INTERPRETACIONES ESTADSTICAS

En un documento en Word seale las interpretaciones estadsticas de cada uno de los test aplicables a los grficos X-Barra/R o X-Barra/S. Explique la interpretacin estadstica de los distintos coeficientes definidos para el estudio de capacidad de procesos. Enva tu archivo a travs de este medio.SOLUCION

GRFICOS X-BARRA Y R

En la introduccin comentamos que los grficos por variables se utilizan para controlar una caracterstica mesurable del producto, como puede ser la longitud, el peso, la altura, etc. Un grfico X-barra contiene las medias mustrales de la caracterstica que se pretende estudiar, por lo que mediante l podremos detectar posibles variaciones en el valor medio de dicha caracterstica durante el proceso (desviaciones con respecto al objetivo). Un grfico R es un grfico de control para rangos mustrales. Se utiliza para medir la variacin del proceso y detectar la posible existencia de causas especiales. Es habitual usar los grficos R para estudiar la variacin en muestras de tamao no superior a 10, recurriendo a los grficos S para muestras mayores.

Sea X la caracterstica de calidad que nos interesa medir, donde X N(,). Tomaremos k muestras, cada una de ellas de tamao n. Denotaremos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que forman la muestra i-sima, donde i = 1,2,...,k. Veamos cmo construir un grfico X-barra:

Por el Teorema de Distribucin Muestra, sabemos que:= y =

xx

n

,

Por el Teorema Central del Lmite, X N

n

n

Segn el modelo de Shewart tendremos que:

LSC = + 3 n

Lnea central =

LIC = 3 n

Si es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimacin se realizar a partir de las k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso est bajo control):

1k1n

==i dondei =X ij

XXX

kn

i=1j =1

Observar que es estimador insesgado de ya que E[]=1kE[i ]= = .

XX

x

k i=11

Si es desconocida, la podemos estimar a partir de los rangos Ri (observar que tal estimacin se realizar a partir de las k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso est bajo control):

- i = 1,2,...,k , sea Ri = Max{X ij /1 j n} Min{X ij /1 j n} . Se cumple que Ri = d 2 (n) , donde d2(n) es un valor tabulado que depende de n .

Notar que Ri / d2(n) es un estimador insesgado de , ya que:

RiE[R]d2(n)

E=i==

d 2 (n)d 2 (n)

d 2 (n)

As, es buena idea tomar como estimador de el promedio de los Ri / d2(n) :

1kRi

R

==

kd(n)d(n)

=22

i 1

( es estimador insesgado de )

En caso de que el tamao muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los lmites segn el modelo de Shewart, podemos optar por:

1. Obtener los lmites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las lneas de control no sern rectas (darn saltos arriba y abajo segn ni disminuya o aumente),

1k

2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, podramos tomarn =ni .

k

i=1

En esta situacin de tamaos muestrales diferentes, los estimadores para y sern:

nii1Ri

=Xy =

ni

kd 2 (ni )

Ejemplo grfico X-barra: Supongamos que trabajamos en una planta de montaje de coches. A la hora de montar los motores, partes de la cadena de montaje se mueven verticalmente arriba y abajo a cierta distancia del nivel horizontal de referencia. A fin de asegurar la calidad de la produccin, realizamos cinco mediciones cada da laborable desde el 28 de septiembre hasta el 15 de octubre, y diez mediciones diarias desde el 18 hasta el 25 de octubre. Los datos estn contenidos en el archivo Motores.mtw .

Seleccionar Stat > Control Charts > Xbar

Rellenar los campos como se indica a continuacin:

X-bar Chart for Distanci

56

4

3

Mean2

1

0

Sample

-1

-2

-3

-4

-5

0510152025

Sample Number

3,0SL=4,700

2,0SL=3,281

1,0SL=1,861

X=0,4417 -1,0SL=-0,9778 -2,0SL=-2,397 -3,0SL=-3,817

Test Results for Xbar Chart

TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line (on one side of CL).

Test Failed at points: 5

Observamos que el subgrupo 5 no ha superado el Test 6 ya que es el cuarto punto situado en la zona B (entre 1 y 2 desviaciones estndar de la lnea central), lo cual sugiere la existencia de causas especiales en el proceso.

GRFICOS X-BARRA Y S

Ya sabemos que siempre que se intente controlar una caracterstica de calidad cuantitativa, es una prctica habitual controlar el valor medio de la caracterstica de calidad y su variabilidad. Esta ltima se estudia mediante un grfico R (como ya vimos), o mediante un grfico S, el cual es un grfico de control para desviaciones estndar muestrales. Por tanto, podemos usar los grficos S para estudiar la variabilidad del proceso y detectar la posible existencia de causas especiales. Resulta habitual utilizar los grficos S para muestras de tamao superior a 10, utilizando los grficos R en caso contrario.

Sea X la caracterstica de calidad que nos interesa medir, donde X N(,). Tomaremos k muestras, cada una de ellas de tamao n. Denotaremos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que forman la muestra i-sima, donde i = 1,2,...,k. Ya vimos cmo construir un grfico X-barra:

Por el Teorema de Distribucin Muestra, sabemos que:= y =

xx

n

,

Por el Teorema Central del Lmite, X N

n

n

Segn el modelo de Shewart tendremos que:

LSC = + 3 n

Lnea central =

LIC = 3 n

Si es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimacin se realizar a partir de las k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso est bajo control):

1k1n

==i dondei =X ij

XXX

kn

i=1j =1

Observar que es estimador insesgado de ya que E[]=1kE[i ]= = .

XX

x

k i=11

Si es desconocida, la podemos estimar a partir de las desviaciones estndar Si (observar que tal estimacin se realizar a partir de las k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso est bajo control):

- i = 1,2,...,k , sea Si =1n (X ij i )2 . Se cumple que Si = c4 (n) , donde

X

n 1 j =1

c4(n) es un valor tabulado que depende de n .

Notar que Si / c4(n) es un estimador insesgado de , ya que:

SiE[S]c4(n)

E=i==

c4 (n)c4 (n)

c4 (n)

As, es buena idea tomar como estimador de el promedio de los Si / c4(n) :

1kSi

S

==(es estimador insesgado de )

kc(n)c(n)

=44

i 1

En caso de que el tamao muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los lmites segn el modelo de Shewart, podemos optar por:

1. Obtener los lmites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las lneas de control no sern rectas (darn saltos arriba y abajo segn ni disminuya o aumente),

1k

2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, podramos tomarn =ni .

k

i=1

En esta situacin de tamaos muestrales diferentes, los estimadores para y sern:

nii1Si

=Xy =

ni

kc4 (ni )

Veamos ahora cmo construir un grfico S. Recordemos que X era la caracterstica de calidad que nos interesa medir, donde X N(,), y que denotamos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que formaban la muestra i-sima, donde i = 1,2,...,k.

i = 1,2,...,k ,se cumple queSi = c4 (n) , y Si = 1 (c4 (n))2 , donde c4(n) es un

valor tabulado que depende de n.

Se cumple que:S(n) , 1 (c(n))2

i N c44

n

Por tanto, segn el modelo de Shewart, tendremos que:

LSC = c4 (n) + 3 1 (c 4 (n))2

Lnea central = c4 (n)

LIC = c4 (n) 3 1 (c 4 (n))2

Si es desconocida, la podemos estimar a partir de las desviaciones estndar Si como vimos para el grfico X-barra.

Asimismo, la observacin que vimos en los diagramas X-barra para el caso en que el tamao muestral (ni ) sea diferente para cada muestra es igualmente aplicable aqu.