interpretacion de derivadas
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DEFINICIÓN DE DERIVADA
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
MARCELO HUARACHI MONTENEGRO
Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
•Continuidad
•Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
• Intervalos de crecimiento / decrecimiento
• Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:
m=0
m=0
m<0
m>0m<0 En los puntos de
máximo o mínimo, la recta tangente es
horizontal ( es decir, la pendiente es 0)
En los tramos de crecimiento la recta
tangente tiene pendiente positiva, en los de
decrecimiento la tiene negativa.
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
y=-3/2x-24
y=-4
y=3
y=1,2x+1,5
y=-1,3x+13
La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene
pendiente -3/2.
f’(-2)= 0 f’(4)=0
f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3
Conocidos dos puntos de la recta tangente puedo calcular su ecuación.
(1,-1)
(3,2) y=mx+nPasa por (1,-1)
-1=m+n
Pasa por (3,2)2=m·3+n
Resolviendo el sistema:y= 3/2 x-5/2
De esta manera f’(3)=3/2
Lo anterior es muy largo pues lo único que me
interesa saber es la “m”. Para calcularla hay una
manera muy fácil:
(1,-1) )=(x0,y0)
(3,2)=(x1,y1)
De esta manera f’(3)=3/2
1 0
1 0
2 ( 1) 3
3 1 2
y ym
x x
- - -= = =
- -
1 0
1 0
y ym
x x
-=
-
1 0
1 0
( ) ( )f x f xm
x x
-=
-
O LO QUE ES LO MISMO:
Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer? Resolvamos la cuestión en varias etapas.
A(a,f(a))
Recta t
Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h))
A(a,f(a))
Recta t
a a+h
P(a+h,f(a+h))
A(a,f(a))
Recta t
a a+h
P(a+h,f(a+h))
Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos puntos A y P.
h
f(a+h)-f(a)
( ) ( ) ( ) ( )f a h f a f a h f am
a h a h
+ - + -= =
+ -
Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De esta forma:
A
a a+h
P
h 0
A
a a+h
P
h 0
P está muy próximo a ALa secante AP “casi” se confunde con la tangente tLa pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
Ahora bien, el valor de h no puede ser 0, aunque sí todo lo pequeño que
se quiera. Y aquí interviene el concepto de límite.
A
a a+h
P
P está muy próximo a ALa secante AP “casi” se confunde con la tangente tLa pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
0lim(pendientes de las secantes)= pendiente de la tangenteh®
0
( ) ( )lim '( )h
f x h f xf a
h®
+ -=
Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite
Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2
0
(2 ) (2)'(2) lim
h
f h ff
h®
+ -=
( )2 222 4 4
(2 ) 1 0,254 4
(2) 1
h h hf h h h
f
ìï + + +ïï + = = = + +ïíïïï =ïî
2
0 0 0
(2 ) (2) 0,25'(2) lim lim lim(1 0,25 ) 1
h h h
f h f h hf h
h h® ® ®
+ - += = = + =
* La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=2 es 1, por lo que la recta tangente a mi función en x=2 es:
'(2) 1f =f(x)=x2/4
( ) '( )( )y f a f a x a= + -
1 1( 2)y x= + -
1y x= -
* Además como la derivada es +, esto indica que cerca de x=2 la función es creciente.
(x0,y0) y=y0+m(x-x0)