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INTERVALO DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES.

Existen mucho problemas en los que tenemos que obtenerproporciones, probabilidades, porcentajes o ndices, como la proporcinde unidades defectuosas es un cargamento grande de transistores, la

probabilidad de que un automvil detenido en una inspeccin tendr lasluces descompuestas.

El porcentaje de alumnos con coeciente intelectual arriba de11 o el ndice o tasa de mortalidad que provoca una enfermedad. Enmuchos de estos casos es ra!onable suponer que se muestrea unapoblacin binomial " por consiguiente que nuestro problema consiste endeterminar el parmetro binomial .#tili!ando el hecho de que para ngrande la distribucin binomial puede obtenerse aproximadamente conun a distribucin normal es decir que la variable aleatoria

X - n Z =

n(1- )

se pude considerar como si tuviese la distribucin normalestndar, podemos escribir

x - n

P -z2 z 2 = 1 - n( 1-)

$ obtener el intervalo de conan!a de %1 & '1(() para resolviendo las desigualdades.

-Z 2

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teorema 11.5 Intervalo de Confanza de muestra grande para

#n intervalo de conan!a aproximado del %1&'1(() para elparmetro binomial esta dado por

- Z/2 (1-)

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9recuentemente surgen problemas donde es deseable calcular ladiferencia entre los parmetros binomiales 1 2 sobre la base demuestra aleatorias independientes tomadas de dos poblacionesbinomiales. Este es el caso, por ejemplo, si deseamos estimar la

diferencia entre las proporciones e votantes de dos distritos diferentesque se expresan a favor del candidato : para ser electo senador.-i los n;meros de aciertos respectivos son :1" :2las proporciones

de la muestra correspondientes son 1 + x1 n1 " 2 + x2 n2,investigaremos la distribucin muestral de 1 &2, como un estimadorpotencial de 1 &2.

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n1 + n2

donde1 = x1 ! n1 y 2= x2 ! n2

#$emplo 11.

-i se tiene 12 de2(( votantes del distrito 0 favorecen a uncandidato dado para la eleccin del senado " /( de1( votantes deldistrito = se expresan a favor de este mismo candidato. >btenga unintervalo de conan!a de //) para la diferencia entre las proporcionesreales de votantes de los distritos favorables al candidato.

Solucin:

0l sustituir 1+ 122(( + .33, 2+ /(1( +.3(, " !.((+ 2.6 en elintervalo de conan!a de muestra grande del teorema 11.3 se obtiene.

(."") (.#) (."$)(.#$)

(."" -."$) 2.%&% +

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-uponiendo que los datos observados pueden considerarse comouna muestra aleatoria tomada de una poblacin normal, sustituimos n+13 " s +2.2, junto con :@ .((,1 + 2.A1 " :@ .//,1 +.3(1, que seobtuvieron a partir de la tabla D, en el intervalo de conan!a delteorema 11.6 " se obtiene

1% (2.2) 1% (2.2) o bien: 2.21 1%.&*

2.*$1 #."$1

INTERVALO DE CONFIANZA PARA RAZONES DE DOS VARIANZAS

-i -1@ " -2@ son las varian!as muestrales de muestras aleatoriasindependientes de tama?o n1" n2 tomadas de poblaciones normales,entonces

2 y 1 =

1 y 2es una variable aleatoria que tiene una distribucin 9 con n14 1 " n2 & 1grados de libertad, al sustituir esta expresin de 9 en

P (1/2,n11, n21

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*el ejemplo 11. se tiene n1 + 1(, n2+ A, s1+ ., s2 + .6, " latabla D b se tiene que 9.(1,/,6+ 3.62 " f .(1,6,/ +.31 por lo tanto, lasustitucin en el intervalo de conan!a del teorema 11.A da comoresultado

.2% 1 1 .2%. . %."1

.#' ".&2 2 .#'o bien

1.$&"

2

&