Intervalos de confianza bootstrap métodos percentil

Departament d’Estadística

Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Intervalos de confianza bootstrap

métodos percentil

Programa de doctoradoEstadística, Anàlisi de dades i Bioestadística

Métodos de Montecarlo y Estadística computacional

Intervalos de confianza percentil bootstrap

El método percentil. Definición

Situación de partida: parámetro de interés, su estimador “plug-in”,estimador bootstrap de la distribución de

IC percentil bootstrap de , con recubrimiento nominal 1 – :

En la práctica se suele aproximar mediante donde corresponde al percentil muestral p obtenido a partir de B réplicas bootstrap:

q

qG

( ) ( )1 12 2

ˆ ˆ, 1G Ga a- -é ù-ê úë û

( ) ( )2 2

* *1

ˆ ˆ,a aq q-

é ùê úë û ( )

*pq

* * *1 2ˆ ˆ ˆ, , , Bq q qK


Motivación método percentil (i)

Sea estimador de la desviación estándar de

Recordemos: si

entonces es IC “estándar” con recubrimiento 1 – aproximadamente

Extremos del IC estándar equivalentes a percentiles /2 y 1 – /2 de la distribución de

q( )

ˆ

ˆ0,1

ˆN

q

q qs-

»

ˆˆq

s

2 ˆˆ ˆza

qq s±

( )*ˆ

ˆ ˆ ˆ,Nq

q q s:


Motivación método percentil (ii)

Si cierto en general también a su vez bien emulada por

la estima bootstrap de la distribución de Es decir:

Pero ¿y si no normal? (p.e. = , coef. de correlación): ¿existe transformación normalizadora y estabilizadora de varianza?

q

( )ˆˆ , ,N

qq q s»

( )*ˆ

ˆ ˆ ˆ, ,Nq

q q s» ˆ,G

( ) ( )2 2

1 12 2ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, 1z G z Ga aa a

q qq s q s- -- » + » -

q


Motivación método percentil (y iii)

Si existe g, monótona creciente, tal que

En escala , intervalo percentil estándar Monotonicidad de g en escala = g1(),

IC percentil (¡obtenido directamente, sin conocer g!) aproximadamente correcto

( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , , cte.g g N

q qf q f q ff s s= = »

( )13

1 1 ˆp.e. log , ,2 1 n

Nr

ff fr -

+= »

-


En resumen:

Esquemáticamente:

donde es la distribución bootstrap de y es la función de distribución N(0,1)

Por lo tanto, en estas condiciones define IC

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

* 1 * 1 12 2 2 ˆ

interpretable como percentil

ˆ ˆˆ ˆ,G Ha aa a a

qq ff s- - -= = @ + F

144444444444444424444444444444443

H f

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1 1 12 2

ˆ ˆ ˆ, 1 ,G G G z za aa a- - -é ù- = F - Fë û

g1


Modelo para el sesgo y la heteroscedasticidad

Supongamos que existe una transformación g, normalizadora, pero que no corrige el sesgo ni estabiliza la varianza, en concreto sea( ) ( )

( )( ) ( )

( )

0 ˆˆ

*

0

ˆ ˆ,ˆ

0,1 , con 1

ˆ ˆy por lo tanto, también 0,1ˆ1

g g

z N a

z Na

ff

f q f q

ffs ff

s f

ff

f

= =

-+ » = +

-+ »

+


Construcción de los IC BCa. Intervalo en la escala normal

2 2

2 2

0

0 0

ˆDe 1 Pr

1o, equivalentemente,

ˆ ˆPr Pr ,

1 1llegamos a la conclusión de que un IC de nivel,

aproximado, 1 para

z z za

z z z za a

a a

a a

ffa

f

ff ffa

ff

a

ì üï ï-ï ï- @ - £ + £í ý+ï ïï ïî þ

ì ü ì üï ï ï ï- -ï ï ï ï@ - > + + > +í ý í ý+ +ï ï ï ïï ï ï ïî þ î þ

- viene dado por:f

( )( )

( )( )2 2

2 2

0 0ˆ ˆ

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆPr1 1

z z z z

a z z a z z

a a

a aff

f s ff f s fì üï ï- +ï ïï ï+ £ £ +í ýï ï- - - +ï ïï ïî þ


Construcción de los IC Bca. Intervalo en la escala normal

( ) ( )( )

( )2

2

0 ˆ ˆ

01 0

0

Los extremos del intervalo anterior pueden considerarse

ˆ ˆ ˆpercentiles de una distribucion ,

pero no los percentiles / 2 y 1 / 2, sino percentiles

y1

1

N z

z zz

a z z

a

a

fff s f s f

a a

a

a

-

-

æ ö- ÷ç ÷ç ÷= F +ç ÷ç ÷- -ç ÷çè ø

-( )

2

2

02 0

0

1 2

1

respectivamente, con

z zz

a z z

a

a

a a a

æ ö+ ÷ç ÷ç ÷= F +ç ÷ç ÷- +ç ÷çè ø= +


Construcción de los IC Bca. Intervalo en la escala original

Por lo tanto, el intervalo en la escala :

tendrá extremos de la forma:

( )( )

( )( )2 2

2 2

0 01 1ˆ ˆ

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ,1 1

z z z zg g

a z z a z z

a a

a aff

f s ff s f- -é æ ö æ öù- +÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç÷ ÷+ +ê ç ç ú÷ ÷ç ç÷ ÷ê ú- - - +ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è øê úë û

( ) ( )

( ) ( )

2

1

2

2

2

2

0* 10

0

0* 101

0

ˆ ˆ y1

ˆ ˆ1

z zG z

a z z

z zG z

a z z

a

a

a

a

a

a

q

q

-

--

æ æ öö- ÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷= F +ç ç ÷÷ç ç ÷÷- - ÷÷ç çè è øø

æ æ öö+ ÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷= F +ç ç ÷÷ç ç ÷÷- + ÷÷ç çè è øø


Estima de la corrección del sesgo z0

Falta determinar el valor del parámetro de corrección del sesgo, z0, y de la “constante de aceleración”, a

Estima de z0: – En efecto:

( ) { }{ } ( )

**

**

0 0 0* *

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ1

G P

P P z z za

q q qff

fff

= £ì üï ï-ï ï= £ = + £ @Fí ýï ï+ï ïî þ

( )( )10

ˆ ˆˆ .z G q-= F


Estima de la constante de aceleración

Efron, para funcionales

– Ui es la función empírica de influencia asociada al dato i:

Alternativamente, aproximación jackknife:

{ }32

31

21

ˆ6

nii

nii

Ua

U=

=

=åå

( )( )( ) ( )

0

ˆ ˆ1ˆ, lim ii i

t F t FU U x F

e

e ed

e®

- + -= =

( ) ( )ˆ ˆ, :t F t Fq q= =

( ) ( )( )

( ) ( )( ){ }32

3

12

1

ˆ ˆˆ

ˆ ˆ6

nii

nii

aq q

q q

× -=

× -=

-=

-

åå


Resumen de intervalos percentil

IC percentil:– Validez: transformación normalizante, centrada y

estabilizadora de varianza (no necesario conocerla)– Definición:

IC percentil corregido para el sesgo, acelerado (BCa):– Validez: transformación normalizante (no necesario

conocerla)– Definición:

Si sesgo pero homoscedasticidad a = 0: intervalo “corregido para el sesgo”: BC

( ) ( )1 12 2

ˆ ˆ, 1G Ga a- -é ù-ë û

( ) ( )2 2

2 2

0 01 10 0

0 0

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1

z z z zG z G z

a z z a z z

a a

a a

- -é æ æ öö æ æ ööù- +÷÷ ÷÷ç ç ç çê ú÷÷ ÷÷ç ç ç ç÷÷ ÷÷F + F +ê ç ç ç ç ú÷÷ ÷÷ç ç ç ç÷÷ ÷÷ê ú- - - +ç ç ç ç÷÷ ÷÷÷÷ ÷÷ç ç ç çè è øø è è øøê úë û

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