Interferometría con haces gaussianos

Dedicatoria Este trabajo lo dedico a mí familia:

A mi hija Diana por ser la luz que ilumina mi vida, a mi esposa Gloria por su apoyo incondicional.

A mis padres Eliborio Santos Sidronia Gómez A hermanos: Socorro Leticia Virginia Liborio Soledad Carmen A la familia Bermúdez-Santos por todo el apoyo que me han brindado. Y a la memoria de dos seres que llevo en mi corazón: Rita María Guadalupe Aguilar Ojeda Juan Antonio Santos Gómez

Agradecimientos Quiero expresar mi mas sincero agradecimiento al CONACYT y al CIO por el apoyo económico brindado durante el desarrollo de mis estudios de Doctorado en Ciencias, sin el cual no podría haberlos hecho. A mis profesores por todas sus enseñanzas y consejos. Y muy especialmente a mis asesores Dr. Bernardino Barrientos García y Dr. Moisés Garbarcewics por brindarme la oportunidad de trabajar con ellos y por su apoyo constante e incondicional durante la formación de mi doctorado.

Índice Capítulo 1 Introducción Capítulo 2 Haces gaussianos 2.1 Introducción 2.2 Perfil de un haz gaussiano 2.3 Radio del haz y divergencia del haz 2.4 Referencias Capítulo 3 Medición interferométrica de rugosidad y forma en planos ópticos con inspección de área variable 3.1 Introducción 3.2 Arreglo experimental 3.3 Descripción analítica 3.4 Interferometría con iluminación gaussiana 3.5 Experimento ilustrativo 3.6 Análisis de errores 3.7 Conclusiones 3.8 Referencias Capítulo 4 Medición de distancia con rango ajustable por interferometría con haces gaussianos

4.1 Introducción 4.2 Teoría

4.2.1 Análisis de propagación 4.2.2 Interferencia

4.3 Resultados experimentales 4.4 Análisis de errores 4.5 Conclusiones 4.6 Referencias Capítulo 5 5.1 Conclusiones generales 5.2 Trabajo futuro

Capítulo 1 Introducción

Introducción Existen diferentes aplicaciones interferométricas donde la fuente y tipo de iluminación

tienen un papel importante. En la mayoría de las aplicaciones ópticas industriales es

necesario enfocar, modificar o cambiar la forma del haz láser mediante el uso de lentes y

otros componentes ópticos. El haz de salida de varios láseres corresponden al modo

gaussiano TEM00.

Los principales parámetros de un haz gaussiano como el radio del haz y el radio de

curvatura del frente de onda, pueden ser fácilmente calculados mediante el uso de la

integral de difracción de Fresnel en cualquier punto de su propagación, incluso cuando

pasan a través de componentes ópticos tales como lentes ópticas.

Esta característica, es decir, la propiedad de calcular su propagación, es prometedora para

su aplicación en el diseño e implementación de sistemas ópticos.

El objetivo de este trabajo consiste en el uso de haces gaussiano para el desarrollo de

sistemas interferométricos.

Como se muestra en este trabajo esta característica nos permitió la implementación de dos

técnicas interferométricas:

a) Una técnica interferométrica para medir rugosidad y forma de una superficie con calidad

óptica. La región de interés bajo inspección puede ser variada sin recurrir a cambios en los

componentes del sistema.

b) Un método interferométrico para medir la distancia entre dos superficies colocadas en

un interferómetro Michelson en el rango de una fracción de mm hasta pocos cm con

moderada precisión.

El presente trabajo está distribuido de la siguiente manera: en el capítulo 2 se presentan de

manera general las propiedades y características de un haz gaussiano. En el capítulo 3 se

hace el análisis y aplicación de un sistema óptico para la inspección de superficies con

calidad óptica. Por otra parte, en el capítulo 4, se presenta el análisis y aplicación de un

sistema relacionado con la medición de desplazamientos entre dos superficies. Las

conclusiones generales del presente trabajo y las posibles investigaciones futuras con las

técnicas presentadas se presentan en el capítulo 5. Finalmente, se presenta un apéndice con

la lista de figuras y las publicaciones resultantes de este trabajo.

Capitulo II

Haces gaussianos

2.1 Introducción

En el presente capítulo describimos las características básicas de un haz gaussiano con el

fin de proporcionar los conceptos y definiciones que servirán como base para la teoría

descrita en el capítulo 1 y que será desarrollada con sus aplicaciones en los capítulos 3 y 4.

2.2 Perfil de un haz gaussiano

El haz gaussiano es una distribución simétrica radial en la cual la variación de su campo

eléctrico está dada por [1]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= 2

0

22

20

exp2),(r

yxrPyxu

π 2.1

donde x y son las coordenadas espaciales transversales, es la potencia del láser, es

el radio de la cintura del haz y por definición se toma como la distancia donde el campo

toma el valor de . La irradiancia es simétrica en torno al eje del haz y varía de la

forma dada por la Ec. 2.2 y mostrada en la Fig. 2.1

y P 0r

),( yxu 1−e

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= 2

0

22

0)(2exp),(

ryxIyxI 2.2

donde 200 2 rPI π= es el valor máximo de la irradiancia.

0r

02)/1( Ie

02)/1( Ie

0I

I

ξη

Z

Fig. 2.1. Perfil del haz gaussiano. Gráfica de la irradiancia contra la distancia radial del eje del haz.

2.3 Radio del haz y divergencia del haz

Dado que la difracción afecta a las ondas de luz de tamaño finito transversal cuando se

propagan, un haz perfecto colimado no es fácilmente obtenible en la práctica. Sin embargo,

en la región donde un haz gaussiano es mas pequeño, también llamada la cintura del haz,

Fig. 2.2, éste presenta divergencia nula. La cantidad de convergencia o divergencia se mide

mediante el ángulo completo de divergencia del haz θ , el cual es el ángulo subtendido por

los puntos sobre el diámetro 21 e hasta la cintura del haz, como se muestra en la Figura 2.2.

Debido a la simetría del haz, el ángulo de divergencia es igual al ángulo de convergencia.

0rθ

Ιρραδιανχια 2/1 e

Figura 2.2 Variación del diámetro del haz gaussiano en la vecindad de la cintura. El tamaño del haz en su punto más pequeño es . El ángulo completo de divergencia 0r θ es definido por las asíntotas para los puntos

21 e 0I de mayor distancia hasta la cintura del haz.

De la óptica geométrica, un haz gaussiano convergiendo en un ángulo θ debe colapsar en

un punto. Debido a la difracción esto no sucede. Sin embargo en la intersección de las

asíntotas que definen θ , el haz alcanza un valor mínimo, llamado diámetro de la cintura del

haz. Se puede demostrar que para el modo TEM00 propagándose en un medio homogéneo,

depende del ángulo de divergencia del haz como [1] 0r

πθλ4

=or 2.3

donde λ es la longitud de onda de la radiación. Note que el producto de θ0r es una

constante . Esto significa que para una cintura pequeña de un haz la divergencia debe ser

grande; para un haz altamente colimado la cintura debe ser grande.

La variación del radio del haz en la vecindad de la cintura [1] se observa en la Fig. 2.2 y

está dada por

2220

2 zrr θ+= 2.4

donde r es el diámetro a una distancia z± de la cintura a lo largo del eje del haz.

Una manera de propagar un haz gaussiano es por medio de la integral de difracción de

Fresnel[2] la cual está definida por

( ) ( ) ( ) ( )[ dxdyyxz

iyxuzi

ziU ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 22exp,

2exp, ηξ

λπ

λλπ

ηξ ] 2.6

en donde 1−=i , representa la distribución de amplitud del frente de onda en el

plano a partir del cual comienza la propagación y

),( yxu

),( yx ),( ηξU representa la distribución

de amplitud del frente de onda propagado en el plano ),,( ηξ hasta el cual se realiza la

propagación, representa la distancia de propagación y z λ la longitud de onda.

Cuando se propaga un haz gaussiano tomando como base la Ec. 2.1 en un medio

homogéneo, se vera rápidamente que el frente de onda del haz adquirirá un radio de

curvatura definido por

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2201)(z

rzzRλ

π 2.7

además el radio del haz cambia a

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

20

0 1)(rzrzr

πλ 2.8

es infinito en )(zR 0=z

2.4 Referencias

[1] Donald C. O’Shea, “Elements of optical Design”, John Wiley & Sons, 230-236 (195).

[2] W. J. Goodman, “Introduction to Fourier Optics”, McGraw-Hill, second edition, New

York, 66-67, 96-99, (1996).

Capítulo 3

Medición interferométrica de rugosidad en

planos ópticos con inspección de área variable

3.1 Introducción

Como se describió en el capítulo 1, la teoría de nuestro modelo está basada en la

propagación de haces gaussianos. En este capítulo se hace un análisis completo de dicha

teoría la cual será aplicada a la medición de rugosidad y forma de superficies con calidad

óptica.

Como es bien conocido en el desarrollo del campo de la electrónica, los requerimientos

para medir la planicidad de superficies de alta calidad óptica llegan a ser más demandantes.

No solamente es necesario medir la rugosidad o forma del plano separadamente ya que una

combinación de rugosidad y warping (deformación por calentamiento de la oblea de silicio)

entre otros factores pueden afectar severamente las características funcionales del producto

final. En la manufactura de circuitos integrados, el warping dificulta el proceso de

producción disminuyendo el rendimiento debido al incremento de roturas. Adicionalmente

la falta de planicidad resulta en defectos en las características de los circuitos impresos

durante los procesos de litografía. Además la valoración inapropiada de la planicidad

conlleva el incremento de costos para la industria.

Como la demanda de obleas de silicio de mayor tamaño se incrementa y la tolerancia de la

planicidad global sobre la oblea entera es muy alta, métodos de topografía de superficie se

han desarrollado. Para el caso de mayor tamaño de las obleas en el año 2002 fue de

aproximadamente de 300 mm y se espera que el tamaño a usarse en el 2014 sea tan grande

como 450 mm mientras que los requisitos de planicidad pico-valle alcancen el orden de

varios nanómetros.

Existen diferentes técnicas que se utilizan actualmente para la medición de planicidad y

warping. Algunas de ellas son técnicas interferométricas [1,2] y otras están basadas en la

combinación de efectos geométricos y difractivos como las técnicas de Moire [3,4].

Adicionalmente existen las técnicas de aguja en uso [5,6]. Si embargo, la inspección de

áreas variable sobre una muestra es deseable y difícil de lograr.

Para ayudar a aliviar este problema, presentamos un método basado en la propagación de

haces gaussianos, que es implementado como una técnica interferométrica y que permite la

variación del área bajo inspección por el simple cambio de la posición de una lente de

iluminación del arreglo. Esta característica proporciona la capacidad de medir diferentes

áreas del objeto bajo prueba en forma automática.

3.2 Arreglo experimental

En la Figura 3.1 se bosqueja el arreglo experimental que corresponde a un interferómetro

del tipo Michelson. Un láser de Helio-neón con un perfil de intensidad de gaussiano se usa

como fuente de iluminación coherente. Una lente positiva, L1, se coloca en el plano de la

cintura del haz láser entrante, el cual se localizó experimentalmente por medio de un

detector de borde de navaja. El propósito de lente L1 es expandir el haz de una manera

controlable con la ayuda de una lente positiva L2 que se coloca después de la lente L1. El

uso de dos lentes en lugar de una sola lente permite controlar el tamaño del haz con la

precisión como se describirá en la siguiente sección. Además, como aparece en la discusión

de análisis de errores, el uso de las dos lentes hace posible controlar la cantidad de error

aceptable en los resultados.

El haz gaussiano, después de ser expandido por la combinación de las dos lentes, es

dirigido a un divisor de haz para ser dividido en el haz objeto y en haz de referencia. El

haz objeto es dirigido a la superficie bajo prueba para ser modulado por reflexión mientras

el haz de referencia es reflejado por una superficie de alta calidad óptica que sirve como la

superficie de referencia. Finalmente, ambos haces son dirigidos hasta el plano de una

cámara del CCD dónde ellos son coherentemente sumados por el grabador.

He :Ne láser

Lente L1 Lente L2

Divisor de haz

CCD

Plano (x,y) Plano (x ,y )1 1

Plano ( )ξ,η

Espejo dereferencia

Objeto bajo prueba

z1

Fig. 3.1. Arreglo experimental

3.3 Descripción analítica

La descripción analítica será basada como se explicó en el capítulo 1 en el cálculo de

propagación del haz gaussianos por medio de integral de difracción de Fresnel, la cual y

para comodidad del elector se rescribe en la Ec. 3.1 [7] ,

( ) ( ) ( ) ( )[ dxdyyxz

iyxuzi

ziU ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 22exp,

2exp, ηξ

λπ

λλπ

ηξ ] 3.1

Para aplicar la Ec. 3.1 nos referiremos al arreglo experimental de la Fig. 1. La primer

propagación comprende de las coordenadas ( )yx, que representan el plano donde la lente

L1 es colocada o el plano donde la cintura del haz es localizada, hasta el plano de

coordenadas . Así la amplitud compleja del haz y para comodidad del lector se

rescribe en la Ec. 3.2

),( 11 yx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= 2

0

22

20

exp2),(r

yxrPyxu

π 3.2

La lente L1 introduce una fase cuadrática en el frente de onda que entra. Esta lente es una

lente delgada y se omite su espesor. Precisamente después de ser transmitido por la lente

L1, la distribución de amplitud está dada por, [7]

( ) ( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+ 22

1

exp,),( yxf

iyxuyxuλπ )

)

)

3.3

donde es la distancia focal de la lente L1. 1f

Como se bosqueja en la Fig.1, la lente L2 está localizada en el plano a una

distancia del plano ( . La distribución de amplitud del haz en este plano,

precisamente antes de la lente L2 y después de ser propagado una distancia y de acuerdo

a la Ec. 3.1, está dada por

( 11, yx

1z yx,

1z

( ) ( ) ( ) ( )[ dxdyyyxxz

iyxuzi

ziyxU ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 21

21

11

1

11 exp,

2exp,

λπ

λλπ

] 3.4

Después de sustituir la Ec. 3.2 en la Ec. 3.3 y este resultado en la Ec. 3.4, obtenemos un haz

gaussiano propagado de la forma

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

12

1

21

2111

1exp,R

ir

yxAyxUλπ . 3.5

donde, está definida por A

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 2

11

11

2

20

11

112

0

1

1

1

12exp

fzfz

r

fzfzi

rzi

ziKA

λπ

λππ

λλπ

3.6

y el radio del haz y el radio de curvatura de la primer propagación están dados por

( ) ( ) ( )( )2

10

211

220

211

1 frfzrfzr

ππλ −+

= 3.7

( )( ) ( )( )[ ] 1

211

422111

111421 1

1

zfzrfzzffzr

R+

−+−

=

πλπ

3.8

Así la distribución de amplitud dada por la Ec. 3.5 representa un haz gaussiano con una fase

cuadrática debido a la propagación. Similarmente para el caso de la lente L1, la distribución

de amplitud precisamente después de L2 está dada por

( ) ( ) ( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+ 2

121

21111 exp,, yx

fiyxUyxU

λπ ) 3.9

donde es la distancia focal de L2. 2f

Finalmente el haz transmitido por la lente L2 se propaga usando nuevamente la Ec. 3.1

hasta el divisor de haz donde es dividido en el haz objeto y en el haz de referencia. Ambos

haces son dirigidos hacia el detector CCD donde son coherentemente sumados. En este

momento denotaremos la distancia que viaja uno de los haces de L2 hasta el plano de la

CCD como . En los cálculos de este paso consideraremos la expresión debido solamente

a los efectos de propagación en los haces. Así en este paso omitimos la modulación de la

fase en el haz objeto por la propia reflexión sobre la superficie de prueba. Esta modulación

de la fase será apropiadamente considerada en la siguiente sección.

2z

El resultado de la distribución de amplitud después de propagase nuevamente y ahora una

distancia hasta el plano de coordenadas 2z ( )ηξ , , está dado por

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

OOOO R

ir

BUλπηξηξ 2

22 1exp, 3.10

donde es la amplitud, el radio del haz y el radio de curvatura del haz en el plano

de la CCD, para abreviar las definimos como

OB Or OR

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 222

22exp

O

OO ec

ieczi

ziAB π

λλπ

3.11

( ) ( )c

eczr OO 2

2222

πλ +

= 3.12

( )( ) OO

OO eecz

eczRπλ

λ−+

+= 22

2

2222 3.13

Donde está definido como, Oe

( )( ) ( )[ ]

( )22

22

12

11422

111

11142 1

fzfz

zfzrfzzffzreO

−−+

−+−

=λπ

πλπ

3.14

El radio del haz en el plano de la CCD, de acuerdo con la Ec. 3.12, es a su vez una función

del radio el haz en el plano de la lente L1. También es una función de las distancias focales

de las lentes L1 y L2, la distancia entre las lentes y la longitud del camino óptico entre la

lente L2 y la cámara del CCD. Así, el área de observación del objeto bajo prueba puede

variarse seleccionando la distancia focal de las dos lentes, L1 y L2 propiamente, como se

describirá posteriormente.

Ambas amplitudes del haz objeto y del haz de referencia en el plano del CCD se representa

en la forma de la Ec. 3.10. Sin embargo, la longitud del camino óptico viajada desde la

lente L2 hacia el detector del CCD son en general diferentes. Dado como la longitud del

camino óptico para el haz objeto y

2z

zz ∆+2 la longitud del camino óptico para el haz

referencia. Estos dos valores se sustituirán en la Ec. 3.10 respectivamente. Para esto, dada

la distribución de amplitud para el haz objeto y para el haz referencia se representen por

y respectivamente. Estas amplitudes son calculadas usando las Ecs. 3.10-3.14,

usando el hecho que la distancia de propagación para el haz de referencia es

OU RU

zz ∆+2 .

Cuando esta sustitución es considerada, sustituimos los sub-índices en las ecuaciones

mencionadas por el símbolo . Así, al referirse a los términos en las Ecs. 3.10-3.14

correspondiendo al haz de referencia, los términos serán sub-indexados como , ,

, y .

R

RU RB

Rr RR Re

Los resultados obtenidos se aplicarán al interferómetro propuesto en la próxima sección.

3.4 Interferometría con iluminación gaussiana

En esta sección introduciremos la modulación de la fase para el haz objeto debido a la

reflexión en la superficie bajo prueba. Precisamente después de ser reflejado del objeto bajo

prueba, el haz objeto es modulado por una fase de la forma ( )[ ]vui ,exp φ . Aquí suponemos

que la superficie del objeto bajo prueba está localizada en el plano ( )vu, . En el plano de la

CCD la amplitud compleja debido al haz objeto dada por una ecuación de la forma de Ec

3.11 multiplicada por la fase obtenida en reflexión.. Así en el plano del detector la

distribución de amplitud para el haz objeto está dada por

( ) ( ) ( )[ OOO

OO iciR

ir

BU +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= ηξφ

λπηξηξ ,exp1exp, 2

22 ] 3.15

]

En la Ec. 3.15 hemos introducido la fase constante adicional que permite considerar la

compensación de la fase o considerar el cambio de fase debido a la reflexión en el divisor

de haz y hemos omitido la difracción debido al término de propagación

Oc

( )[ vui ,exp φ como

normalmente se hace.

Similarmente, la amplitud para el haz de referencia está dado por

( ) ( ) )exp(1, 222

RRR

RR icR

ir

BU ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

λπηξηξ 3.16

donde es una constante de fase. Rc

En el plano de la CCD, ambos haces son coherentemente sumados. De esta forma la

amplitud resultante en este plano está dada por

( ) ( ) ( )ηξηξηξ ,,, OR UU +=Ψ 3.17

La distribución de intensidad correspondiente en el plano de detección está dada por

( ) ( ) ( )ηξηξηξ ,,, ∗ΨΨ=I 3.18

El símbolo ∗ representa la operación del complejo conjugado.

La Ec. 3.18 representa analíticamente la distribución de amplitud de un interferograma

grabado por el detector CCD. Para calcular la distribución de amplitud dada en la Ec. 3.18

como una función del perfil del objeto bajo prueba denotaremos como ( )ηξ ,h la

distribución de altura del objeto bajo prueba. Además consideraremos que el objeto es una

superficie óptica de alta calidad en la cual se ha introducido deliberadamente una

inclinación. Entonces la superficie bajo prueba se puede expresar como ( ) αξηξ sinh +,

donde α representa un pequeño ángulo de inclinación en la dirección ξ .

Usando las expresiones dadas en las Ecs. 3.15 y 3.16 y la expresión de la inclinación para el

objeto bajo prueba, la Ec. 3.19 se puede rescribir como

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ηξθηξηξηξ ,cos,,, baI += 3.19

En la Ec. 3.19 ( )µξ ,a representa un nivel de DC y está dado por

( ) ( ) ( )[ ηξηξηξηξ ,,2exp, 20

2220 OR aa

rBa +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= ]

)

3.20

( ηξ ,b es una amplitud modulada dada por

( ) ( ) ( )[ ηξηξηξηξ ,,2exp, 20

2220 OR aa

rBb ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= ]

)

3.21

El término ( ηξθ , representa una fase que está relacionada con la superficie del objeto,

( ) ( )[ ] ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++=

RO RRsinh 11,4, 22 ηξ

λπαξηξ

λπηξθ 3.22

Para obtener las Ecs. 3.19-22 hemos asumido que la distribución de reflectividad de las

superficies de referencia y objeto son ( )ηξ ,Ra y ( )ηξ ,Oa respectivamente y que el radio

del haz de ambos haces gaussianos en el plano de la CCD son aproximadamente del mismo

tamaño, . OR rr ≈

En la Ec. 3.23 el término cuadrático surge de la franjas de interferencia de los anillos de

Newton como resultado de la interferencia de dos frentes de onda con radio de curvatura,

y . Esta fase cuadrática representa una fuente de error en el método y para

minimizarlo la diferencia de camino óptico entre los haces deberá minimizarse. El método

para minimizar el error se discutirá en la sección 3.6.

OR RR

3.5 Experimento ilustrativo

Para mostrar la factibilidad del método se presentan dos experimentos simples que

consisten en la medición de la rugosidad de dos diferentes áreas de una superficie óptica en

la cual se ha introducido deliberadamente una pequeña inclinación. Primero mediremos un

área de aproximadamente 0.2 cm2 la cual fue arbitrariamente seleccionada. Para la segunda

medición un área de 2.0 cm2 fue seleccionada.

Para obtener la rugosidad se usa una técnica simple de desplazamiento de fase de tres pasos

en conjunto con un método de desenvolvimiento de fase [8]. La fuente de iluminación fue

un láser de He:Ne con un perfil de intensidad gaussiano en 632.8 nm. La cintura del haz fue

localizada a 17.5 cm. de la salida del láser. El radio del haz medido en la cintura fue de 0.35

mm. (en 1/e2 nivel de intensidad). Como se describió anteriormente, esta es la posición

donde L1 es colocada.

Para el cálculo del radio del haz como una función de las lentes L1 y L2, Ec. 3.12, ambas

lentes pueden ser seleccionadas apropiadamente. Encontramos que para mantener una

longitud corta de nuestro arreglo es conveniente seleccionar 21 ff < . En nuestro caso

y . Adicionalmente los errores en los cálculos dependen de la razón

que será discutida en la sección 6. Considerando que la posición de L1 es fija, la

distancia medida de L1 al CCD puede ser arbitrariamente seleccionada; esta fue ajustada a

50 cm.

.11 cmf = . 5.72 cmf =

12 / ff

Una vez que L1 es colocada en la cintura del haz, L2 debe ser colocada aproximadamente

a una distancia cm. a la derecha de L1 (Fig.1). Para desplazar L2 a la

derecha de esta posición y hasta

5.121 ++ ff

0.421 −+ ff cm., el rango de observación del área es

aproximadamente de 0.004 cm2 hasta 3.0 cm2. Las Figs. 3.2-a y 3.3-a muestran los

interferogramas grabados en el CCD para dos áreas de observación arbitrariamente

escogidas de 0.2 cm2 y 2.0 cm2 respectivamente. Las figuras 3.2-b y 3.3-b muestran

respectivamente líneas paralelas de las fases desenvueltas en un lado del objeto. Las líneas

punteadas fueron obtenidas por un ajuste lineal numérico de los datos experimentales.

Como se puede ver en las figuras, las pendientes experimentales obtenidas son las mismas

para las áreas grande y pequeña como se esperaba para mostrar que se trata del mismo

objeto bajo prueba.

Fig. 3.2-a. Interferograma grabado de un plano óptico bajo prueba para una área de inspección de 0.2 cm2

0 0.001 0.002 0.004 0.0047 0.0058 0.0070

2 10 7

4 10 7

6 10 7

8 10 7

1 10 6

1.2 10 6

0

710*2 −

710*4 −

710*6 −

710*8 −

610*1 −

610*2.1 −

0310*46.4 −310*34.3 −310*23.2 −310*11.1 −

Fig. 3.2-b. Línea examinada después del proceso de desplazamiento de fase del interferograma de la Fig. 2a. La línea punteada fue ajustada a partir del resultado experimental. Este fue desplazado para propósitos ilustrativos. Las unidades son en m.

Fig. 3.3-a. Interferograma grabado de un plano óptico bajo prueba para una área de inspección de 2.0 cm2

0 0.004 0.007 0.01 0.015 0.018 0.0220

6.87 10 7

1.37 10 6

2.06 10 6

2.75 10 6

3.44 10 6

4.12 10 6

0 210*5.1 −310*5.7 −310*75.3 − 210*125.1 −

710*87.6 −

610*37.1 −

610*06.2 −

610*75.2 −

610*44.3 −

610*12.4 −

0

Fig. 3.3-b. Línea examinada después del proceso de desplazamiento de fase del interferograma de la Fig.3a. La línea punteada fue ajustada a partir del resultado experimental. Esta fue desplazada para propósitos ilustrativos. Las unidades son en m.

Debe mencionarse, que como es común agregar una lente auxiliar, esta debe colocarse

frente al detector CCD para ajustar el interferograma al área sensible del CCD. De esta

forma cuando se ajusta la posición de la lente L2 se varía el área bajo prueba y la lente

auxiliar se debe ajustar. Por simplicidad esta lente no se incluyó en la Fig.1.

3.6 Análisis de errores

Como se describió anteriormente, la fase cuadrática en la Ec. 3.22 causa un error en la

medición. Este error puede ser visualizado por medio del siguiente ejemplo. Supongamos

que el objeto bajo prueba consiste de una superficie óptica sin ninguna inclinación en la

cual un área de 1 cm. por 1 cm. va a ser probada. Si después de procesar el interferograma,

analizamos un corte lineal paralelo a un lado del objeto, debido a la fase cuadrática una

curva de forma parabólica en lugar de una línea recta será obtenida. Centrando la parábola,

la altura de los extremo de la curva representan el máximo error introducido en la medición

debido al término cuadrático.

El valor del máximo error introducido anteriormente se puede fijar como sigue:

Supongamos que aceptamos un máximo error de 20/λ (un décimo de franja) para este

ejemplo. Considerando el valor de la distancia focal de las lentes en nuestro arreglo

experimental, una diferencia de camino óptico máxima de aproximadamente 3mm entre el

haz de referencia y el haz objeto es requerido. El máximo valor para la diferencia de

camino óptico puede ser tomado por la selección de la razón de la distancias focales de las

lentes L1 y L2. En la Fig. 3.4 mostramos la relación entre la diferencia de camino óptico

( ) como una función de la razón para el máximo error permitido de un décimo

de franja de una línea examinada de 1 cm. La Fig.4 fue obtenida por medio de la Ec. 3.19.

Para esto pusimos en la Ec. 3.23

z∆ 12 / ff

( ) αξηξ sin, +h =0 para considerar solamente el efecto

del factor cuadrático. Se simuló en la computadora para una línea examinada entre -0.5 y

0.5 cm manteniendo constante y variando el valor de hasta un error igual a 1f 2f 20/λ .

En este proceso el valor de se varía de forma que se mantenga la misma área de

iluminación. El proceso fue repetido tres veces para diferentes valores de .

1z

1f

Como aparece en la Fig. 3.4 debido al error introducido la divergencia de los haces se

puede reducir hasta permitir tomar mediciones interferométricas con alta precisión

permitiendo al mismo tiempo variar el área de iluminación.

0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

25

30

f1=2.4 cm

f1=1 cm

f1=0.5 cm

∆z (m

m)

f2/f1

Fig. 3.4. Diferencia de camino óptico máximo permitido entre el haz objeto y el haz de referencia como una función de la razón bajo las condiciones discutidas en el texto. 12 / ff

3.7 Conclusiones

Se presentó un método que utiliza iluminación gaussiana coherente para medición

interferométrica de superficies ópticas de alta calidad. Se mostró que el método propuesto

permite el análisis de áreas de observación variable sin la necesidad de cambiar algún

componente del arreglo. Para variar el área de observación solamente es necesario

desplazar la posición de la segunda lente del arreglo. Esto abre la posibilidad de desarrollar

sistemas automáticos.

Se describió el sistema analíticamente por el cálculo de la difracción debido a la

propagación de los haces. Este análisis mostró que la fuente principal de error se debe a la

diferencia de curvatura de los frentes de onda que interfieren, lo que implica que la

diferencia de los caminos óptico que viaja cada uno de los haces debe ser reducida a un

mínimo posible.

Mostramos que es posible reducir el error a un valor razonablemente bajo por la selección

apropiada de las componentes ópticas, así, incrementamos la precisión de la medición. La

factibilidad del método fue mostrado experimentalmente por la medición de dos diferentes

áreas de un plano óptico inclinado del mismo objeto bajo prueba.

En el siguiente capítulo se muestra el mismo tipo de análisis considerando ahora la

diferencia de camino óptico como un resultado que permite aplicarlo a la medición de

distancias.

3.8 Referencias

[1] M. Davison, K. Kaufman, I. Mazor and F. Cohen, “An application of interference

microscopy to Integrated circuit inspection and metrology,” SPIE vol. 775, 233-247,

(1987).

[2] B. Cencic and N. Barut, “Optical Profiling using an interference microscope,” SPIE

vol. 954, 101-108, (1988).

[3] H. Bongtae “Higher sensitivity moiré interferometry for micromechanics studies,”

Opt. Eng., 31, No.7, 1517-1526, (1992).

[4] E. M. Weissman and D. Post, “Moiré interferometry near the theoretical limit,” Appl.

Opt. 21(9), 73-78, (1982).

[5] S. R. Clark and J. E. Greivenkap, “Optical reference profilometry,” Opt, Eng. 40 (12),

2845-2851 (2001).

[6] J. M. Bennett and J. H. Dancy, “Stylus profiling instrument for measuring statistical

properties of smooth optical surfaces,” Appl. Opt. 20 (10), 1785-802, (1981).

[7] W. J. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, second edition, New

York, 66-67, 96-99, (1996).

[8] D. W. Robinson and G. T. Reid, Interferogram analysis, Institute of physics

publishing, Bristol and Philadelphia, 104-107, 113-115, (1993).

Capítulo 4

Medición de distancia con rango ajustable

4.1 Introducción Tomando como base el análisis de propagación desarrollado en el capítulo anterior y

tomando en cuenta que la diferencia de caminos ópticos era un factor crítico en la

aplicación del método, ahora consideramos como un parámetro muy importante esa

diferencia de camino óptico. En el presente capítulo se describe un método

interferométrico para medir la distancia entre dos superficies colocadas en un

interferómetro Michelson, el cual está basado principalmente en la diferencia de radios de

curvatura de los frentes de onda que interfieren y que mide en el rango de una fracción de

mm. hasta pocos centímetros con moderada precisión.

La medición de distancia es necesaria en diferentes aplicaciones, tales como el control

dimensional y calibración de máquinas herramientas [1], calibración de PZT, fotolitográfia,

calibración de movimientos lineales y angulares, por mencionar algunos. Para esto

diferentes métodos interferométricos se han propuesto. Entre los cuales se puede mencionar

aquellos en los cuales se cuenta constantemente el orden de interferencia [2], pero la

velocidad a la cual se hace se ve limitada por la electrónica. Para resolver el conteo de las

franjas de interferencia algunos acercamientos se han hecho con mayor longitud de onda lo

cual reduce la sensitividad de la distancia del método. Esos métodos trabajan dentro del

primer orden de interferencia. Técnicas de múltiples longitudes de onda han sido usadas

para este propósito pero los arreglos llegan a ser complicados [3,4]. En acercamientos

similares [5,6], el cambio de la longitud de onda en un diodo láser permite variar la

distancia hasta centímetros por métodos de detección heterodino, pero el proceso de la

señal es complejo.

Existen otros métodos que están basados en el efecto de la fuerza electromotriz. En este

caso el uso de un detector photo-emf y un diodo láser modulado en frecuencia permite

ajustar el rango de la distancia [7]. En estos sistemas la foto corriente generada (llamada

efecto fotón-fuerza electromotriz) es proporcional a la distancia. Sin embargo el rango de

medición está limitado a la parte lineal de la señal de salida la cual varía como una función

Bessel.

A diferencia de los métodos anteriores para la medición de distancia, un método que no

requiere el continuo conteo del orden de interferencia se ha propuesto. Este método utiliza

un mapa de fase en su cálculo [8]. En este caso se usan dos fuentes de luz esféricas que

producen interferencia en un detector CCD, del cual la distancia es calculada por un

problema inverso de cinemática.

Para mostrar la factibilidad de nuestro método, seleccionamos un técnica simple de tres

pasos para recuperar el mapa de fase óptico. Finalmente este mapa es ajustado a un

paraboloide para el cálculo de la distancia por medio de una técnica numérica. La

sensitividad del método se puede ajustar por la propia selección de la longitud focal de la

lente localizada en la entrada del interferómetro. Así la distancia medida puede ser ajustada

dentro de un amplio rango de valores.

4.2 Teoría

De la misma manera como en el capítulo anterior esta aplicación está basada en la

propagación de haces Gaussianos usando la integral de difracción de Fresnel. En este

capítulo la técnica propuesta para medir la distancia se basa en la diferencia de los radios

de curvatura de los haces gaussianos que viajan diferentes distancias ópticas a través de los

brazos de un interferómetro Michelson. La Fig. 4.1 muestra el arreglo experimental. La

lente L sirve para ajustar el tamaño del haz en el espejo M y M . Como se describió T R

anteriormente, esto permite ajustar el tamaño del radio de curvatura del haz gaussiano el

cual se relaciona indirectamente con la sensitividad de la medición. Como es normal, los

espejos M y M se consideran superficies planas. Después de pasar a través de la lente L

el haz viaja hasta un divisor de haz en donde es dividido, entonces un haz viaja hasta el

espejo M y el otro hasta el espejo M .

T R

T R Finalmente, ambos haces son dirigidos hasta el

plano de una cámara del CCD dónde ellos son coherentemente sumados por el grabador.

He:Ne láser

Lente L1

Divisor de haz

CCD

Plano (x,y)

Plano ( )ξ,η

Objeto bajo desplazamiento

TM

RM

Fig. 4.1 Arreglo experimental de la técnica propuesta. L representa una lente expansora, MR y MT son los espejos de referencia y el de bajo desplazamiento respectivamente y BS es el divisor de haz.

4.2.1 Análisis de propagación

El radio del haz y el radio de curvatura del frente de onda de un haz gaussiano son

calculados del sistema. Para este análisis una expresión que involucra los radios de

curvatura de los haces en el plano de detección y la distancia entre los dos espejos es

encontrada.

Comenzamos el análisis de difracción en la cintura del haz gaussiano en el plano .

Este plano es seleccionado como punto de inicio debido a que en este plano los parámetros

del haz pueden ser medidos con mas facilidad. De esta forma la lente L es colocada

precisamente en este plano para obtener expresiones matemáticas mas cortas en el análisis.

Debe recalcarse que la posición de la lente en otro plano no afecta el principio de la técnica

que está basado en la medición de la diferencia entre los radios de curvatura de los haces

bajo detección.

),( yx

Comenzaremos nuestro análisis considerando la ecuación de un haz gaussiano en su

cintura, la cual es expresada por la Ec. 2.5

En el plano precisamente después de la lente L, la distribución de amplitud es dada por

[10],

( ) ( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+ 22exp,),( yx

fiyxuyxu

λπ ) 4.1

donde es la distancia focal de la lente expansora L y donde f ),( yxψ está representada por

la Ec. 2.1.

Como se muestra en la Fig. 1, la distribución de amplitud dada por la Ec. 4.1 se propaga

una distancia hasta el plano de detección z ),( ηξ , donde es colocado el sensor CCD. La

distribución de amplitud en este plano es calculada por medio de la integral de difracción

de Fresnel, la cual está representada en la Ec. 2.5.

En la Ec. 2.5, es la distancia entre los planos z ( )ηξ , y ( )yx, .

Sustituyendo la Ec. 4.1 en la Ec. 2.5 y realizando todos los cálculos, obtenemos la

distribución de amplitud en el plano de detección como

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

RrCU

λπηξηξ 2

22 1exp, 4.2

donde definimos el nuevo radio del haz y el nuevo radio de curvatura como

abazr

πλ

22 += 4.3

( )( ) bbaz

bazR++

+= 22

222

λλ 4.4

respectivamente , y donde

20

1r

aπ

= 4.5

zffzb

λ−

= 4.6

en la Ec. 4.2, es un término de amplitud que no depende de las coordenadas

transversales. De acuerdo con las Ecs. 4.3-4.6, los parámetros del haz gaussiano en el plano

de detección dependen de la distancia de propagación y de la distancia focal de la

lente L. Esos parámetros pueden ser seleccionados apropiadamente de acuerdo al rango de

medición deseado, como se describirá en la sección 4.4.

C

z f

4.2.2 Interferencia

En esta sección se describe el modelo de interferencia propuesto para la medición de

distancia.

En el plano del detector CCD la amplitud de los haces de MT y MR son ambos

representados por la Ec. 4.2. Sin embargo la longitud de camino óptico viajado por ellos

desde L al detector CCD son en general diferentes i.e. y respectivamente. De Tz ,Rz

acuerdo con eso presentamos la distribución de amplitud de esos haces como ),( ηξTU y

),( ηξRU , respectivamente. Además , C , , b r y R son de la misma forma identificados

con el subíndice T ó R, respectivamente.

En el plano del detector CCD ambos haces son coherentemente sumados. Esto se representa

por

),(),(),( ηξηξηξ RT UU +=Ψ 4.7

La intensidad correspondiente en el plano de detección se puede obtener como

),(),(),( * ηξηξηξ ΨΨ=I 4.8

por lo tanto, substituyendo la Ec. 4.7. en la Ec. 4.8 la intensidad detectada puede ser

expresada como

( ),),(cos),(),(),( ηξθηξηξηξ baI += 4.9

donde ),( ηξa es un nivel de DC dado por

( ) ( ) 2222

2222

2exp2exp),( RR

TT

Cr

Cr

a ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−= ηξηξηξ 4.10

),( ηξb es un término de modulación expresado por

( ) TRTR

CCrr

b ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2211exp),( ηξηξ 4.11

y el término de fase óptica ),( ηξθ está dado por

( ) ( ) ( ) φηξλπβα

λπηξθ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++=

RT RRyx 11sinsin4, 22

11 4.12

Como se puede observar en la Ec. 4.12 se ha introducido α y β los cuales representan

pequeños ángulos de inclinación debido a la posición experimental de las direcciones ξ - y

η -, respectivamente El segundo término en la Ec. 4.12 genera franjas circulares como

resultado de la interferencia de los dos frentes de onda con diferentes radio de curvatura,

y . El término TR RR φ es una fase fija desplazada por la diferencia de camino óptico entre

los haces.

Ya que el radio de curvatura depende de la distancia de propagación de acuerdo a las Ecs.

4.4-4.6, el segundo término de la Ec. 4.12 es función de la diferencia de distancia en la

trayectoria óptica viajada por los haces, denotado por RT zzz −=∆ . El valor es dos veces

la distancia entre MR y MT debido al doble paso natural del haz. Similarmente

considerando la Ec. 4.6 el radio de curvatura es una función de la distancia focal de la lente

L también. Por lo tanto la sensitividad del método se puede ajustar por el simple reemplazo

de la lente L como se mostrará posteriormente. Aquí el término de sensitividad es usado en

el sentido de la Ref.[11], refiriéndose a la distancia requerida para introducir un cambio de

una franja en la imagen de intensidad correspondiente. Como se mostrará, distancias

relativamente mayores requieren distancias focales mayores.

El término de fase ),( ηξθ en la Ec. 4.12 puede ser calculado por cualquier técnica de tres

pasos disponible seguida por un algoritmo de desenvolvimiento [11]. De esta forma se

comparan dos imágenes de la fase desenvueltas para dos distancias medidas, mientras se

mantiene una superficie fija el desplazamiento de la segunda superficie puede ser

calculado.

Una vez obtenida la fase desenvuelta, aplicamos un ajuste de mínimos cuadrados al mapa.

El resultado de este cálculo son los coeficientes de la ecuación para la mejor superficie

paraboloide ajustada. La ecuación de esta superficie es usada para estimar la distancia

entre los dos espejos por la Ec. 4.12 como se describe a continuación.

La ecuación que representa la superficie parabólica ajustada está dada por

)(),(ˆ 22 ηξηξηξθ ++++= EDBA 4.13

donde A , B , D y E son los coeficientes calculados con el correspondiente ajuste de los

datos obtenidos.

Después de obtener los coeficientes del ajuste, se comparan directamente los coeficientes

cuadráticos de la Ec. 4.12 con los de la Ec. 4.13 y obtenemos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

RT RRE 11

λπ

4.14

Sustituyendo las Ecs. 4.4-4-6 en la Ec. 4.14 se obtiene una ecuación que queda en función

de la diferencia de camino óptico de los dos frentes de onda que interfieren. Sin embargo

z∆ no puede ser fácilmente despejada, por lo que se usa una técnica numérica iterativa

construida de un paquete comercial matemático disponible. El valor calculado de z∆

representa un valor promedio del número total de píxeles para el número total de píxeles de

la imagen. Además como z∆ en la Ec. 4.14 no depende de las coordenadas transversales

),( ηξ , lo que representa que no se requiere un riguroso alineamiento.

Ambos términos, de la inclinación y de la fase fija dados en la Ec. 4.1 no son tomados en

cuenta para realizar estos cálculos.

4.3 Resultados experimentales

Para ilustrar el principio del método presentamos mediciones de distancia entre dos

superficies. Refiriéndonos a la Fig. 4.1., un haz láser gaussiano de 5-mW He:Ne (632.8 nm)

fue expandido por una lente L con una distancia focal de 7 mm.. El radio de la cintura del

haz medido fue 0.35 mm..

Para estas mediciones se consideró que el espejo MR estaba fijo y MT estaba bajo

desplazamiento. La distancia total viajada por los haces desde la lente L hasta el sensor

CCD fue 25.8 cm. Esta distancia se seleccionó de manera que el láser cubriera el área

del sensor CCD. Estas dimensiones fueron 6.4 mm. x 4.8 mm.. M

=Rz

T fue montado en una

base que podía ser desplazada por un tornillo micrométrico con precisión de 1 µm. La

dirección de traslación es a lo largo del eje óptico. La distancia viajada por el haz desde la

lente L a MT y finalmente al CCD, , es en general diferente de . Tz Rz

Las siguientes mediciones corresponden al cálculo de la diferencia entre y (i.e. Rz Tz z∆ ).

Como se mencionó anteriormente para mostrar la factibilidad del método se utilizó una

técnica simple de tres pasos en el cálculo de la fase óptica. Para estimar el valor de la

distancia, se prosiguió como se describió en la sección 4.2.2. Para cada una de las

mediciones un conjunto de tres imágenes de intensidad fueron tomadas. La Fig. 4.2 muestra

una de las imágenes de fase desplazada para una de las mediciones. Su mapa de fase

desenvuelto resultante se muestra en la Fig. 4.3. La fase óptica expresada en la Ec. 4.13 es

obtenida del mapa de fase desenvuelto. A continuación calculamos la distancia entre los

dos espejos aplicando un ajuste paraboloidal a los últimos datos. Para el caso de la Fig. 4.2

obtuvimos mm.. Para el último dato, consideramos el doble paso del haz en el

interferómetro. La Fig. 4.4 muestra una línea experimental del mapa de fase con su

respectivo valor ajustado. La tabla 1 incluye el conjunto de mediciones completas. Los

valores de distancia obtenidos por medio de la técnica numérica fueron verificados con el

valor correcto por sustitución en la Ec. 4.14.

94.15' =∆z

Fig. 4.2. Distribución de intensidad correspondiente a 94.15'=∆z mm.

Fig. 4.3. Mapa de fase envuelto (en rad) resultante para la distribución de intensidad de la Fig. 2. Las dimensiones están en mm.

En la tabla 1 el primer renglón corresponde a los valores de la distancia leídos en la escala

del micrómetro, los cuales son considerados como verdaderos debido a la pequeña

incertidumbre de µ5.0± m, comparada con la de nuestro método, como se mostrará

posteriormente. Los valores del segundo renglón se refiere a los valores calculados usando

la técnica propuesta.

Fig. 4.4. Línea de la fase óptica experimental con sus valores correspondientes ajustados. La línea tomada del mapa de fase corresponde a la línea central.

Se puede estimar la discrepancia entre los valores calculados y los valores leídos en el

micrómetro por [ ] ,)(2

1Nzzze

N

nrrm∑

=

∆∆−∆= , donde mz∆ es el valor medido, es el

valor leído del micrómetro y es el número de mediciones. Por el uso de esta expresión

obtenemos un error relativo de 1.3% para las mediciones de la tabla 1.

rz∆

N

Para mostrar el efecto del des-alineamiento en la técnica se introdujo un pequeño ángulo de

inclinación al espejo bajo desplazamiento en la medición correspondiente a mm.

La Fig. 4.5 muestra el mapa de fase correspondiente a este caso. Como puede observarse,

00.3'=∆z

debido a la pequeña inclinación el centro del patrón de franjas queda fuera del área de

observación. Como se indicó, la técnica está basada en la diferencia de radios de curvatura,

la distancia calculada de las mediciones coincide con las obtenidas cuando no se introduce

un pequeño ángulo, dentro de los límites de la precisión de nuestra técnica.

Valor leído 3.00 5.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00

Valor medido 3.09 4.98 6.05 8.10 10.12 12.09 13.95 15.84

Tabla 4.1. Comparación entre los valores de distancia de la escala del micrómetro y sus valores medidos correspondientes. Las unidades son mm.

Fig. 4.5. Mapa de fase envuelto (en rad) correspondiente a 09.3'=∆z mm.

4.4 Análisis de errores

Comenzamos esta sección calculando una estimación de la precisión del método. Debido a

la complejidad de las expresiones analíticas usamos cálculos numéricos como se explica a

continuación. Primero, notamos que de las Ecs. 4.4-4.6 y 4.15, ),,( zzfEE R ∆= . Entonces

calculamos numéricamente la mayor variación de E manteniendo z∆ fijo a 2 mm.. Para

esto asumimos que un valor razonable de incertidumbre para el valor de la distancia focal y

la distancia de propagación es mm.. Considerando que 1± 246=Rz mm., 8.632=λ nm,

cm, y mm. y sustituyendo este valor en la Ec. 4.14 la mayor variación de 2.1=f 35.00 =r

E es 1/m3103xE =δ 2. Ahora con el máximo valor encontrado de Eδ , mantuvimos fijo

y , así , de acuerdo a esto

f

Rz )( zEE ∆= zzd

dEE ∆∆

= δδ . Después de evaluar la derivada del

término en esta expresión con la Ec. 4.15, la variación correspondiente en z∆ se encontró

que es 034.0=∆zδ mm.. Esto representa un error relativo de 1.7%. Vale la pena señalar

que este valor es para condiciones extremas de acuerdo a la incertidumbre considerada. El

cálculo experimental del error del método se encontró que fue . %3.1

El colocar la lente L en otro lugar que no sea la cintura del haz representa una fuente de

error adicional cuando la Ec. 4.14 es aplicada, ya que esta ecuación supone que la lente es

colocada precisamente en la cintura del haz. Exageraremos un error en el mal

posicionamiento de la lente de 5 cm., entonces, se requiere de una propagación adicional

desde la cintura del haz hasta la lente L, se tiene un error de 0.017%. Este error puede ser

omitido si es comparado con el expresado anteriormente y es relativamente menor debido a

que la lente L tiene poca divergencia.

Errores debido a las aberraciones de la lente L puede ser omitidos debido al hecho de que el

diámetro de la lente es un orden de magnitud mayor al diámetro del haz, lo cual implica que

solo la región paraxial de la lente es usada.

Ahora procedemos a estimar la sensitividad del método, la cual como se declaró en la

sección 4.2.2 se puede estimar por la distancia requerida z∆ para inducir un cambio de 2π

en la fase en el mapa de fase correspondiente. Esta condición ocurre cuando el termino

cuadrático del argumento de la expresión de fase de la Ec. 4.13, cambia 2π . La sensitividad

puede ser estimada por el cálculo de la distancia z∆ para lo cual el primer orden de

interferencia ocurre en su mapa de interferencia correspondiente. Esta condición ocurre

cuando el término cuadrático del argumento de la expresión de la fase, Ec. 4.13 es π2 .

Entonces por un método numérico mencionado calculamos la distancia correspondiente a la

diferencia de camino óptico para diferentes distancias focales de la lente expansora L. Entre

los espejos para diferentes longitudes focales de la lente expansora L. Para el caso actual

cm., el primer cambio de 2π ocurre cuando 2.1=f 37.4=∆z mm.. Cuando la distancia es

aumentada cuatro veces, i.e. 8.4=f cm., el cambio correspondiente de 2π ocurre para

mm.. Para obtener esos valores, mantenemos constante el radio del haz en el

área del sensor CCD. Para cumplir esta suposición, la distancia de la lente L al plano del

detector CCD, , debe ser incrementada en la misma proporción que la distancia focal.

Este comportamiento puede ser visualizado si consideramos en el caso más frecuente

también puede ser sustituida en la Ec. 4.4- 4.6. Adicionalmente

por las Ecs. 4.4- 4.6 se tiene la siguiente proporcionalidad, . De esta

proporcionalidad podemos notar que la sensitividad sigue una relación cuadrada inversa

00.75=∆z

z

fz >> 2222 /1 fba λ≈+

2/ zz∆∝φ

con la distancia de propagación , la cual a su vez es proporcional al número de veces que

la distancia focal es variada cuando el tamaño del haz es mantenido constante en el área del

detector CCD, como se mencionó anteriormente. De esta manera, si incrementamos

veces la distancia focal de la lente, la sensitividad es reducida veces, i.e. la diferencia

de camino óptico veces mayor es requerida para cambiar una franja en las imágenes de

intensidad.

z

N

2N

2N

Los resultados discutidos anteriormente sugieren que la sensitividad del sistema puede ser

controlada de forma automática. Para lograr esta condición se pueden usar dos lentes

expansoras las cuales permiten variar la divergencia del haz por pequeños cambios de la

distancia entre las lentes, como se muestra en la Ref. [12].

4.5 Conclusiones

A partir de la teoría desarrollada se ha descrito un método interferométrico para medir

distancia en aplicaciones con moderada incertidumbre. Mostramos que de las franjas

resultantes debido a la diferencia de camino óptico de los dos haces gaussianos en un

interferómetro Michelson se puede calcular la distancia entre dos espejos con superficie

planas de calida óptica.

Dado que en cualquier distancia entre las superficies se puede calcular de un mapa de fase,

ya no es necesario el conteo de órdenes de interferencia. Así este método se adapta para

medir desplazamientos donde las condiciones cambian rápidamente con el tiempo.

El rango de medición del método puede ser ajustado con la selección de la distancia focal

de la lente expansora y va de una fracción de milímetros a algunos centímetros.

Demostramos como calcular la distancia por medio de un ajuste relativamente pequeño a

partir de un mapa de fase desenvuelto. Nuestro método es insensible a des-alineamientos

relativamente pequeños.

4.6 Referencias

[1] J. F. Ready, “Industrial Applications of Lasers”, Academic Press, London, (1978).

[2] D. Malacara, “Optical Shop Testing”, (Wiley, Second Ed., New York, (1992).

[3] Z. Sodnik, E. Fischer, T. Ittner and H. J. Tiziani, “Two-wavelength double heterodyne

interferometry using a matched grating technique,” App. Opt. 30, 3139-3144 (1991).

[4] J. C. Wyant, “Testing aspherics using two-wavelength holography,” App. Opt. 10,

2113- 2118 (1971).

[5] H. Kikuta, K. Iwata and R. Nagata, “Distance measurement by the wavelength shift of

laser diode light,” App. Opt. 25, 2976-2980 (1986).

[6] E. Fischer, E. Dalhoff, S. Heim, U. Hofbauer and H. Tiziani, “Absolute nterferometric

distance measurement using a FM-demodulation technique,” App. Opt. 34, 5589-5594

(1995).

[7] F. Jin, J. B. Khurgin, C.-C. Wang, S. Trivedi and E. Gad, “Displacement easurement

with adjustable range by use of the photoelectromotive force effect and a frequency-

modulated laser diode,” Opt. Let. 26, 1170-1172 (2001).

[8] H. G. Rhee and S. W. Kim, “Absolute distance measurement by two-point-diffraction

interferometry,” App. Opt. 41, 5921-5928 (2002).

[9] A Yariv, “Optical Electronics in Modern Communications”, Oxford University Press,

Fifth Ed., New York,(1997).

[10] W. J. Goodman, “Introduction to Fourier Optics”, McGraw-Hill, Second Ed., New

York, (1996).

[11] D. W. Robinson and G. T. Reid, “Interferogram Analysis”, Institute of Physics

Publishing, Bristol and Philadelphia, (1993).

[12] G. Santos, M. Cywiak and B. Barrientos, “Interferometry with coherent Gaussian

illumination for roughness and shape measurement,” Opt. Comm. 239 (2004) 265-

273.

Capítulo 5

Conclusiones generales

5.1 Conclusiones generales

El este trabajo se presentó el desarrollo e implementación de sistemas interferométricos con

iluminación coherente gaussiana, los cuales permiten vislumbrar una gama de aplicaciones

alternas a las ya existentes con ventajas únicas.

Estos sistemas están basados en el análisis de propagación de un haz gaussiano haciendo

uso de la integral de difracción de Fresnel en un interferómetro tipo Michelson. Este tipo

de análisis y sistemas desarrollados nos brindan la capacidad de variar el área de

iluminación dentro de cierto rango sin la necesidad de hacer algún cambio de componente

al arreglo experimental. Esto se logra con el simple desplazamiento de una lente, lo cual

abre la posibilidad al desarrollo de sistemas automatizados. El área de iluminación del

objeto bajo inspección puede ser variada desde unos cuantos milímetros cuadrados hasta

varios centímetros cuadrados de área

El desarrollo de esta teoría se ha sustentado en la característica única de un haz gaussiano,

es decir que sus parámetros, el radio transversal y el radio de curvatura del frente de onda,

pueden ser conocidos a cualquier distancia de propagación.

5.2 Trabajo futuro * Una de las posibles aplicaciones involucra la medición de esfuerzos y deformaciones en

áreas variables de inspección del objeto bajo prueba.

* Otra posible aplicación es la medición de desplazamientos tridimensionales. Para este tipo de aplicación se puede tomar como base la teoría desarrollada en el capítulo 4.

Apéndices

Apéndice I

Lista de Figuras

Capitulo 2

Fig. 1. Perfil del has Gaussiano. Grafica de la irradiancía contra la distancia radial del eje

del has

Figura 2.2 Variación del diámetro del has Gaussiano en la vecindad de la cintura. El

tamaño del has en su punto mas pequeño es . El ángulo completo de divergencia es

definido por las asintotas para los puntos

0r

21 e de mayor distancia hasta la cintura del has es

θ .

Capitulo 3

Fig. 1. Arreglo experimental

Fig. 2-a. Interferograma grabado de un plano óptico bajo prueba para una área de

inspección de 0.2 cm2

Fig. 2-b. Línea examinada después del proceso de desplazamiento de fase del

interferograma de la Fig. 2a. La línea punteada fue ajustada a partir del resultado

experimental. Este fue desplazado para propósitos ilustrativos.

Fig. 3-a. Interferograma grabado de un plano óptico bajo prueba para una área de

inspección de 2.0 cm2

Fig. 3-b. Línea examinada después del proceso de desplazamiento de fase del

interferograma de la Fig.3a. La línea punteada fue ajustada a partir del resultado

experimental. Esta fue desplazada para propósitos ilustrativos.

Fig. 4-b. Diferencia de camino óptico máximo permitido entre el haz objeto y el haz de

referencia como una función de la razón bajo las condiciones discutidas en el texto 12 / ff

Capitulo 4

Fig. 1Arreglo experimental de la técnica propuesta. L representa una lente expansora, MR y

MT son los espejos de referencia y el de bajo desplazamiento respectivamente y BS es el

divisor de has.

Fig. 2. Distribución de intensidad correspondiente a 94.15'=∆z mm

Fig. 2. Distribución de intensidad correspondiente a 94.15'=∆z mm

Fig. 4. Línea de la Fase óptica experimental con sus valores correspondientes ajustados. La

línea tomada del mapa de fase corresponde a la línea central.

Fig. 5. Mapa de fase envuelto (en rad) correspondiente a 09.3'=∆z mm

Tablas

Tabla 1. Comparación entre los valores de distancia de la escala del micrómetro y sus

valores medidos correspondientes. Las unidades son mm.

Apéndice II

Lista de Publicaciones

- G. Santos, M. Cywiak and B. Barrientos, “Interferometry with coherent Gaussian

illumination for roughness and shape measurement,” Opt. Comm. 239 (2004) 265-

273.

- G. Santos, Bernardino Barrientos and Moisés Cywiak, “Distance measurement with

adjustable range by interferometry with Gaussian beams”, Optical engineering,

acepted.