UNIVERSIDAD FERMIN TORO

ANALISIS NUMERICO

ESCUELA DE INGENIERIA

JEAN CARLOS GOMEZ

INTERPOLACION

Ejercicio 2

Considere la siguiente tabla:

X 0 1 2 4

Y 1 1 2 5

¿Cuántos polinomios de grado a lo mas tres interpolan la tabla?

EL MAYOR POLINOMIO DE GRADO 3 SERIA UNO SOLO, YA QUE SE TIENE

UNA TABLA CON 4 DATOS, EL NUMERO DE POLINOMIOS ES N-1

Polinomios de interpolación:

TOMAMOS EL POLINOMIO AX3+ BX2+CX+D,QUE CORRESPONDE A LA

FORMA GENERAL DEL POLINOMIO DE GRADO C

A03+ B02+C0+D =1

A13+ B12+C1+D = 1

A23+ B22+C2+D = 2

A43+ B42+C4+D = 5

De donde resolviendo obtenemos

D = 1

A+B+C+D=1

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8A+4B+2C+D=2

64A+16B+4C+D= 5

Como d= 1 podemos sustituirlo para obtener el sistema

A+B+C=0

8A+4B+2C=1

64A+16B+4C= 4

RESOLVIENDO EL SISTEMA OBTENEMOS: A= -1/12; B= ¾ Y C= -2/3

De manera que el polinomio de interpolación seria

P(x)= -1/12X3+ ¾X2+-2/3 X+1

APLICANDO DIFERENCIAS DIVIDIDAS CONTRUIMOS LA SIGUIENTE

TABLA.

x y

0 1

0

1 1 1/2

1 -1/12

2 2 1/6

3/2

4 5

Seguidamente construimos el polinomio interpelante.

P(X)= 1 + 0(X-0)+1/2(X-0)(X-1)-1/12(X-0)(X-1)(X-2)

P(X) = 1+1/2(X2-X)-1/12(X3-3X2+2X)

P(X) = 1+1/2X2-1/2X-1/12X3+1/4X2-1/6X

P(X)= -1/12X3+ ¾X2+-2/3 X+1

LUEGO SI VEMOS LOS RESULTADOS POR LOS DOS METODOS SE

OBTIENEN LOS MISMOS POLINOMIOS

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Ejercicio 4

Considere la siguiente tabla:

X 0 1 2 4

Y 1 1 2 5

Debemos construir el polinomio de newton, para ello buscaremos los valores

de las constantes

de:

P(x)= a+b(x-0)+c(x-0)(x-1)+d(x-0)(x-1)(x-2)

PROCEDEMOS A BUSCAR LOS COEFICIENTES DE CADA CASO

a=1

b= (1-1)/(1-0)=0

c=1/(2-1)*((2-1)/(2-0)-(1-1)/(1-0) = 1*(1/2-0) =1/2

d=1/(4-2)*((5-1)/(4-0)-(2-1)/(2-0)-(1-1)/(1-0) =1/2*(1-1/2)= ¼

Sustituyendo los valores

P(x)= 1+0(x-0)+1/2(x-0)(x-1)+1/4(x-0)(x-1)(x-2)

P(x)= 1+1/2(x2-x)+1/4(X3-3X2+2X)

P(x)= 1-1/4x2+1/4X3

Ejercicio 5

En la siguiente tabla tendremos los valores de la función:

X 0 1 2 3

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y 1/2 1 2 4

CON EL POLINOMIO GENERAL TENEMOS AX3+ BX2+CX+D, DE

MANERA QUE CADA UNO DE LOS NÚMEROS DE LA TABLA ES

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DADA.

A03+ b02+c0+d =1/2

A13+ b12+c1+d = 1

A23+ b22+c2+d = 2

A33+ b32+c3+d = 4

De donde resolviendo obtenemos

d = 1/2

a+b+c+d=1

8a+4b+2c+d=2

27a+9b+3c+d= 4

Como d= ½ podemos sustituirlo para obtener el sistema

a+b+c=1/2

8a+4b+2c=3/2

27a+9b+3c = 7/2

De donde la solución del sistema es: a= 1/12; b= 0 y c= 5/12

De manera que el polinomio de interpolación seria

P(x)= 1/12X3 +5/12 X+1/2

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ERROR RELATIVO= (1,414213562-1,40625)/1,414213562 =

5,63x10-3

Ejercicio 6

Tenemos

x 0 6 15 30

y 0 12 15 0

Ya tenemos p2(x) debemos buscar p3(x)

TOMANDO EL POLINOMIO aX3+ bX2+cX+d, ASI:

A03+ B02+C0+D =0

A63+ B62+C6+D = 12

A153+ B152+C15+D = 15

A303+ B302+C30+D = 0

RESOLVIENDO TENEMOS

D = 0

216A+36B+6C+D=12

3375A+225B+15C+D=15

27000A+900B+30C+D= 0

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Como d= 0 PLANTEAMOS EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES

216A+36B+6C=12

3375A+225B+15C=15

27000A+900B+30C= 0

De donde la solución del sistema es: a= 1/540; b= -3/20 y c= 17/6

De manera que el polinomio de interpolación seria

P(x)= 1/540X3 – 3/20 X2+17/6X

Aplicando la formula de Simpson (1/3)

Tenemos el área de integración entre x=0 y x=30

TOMANDO COMO PUNTO MEDIO X=15

EL AREA LA PODEMOS CALCULAR FACIL (AREA DE UN SEMICIRCULO)

353,4291; PODEMOS CONCLUIR AL OBSERVAR LOS VALORES DEL AREA

DADA POR LAS DOS INTEGRALES QUE PARA P3(X) ES MAS CERCANO Y

NOS DA UN ERROR MENOR.