao se espera tener un saldo de 300.000 pesos Cul debe ser el valor del deposito?SolucinEn primer lugar abrimos una nueva hoja de EXCEL

Ahora vamos a colocar en la celda A1 el valor inicial, pero como el ejercicio no nos lo da ya que esto es lo que se esta buscando,digitaremos un valor cualquiera que sera provisional, en nuestro caso colocaremos 100 y en la celda B1 colocaremos la tasa de inters

En seguida vamos a definir lo que va en cada columna de la tabla de capitalizacin de esta manera:

Ahora establezcamos el periodo de nuestra tabla de Capitalizacion, segn los datos del ejercicio.Tenemos que se quiere reunir 300.000 pesos al final del ao y tenemos una tasa de inters efectiva mensual, por tanto como un ao tiene 12 meses, los periodos seran 12 comenzando desde elperodocero, y aclaramos lo mismo que con las tablas de amortizacion en que si la tasa por ejemplo no fuera efectiva mensual los periodos cambiarian y si nuestra tasa fuera efectiva mensual anticipada comenzariamos desde elperodouno.

El siguiente paso es formular, vamos a comenzar con la columna de Capital Reunido, en elperodo0 no formulamos como en las siguientes periodos ya que en elperodo0 slo tenemos el valor del depsito inicial, que en nuestro caso provisionalmente es 100, entonces en la celda B3 colocaremos simplemente =A1 ; delperodo1 hasta el 12 ,el capital reunido ser el capital reunido delperodoanterior mas la capitalizacin delperodo, entonces en la celda B4 formularemos =B3+E4 y arrastramos hasta elperodo12

En la columna Intereses Recibidos tendremos lo siguiente, en elperodo0 no recibimos intereses por tanto la celda C3 queda vacia, apartir de la celda C4 formularemos de la siguiente manera, tenemos que multiplicar la tasa de inters por el capital reunido delperodoanterior, es decir en la celda C4 debemos formular =B3*B1 , pero como vamos a manejar la misma tasa de inters en todos los periodos fijamos la tasa de inters, entonces la formulacin quedaria =B3*$B$1 y arrastramos hasta elperodo12.

En la columna de Depsito, segn el ejercicio se retirarn 75000 pesos dentro de 6 meses, entonces en la celda D9 colocamos -75000, se retirarn 45000 pesos dentro de 8 meses, entonces en la celda D11 digitamos -45000 y se retirar la mitad del valor depositado dentro de 10 meses, es decir en la celda D13 formularemos =-(B3/2) , B3 porque en esta celda va el deposito inicial y divivido 2 porque se retirar la mitad

En la ultima columna de Capitalizacin, sabemos que la capitalizacin es igual al deposito mas los intereses recibidos,por tanto formularemos apartir de la celda E4 que corresponde al perodo 1, ya que en el perodo cero no se capitaliza en este ejercicio, la formulacin quedaria =D4+C4 y arrastramos hasta el perodo 12.

Ya con la tabla de Capitalizacin completa solo falta encontrar el valor del depsito, para esto nos ubicaremos en la celda B15 y en la opcin de EXCEL de datos, vamos a "Anisis" y luego a "y si" que se reconoce facilmente por un signo de interrogacion, donde encontraremos "Buscar objetivo"

Seleccionamos "Buscar Objetivo" y encontramos un cuadro de dilogo donde debemos ingresar lo que queremos encontrar, en definir la celda debe aparecer B15 que corresponde al capital reunido al final del ao es decir del perodo 12, ahora donde dice "Con el valor" vamos a digitar 300000, ya que es lo que se espera tener de saldo al final del ao y finalmente en "para cambiar la celda" vamos a seleccionar la celda A1, que corresponde a la celda donde esta el valor del deposito que queremos encontrar

Oprimimos "aceptar" y nos aparecer el valor del depsito , que es la respuesta al ejercicio

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