Intro, Cap1

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    SINPSIS DEL CONTENIDO

    UNIDAD I Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

    UNIDAD II Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

    UNIDAD IIITransformadas de Laplace y Sistema de EcuacionesDiferenciales Lineales.

    ESTRATEGIAS GENERAL DE INSTRUCCIN

    y Clases terico prctico

    y Clases especficas de ejercicios, donde el estudiante muestre en s, ellogro de los objetivos propuestos

    y Horas especficas para consultas individuales con los alumnos

    BIBLIOGRAFA- BOYCE DIPRIMA. Ecuaciones diferenciales elementales y problemas decontornos. Limusa 1977.- MAKARENKO. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. EditorialMIR Mosc 1972.- RAINVILLE BEDIENT. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana1977.- ROBERTS, CH. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana 1977.- ROOS. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana1985.

    -D. ZILL, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Wadsworth Internationa l/Iberoamrica 1982-D. SNCHEZ, Ordinary Differential Equations and Stability Theory. W. H.Freeman and Company 1968-C. EDWARDS,Jr. and D. PENNEY. Ecuaciones diferenciales elementales conaplicaciones. Printece-Hall Hispanoamericana 1986

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    2.5.1.1 Ejercicios2.5.2 Ecuaciones Lineales No Homogneas con Coeficientes Constantes.2.5.2.1 Mtodo de Coeficientes indeterminad os

    2.5.2.1.1 Ejercicios2.5.2.2 Mtodo de Variacin de Parmetros.

    2.5.2.2.1 Ejercicios

    2.5.3 Ecuaciones Lineales con Coeficientes Variables.2.5.3.1 Mtodo de Reduccin de Orden.2.5.3.1.1 Ejercicios

    2.5.4 Ecuacin de Euler - Cauchy2.5.4.1 Ejercicios

    UNIDAD III: TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SISTEMAS DEECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

    3.1 Objetivo Didctico3.2 Transformada de Laplace. Definicin.3.2.1 Ejercicios.

    3.3 Teorema de Linealidad.3.4 Inversa de la Transformada de Laplace.3.4.1Propiedad de Desplazamiento3.4.2Ejercicios3.5 Funcin Escaln Unitario.3.5.1 Ejercicios3.6Convolucin. Definicin. Propiedades3.7 Aplicaciones. Problemas de Valor Inicial3.7.1 Ejercicios3.8 Transformada de la Derivada3.9 Integracin de Transformadas3.10 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales3.10.1 Ejercicios

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    UNIDAD I

    ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

    ORDEN

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    1.1 OBJETIVO DIDCTICO: Adquirir los conocimientos esenciales deecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que permitan formularsoluciones a problemas, tanto tericos como aplicados, los cuales conducen aplantear modelos matemticos, mediante el uso de tales ecuaciones.

    1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES

    Hay problemas de la vida diaria que se pueden modelar por una ecuacin en laque la incgnita es una funcin y entre las operaciones que se realizan seencuentra la derivada (ordinaria y parcial).

    Por ejemplo;

    (1) Determinar el tamao de la poblacin en cada instante t suponiendo quela tasa de nacimiento es directamente proporcional a la poblacinpresente en cada instante t y la poblacin inicial es p 0

    Entonces

    !

    !d

    0

    21

    )0(

    )(

    1.)(.)(

    pP

    tPktPktP

    (2) Sea )(tx la posicin de una partcula en el instante t. se conoce de la

    cinemtica que si la aceleracin es constante y el movimiento rectilneoentonces la velocidad es

    Entonces

    0)0(

    )(

    x

    atvtx o

    1.3 DEFINICIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL

    Definicin (1): Una Ecuacin Diferencial definida en una regin nR esuna ecuacin de la forma

    0),,,,,,( 101 !kffxxTF--

    Para todon

    nxx ),,( 1 - donde las funciones jf son algunas de las

    derivadas parciales de algn orden de la funcin T con respecto a algunas (o

    todas) las variables nxx ,,1 - . Si n > 1 la ecuacin diferencial se llamaEcuacin Diferencial en Derivadas Parciales.Definicin (2): ecuacin en la que interviene una variable dependiente y susderivadas con respecto a una o mas variables independientes.

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    Ejemplo:

    a) Senxxydx

    yd!

    2

    2

    b) Cosxexyxyxy x.)(.3)()( )2()3( !d

    c) 02

    2

    2

    2

    2

    2!

    x

    xx

    xx

    xz

    u

    y

    u

    x

    u

    1.4 CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

    Las ecuaciones diferenciales se clasifican de distintas formas segn suspropiedades, se clasifican de la siguiente mane ra:

    Segn su tipo:

    Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): es aquella en la que solo existeuna variable independiente, de manera que todas las derivadas que aparecenen ella son derivadas ordinarias.

    Ejemplo:

    a) )(xLnxydx

    dy!

    b) Cosxexyxyxyx .)()()( !dddddd

    Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): aquellas donde la ecuacincontiene derivadas de una o ms variables dependientes con respecto a mas

    de una variable independiente.

    Ejemplo:

    a) 02

    2

    2

    2

    2

    2

    !x

    x

    x

    x

    x

    x

    z

    u

    y

    u

    x

    u

    b) 0!x

    x

    x

    x

    t

    u

    s

    u

    Segn su orden:

    Segn el orden de la derivada. Orden uno, dos, tres, superior (cuando el ordende la derivada es mayor a uno).

    Ejemplo:

    a) )(xnxydx

    dy! Orden uno.

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    b) 02

    2

    2

    2

    2

    2

    !x

    x

    x

    x

    x

    x

    z

    u

    y

    u

    x

    uOrden dos. (Orden Superior)

    c) Cosxexyxyxy x.)(.3)()( )2()3( !d Orden tres (orden Superior)

    d) 0,

    4

    22 "!

    xCosxy

    dxdy

    dx

    yd Orden dos, ya que el mayor orden de

    derivacin es dos, sin importar el exponente (en este caso es 4)

    e) 0,).(

    4

    2

    2

    !

    xCosxy

    dx

    dy

    dx

    ydxx Orden uno. El trmino

    0! xx si 0x . Y por lo tanto podemos escribirla como

    0, ! xCosxydxdy

    . Este ejemplo muestra que cuando tenemos unaecuacin diferencial es importante saber en que intervalo estamos trabajando.

    Segn su grado: lo define el mayor exponente de la ecuacin diferencial.

    Ejemplo:

    a) 0,

    4

    2

    2

    "!

    xCosxy

    dx

    dy

    dx

    ydGrado 4.

    Segn su Linealidad: una ecuacin ordinaria es lineal de orden n en unintervalo RJ si es de la forma.

    )()().()()()()()()( 011

    1 xhxyxaxyxaxyxaxyxan

    n

    n

    n !d

    .

    Donde haaaa nn ,,,,, 011 - son funciones continuas en el intervalo y

    0)( {xan en dicho intervalo.

    A su vez, una ecuacin diferencial lineal posee las siguientes propiedades:

    - No debe aparecer la variable dependiente como argumento de otra funcin.- No deben aparecer producto de la variable dependiente por si misma y porsus derivadas.- Debe haber una sola variable dependiente y una independiente.

    Ejemplo:

    a) )(xnxydx

    dy! Lineal de orden uno.

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    b) 0,

    4

    2

    2

    "!

    xCosxy

    dx

    dy

    dx

    ydNo lineal, el exponente 4 es lo que

    hace que la ecuacin no sea lineal.

    1.5 SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA

    Definicin: una funcin J se llamar solucin o solucin particular de la EDO

    ),,,,( )1()( d! nn yyyxfy - en el intervalo RJ si:a) J : RJp es una funcin.

    b) )(,,, nJJJ -ddd existen.

    c) ))(,),(),(,()( )1()( xxxxfx nnd! JJJJ - para todo Jx .

    En otras palabras si la funcin satisface a la ecuacin diferencial.

    Al conjunto de todas las soluciones de la EDO en algn intervalo J se llamasolucin general de la EDO cuando aparece la constante de integracin C sinningn valor conocido, y si no aparece esa constante o se conoce su valor se ledenomina solucin particular. Decimos que una solucin esta dadaexplcitamente si la variable dependiente esta despejada, en caso contrariodecimos que esta escrita implcitamente.

    Ejemplo:

    a) La funcin xecx 2.)( !J , c es constante, es solucin general de la

    EDO yy 2!d en x. Pues, )(.2).(2)(2

    xecx

    x

    JJ !!d

    quesatisface a la EDO. Observemos que dicha solucin esta escritaexplcitamente. Por otra parte si tenemos la solucin escrita

    cxex !)(.2 J , decimos que esta escrita implcitamente.

    Cuando nos encontramos con problemas de valor inicial, es decir, que tengan

    condicin inicial 00 )( yxy ! , la solucin de la EDO es una solucin particular.Siguiendo con el ejemplo anterior, si tenemos condicin inicial 1)0( !J , la

    solucin serx

    ex 2)(!J la cual es particular, ya que no aparece la constante

    de integracin como incgnita.

    1.6 Resumen

    Una ecuacin diferencial es una ecuacin donde aparece la operacinderivacin y se tiene que encontrar las funciones que satisfacen dicha ecuacin(si existen).

    Las ecuaciones las clasificamos de acuerdo al siguiente esquema:

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    Linealidad

    Grado

    SuperiorOrden

    UnoOrdenOrden

    Ordinaria

    arcialTipo

    DifEc.

    Solucin de una ecuacin, es cualquier funcin que satisface la ecuacindiferencial y la clasificamos de acuerdo al cuadro siguiente:

    plicitas

    xplicitas

    Particular

    eneralSolucion

    Im

    1.7 EJERCICIOS

    1. Verifique si la funcin o funciones son solucin de la E. D dada, y seale silas soluciones estn escritas en forma explcita o implcita:

    a. 1.3)( !d! xyycexx xJ

    b. 0.12.7.5.2)(43 !ddd! yyyeexy xx

    c.22 .4.2.37.6.2)( xyyyxxexf

    x !ddd!

    d. 0.2..)( !ddd! yyyexcxy x

    e. 02.4).1(1

    1)(

    2

    22

    2!

    ! y

    dx

    dyx