Interpretac ói n

1) De una función f:[0,4] → R se sabe que f(1) = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo

(a) [0'5 puntos] Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 Sol: y - 3= (1).(x - 1) (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto? creciente en (0,4), Máximox = 4. (c)[1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de f.

Sol: convexa (U) en (0,1), cóncava (∩) en (1,3), convexa (U) en (3,4), punto x = 1 y x = 3 son puntos de inflexión. 2) En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gráfica de una función f que está definida en el intervalo (-3, 3) y que es simétrica respecto al origen de coordenadas.

(a) [0'75 puntos] Razona cual debe ser el valor de f(0). (b) [0'75 puntos] Completa la gráfica de f. (c) [1 punto] Halla f '(x) para los x ∈ (-3, 3) en los que dicha derivada exista. 3) Sea f :[-1,4] → R una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura.

(a) [ 1'5 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de f y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos. (b) [ 1 punto] Estudia la concavidad y convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f?

Algebraicas Polinómicas

1) Sea la función definida por f(x) = x2|x-3| a) [1 punto] Estudia la continuidad y derivabilidad de f Sol: x=3 continua y no derivable(Punto anguloso) b) [1’5 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan Sol: Max (2,4) Min(3,0) y (0,0) 2 ) Sea f : R → R la función definida por f(x) = x2 - |x|. (a) [0’75 puntos] Estudia la derivabilidad de f. Sol:derivable en R - {0} (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Decrece:(0, 1/2). Crece: (1/2, + ∞ ). decrece: (- ∞ , -1/2) crece: (- 1/2, 0) (c) [0’75 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). Min(1/2, - 1/4), Max(0,0). 3) Considera la función f : R → R definida por f(x) = (x+1)(x-1)(x-2). (a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. Sol: r. tangente: y – 0 = -2.(x – 1)La r. normal: y – 0 = [-1/(-2)].(x – 1) = 1/2.(x – 1). (b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f? Sol: es cóncava (∩) en (- ∞ , 4/6), convexa (U) en ( 4/6, + ∞ ), punto inflexión:(4/6, 20/27) 4) Sea f : R → R la función definida por f(x) = 2 − x.|x| . (a) [0’75 puntos] Esboza la gráfica de f . (b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0. Sol:Es derivable (c) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. Sol: x = 2 es y + 2 = (- 4)(x – 2) 5) Sea f: R → R la función dada por f(x) =|8 – x2|. (a) [1 punto] Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de f (dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores). Sol:Minimo x = ± √(8) Máximos x=8 (b) [1'5 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa x = -2. Sol: y = 4x + 2 corta a la función f(x) = |8 - x2| en x = -2 y en x = 2 ± √(24)

Racionales

1) Sea la función definida por (a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. Sol: x=0, y=3x (b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).Sol: Creciente :(-∞,-1) U (1, ∞) Decreciente (-1,0) U (0,1) Mínimo relativo (1,4) Máximo relativo(-1,-4)

2) (2007/m5/b/2) Sea f la función definida, para x ≠ 2 y x ≠ - 2, por f(x) = (x2 + 3)/(x2 – 4).

(a) [1 punto] Determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol :x = - 2 e y= 1. (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: Crece en (- ∞ , -2)U(-2,0). Decrece en (0, 2)U(2,+ ∞).Máximo relativo(0,-3/4) (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f.

3) Sea f la función definida por . (a) [0.75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. Sol: No tiene puntos de corte Asíntotas x=0 (b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f.Sol: Máximo relativo en (-1, -4) y un mínimo relativo en (1, 4). (c) [0.75 puntos] Esboza la gráfica de f. 4) Sea f la función definida para x ≠ 2 por f (x) = (x2 − 4x + 3) / (x − 2 ) (a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f . Sol: x = 2 y =x – 2 (b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . Sol :f(x) siempre es creciente. (c) [0’75 puntos] Calcula, si existen, el máximo y el mínimo absolutos de f en el intervalo [0, 2) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). Sol: mínimo absoluto (0, -3/2)

5) (2005/m2/a1) Sea f la función definida para x ≠ 0 por f(x) = (a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol: x = 0, y = x (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). Sol: creciente (- ∞ , -1)U(1, + ∞ ) decreciente:(-1,0)U(0, +1) mínimo relativo:(1,2) máximo relativo(-1,-2). (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f 6) Sea f la función f(x) = (9x-3)/(x2 -2x) para x ≠ 0 y x ≠ 2. (a) [ 1 punto] Calcula las asíntotas de la gráfica de f.Sol: x = 0, y = 0 (b) [ 1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Sol:la función siempre es decreciente. (c) [ 0'5 puntos] Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f .

Irracionales

1)(2007/M1/A1) Sea f: (0,+∞ ) → R la función definida por . (a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que alcanzan). Sol: mínimo relativo (1/3,2√𝟑) Crece en x > 1/3, decrece en x < 1/3 (b) [1 punto] Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f.

Sol: f(x) es convexa (U) en x < 1, f(x) es cóncava (∩ ) en x > 1, PI(1,4)

Trascendentes Exponenciales

1) (2009/m6/1A)Sea f:R → R la función definida por f ( x) =x+e-x . a) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, así como los extremos relativos o locales de f Sol: Crece x>0, Decrece x<0, Mínimo (0,1) b) [0’5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f Convexa enR c) [0’75 puntos] Determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol:y=x(+∞) d) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f 2) (2008/m6/1A) Sea f : R → R la función definida por f(x) = (3x − 2x2)ex . (a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f Sol: Decreciente en (- ∞ , -1’5) U (1, +∞ ) Creciente: (-1’5, 1) (b) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: Mínimo relativo(-1’5, - 9.e -1’5), Máximo relativo (1,e) 3) (2008/m5/1A) Sea f : [0, 2π] → R la función definida por f(x)= ex(sen x + cos x). (a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Sol: creciente en (0, π/2) U (3π /2, 2π ), decreciente en (π/2, 3π/2) (b) [1’25 puntos] Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f. Sol: x = π /4 es punto de inflexión. x = π + π /4 es punto de inflexión. 4) (2007/m5/1A)Sea f : R → R la función definida por f(x) = (x - 3)e x . (a) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: mínimo relativo(2, -e2). (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión. Sol: y – (-2e) = -e(x – 1). 5) (2007/m4/b1)Sea f : R → R la función definida por f(x) = x2e -x . (a) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: Mínimo relativo (0,0) Máximo relativo(2, 4/(e2)) (b) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol: y = 0 (+∞) 6) (2005/m6/A2)Sea f: R → R la función definida por f(x) = (x – 1)2.e –x. (a) [0’5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). Sol:decreciente en (- ∞ ,1) U(3,+ ∞ ) creciente en (1,3) Min(1,0) Max(3, 4/(e3)) (a) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f. 7) (2005/m2/A1)Sea f la función definida para x ≠ por f(x) = e x /(x – 1) (a) [0'5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) [0'75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (c) [0'75 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. (d) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f.

8) (2004/m3/b1)Sea f : [0, 2π] → R la función definida por f(x)= ex (cos x + sen x). (a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Sol: Crece: (0, π/2 ) U (3π/2, 2π), Decrece: (π/2, 3π/2 ). (b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f. Sol: Máximo relativo(π/2, e π /2).

9) (2004/m3/b1)Sea f : R → R la función definida por . (a) [0’75 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f . Sol: y = 0 es una asíntota horizontal (AH) de f(x) en + ∞ , y también en - ∞. (b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). Sol: crece en (- ∞ , - 1)U (0, +1) U (1, + ∞ ) decrece en (- 1, 0), x = -1 y x = + 1, son máximos relativos, x = 0 es un mínimo relativos (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f . 10) (2003/m4/a/3)Considera la función f : R → R definida por f(x) = (x+3).e -x (a) [0'5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. Sol: y = 0(+∞) (b) [1'5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexión de su gráfica. Sol: creciente en (- ∞ , -2), decreciente en (-2,+ ∞ ) cóncava (∩) en (-∞ , -1) convexa (U) en (-1,+ ∞ ) (c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f. 11) (2002/m6/a/1) Considera la función f :R → R definida por f(x) = x2⋅ e(x/2)

(a) [ 1 punto] Calcula f(x) y f(x) Sol:(+∞)(∞) , (-∞)(0) (b) [ 1'5 puntos] Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).Sol: Creciente:(- ∞ , -4)U(0, + ∞) Decreciente:(-4, 0) Máximo:( -4, 16/e2 ) , Minimo:(0,0)

Logarítmicas

1)(2007/M3/A1) Sea f : (0,+ ∞ ) → R la función definida por f(x)= x2 Ln(x) (Ln denota la función logaritmo neperiano). (a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: mínimo relativo(e (-1/2) , - 1/2e) decrece en x < e (-1/2) , crece en x > e (-1/2) (b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa Sol:y – (1/2)e = 2. e1/2 (x – e1/2) 2) (2006/m1/A1)Sea f : R → R la función definida por f (x) = Ln (x2 + 1), siendo Ln la función logaritmo neperiano. (a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). Sol: f(x) decrece en x < 0, crece en x > 0 Mínimo relativo (0,0) (b) [1’5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa negativa. Sol: y – Ln(2) = -1(x + 1)

Definidas a trozos 1) Se sabe que la función f : (-1,+ ∞) → R definida por

f(x) = es continua en (-1,+∞). (a) [1'25 puntos] Halla el valor de a.¿Es f derivable en x = 0? Sol: a = 3, No existe f ‘(0) (b) [1'25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. mínimo relativo(1,1/2), Sol: decreciente en –1 < x < 0, decreciente en 0 < x < 1, creciente en x > 1 2) (2004/m3/a/2)Se sabe que la función f : (− 1, 1) → R definida por

es derivable en el intervalo (− 1, 1). (a) [1 punto] Determina el valor de la constante c. c=1. (b) [0’5 puntos] Calcula la función derivada f ‘. (c) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y = x. Sol: y – (35/32) = (1)(x + 1/8)), y – (1/2) = (-1)(x – 3/4)

3) (2003/m5/a1)Sea la función f : R → R definida por f(x) = . (a) [1'25 puntos] Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1. (b) [1'25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f. Sol: es creciente en [0,1] y decreciente en ( - ∞ , 0) U (1, + ∞ ), x = 0 es un mínimo relativo. 4) (2001/m6/a1)Considera la función f : (- ∞ , 10) → R definida por f(x) =

= (a) [ 1 punto] Determina el valor de a sabiendo que f es continua (y que a > 0).a=3 (b) [ 0'5 puntos] Esboza la gráfica de f. (c) [ 1 punto] Estudia la derivabilidad de f. Sol:La derivada no existe no en 2 ni en 5 5) (a) [ 1'25 puntos] Determina el valor de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de la

función f : R → R definida por f(x) = admite recta tangente en el punto (0,1).Sol:b=1. a=-1, (b) [ 1'25 puntos] ¿Existen constantes c y d para las cuales la gráfica de la función g : R → R

definida por g(x) = admite recta tangente en el punto (0,1)? (justifica la respuesta) Sol:No

1.- Sea f la función definida por f(x) = para x ≠ 0. Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. Sol: y = 3x , x=0 2.- Sea f la función definida como f(x) = x3/(x2 – 1) (a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f (b) Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f . (c) Determina aproximadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.(sin derivar) Sol: x=1, x=-1, y = x. 3.- Sea f : R → R la función definida por f (x) = (5x + 8) / (x2 + x + 1). (a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. (b) Halla las asíntotas de la gráfica de f . (c) Esboza la gráfica de f . (d) Determina aproximadamente los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . Sol y =0; 4.- Dada la función f definida para x ≠ -1 por f(x) = x3/(1 + x)2 , determina: (a) Las asíntotas de la gráfica de f. (b) Los puntos de corte, si existen, de dicha gráfica con sus asíntotas. (c ) Dibuja la gráfica Sol:x = - 1, A= (-2/3, -8/3). 5. - Considera la función f definida para x ≠ 2 por f(x) = (2x2 + 2)/(x + 2). (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. (c ) Dibuja la gráfica. Sol: x = - 2; y= 2x – 4 , f(x) está por encima de la A.O. en + ∞ f(x) está por debajo de la A.O. en - ∞ 6.- Sea f la función definida, para x ≠ 2 y x ≠ - 2, por f(x) = (x2 + 3)/(x2 – 4). (a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. (b) Esboza la gráfica de f. (c) Determina aproximadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.(sin derivar) Sol: x=2, x=-2, y=1(AHÍ=AHD). 7. - Considera la curva de ecuación y =(x3 +2x)/(x2 - 2x - 3). (a) [ 1'5 puntos] Determina sus asíntotas. (b) [ 1 punto] ¿Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto? Justifica la respuesta. Sol: a) x = - 1 y x = 3, y= x + 2 b) P= (-2/3, 4/3) 8.- Para la siguiente función determina las asíntotas de la gráfica especificando su continuidad y el dominio. Sol: y = 2x- 1/ 2

9.- Dada la función f definida, para x ≠0, por f(x) = (ex +1) /( ex − 1 )determina las asíntotas de su gráfica. Sol: x = 0; AHD y=1; AHÍ y=-1.

10.- Sea f la función definida, para x ≠ 0, por . Determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol: x=0, AHI y = x+1 AHD y = x+1

11.- Sea f : (1, + ∞ ) → R la función dada por , siendo Ln la función logaritmo neperiano. Define su dominio y su continuidad. Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, hállala. Sol: y=0; 12.- Sea f : R → R la función definida por f (x) = (x2 − x + 1)/(x2 + x + 1) (a) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la grafica de f . (b) Esboza la gráfica de f. (c) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento aproximadamente. Sol: y=1. 13.- Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x ≠ 0, por f(x) = (x2 − 1)/x , g(x)= e1/x y h(x) = Ln |x|, Siendo Ln la función logaritmo neperiano. (a) Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h. (b) Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta.

14 - Considera la función f : R → R definida por f(x) =e(2x)/(x.x + 1) (a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f Sol :AHÍ=AHD= y = 1 15- Considera la función f definida por f(x) =(x2 - 2x + 2)/(x - 1) para x ≠ 1 (a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. (b) Estudia la posición de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. (c ) Esbozala. Sol: Y= 2x + 2, f(x) está por encima de la A.O: en - ∞, f(x) está por debajo de la A.O: en + ∞ 16- Determina a, b y c para que la curva sea la siguiente Sol: a = 3, b = 2 y c = -3

17.-[2’5 puntos] Sea f la función definida, para x ≠ 0, por . Determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol x = 0, y = x+1(AO en±∞)

Cálculo de límites 1.- Calcula lim x→0 [ (ex – esen x) /(x2) ] Sol:0 2.- Calcula el siguiente límite (In denota logaritmo neperiano),

lim x → 1 [ 1/Ln(x) – 2/(x2 – 1) ] Sol:1 3. -Cálcula siendo Ln la función logaritmo neperiano.Sol: 1/ 2 4.- Se sabe que es finito. Determina el valor de α y calcula el límite.Sol:0 5.- Se sabe que es finito. Determina el valor de a y calcula el límite.Sol:-1 /2 6.- Calcula [Ln(1+x) - senx]/[x.senx], siendo Ln(1+x) el logaritmo neperiano de 1+x Sol:-1 /2 7.- Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, calcula Sol:1/2

8.- Calcula Sol:-1

9-. Calcula (a) (b) x2⋅ e -3x Sol:a)1/2 , b)0

10.- Calcula [xsen(x)] / tg(x2)Sol: 1 11.− Calcula los siguientes límites: Sol :a)+∞, b) 0

[ ]1

3b)a) 2x

3

x +−

−∞→+∞→ xlímx logxlím

x

12.- Calcula [ ]xx

xxxxxxx 2

13b)325a)6

22

−

−+−−

−∞→+∞→límlím a)-∞, b) 0

13. -Calcula el siguiente límite: 11242

0 −+

−+→ x

xxlím Sol:1,

14.- Halla los siguientes límites: [ ] ( )xx

xx

x

x

1b)2a)

22 +

−−∞→+∞→

lnlímlím Sol :a)+∞, b) 0

Derivabilidad y continuidad 1.- Se sabe que la función definida por , es derivable. Determina los valores de a y b Sol: b=1, a=2. 2.- Sea f : R → R la función definida por (a) Estudia su continuidad y derivabilidad. (b) Determina sus asíntotas. (c) Esboza la gráfica de f. Sol: a)Es continua no derivable, b) AHÍ y=0. 3 .- Sea f : R → R la función continua definida por f(x) = , donde a es un número real. (a) Determina a. (b) Halla la función derivada de f. Sol: a=2 , a=3

'f(x) = 4. - Estudia la derivabilidad de la función f :R → R definida por f(x) = Sol: Es derivable en todo R 5.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función f : (0,+∞ ) → R . Calcula su derivada Sol: No es derivable en x=0 ni en x=1. 6.-Calcula a y b sabiendo que la función f: R → R definida por f(x) = sea derivable. Sol: a = -20 y b = -5. 7. Considera la función f: R → R definida por f(x) = (a) Calcula los límites laterales de f en x = 0. ¿Es continua f en x=0? NO (b) Calcula el valor de la derivada de f en x = 1. Sol:

8. Sea f : R → R la función definida . Estudia la derivabilidad de f(x)=. Sol: derivable en R - {- 2} 9.- Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de f. f(x) = . Estudia su continuidad y derivabilidad Sol: no es derivable en x =0 f no es continua en x = 1

10.- Sea f(0,+∞]→R la función dada a) Sabiendo que f es continua, calcula a Sol a= 1 b) Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, determina su ecuación. y=0 en(+∞) 11-Estudia la derivabilidad de la función f : R → R definida por

f(x) = . Sol: derivable en R - {-1,1}

12-Considera la función f :R → R la función definida por f(x) = . Determina a y b sabiendo que f es derivable. Sol: a = 1/3. b=1.

Recta tangente y normal 1.- Sea f : R → R la funcion definida por f(x) = 4 – x

2

(a) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa

x = 2. Sol: y = (1/4)x-(1/2)

(b) [1'5 puntos] Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es

perpendicular a la recta x + 2y – 2 = 0. Sol: (-1, 3).

2.- Sea f : (0, +∞) → R la función definida por f(x) = ln(x

2 +3x), donde ln denota el

logaritmo neperiano.

(a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta

tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x − 2y +1 = 0. Sol: (3, ln(18)).

(b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f

en el punto de abscisa x=3.

3.- (2010/m3/b1) [2’5 puntos] Sea f : R → R la función definida como

f(x) = (x + 1).3√(

3 – x). Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a

la gráfica de f en el punto de abscisa x = −5 y en el punto de abscisa x = 2.

Sol: x=-5, y – (-8) = (7/3)(x+5), y – (-8) = (-3/7)(x+5); x=2, y = 3 ,x=2

4.- (2008/m4/A1) [2’5 puntos] Dada la función f : R ® R definida por f(x) = (x +

1)/(ex), determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de

inflexión.Sol: y – (2/e) = (-1/e)(x – 1)

5.-Considera la función f : R → R definida por f(x) = (x+1)(x-1)(x-2).

(a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el

punto de abscisa x = 1.Sol: y – 0 = -2.(x – 1), y – 0 = 1/2.(x – 1)

(b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. ¿Tiene

puntos de inflexión la gráfica de f? Sol: f(x) es cóncava (∩) en (- ∞ , 4/6), f(x) es convexa

(U) en ( 4/6, + ∞ ), punto inflexión (2/3, 20/27).

6.- Sea f : R → R la función definida por f(x) = 2 − x.|x| .

(a) [0’75 puntos] Esboza la gráfica de f .

(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0. Sol: Es derivable

(c) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa x = 2. Sol:y + 2 = (- 4)(x – 2)

7.- (a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 que es

paralela a la recta 4x + y + 3 = 0. Sol: en x = -2 es y – 4 = -4 (x+2)

(b) [1’5 puntos] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola y = x2 que

pasan por el punto (2, 0). Sol: x = 0 es y =0, x= 4 es y – 16 = 8 (x– 4)

8.- [2'5 puntos] De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas,

determina las que son tangentes a la curva de ecuación y = 1/4 x2 + 4x + 4. Calcula los

puntos de tangencia correspondientes. Sol: La recta es y = 6x (4,24) ;y = 2x (-4,-8)

9.- Sea f : R → R la función definida por f(x) = x3 - 5x

2 + 5x + 3 y sea r la recta de

ecuación 2x + y = 6.

(a) 1'5 puntos] Determina, si es posible, un punto de la gráfica de f en el que la recta

tangente sea r. Sol:x = 1

(b) 1 punto ¿Hay algún punto de la gráfica de f en el que la recta normal a la gráfica

sea r? Justifica la respuesta. Sol: No puede ser en x=1 y x=3

Función con parámetros 1.- Sea f la función definida como f(x) = (ax

2 + b) / (a – x) para x ≠ a.

(a) [1'5 puntos] Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2,3) y tenga una

asíntota oblicua con pendiente - 4. Sol: a=4, b=10.

(b) [1 punto] Para el caso de a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la

gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 Sol: y – 5 = 9(x – 1).

2.- [2’5 puntos] Sea la función f : R → R dada por f(x) =

Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la

gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3. Sol: a=0, b=4,c=0

3.- Considera la función f:[0,4] → R definida por f(x) =

(a) 1’75 puntos Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) =

f(4), determina los valores de a, b y c. Sol: a=-3 , b=4, c=1

(b) 0’75 puntos Para a = -3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f( abscisas

donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: Maximo absoluto: en x = 0 y x = 4

vale 4 Mínimo absoluto: x = 3/2 = 1’5 y vale 1’75.

4.- Dada la función f : R → R definida como f(x)= a.sen(x)+ bx2 + cx + d, determina los

valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal

en el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es

f’’(x) = 3.sen(x) − 10. Sol: a=-3, b=-5, c=3, d=4.

5.- Sea la función definida por f:ℜ→ℜ:.ax

3+bx

2+cx+d Calcula los valores de a, b, c y d

sabiendo que f verifica:

El punto (0 , 1) es un punto de inflexión de la gráfica f

f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x = 1

La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 1

Sol:

6.- Sean f : R → R y g : R → R las funciones definidas por

f(x) = x2 + ax + b y g(x) = ce

-(x + 1) Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el

punto (−1, 2) y tienen en ese punto la misma recta tangente.

(a) [2 puntos] Calcula los valores de a, b y c. Sol: a=0, b=1,c=2.

(b) [0’5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente. Sol: y – 2 = – 2(x + 1)

7.- ([2’5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f(x) = 2x3 + 12x

2 + ax + b.

Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión

es la recta y = 2x + 3.Sol: f(x) = 2x3 + 12x

2 + 26x + 19.

8.- Se sabe que la función f : [0, 5] → R definida por

es derivable en el intervalo (0, 5).

(a) [1’75 puntos] Calcula las constantes a y b.Sol a=-7/2 b=1

(b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa x = 2. Sol: y + 3 = (1/2)(x – 2).

9.- De la función f : (0, + ∞) → R definida por f (x) = (ax2 + b)/ x, se sabe que la recta

tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = − 2.

(a) [1’5 puntos] Calcula a y b. Sol:a=b=-1.

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

Sol: creciente en (0,1) decreciente en (1, + ∞)

10.- [2'5 puntos] De la función f : R → R definida por f (x) = ax3 + bx

2 + cx + d se sabe

que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa x

= -2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d

sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2

tiene pendiente 9.Sol: a = 1, b = 0, c = -3 y d = 2.

11.- [ [2'5 puntos] Se sabe que la función f : R → R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c

tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f(1) = 1.

Calcula a, b y c. Sol: f(x) = x3 - 3x

2 + 3x

12.- [2'5 puntos] Se sabe que la función f : R → R definida por f(x) = ax3 + bx

2 + cx + d

es tal que f(0) = 4 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1, 2). Conociendo

además que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal,

calcula a, b, c y d. Sol: a = 1, b = - 3 , c = 0 y d = 4

Optimización

1.- [2'5 puntos] Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54

m2. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen

máximo. Sol: r = 3/√ , h= 6/√ .

2.- [2’5 puntos] Sea f :[1,+R) → R la función definida como f(x) = x - 1 . Determina el

punto P de la gráfica de f que se encuentra a menor distancia del punto A(2,0). .Cual es

la distancia? Sol: x = 3/2 ,d(P,A)=+√ (3/4)

3.- [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de

los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que

su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la

suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima. Sol: x = 800/17 m. y x = 900/17 m.

4.- [2’5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un

semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las

dimensiones del marco de la de área máxima. Sol: Marco x = 5/(1 + π/4); y= = π(1 + π/4)/2.

5.- [2’5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa,

determina los catetos del de área máxima. Sol: c1= √(25/2), c2= √(25/2)

6.- [ [2’5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar

alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de

7.-[2’5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los márgenes

superior e inferior han de ser de 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las

dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.Sol: x = 3,y=10.

8.- [2’5 puntos] De entre todos los rectángulos cuya área mide 16 cm2

, determina las

dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud Sol: x=4cm, y=4cm

9.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2), encuentra aquella

que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima.

Halla el área de dicho triángulo. Sol: y=-2x.

10.- [2’5 puntos] Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada

sin tapadera que tenga una capacidad de 500 m3. ¿Qué dimensiones ha de tener el

depósito para que su superficie sea mínima? Sol: x = 10 e y = 5.

11.- [ [2’5 puntos] De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que

tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación

x/2 + y = 1 (ver figura), determina el que tiene mayor Sol: x = 1 e y = 1/2

12.- [2’5 puntos] Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales

distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro

cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos

cuadrados tiene que ser 1 metro. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si

queremos que el coste total sea mínimo? Sol:x=3/20 m, y=2/20 m

13.- [2’5 puntos] Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular

recto que tenga una superficie total de 200 cm2. Determina el radio de la base y la altura

de la lata para que el volumen sea máximo.

Sol: r=10/√ cm, h=20/√ cm

14.- [2’5 puntos] Determina un punto de la curva de ecuación y = en el que la

pendiente de la recta tangente sea máxima. Sol x=0;

15.- [2’5 puntos] Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se

forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos

trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima.

Sol: x = 4/(π +4),y=π/(π +4)

16.- [2’5 puntos] De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 m2

dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar

las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina

las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. Sol x =

160 m ancho y =80m Largo

17.- [2’5 puntos] Determina los puntos de la parábola de ecuación y = 5 - x2 que están

mas próximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos

y el origen de las coordenadas. Sol:A(3/√ ,1/2) B(-3/√ ,1/2)

D(A,0)=D(B,0)=( √ /2)

18.- [2’5 puntos] Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con

32 litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de

chapa. Sol: base cuadrada de 4dm y altura de 2dm

20.- [2'5 puntos] Se desea construir una caja de base cuadrada con una capacidad de 80

cm3 . Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1 € / cm2 y para la

base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que

su coste sea mínimo Sol: Las dimensiones de la caja para un coste mínimo son x = 4 cm

e y = 80/(42) = 5m

21.- [2'5 puntos] De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el

origen de coordenadas, el opuesto de este vértice en la curva y = 2x2/(x2 - 1) con (x >

1), uno de sus lados situado sobre el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el

semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene área mínima. Sol: y= x=√

22.- [2'5 puntos] Considera el recinto limitado por la curva y = 1/3 x2 y la recta y = 9.

De entre todos los rectángulos situados como el de la figura, determina el que tiene área

máxima.Sol: cuadrado de lado 6