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INTERPOLACIÓN

INTRODUCCIÓN

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la

forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómenoen situaciones que no hemos medido directamente.

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemoslos valores en los extremos.

La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debetenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muyfiable el resultado obtenido.

3. Interpolación lineal

Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función eslineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal..

Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consisteen hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. Teniendo encuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:

 

obtenemos la fórmula de la interpolación lineal.

Ejercicio 4.El número de turistas entrados en España en el período 1980-1995 siguió lasiguiente tendencia:

Año 1980 1985 1990 1995Millones deturistas

24,1 30,1 38,0 43,2

a) Expresar la función definida a trozos que daría, por interpolación lineal, el número deturistas en cada año intermedio. Calcular el número de turistas en 1986

 b) Hallar la previsión para el año 1988 (suponiendo fuese lineal).

Cálculo del polinomio interpolador [editar]

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Se dispone de dos métodos generales de interpolación polinómica que permitenaproximar una función por un polinomio de grado m. Uno de los métodos es lainterpolación de Lagrange, siendo el otro la interpolación de Hermite.

Interpolación de Lagrange [editar]

Sea f la función a interpolar, sean x0,x1,...,xm las abscisas conocidas de f y sean f 0,f 1,...,f mlos valores que toma la función en esas abscisas, el polinomio interpolador de grado nde Lagrange es un polinomio de la forma

donde l j(x) son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:

 Nótese que en estas condiciones, los coeficientes l j(x) están bien definidos y sonsiempre distintos de cero.

Disponemos de un método alternativo para calcular el polinomio interpolador de unafunción f dada: el método de las Diferencias Divididas de Newton.

Éste método es más algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos,sobre todo cuando queremos calcular un polinomio interpolador de grado elevado.

Tomemos f una función y escribamos su polinomio interpolador de Lagrange de gradom como sigue:

Los coeficientes ai son las llamadas diferencias divididas.

Estos coeficientes se calculan mediante los datos que conocemos de la función f como

sigue:

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Como se ve en la fórmula, las diferencias divididas se calculan de modo recursivousando coeficientes anteriores. Comenzamos el cálculo entendiendo que

.

Una vez hayamos realizado todos los cálculos, notaremos que hay (muchas) másdiferencias divididas que coeficientes ai. El cálculo de todos los términos intermediosdebe realizarse simplemente porqué son necesarios para poder formar todos lostérminos finales. Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomiointerpolador son todos aquéllos que involucren a x0, tal que así:

Mostramos ahora una tabla mnemotécnica con las diferencias divididas de una ciertafunción f dada para construir un polinomio interpolador de grado 2:

 

Veamos en el ejemplo siguiente el cálculo de un polinomio interpolador de Lagrangeusando los métodos mencionados:

Ejemplo: Queremos hallar el valor de la función para x = 0.75 usandoun polinomio interpolador de Lagrange de grado 2.

Para ello usamos los siguientes datos:

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• Usamos primero el método directo para calcular el polinomio interpolador deLagrange. Con las condiciones dadas, los polinomios de Lagrange son:

• Calculamos ahora el polinomio interpolador de grado 2:

• Ahora evaluamos este polinomio en x = 0.75 para obtener un valor aproximadode e1.75:

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• Si usamos una calculadora para efectuar el cálculo obtenemos

, por lo que el error cometido es elsiguiente:

Se trata de un error del orden del 0.66 %.

Vamos a realizar ahora la interpolación mediante el método de las Diferencias Divididas

de Newton:

• Diseñamos una tabla de Diferencias Divididas esquemática y realizamos los pertinentes cálculos para obtener los siguientes coeficientes:

• Ahora debemos tomar de estos coeficientes los que necesitamos para escribir el polinomio interpolador. Recordemos, según lo apuntado anteriormente, que sólousamos aquéllos coeficientes que involucren a Así las cosas, obtenemos el

 polinomio interpolador de Lagrange de grado 2:

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Y, como podemos ver, llegamos al mismo polinomio pero con relativamente menostrabajo.

Interpolación de Hermite [editar]

Artículo principal: Interpolación polinómica de Hermite

La interpolación de Hermite, llamada así en honor a su inventor Charles Hermite, essimilar a la de Newton pero con el añadido de que ahora también conocemos los valores

que toma la derivada de la función f en las abscisas conocidas x0,x1,...,xm.

El Polinomio Interpolador de Hermite de grado 2m + 1 de la función f es un polinomiode la forma

con

La interpolación de Hermite puede extenderse al conocimiento de las derivadassucesivas de la función a interpolar en las abscisas tomadas, de modo que se puedeobtener un polinomio cada vez más ajustado a la función real, ya que éste podrá cumplir otros requisitos como una determinada monotonía, concavidad, etc.

En este caso, estaremos hablando de interpolación de Hermite generalizada y su cálculose llevará a cabo de forma similar a la apuntada, pero obteniendo polinomios de grado

cada vez mayor debido a las sucesivas derivadas de los coeficientes .

 Notar, pues, que la interpolación de Lagrange puede considerarse como un caso particular de la interpolación de Hermite generalizada (el caso en el que "conocemos"cero derivadas de f).

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Tal y como ocurría con la Interpolación de Lagrange, para la interpolación de Hermitetambién disponemos una fórmula del error de interpolación que, naturalmente, tiene encuenta factores relacionados con las derivadas de f. Más concretamente, se dispone deuna fórmula del error en el caso en que la función f sea 2m+2 veces diferenciable en unintervalo I mediante la siguiente expresión:

  para y donde

La diferencia esencial entre la Interpolación de Hermite y la Interpolación de Lagrangereside en el cálculo a través de la construcción de los Polinomios de Lagrange. En estecaso, su cálculo es árduo, largo y complicado; por lo que el uso de las llamadasdiferencias divididas generalizadas simplifica mucho el cálculo del polinomiointerpolador.

Las diferencias divididas generalizadas se construyen de igual modo que las DiferenciasDivididas de Newton, salvo que ahora necesitaremos escribir f i tantas veces más unacomo derivadas de f conozcamos. Aquí sólo veremos el caso en el que conocemos la

 primera derivada, siendo el resto una generalización de este.

Como en la Interpolación de Lagrange, el Polinomio Interpolador de Hermite de grado

2m + 1 se escribirá, una vez calculadas las Diferencias Divididas, de este modo

  Nótese que, aparentemente, los coeficientes no están bien definidos, pues

Sin embargo, podemos tomar límites y escribir esta expresión así:

Pero esto no es más que la definición de la derivada de f en el punto xi, de modo que

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Por ello, incluiremos en nuestra tabla de Diferencias Divididas los datos sobre todas las

derivadas conocidas de la función a interpolar.

Interpolación segmentaria [editar]

Existen métodos de Interpolación segmentaria que nos permiten aproximar funciones deun modo eficaz. Entre ellos cabe destacar la interpolación de Taylor y la interpolación

 por Splines.

La Interpolación de Taylor usa el Desarrollo de Taylor de una función en un punto paraconstruir un polinomio de grado m que se aproxima a la función dada. Tiene dos

ventajas esenciales sobre otras formas de interpolación:• Requiere sólo de un punto conocido de la función para su cálculo, si bien se

 pide que la función sea suficientemente diferenciable en un entorno de ese punto.

• El cálculo del Polinomio de Taylor es sumamente sencillo comparado con otrasformas de interpolación polinómica:

Sin embargo, en ocasiones no será deseable su uso dado que el error de interpolación puede alcanzar cotas demasiado elevadas.

Es especialmente útil para emplearse en lugar de métodos de interpolación de Hermitegeneralizada sobre derivadas de orden superior de la funciónf.

La Interpolación por Splines es un refinamiento de la interpolación polinómica que usa

"pedazos" de varios polinomios en distintos intervalos de la función a interpolar paraevitar problemas de oscilación como el llamado Fenómeno de Runge.

La idea es que agrupamos las abscisas en distintos intervalos según elgrado del spline que convenga emplear en cada uno. Así, un spline será un polinomiointerpolador de grado n de f para cada intervalo. A la postre, los distintos splinesquedarán "unidos" recubriendo todas las abscisas e interpolando a la función.

El principal problema que presenta la interpolación por splines reside en los puntos queson comunes a dos intervalos (extremos). Por esos puntos deben pasar los splines deambos intervalos, pero para que la interpolación sea ajustada, conviene que el punto deunión entre dos splines sea lo más "suave" posible (ej. evitar  puntos angulosos), por loque se pedirá también que en esos puntos ambos splines tengan derivada común. Esto

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no será siempre posible y, a menudo, se empleará otro tipo de interpolación, quizás unainterpolación no-polinómica.

Otras formas de interpolación [editar]

Existen otros métodos de interpolación no-polinómica que proporcionanaproximaciones de funciones de las cuales conocemos información limitada.

En el mismo contexto que la interpolación polinómica, contamos con la interpolaciónracional y la interpolación trigonométrica, que consisten en aproximar funciones por cocientes de polinomios y por polinomios trigonométricos respectivamente. La segundaes especialmente útil para funciones con valores en el cuerpo de los números complejos 

. También es frecuente el uso de wavelets (ondaletas).

Cuando el conjunto de las abscisas es infinito, podemos recurrir a la Fórmula deInterpolación de Whittaker-Shannon.

Cuando estamos trabajando con funciones de varias variables, disponemos de lainterpolación multivariable para conseguir aproximaciones de las mismas. Entre losmétodos de interpolación multivariable, destacar la interpolación bilineal y lainterpolación bicúbica para funciones de dos variables y la interpolación trilineal parafunciones de tres variables.

INTERPOLACIÓN CON ESPACIOS EQUIDISTANTES O INTERPOLACION DE NEWTON

• DIFERENCIAS PROGRESIVAS : Son llamadas diferencias hacia delante y sedefinen como :

o primeras diferencias : ΔYi = Yi+1 - Yi i=0,1,2,3...n (1)

o segundas diferencias : Δ 2Yi = Δ Yi+1 - Δ Yi i=0,1,2,3...n (2)

o terceras diferencias : Δ 3Yi = Δ 2Yi+1 - Δ 2Yi i=0,1,2,3...n (3)

o k- écimas diferencias Δ kYi = Δ kk-1Yi+1 - Δ k-1Yi i=0,1,2,3...n (4)

k=0,1,2,3...n

donde :

Δ es el operador de diferencias progresivas

Para i=0 en la ecuación (1)

ΔY0 = Y1 – Y0 Y1 = Y0 + ΔY0 (5)

Para i=1 en la ecuación (1)

ΔY1 = Y2 – Y1 Y2 = Y1 + ΔY1 (6)

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Para i=0 en la ecuación (2)

Δ 2Y0 = Δ Y1 – Δ Y0 Δ Y1 = Δ 2Y0 + ΔY0 (7)

Sustituyendo las ecuaciones (7) y (5) en (6)

Y2 = Y1 + ΔY1

Y2 = (Y0 + ΔY0) + (Δ 2Y0 + ΔY0)

Y2 = Y0 + 2ΔY0 + Δ 2Y0 (8)

De las ecuaciones (5) y (8)

Y1 = Y0 + ΔY0 sacando factor comun Y0 tenemos : Y1 = (1 + Δ)1Y0

Y2 = Y0 + 2ΔY0 + Δ 2Y0 sacando factor comun Y0 tenemos : Y2 = (1 + Δ)2Y0

Entonces para Y3

Y3= (1 + Δ)3Y0 (9)

Generalizando, tendremos :

Yk=(1 + Δ)kY0 (10)

El Segundo miembro de la ecuación (10) corresponde al Binomio de NewtonElevado al exponente “k”, el cual puede desarrollarse del siguiente modo:

Yk = Y0 + ΔY0 + Δ 2Y0 + ..... + Δ kY0 (11)

Para : K= 1,2,3, ...n

Yk = Y0 + ΔY0 + Δ 2Y0 + .... Δ kY0+ 0 (12)

Para : K= 1,2,3, ...n

Si se toma un valor “j” cualquiera menor que “k” y si las j-esimas diferencias sonconstantes, entonces todas las diferencias de orden superior a “j” serán cero, por lo quela ecuación (11) queda :

= =

donde :

es un polinomio en K de grado “j” de la forma :

yk = a 0 + a1k + a22k2 + ..... .+ ajkj (14)

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Si consideramos la función tabular con espaciamiento “h”constante

X Y

X0 Y0

X1=X0+h Y1

X2=X0+2h Y2

... ...

Xk=X0+kh YK 

Xn=X0+nh Yn

Donde :

X1-X0 = h

X2-X0 =2h

................

XK-X0 = Kh

Xn-X0 = nhDonde queda la expresión: K =

Sustituyendo (15) en (14)

Yk = b 0 + b1x + b2x2 + ..... .+ bjxj

Se llama Polinomio de Newton con espaciamiento constante

Interpolaci¶on inversa

Se puede utilizar la interpolaci¶on polin¶omica para obtener una ra¶³z aproximada deunaecuaci¶on.Sea f(x) continua y derivable en un intervalo I = [a; b] tal que f0(x) 6= 0 en [a; b], y sea® 2 [a; b] una ra¶³z de f que queremos aproximar; si x0; x1; : : : xn son (n + 1) puntosdistintosde [a; b] y f(xi) = yi, i = 0; 1; : : : ; n, entonces f¡1(yi) = xi. Podemos hallar el polinomiodeinterpolaci¶on de grado · n de f¡1(y) en los nodos y0; y1; : : : yn, y entonces tomar comovalor aproximado de ® el valor de dicho polinomio en y = 0, ya que sabemos que f(®) = 0, o

lo que

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es lo mismo ® = f¡1(0).