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    Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaMatemtica III

    INTRODUCCIN

    Sistema de coordenadas:

    Engeometra, un sistema decoordenadas es un sistema que

    utiliza uno o ms nmeros

    (coordenadas) para determinar

    unvocamente la posicin de

    unpuntoo de otro objeto

    geomtrico. El orden en que se

    escriben las coordenadas es

    significativo y a veces se las

    identifica por su posicin en

    unatuplaordenada; tambin selas puede representar con letras,

    como por ejemplo la

    coordenada-x. El estudio de los

    sistemas de coordenadas es

    objeto de lageometra analtica,

    permite formular los problemas geomtricos de forma "numrica".

    Un ejemplo corriente es el sistema que asignalongitudylatitudpara

    localizarcoordenadas geogrficas. Enfsica, un sistema de coordenadas

    para describir puntos en el espacio recibe el nombre desistema dereferencia.

    Un sistema de coordenadas permite "etiquetar" los puntos de

    unavariedad diferenciablemediante un conjunto den-tuplas. Los casos

    ms sencillos de sistemas de coordenadas se definen sobre el espacio

    eucldeo o "espacio plano", aunque tambin es posible construirlos sobre

    variedades concurvatura. Un sistema de coordenadas sobre una

    variedad n-dimensional se representa como un par ordenado

    formado por un dominio y una aplicacin diferenciable a un conjunto

    abierto de , ste ltimo conjunto contiene los posibles valores de las

    coordenadas, que obviamente sern nmeros reales.

    Cambios de coordenadas:

    Coordenada! Cur"ilnea!

    http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_(cartograf%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Latitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_geogr%C3%A1ficashttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/N-tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_(cartograf%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Latitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_geogr%C3%A1ficashttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/N-tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
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    En la resolucin de problemas fsicos y matemticos es comn la

    estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de

    coordenadas supone cambiar las variables de las que depende el problema,

    a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una

    forma equivalente pero ms simple, que permite encontrar la solucin conmayor facilidad.

    Ms formalmente un cambio de coordendas puede representarse por

    undifeomorfismoo aplicacin biyectiva ydiferenciable(con inversa

    tambin diferenciable) entre dos conjuntos de , aqu llamados y :

    Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales delsiguiente modo:

    Donde:

    representa la funcin que pretende

    integrarse expresada en las viejas y las nuevas coordendas.

    es eljacobianodel cambio de coordenadas.es el dominio de integracin expresado en las

    viejas y las nuevas coordenadas.

    Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en trminos de

    las nuevas coordenadas se usan las leyes detransformacin tensorial:

    Origen de coordenadas:

    Coordenada! Cur"ilnea!

    http://es.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Jacobianohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Jacobianohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial
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    Elorigen de coordenadases el punto de referencia

    de un sistema de coordenadas. En este punto, el

    valor de todas las coordenadas del sistema es nulo.

    Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas

    no es necesario establecer nulas todas lascoordenadas. Por ejemplo, en un sistema de

    coordenadas esfricas es suficiente con establecer el

    radio nulo ( ), siendo indiferentes los valores de

    latitud y longitud. En un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es

    el punto en que los ejes del sistema se cortan.

    COORD#N$D$% CUR&I'(N#$% G#N#R$'#%

    Generalidades:

    Un sistema de coordenadas curvilneos es la forma ms general de

    parametrizar o etiquetar los puntos de un

    espaciolocalmenteeucldeoovariedad diferenciable(globalmente el

    espacio puede ser eucldeo pero no necesariamente). Si tenemos un

    espacio localmente eucldeo M de dimensin m, podemos construir un

    sistema de coordenadas curvilneo local en torno a un punto p siempre a

    partir de cualquierdifeomorfismoque cumpla:

    Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas

    curvilneas:

    Si el espacio localmente eucldeo tiene la estructura devariedad de

    Riemannse pueden clasificar a ciertos sistemas de coordenadas

    curvilneas ensistema de coordenadas ortogonalesy cuando es sistema decoordenadas ortonormales. Lascoordenadas cilndricasy lascoordenadas

    esfricasson casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales

    sobre el espacio eucldeo .

    El clculo diferencial en variedades permite generalizar el concepto de

    coordenadas cartesianas, cilndricas o esfricas a variedades

    diferenciables, es decir, espacios globalmente no eucldeos que sin

    Coordenada! Cur"ilnea!

    http://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Localmentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Localmentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas
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    embargo sonlocalmenteeucldeos. Los sistemas de coordenadas

    totalmente generales son difciles y en general no tienen propiedades que

    los hagan interesantes. Una clase especial de estos son lascoordenadas

    ortogonales. Un sistema de coordenadas ser ortogonal si los vectores

    tangentes a las curvas coordenadas xi son ortogonales, es decir, si:

    TUPLA

    Donde g(, ) es eltensor mtricodel espacio donde se definen las

    coordenadas.

    A continuacin realizaremos un estudio y descripcin simple y

    generalizada de las coordenadas curvilneas y su gnesis.

    Coordenadas Curvilneas Generales:

    Como hemos visto se podr definir un sistema de coordenadas

    generalizadas (q1; q2; q3) tales que

    genere una trada de vectores base ortonormales de vectores

    unitarios tales que

    Coordenada! Cur"ilnea!

    http://es.wikipedia.org/wiki/Localmentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Localmentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9trico
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    los cuales son vectores tangentes a las curvas que define el radio vector .

    Claramente si el sistema es ortogonal los factores de escala son

    importantes para su categorizacin

    con lo cual podemos definir el elemento de lnea como

    Es decir que identificamos la mtrica como

    De tal forma que los casos particulares se recuperan fcilmente.

    Anlisis de Casos Particulares:

    A) Coordenadas Cartesianas:

    El primer caso, el ms trivial, lo constituyen las coordenadascartesianas. Vale decir:

    consecuentemente

    Coordenada! Cur"ilnea!

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    El elemento de lnea viene definido como

    y el tensor mtrico ser

    El hecho que para el caso de las coordenadas cartesianas hx= hy= hz=

    1 significar que las tomaremos como coordenadas base respecto a las

    cuales expresaremos las dems.

    B) Coordenadas Cilndricas:

    Las coordenadas cilndricas se expresan como

    y estas cantidades pueden ser identificadas de las leyes de transformacin

    respecto a las coordenadas cartesianas

    con lo cual es fcil identificar

    y de all

    Coordenada! Cur"ilnea!

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    y del mismo modo

    mientras que los vectores unitarios sean

    El elemento de lnea viene definido como

    y el tensor mtrico ser

    C) Coordenadas Esfricas:

    Para construir el sistema de coordenadas esfricas

    y estas cantidades pueden ser identificadas de las leyes de transformacin

    respecto a las coordenadas cartesianas

    Coordenada! Cur"ilnea!

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    con lo cual es fcil identificar

    y de all

    y del mismo modo

    Finalmente,

    Coordenada! Cur"ilnea!

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    mientras que los vectores unitarios sern

    El elemento de lnea viene definido como

    El tensor mtrico ser

    Coordenada! Cur"ilnea!

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    Otros Sistemas Coordenados:

    Por complementitud se enumeran algunos sistemas de coordenadas

    adicionales:

    1) Coordenadas Toroidales:

    con

    con lo cual los vectores unitarios sern

    la mtrica queda como

    Las superficies = const representan toros alrededor del eje z; las

    superficies = const son esferas con centro sobre el eje z; y finalmente las

    superficies = const son planos que contienen al eje z.

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    2) Coordenadas Elipsoidales:

    Nota:

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    Ntese que las proyecciones de las superficies cudricas homofocales

    del inicio, en el plano (x; y), representan curvas cnicas homofocales.

    Resumen:

    Coordenadas curvilneas en 2D:

    Coordenada! Cur"ilnea!

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    $)'IC$CIN

    Velocidades y Aceleraciones:

    Ahora realizaremos un pequeo anlisis de dos vectores muy conocidos

    y explotados en el clculo: la velocidad y la aceleracin. Analizaremos sus

    expresiones en coordenadas generalizadas. Para ello recordamos que los

    vectores velocidad y aceleracin se representan como

    respectivamente. Para determinar las expresiones de estos vectores en

    cualquier sistema de coordenadas es suficiente encontrar las expresiones

    de sus componentes contravariantes o covariantes. Como sabemos,

    podremos encontrar una a partir de las otras con la ayuda de la mtrica

    del sistema de coordenadas.

    Entonces, el vector velocidad en base cartesiana se puede expresarcomo

    claramente las componentes contravariantes del vector velocidad en un

    sistema de coordendas generalizando son .

    Para encontrar las componentes covariantes recordamos que para

    cualquier base generalizada de vectores o formas se expresan en trmino

    de la base cartesiana (de vectores o forma) como

    Coordenada! Cur"ilnea!

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    Entonces las componentes covariantes del vector velocidad en una base

    generalizada ser

    Con lo cual resulta fcil expresar las componentes covariantes una vez

    que conocemos el mdulo del vector expresado en ese sistema de

    coordenadas, el cual siempre viene expresado a partir del diferencial.

    Para encontrar la expresin para la aceleracin se procede de manera

    anloga.

    y otra vez

    y finalmente

    Coordenada! Cur"ilnea!

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    G'O%$RIO

    DIFEOMORFISMO

    Un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable entrevariedades

    diferenciablescuya inversa tambin es diferenciable, es decir, es un

    isomorfismo de variedades diferenciables. Loscambios de

    coordenadasconstituyen un caso particular de difeomorfismo.

    Un ejemplo para distinguir entre homeomorfismo y difeomorfismo:

    Unacircunferenciay elpermetrode un cuadrado son homeomorfos, pero

    no difeomorfos.

    GEOMETRA DE RIEMANN

    Engeometra diferencial, la geometra de Riemann es el estudio de

    lasvariedades diferencialesconmtricas de Riemann; es decir de una

    aplicacin que a cada punto de la variedad, le asigna unaforma

    cuadrticadefinida positivaen suespacio tangente, aplicacin que vara

    suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras

    magnitudes)ngulo,longitud de curvas, yvolumen. A partir de stas,

    pueden obtenerse otras magnitudes porintegracinde las magnitudes

    locales.

    Coordenada! Cur"ilnea!

    http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Positivo_definidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Positivo_definidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n
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    HOMEOMORFISMO

    Entopologa, un homeomorfismo (del griego (homoios) = misma y*

    (morph) = forma) es unabiyeccionentre dosespaciostopolgicospor unaaplicacinbiyectiva que es continua y cuyainversaes

    continua. En este caso, los dos espacios topolgicos se dicen

    homeomorfos. Las propiedades de estos espacios que se conservan bajo

    homeomorfismos se denominan propiedades topolgicas.

    En lacategora de espacios topolgicos, losmorfismosson las funciones

    continuas y los isomorfismos son los homeomorfismos.

    Consecuentemente, la composicin de dos homeomorfismos es de nuevo

    un homeomorfismo, y el conjunto de todos los homeomorfismos h: X X

    de un espacio en s mismo forman un grupo llamado grupo dehomeomorfismos de X, que suele notarse como Homeo (X).

    De modo intuitivo, el concepto de homeomorfismo refleja cmo dos

    espacios topolgicos son los mismos vistos de otra manera: permitiendo

    estirar, doblar o cortar y pegar. Sin embargo, los criterios intuitivos de

    estirar, doblar, cortar y pegar requieren de cierta prctica para

    aplicarlos correctamente. Deformar un segmento de lnea hasta un punto

    no est permitido, por ejemplo. Contraer de manera continua un intervalo

    hasta un punto es otro proceso topolgico de deformacin

    llamadohomotopa.

    TENSOR

    Enmatemticasy enfsica, un tensor es cierta clase de entidad

    algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos

    deescalar,vectorymatrizde una manera que sea independiente de

    cualquiersistema de coordenadaselegido. En adelante utilizaremos

    elconvenio de sumacin de Einstein.

    Una vez elegida una base vectorial, las componentes de un tensor en

    una base vendrn dadas por una multimatriz. El orden de un tensor ser

    el nmero de ndices necesario para especificar sin ambigedad una

    componente de un tensor: un escalar ser considerado como un tensor de

    orden 0; un vector, un tensor de orden 1; y dada una base vectorial, los

    tensores de segundo orden pueden ser representados por unamatriz.

    Coordenada! Cur"ilnea!

    http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Biyeccionhttp://es.wikipedia.org/wiki/Biyeccionhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa_de_espacios_topol%C3%B3gicoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Morfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Homotop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Biyeccionhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa_de_espacios_topol%C3%B3gicoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Morfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Homotop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)
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    TENSOR MTRICO

    Engeometra de Riemann, el tensor mtrico es untensorde rango dos

    que se utiliza para definir conceptosmtricos comodistancia,nguloyvolumenen un espacio localmente

    eucldeo.

    TUPLA

    Una tupla, enmatemticas, es unasecuenciaordenada de objetos, esto

    es, unalistacon un nmero limitado de objetos (una secuencia infinita se

    denomina en matemtica como unafamilia, aunque hay autores que

    consideran el trmino tupla para denominar no solo listas finitas). Las

    tuplas se emplean para describir objetos matemticos que tienen

    estructura, es decir que son capaces de ser descompuestos en un cierto

    nmero de componentes. Por ejemplo, unGrafo dirigidose puede definir

    como una tupla de (V, E) donde V es el conjunto denodosy E es

    elsubconjuntode V V que denota los vrtices delgrafo.

    Coordenada! Cur"ilnea!

    http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Secuencia_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_(estructura_de_datos)http://es.wikipedia.org/wiki/Familia_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_dirigidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Nodo_(inform%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Subconjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Secuencia_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_(estructura_de_datos)http://es.wikipedia.org/wiki/Familia_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_dirigidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Nodo_(inform%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Subconjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafo