INTERÉS COMPUESTO -...

Alejandro Vera Trejo

INTERÉS COMPUESTO

Se manejarán los factores que intervienen

en el modelo de interés compuesto

aplicándolos en el planteamiento y

resolución de problemas.

Se solucionaran situaciones reales a

través de casos concretos que conlleven a

la deducción de lo que representa el

modelo de interés compuesto. Se

platearán y solucionarán ejercicios sobre

el cálculo del monto compuesto, tasas

nominales y efectivas, así como la

ecuación de valor.

Objetivo

¿Qué es el interés compuesto?

Es la operación financiera en la cual el

capital aumenta al final de cada periodo

por adición de los intereses vencidos.

Una transacción trabaja a interés

compuesto cuando el capital inicial y los

intereses generados en cada periodo

ganan intereses en periodos

subsiguientes.

El interés compuesto es el interés

devengado por el principal al final de un

período y que devenga interés en el

período o períodos subsiguientes.

El interés compuesto se deduce de la

siguiente manera:

VF =VA + VAi = VA(1+i)

Donde VF es el monto o valor futuro al

final de periodo e incluye el Capital VA o

valor inicial más los intereses

devengados por el capital en el periodo

VAi.

Si al final del periodo ni el capital ni los

intereses se retiran, al final del segundo

periodo de tendrá que el nuevo monto es:

¿Cómo se obtiene el interés compuesto?

VF2 = VA(1 + i)(1 + i) = VA(1 + i)2

Si al final del segundo periodo sucede lo

mismo que en el primero. Al final del

tercer periodo se tendrá.

VF3 = VA(1 + i)(1 + i)(1 + i) = VA(1 + i)3

Generalizando para n periodos de

composición se tiene que la formula

general de interés compuesto está dada

por:


VF = VA(1 + i)n

Donde:

VF = Monto o Valor Futuro

VA = Capital o Valor Inicial

i = Tasa efectiva

n = número de periodos

periododelDías

InversiónladeTotalPlazon


Supóngase que se depositan $1,000 en

una cuenta bancaria que paga el 0.5% de

interés compuesto mensualmente ¿Cuál

es el monto al final de año y medio?

VF = VA (1+i)n

VF = 1,000 (1+ 0.005)18

VF = 1,000 (1.005)18

VF = 1,000 (1.093929)

VF = $1,093.9289


Si se invierten $10,000 a una tasa del

12% anual capitalizable mensualmente,

durante 90 días ¿Cuánto se genera de

intereses?

VF = VA (1+i)n

VF = 10,000 (1+ (0.12*30/360))(90/30)

VF = 10,000 (1+ 0.01)(90/30)

VF = 10,000 (1.030301)

VF = $10,303.01

I = VF-VA = 10,303.01-10,000 = $303.01


El Banco ofrece a un ahorrador una tasa

de 10% de interés capitalizable

semestralmente. Si el ahorrador deposita

$2,000.00 el 1 de enero de 2010, y no

hace movimientos en su cuenta ¿Cuánto

tendrá el 1 de enero de 2012?

VF = VA (1+i)n

VF = 2,000 (1+ 0.1)4

VF = 2,000 (1.1)4

VF = 2,000 (1.4641)

VF = 2,928.20


Con los datos de ejercicio anterior,

calcular el plazo de inversión.

VF = VA (1+i)n

2,928.20 = 2,000 (1+ 0.1)n

Aplicando logaritmos en ambos

miembros de la ecuación.

log (VF) = log VA(1+i)n

log (VF) = log VA + n log(1+i)

n=(log (2928.20) – log (2000))/log(1+0.1)=4


Se desea encontrar el plazo n que se

requiere para obtener un monto M de

$8,161.18 con un capital C de $5,800 y

una tasa de interés anual del 5%. Sea

M = C (1+i)n

Aplicando logaritmos en ambos

miembros de la ecuación.

log (M) = log C(1+i)n

log (M) = log C + n log(1+i) n=(log (8161.18) – log (5800))/log(1+0.05) = 7


Si un capital invertido a interés

compuesto se capitaliza cada año, el

monto compuesto al final del primer año

es igual al interés simple a un año.

Sin embargo, si la capitalización se

efectúa más de una vez al año; el monto

compuesto al final de un año es mayor

que el obtenido por interés simple.

Cuando esto sucede se puede determinar

una tasa efectiva de interés.

Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente

Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito

bancario de $10,000 pactada al 20% de interés anual capitalizable

mensualmente?

M = 10,000 (1 + (0.20/ 12))12 = 12,193.90

I = 12,193.9 – 1,000 = 2,193.9

Tasa Efectiva: i = 2,193.9 / 10,000 = 0.2194 ó 21.94%

De aquí se puede deducir que la tasa efectiva es:

Tasa Efectiva = [(1 + i)n – 1]

Tasa Efectiva = [(1+(0.20/12))12) -1]

Tasa Efectiva = 0.2194 ó 21.94 %

A una tasa nominal del 20%, se recibe una tasa efectiva del 21.94%.


Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva que se

recibe de un depósito bancario de $1,000

pactada a 18% de interés anual capitalizable

mensualmente?

Tasa efectiva = [(1+i)n – 1]

Tasa efectiva = [(1+(0.18/12))12)-1]

Tasa efectiva = 19.56%

Intereses = C [(1+(0.18/12))12)-1]

Intereses = $1,000 [(1+(0.18/12))12)-1]

Intereses = $ 195.6182

Lo que significa que a tasa nominal del

18%, el inversionista ganó la tasa efectiva

de 19.56%


Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva que se

paga por un préstamo bancario de $250,000

que se pactó a 16% de interés anual

capitalizable trimestralmente?

Tasa efectiva = [(1+i)n – 1]

Tasa efectiva = [(1+(0.16/4))4)-1]

Tasa efectiva = 16.98%

Intereses = C [(1+(0.16/4))4)-1]

Intereses = $250,000 [(1+(0.16/4))4)-1]

Intereses = $42,464.64

Lo que significa que a tasa nominal del

16%, el banco ganó la tasa efectiva de

16.98%


Se dice que dos tasas son

equivalentes cuando operando de

manera diferente arrojan el

mismo resultado. Una tasa puede

capitalizar mensualmente y la otra

semestralmente, o bien en forma

trimestral y la otra en forma anual

etc.

Cuando sucede que dichas tasas con

capitalizaciones diferentes arrojan el

mismo interés, se está en presencia

de una tasa equivalente.


Ejemplo: Un inversionista deposita 10,000 USD a una tasa de interés

del 8% anual convertible trimestralmente durante un año.

M = 10,000 [(1 + 0.08/ 4)4] = 10,824.32

Tasa nominal = ([(10,824.32/10,000)(1/4)]-1)4 = 0.08 ó 8%

Tasa efectiva = [(10,824.32/10,000)1]-1 = 0.082432 ó 8.2432%

Tasa Equivalente

M = 10,000 (1 + 0.08/ 4)4 = 10,824.32 Con Tasa Nominal

M = 10,000 (1 + 0.082432)1 = 10,824.32 Con Tasa Efectiva


Ejemplo: Hallar la tasa

equivalente que iguala una tasa

capitalizada bimestralmente a una

tasa nominal del 36%

Se plantea la ecuación

capitalizando ambas tasas durante

un año.

(1+j/6)6 = (1+0.36)1

j = [((1+0.36)1)1/6-1]6

j = 0.315499 ó 31.5499%


Ejemplo: Hallar la tasa compuesta

trimestralmente que equivale a

2.5% mensual.

Se plantea la ecuación

capitalizando ambas tasas durante

un año.

(1+j/4)4 = (1+0.025)12

j = [((1+0.025)12)1/4-1]4

j = 0.307563 ó 30.7563%


En el ámbito de las operaciones

financieras un deudor puede desear

remplazar un conjunto de deudas

previamente contraídas con un

determinado acreedor, por otro conjunto

que le sean equivalentes, pero con otras

cantidades y fechas de vencimiento.

Para lograr esto último es necesario

plantear una ecuación de valor.

¿Qué es una ecuación de valor?

Una ecuación de valor es una igualdad

que establece que la suma de los

valores de un conjunto de deudas es

igual a la suma de los valores de un

conjunto de deudas propuesto para

remplazar al conjunto original, una vez

que sus valores de vencimiento han sido

trasladados a una fecha común, llamada

fecha focal o fecha de valuación.


Un inversionista tiene una deuda que

debe ser saldada en la siguiente forma:

$1,470.00 en este momento y $2,600.00

dentro de un mes. Si desea saldar

completamente su deuda el día de hoy,

¿cuánto tendrá que pagar, si la tasa de

interés es del 35%?

a) Se elabora la gráfica de tiempo y

valor.


1,470

hoy

X – pago propuesto

2,600

1 mes

c) Se plantea la ecuación de valor.

X = 1,470 + [2,600 / (1+(0.35/12))1]=

X = 1,470 + 2,600/(1.029167)

X = 1,470 + 2,526. 3158 = 3,996.32

Valor de deudas originales = Valor de deudas propuesto.


b) Se determina la fecha focal que es hoy o mes cero.

1,470

hoy

X – pago propuesto

2,600

1 mes

c) Se plantea la ecuación de valor.

X (1+(0.35/12))2 = 1,470(1+(0.35/12))2 + 2,600(1+(0.35/12))1

1.059184X = 1,470(1.059184) + 2,600(1.029167)

X = (1,557.0052 + 2,675.8333)/1.059184

X= 4,232.8339/1.059184 = 3,996.32 igual que el anterior

b) Supóngase que la fecha focal es en el segundo mes.

2 mes


Un inversionista debe $5,700 a pagar

dentro de cuatro meses y $7,440 a pagar

dentro de 8 meses. Una negociación con

su acreedor le permitirá pagar mediante

dos pagos de igual cuantía; el primero a

efectuar dentro de 10 meses y el otro al

cabo de un año. ¿Cuál será el pago, si

ambos acuerdan una tasa de interés del

40%?

a) Se elabora la gráfica de tiempo y

valor.


1 meses

5,700

4 10

7, 440

x

x 8

c) Se determina la ecuación de valor

M1 = 5,700[1+(0.40/12)]8 = 7,409.66

M2 =7,440[1+(0.40/12)]4 = 8,482.71

M3 = X [1+(0.40/12)]2 = X (1.067777)

M4 = X

Ecuación de valor M1 + M2 = M3 + M4

7,409.66 + 8,482.71 = (1.067777) X + X

15,892.37 = 2. 067777 X

X = $7,685.73 se deben hacer dos pagos de esta cantidad.


b) Se determina la fecha focal en el mes 12 ¿Cuánto debe pagar?

1 meses

5,700

4 10

7, 440

x

x 8

Si la fecha focal es el quinto mes, ¿cuánto debe pagar?

M1 = 5,700[1+(0.40/12)]1 = 5,890

VP2 =7,440 / [1+(0.40/12)]3 = 6,742.98

VP3 = X / [1+(0.40/12)]5 = X (0.848785212)

VP4 = X / [1+(0.40/12)]7 = X (0.794908107)

Ecuación de valor M1 + VP2 = VP3 + VP4

5,890 + 6,742.98 = X (0.848785212) + X (0.794908107)

12, 632.98 = 1.643693319 X

X = $7,685.73 se deben hacer dos pagos por esta cantidad.


BIBLIOGRAFIA

1. Villalobos José Luis, "Matemáticas Financieras”, 2a Edición

2001 por Prentice Hall.

2. Alfredo Díaz Mata, Víctor Manuel Aguilera Gómez

“Matemáticas Financieras", Tercera edición 1999 por Mc Graw

Hill Interamericana.

3. Carlos Ramírez Molinares, Milton García Barbosa, Cristo

Pantoja Algarín, Ariel Zambrano Meza “Fundamentos de

Matemáticas financieras”, Universidad Libre Sede

Cartagena Centro de Investigaciones 2009.

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