Interpolación matricial
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MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL MÉTODOS NUMÉRICOS REGRESIÓN E INTERPOLACIÓN
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Interpolación Metodo Matricial
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MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
MÉTODOS NUMÉRICOS
REGRESIÓN E INTERPOLACIÓN
MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
• La idea del método matricial es obtener la ecuación del polinomio de interpolación, en la forma
• Teniendo como base que el polinomio de interpolación debe satisfacer todos los puntos, entonces
2
0 1 2
n
n nP x a a x a x a x
MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
• Matricialmente, se podría expresar como
El cual corresponde a un
sistema de ecuaciones
lineales y se puede
resolver por cualquiera de
los métodos vistos
2
0 0 1 0 2 0 0 0
2
1 0 1 1 2 1 1 1
2
2 0 1 2 2 2 2 2
2
0 1 2
n
n n
n
n n
n
n n
n
n n n n n n n
P x a a x a x a x y
P x a a x a x a x y
P x a a x a x a x y
P x a a x a x a x y
20 00 0 0
21 11 1 1
2
1
1
1
n
n
nn nn n n
a yx x x
a yx x x
a yx x x
MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
• Y si se establece que: Entonces, se
puede escribir
como:
Si se emplea el
método de la
inversa, se
obtendría
2
0 0 0
2
1 1 1
2
1
1
1
n
n
n
n n n
x x x
x x xX
x x x
0
1
n
y
yy
y
0
1
n
a
aa
a
Xa y
1a X y
EJEMPLO
Halle el polinomio de interpolación de Lagrange para el siguiente conjunto de puntos, y estime el valor de la función para x=3.5 , utilizando este polinomio
i xi f(xi) 0 1.5 -5 1 2.7 2 2 5.6 -2 3 7.2 10
EJEMPLO: PUNTOS A INTERPOLAR
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL: PUNTOS A INTERPOLAR
Puntos Originales
MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
• Para este caso n=3, entonces:
2 3
3 0 1 2 3
2 3
3 0 1 2 3
2 3
3 0 1 2 3
2 3
3 0 1 2 3
1.5 1.5 1.5 1.5 5
2.7 2.7 2.7 2.7 2
5.6 5.6 5.6 5.6 2
7.2 7.2 7.2 7.2 10
P a a a a
P a a a a
P a a a a
P a a a a
MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
• Matricialmente quedaría:
2 30
2 31
2 32
2 33
51 1.5 1.5 1.5
21 2.7 2.7 2.7
21 5.6 5.6 5.6
101 7.2 7.2 7.2
a
a
a
a
0
1
2
3
1 1.5 2.25 3.375 5
1 2.7 7.29 19.683 2
1 5.6 31.36 175.616 2
1 7.2 51.84 373.248 10
a
a
a
a
2 3
2 3
2 3
2 3
1 1.5 1.5 1.5
1 2.7 2.7 2.7
1 5.6 5.6 5.6
1 7.2 7.2 7.2
X
0
1
2
3
a
aa
a
a
5
2
2
10
y
MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
• El planteamiento para resolver este sistema por el método de la inversa es el siguiente
11 1.5 2.25 3.375 5
1 2.7 7.29 19.683 2
1 5.6 31.36 175.616 2
1 7.2 51.84 373.248 10
a
3.88189987 3.86206897 1.53280067 0.55263158 5
2.67008986 3.80076628 1.80246005 0.67178363 2
0.5527029 0.91315453 0.59924306 0.23879142 2
0.03565825 0.06385696 0.05256518 0.02436647 10
a
1a X y
MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
• FINALMENTE SE OBTIENE:
32
3 64115170.654800257750168.1762238919251531.27473824243282-35.725554 xxxxP
Para hallar el valor del polinomio en x=3.5, simplemente se reemplaza este valor
en la expresión obtenida, con lo cual queda:
32
3 3.564115170.654800253.57750168.176223893.519251531.27473824243282-35.7255545.3 P
9256291.651847585.33 P
EJEMPLO: GRAFICA POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL: PUNTOS A INTERPOLAR
P3(x)
Puntos Originales
EJEMPLO: INTERPOLACIÓN EN X=3.5
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
MÉTODO MATRICIAL DE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL: PUNTOS A INTERPOLAR
P3(x)
Puntos Originales
X=3.5
y=1.65184759
