Interes Compuesto Ppt
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31-07-2011
1
El Valor Temporal del Dinero
INTERS COMPUESTO
RAUL DIAZ 1
Inters Compuesto
Este mtodo representa mejor el valor
temporal del dinero
En la Capitalizacin compuesta, se considera que los intereses que va generando el capital inicial, se incorporan al capital y van generando nuevos intereses.
RAUL DIAZ 2
En el interes compuesto, el interes (I) ganado en cada periodo (n) esagregado al capital inicial (P) para constituirse en un nuevo capital (S) sobre el
cual se calcula un nuevo interes produciendose lo que se conoce comocapitalizacin la cual puede ser anual,trimestral, mensual, diaria; y se sigueaplicando hasta que vence la transaccion de acuerdo a lo pactado.
0 meses
1 2 3 S1= P + P x i S2= S1 +S1x i
P
S3 = S2 +S2 x i
S1 S2 S3
RAUL DIAZ 3
Ejemplo: calcular el valor futuro de un depsito de $100 que vence en 5 perodos
ms, si se aplica una tasa del 10% compuesto
Perodo
Capital al
inicio Inters
Capital al
Final
1 100 10 110
2 110 11 121
3 121 12 133
4 133 13 146
5 146 15 161
RAUL DIAZ 4
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Generalizando:
Perodo Capital al inicio Inters Capital al Final
1 P Pi P+Pi = P(1+i)
2 P+Pi = P(1+i) P(1+i)i P(1+i)+P(1+i)i = P(1+i)^2
3 P(1+i)+P(1+i)i = P(1+i)^2 P(1+i)^2 i P(1+i)^2+P(1+i)^2 i = P(1+i)^3
n formula general P (1+i) ^n
RAUL DIAZ 5
Frmula del Valor Futuro
ni)(1VPVF
Donde: VF = Valor Futuro VP = Valor Presente i = Tasa de Inters n = Perodos de Capitalizacin
Si aplicamos inters compuesto, el Valor Futuro se calcular segn:
RAUL DIAZ 6
1.166,41,16641.0000,08)(11.000VF 2
Aplicamos: ni)(1VPVF
Hemos solicitado un prstamo de $1.000 con una
tasa de inters compuesto del 8% anual. Cunto
deber devolver en dos aos ms? Cunto estoy
pagando en intereses?
Intereses a pagar = Valor Futuro Valor Presente
= 1166 1000 = 166
Ejemplo
RAUL DIAZ 7
Cmo se hace en Excel?
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En la medida que sea ms largo el periodo de
capitalizacin, pequeas diferencias en las tasas de inters producen grandes diferencias en los valores
futuros
El estudio de Ibbotson seala que en promedio, al largo plazo, las tasas de los T Bonds y de los T Bills han sido 5.2% y 3.6% respectivamente.
Suponiendo que estas tasas se mantengan en el futuro, a qu valores llegaramos con una
inversin de US$1000?
RAUL DIAZ 9
Vencimiento aos: T Bond T Bill
5 $ 1.288 $ 1.193
10 $ 1.660 $ 1.424
15 $ 2.139 $ 1.700
20 $ 2.756 $ 2.029
25 $ 3.551 $ 2.421
30 $ 4.576 $ 2.889
40 $ 7.597 $ 4.115
$ -
$ 1.000
$ 2.000
$ 3.000
$ 4.000
$ 5.000
$ 6.000
$ 7.000
$ 8.000
5 10 15 20 25 30 40
T Bond
T Bill
RAUL DIAZ 10
Qu influencia tiene la Tasa de crecimiento del PIB en cuanto al ingreso
futuro esperado?
Calculemos para distintas hiptesis
RAUL DIAZ 11
Tasa 3,5%
6,0%
Aos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
$ 14.000 $ 14.490 $ 14.997 $ 15.522 $ 16.065 $ 16.628 $ 17.210 $ 17.812 $ 18.435 $ 19.081 $ 19.748 $ 20.440
$ 14.000 $ 14.840 $ 15.730 $ 16.674 $ 17.675 $ 18.735 $ 19.859 $ 21.051 $ 22.314 $ 23.653 $ 25.072 $ 26.576
Partiendo de un PIB per cpita de US$14.000 (PPA):
Si la tasa de crecimiento es 3.5%, demoramos 11 aos en llegar a US$20.000 Si la tasa fuese 6%, al ao 7 habramos sobrepasado los US$20.000
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Actualizacin
podemos estar interesados en calcular cul es el Valor Actual (VA) o Valor Presente (VP) de una cantidad que se recibir en el futuro.
Por ejemplo, si dentro de dos aos vamos a recibir $6000 , queremos calcular a cunto equivale en el momento actual si el tipo de inters es del 20% .
RAUL DIAZ 13
La frmula de capitalizacin ya vista, puede adaptarse para calcular el valor actual.
nn
i1
VFVP
Ejemplo: cunto se debe pagar HOY por un pagar que promete un monto de $100 dentro de dos aos, si la tasa de inters
que se exige es 4% anual compuesto
45.92
0816.1
100
04.01
100VP
2
RAUL DIAZ 14
88
Tasa de Inters Nominal
Es la tasa de inters que se estipula para un determinado perodo (por ejemplo, un ao) y que se puede liquidar en lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente.
RAUL DIAZ 15 89
Tasa de Inters Efectiva
Es la tasa que resulta cuando se capitaliza una tasa nominal en perodos menores al estipulado inicialmente para ella.
La Tasa Efectiva es aquella tasa capitalizable anualmente que produce la misma cantidad de intereses que una tasa nominal capitalizable m veces al ao
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Clculo de la Tasa de Inters Efectiva
Dada una tasa nominal y el nmero de capitalizaciones en el ao, la Tasa Efectiva es:
ief = tasa de inters efectiva
n = nmero de veces que se capitaliza el inters nominal durante el perodo
inom = tasa de inters nominal por perodo
1
n
nom1ef n
ii
RAUL DIAZ 17 19/02/98 96 Copyright Ignacio Vlez Pareja
Funcin de Tasa Efectiva en Excel
=INT.EFECTIVO(int.nominal;num.perodos al ao)
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Ejemplo: Una tarjeta de crdito aplica un inters del 2% mensual.
Calcular: Tasa Efectiva por ao
1) La tasa nominal anual ser: 2% x 12 = 24%
2)Aplicamos la frmula para n=12:
112
12
0.2411
n
nom1ef n
ii
26.8% RAUL DIAZ 19
Otro ejemplo: Un bono paga una tasa efectiva anual del
6%. Hallar la tasa equivalente semestral.
11. anualsem iiAplicamos esta frmula
106.01. semi 2.956% RAUL DIAZ 20
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Anualidades
Son Flujos de Caja de igual valor, que ocurren en intervalos
regulares de tiempo
A A A A
1 2 3 4
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Valor Actual de las Anualidades o Payments (Pagos Periodicos)
Cunto es el Valor Actual del Microondas si lo pago en 6 cuotas mensuales de $1500 c/u, si aplican una
tasa del 3% mensual
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PMT PMT PMT PMT
0 1 2 3 12
A = PMT = 15.000
I = 3%
N = 6
i
i1
11
AVAn
0.03
03.01
11
50001VA6
$81.258
RAUL DIAZ 23
Cmo hacerlo con Excel?
=VA(tasa;nper;pago;{VF};{tipo})
Para obtener el Valor Actual (VA) de una serie de pagos, durante n perodos y a una tasa del i%, debemos usar la funcin:
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-10814,33
Tipo: 0 , indica pagos al final de cada perodo; lo
asume por defecto
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Valor Futuro de una Anualidad
i
1i1AFV
n
En algunos casos, las personas pueden tener un plan de ir
depositando peridicamente una cierta cantidad y estn interesados en saber cunto habrn acumulado al
final del perodo.
RAUL DIAZ 26
Un ejemplo: A los 25 aos, un joven decide depositar US$2000 en una cuenta de ahorro previsional voluntario, la cual espera que le rinda un 8% anual. Planea retirar esos fondos en 40 aos ms, para complementar su pensin. Cul ser el valor que
habr acumulado?
0.08
10.0812000FV
40
US$518.113
RAUL DIAZ 27
Cmo hacerlo con Excel?
=VF(tasa;nper;pago;{VA};{tipo})
Para obtener el Valor Futuro (VF) de una serie de pagos, durante n perodos y a una tasa del i%, debemos usar la funcin:
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$518,113
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Por ejemplo, queremos saber la cuota con que se tendr que pagar un crdito:
La persona recibe HOY un prstamo (valor presente) y se compromete a pagarlo en n cuotas (la anualidad) y est vigente cierta tasa de inters i%
Calcular el valor de la cuota (anualidad), a partir de un Valor Presente
ni1
11
iVAA
RAUL DIAZ 30
Homero desea renovar su automvil. El vehculo cuesta $7.000.000 y desea pagarlo
en 48 cuotas mensuales iguales.
Cul ser el valor de cada cuota si el inters es del
3% mensual?
480.031
11
0.037.000.000A
$277.044
RAUL DIAZ 31
Cmo hacerlo con Excel?
Para obtener el Pago (cuota) que habr que hacer durante n perodos y a una tasa del i%, tal que equivalga a un cierto valor Actual:
=PAGO(tasa;nper;VA;{VF};{tipo})
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$277,044
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Calcular el valor de la cuota a partir de un Valor Futuro:
1i)(1
iVFA
n
En este caso, queremos saber la cuota que se tendr que colocar para juntar un monto en el futuro:
Ejemplo, cunto tendremos que ahorrar durante n perodos para que finalmente hayamos juntado FV, si la tasa de inters es i%
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Cmo hacerlo con Excel?
Para obtener el Pago (cuota) que habr que hacer durante n perodos y a una tasa del i%, tal que equivalga a un cierto valor Actual:
=PAGO(tasa;nper;VA;{VF};{tipo})
RAUL DIAZ 35
Bart quiere renovar su skateboard en 6 meses ms. Debe contar con $50.000. Cunto debe ahorrar mensualmente si el Banco paga un 2% mensual a los depsitos?
10.02)(1
0.0250.000A
6
$7.926,29
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$7,926.29
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Perpetuidades.
i
APV
Consisten en un flujo de efectivo que se paga (o se recibe) en intervalos regulares, por tiempo indefinido (para siempre).
Su valor presente es:
RAUL DIAZ 38
Ejemplo: console
En el mercado de valores de EE.UU. Se transa un tipo especial de bonos, llamados console bonds, que pagan peridicamente ciertos intereses pero que no tienen vencimiento (o sea, la deuda es perpetua)
RAUL DIAZ 39
Supngase que se emiten consoles en cortes de US$1000, con inters de emisin 6% anual y que en virtud de su riesgo, el mercado inversionista les exige un rendimiento del 9%. Cunto es el valor de mercado de ese bono?
0.09
60VAValor
$667
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Perpetuidades Crecientes:
g iA
VA 1
En este caso, el flujo de efectivo que se paga peridicamente (y por tiempo indefinido) crece a una tasa constante del g% por perodo
Su valor actual es:
Para:
A1 = Cuota a partir del perodo 1
g = tasa de crecimiento
i = tasa de descuento
RAUL DIAZ 41
Supngase que a partir de un ao ms, se pagar al portador de un instrumento financiero una cuota de $20.000, la que crecer de all en adelante a un 4% anual.
cunto es el equivalente en valor presente, hoy, si aplicamos una tasa de descuento del 10%?
0.040.1020.000
VA
$333.333,33
RAUL DIAZ 42
Calcular el nmero de perodos necesarios para saldar una deuda
i1log
iA
VA1log
n
Conocidos el Valor Actual (lo que se adeuda), la cuota peridica que se desea pagar y la tasa de inters
aplicable, podemos calcular el nmero de perodos que
demora en saldarse la deuda con esta
frmula:
log indica logaritmo decimal
RAUL DIAZ 43
cuntos pagos de US$500 c/u sern
necesarios para saldar una deuda de
US$50.000, si aplicamos una tasa del 4%?
0.041log
0.04500
50.0001log
n
41 cuotas
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Cmo hacerlo con Excel?
Para obtener el nmero de perodos en que habr que hacer pagos, a una tasa del i%, para saldar una deuda de cierto valor Actual:
=NPER(tasa;pago;VA;{VF};tipo)
RAUL DIAZ 45
41.03
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Los habitantes de XXX tienen actualmente un ingreso percpita de US$20.000. Si la tasa de crecimiento promedio de la renta es de un 6% anual, cuntos aos demorarn en duplicar el ingreso actual
Si conocemos el Valor Actual y el Valor Futuro, aplicando la funcin anterior de Excel podremos responder preguntas como cunto tiempo hay que esperar para duplicar un cierto valor actual?
RAUL DIAZ 47
11.07
Demorarn 11 aos en duplicar
su renta per capita
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Calcular la Tasa implcita en una
operacin financiera
Quisiera saber cul es la tasa de inters que me estn
cobrando por un crdito, y comparar con la que aplica otra
casa comercial
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Por ejemplo, se ofrecen paquetes vacacionales que pueden ser cancelados al contado o en cuotas fijas. Queremos saber la tasa de inters que se est aplicando al vender en cuotas. Suponga que opta vacaciones en Punta Cana.
RAUL DIAZ 50
Para estas vacaciones en Punta Cana, tenemos un Valor Presente (pago al contado) de $510.048 o (pago a crdito) 24 cuotas de $30.450. Aplicando la frmula del VA de anualidades, se tiene:
24i1
11
i51004830450
i = 3.01% Habr que despejar la incgnita i en esa
relacin:
RAUL DIAZ 51
Despejar el valor de i en la frmula es engorroso.
Pero podemos aplicar EXCEL. Se utiliza:
Para flujos constantes :
=TASA(nper;pago;VA;{VF};{tipo};{estimar})
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0.031
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Si conocemos el Valor Actual y la serie de pagos futuros, que NO SEAN CONSTANTES, entonces podemos calcular la tasa
implcita en la operacin utilizando la funcin de Excel:
TIR (rango; {estimar})
Perodo Flujo
0, inicial en que se pagara ctdo.
-40000
1 12000
2 15000
3 18000
Supongamos que se puede pagar o 40 mil al contado o
tres cuotas de 12; 15 y 18 mil
respectivamente.
Qu tasa se est aplicando
i = 6% RAUL DIAZ 54
6%
RAUL DIAZ 55
Estos son los conceptos y las herramientas bsicas relacionadas con el Valor Temporal del Dinero.
Luego veremos ms aplicaciones:
Al evaluar decisiones de inversin
Al valorar instrumentos financieros
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