Interval Os
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Matemática Avanzada
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Ingeniero Julio Núñez Cheng 1
INTERVALOS
Definición: Los intervalos son los subconjuntos conexos de R. Más precisamente, son las únicas partes de R que verifican la propiedad siguiente:
Se usan habitualmente dos notaciones: [a; b) o [a; b [
Para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b. En este ejemplo no se incluye el elemento b del intervalo pero si el elemento a.
La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo.
En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no.
Al representar la desigualdad a b en la recta numérica:
x R a b
Se deduce que existen números reales entre “a” y “b”, o que hay números antes que “a” y después de “b”.
Por lo tanto se puede escribir como una desigualdad: a x b
Los intervalos son conjuntos de números definidos mediante la relación de orden en el campo de los números
reales
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Clases de Intervalos:
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas:
A. Intervalo Abierto.- Es el conjunto de todos los reales X para los cuales: a x b
¡Donde no se incluyen los extremos! Se denota: ,a b x R a b ¿Cuáles son los números que conforman el intervalo 3,4 ?
Son: -2, -1, 0, 1, 2,3 pues no se incluye el -3 ni el 4.
B. Intervalo Abierto.- Es el conjunto de todos los reales X para los cuales:
a x b
¡Se incluyen los extremos!
Se denota por: ,a b
x R a b
¿Cuáles son los números que conforman el intervalo 2,3 ? Completar la respuesta y verificar la solución líneas abajo:
C. Intervalo Semiabierto por la Izquierda.- Es el conjunto de todos los números reales X para los cuales:
a x b
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¡No se incluye el extremo izquierdo!
Se denota: ,a b
x R a b
¿Cuáles son los números que conforman el intervalo 2,3 ? Completar la respuesta:
D. Intervalo Semiabierto por la Derecha- Es el conjunto de todos los reales X para los cuales:
a x b
Se denota por: ,a b x R a b
¡No se incluye el extremo derecho!
¿Cuáles son los números que conforman el intervalo : 2 , 3 Completar la respuesta:
¡Verificar las respuestas de los ejemplos!
b. -2, -1, 0, 1, 2, 3 c. -1, 0, 1, 2, 3 d. -2, -1, 0, 1, 2
OPERACIONES CON INTERVALOS
Como los intervalos son subconjuntos de los números reales se puede realizar operaciones
de unión, intersección, diferencia y complementación.
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1. Dados los intervalos:
A= 4, 3
B= 3 , 5 Graficar y encontrar:
a) A B , “Representa los números comunes a ambos intervalos “
A B R -4 -3 0 3 5
CS= 3 ,3
b) A B , “Representa todos los números comprendidos en los intervalos “
CS = 4,5 c) B – A, “Representa todos los números que pertenecen
únicamente al intervalo B”
CS = 3,5 Observación: Es abierto en 3 ya que el elemento 3 le pertenece al intervalo A. La regla es simple, si el elemento le pertenece al Intervalo A, ya no le pertenece al Intervalo B, cuando se trata de operaciones de diferencia o de complemento de un intervalo.
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d) A – B, “Representa todos los números que pertenecen
únicamente al intervalo A”
CS = 4, 3
e) B´, “Representa el complemento de B”: 3, 5 Son todos los elementos fuera de B: U – B, donde el universal U, está representado por la recta numérica: ,
En la recta numérica, se tiene: INTERVALO B -3 5
B´ = , 3 5, f) A´, Representa el Complemento de A : 4, 3 Son todos los elementos fuera de A: U – A
En la recta numérica, se tiene: INTERVALO A -4 3
A´= , 4 3,
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1) Dados los intervalos:
4, 3
1, 5
3, 6
A
B
C
Graficar y hallar:
a) ´A b) ´B c) A B d) B A e) ( ) ( )A B B A
2 ) Dados los intervalos:
2, 5
4, 0
1, 3
A
B
C
Graficar y hallar:
)))) ´
a A Bb B Cc A Cd A
AUTOEVALUACIÓN
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1)
) , 4 3,
) ,1 5,
) 4,1
) 3, 5
) 4,1 3, 5
a Cs
b Cs
c Cs
d Cs
e Cs
2)
) 2, 0
) 4, 1
) 2, 5
) , 2 5,
a Cs
b Cs
c Cs
d Cs
Ing. Julio Núñez Cheng Celular: 943803233
Rpm: Numeral 609208 [email protected]
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN
