Intro fractales

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    05-Jun-2015
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  • 1. FractalesDimensin Fractal:Hacia una medida de la Realidad

2. Primera ParteAspectos Tericos de la Geometra FractalDefinicin de Fractal Autosimilitud Dimensin FractalDiferentes Tipos de Fractales 3. Hacia una definicinFrases sueltas sobre Fractales** La Geometra Fractal es tambin conocida como la Geometra de la Naturaleza. ** ** La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latn y significa roto, quebrado.(Se asocia con las discontinuidades de funciones matemticas). **** La Geometra Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y dems objetos de la geometra tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caticos y dinmicos. **** Un fractal es un objeto en el cual sus partes tienen alguna relacin con el todo. (esto est ntimamente ligado a la Autosimilitud) **** Los Fractales son objetos cuya dimensin es no entera o fraccionaria. **** Un objeto fractal es aqul que posee las siguientes dos caractersticas:a) Autosimilitud,b) Dimensin Fractal** 4. Qu es un Fractal?Son objetos geomtricos que poseen dos caractersticas fundamentales:2)Autosimilitud3)Dimensin Fraccionaria Cuntos tipos de Fractales existen?Los objetos Fractales se pueden clasificar de la siguiente manera:LinealesComplejosCaticos 5. Autosimilitud1) Perfecta: PerfectaCada porcin de un objeto tiene exactamente las mismas caractersticas del objetocompelto. 6. Autosimilitud2) Estadstica: cada regin de un objeto conserva, de manera estadsticamente similar, suscaractersticas globales. 7. Dimensin Fractal1) Dimensin Topolgica: Dimensin 0 -- Un punto Dimensin 1 -- Una lnea recta Dimensin 2 -- Un plano Dimensin 3 -- El espacio2) Dimensin de Dimensin de Hausdorff-Besicovitch S = LDDonde S es la cantidad de segmentos o su longitud; L es la escala de medicin; D es justamente la Dimensin.Luego obtengo:Log S = Log LDPor propiedades de los logaritmos puedo decir que:Log S = D* Log LPor ltimo divido ambos miembros por Log L y obtengo: D = Log S / Log L 8. Dimensin FractalFractales LinealesFractales Complejos y CaticosSu Dimensin Fractal se CALCULASu Dimensin Fractal se ESTIMAMediante la siguiente FrmulaMediante las siguientes tcnicas o algoritmos S = LDWavelets Exponente de HurstDonde :Dimensin de Autocorrelacin Boxcounting Method Exponentes de LyapunovS es la cantidad de veces que se repite la imgen generadoraL es igual a (1/e) donde e es la escala de medicinEjemplo DM de un Fractal LinealD es justamente la Dimensin buscada.e = (1/3)Aplicando logaritmos se obtiene:Log S = Log LDL= 1/(1/3)=3Por propiedades de los logaritmos escribimos: S=4Log S = D* Log LPor ltimo divido ambos miembros por Log L y D = log(4)/log(3)obtengo: D = 1,261859 9. Cmo se genera un Fractal? Paso 1, se elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la cara de Mickey Mouse). Paso 2, se elige un algoritmo de transformacin de la imagen generadora. Paso 3, se itera el algoritmo infinitas veces, o con un lmite determinado como variable en un software. Ejemplos:Curva de Von Koch Curva de Peano Modelo NeuronalLos Fractales complejos se generan con la misma lgica, solo que en lugar de iterar una imagen, se itera una ecuacin en elplano de los nmeros complejos.Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteracin de: Zn+1 = Zn^2 + CLos Fractales Caticos, son los elementos geomtricos de la Teora del Cos. Se los denomina Atractores. Se generan a travsde mediciones provenientes del mundo real, como Ecuaciones Direnciales o Series de tiempo.Cuando uno modela un sistema natural catico, tiene como finalidad encontrar un Atractor. 10. Mejorando nuestra definicin La Geometra Fractal, llamada tambin "Geometra de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a travs de algoritmos matemticos ycomputacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y dems figuras provenientes de la matemtica tradicional. Estos objetos tienen como caractersticas fundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraos paisajes formados por dimensiones fraccionarias.Ahora si La definicin de MANDELBROTUn fractal es un objeto matemtico cuya dimensin de Hausdorff es siempre mayor a su dimensin topolgica. 11. El Conjunto de Cantor S=2 L=3 Dimensin Topolgica = 1 ya que parte de una recta. Dimensin Fractal = 0.6309..D = Log 2 / Log 3 - D = 0.6309............. Se presenta el problema de excepcin a la definicin de Mandelbrot Tiene dimensin fraccionaria, pero su dimensin Topolgica es mayor que su dimensin fractal. 12. Matemtica Fractal Generando el Conjunto de Mandelbrot (M-Set)ConjutoNmeros Complejos Iteracinz1 = z02 + c Iteraciones Todos los Z y C son nmeros complejos Z0 es el inicializador z2 = z12 + c La sucesin formada por Z ,Z , Z , Z Zn 0 12 3 z3 = z22 + c Se denomina la ORBITA de Z bajo la iteracin z+c 2 0 z4 = z32 + c Las rbitas pueden converger o diverger.Definicin + Conjunto de Mandelbrot z5 = z42 del cEl conjunto Mandelbrot M, consiste de todos aquellos valores (complejos)de c cuyas rbitas de 0 bajo z2 + c correspondientes no escapan al infinitoM-Set= {c / rbita de 0 en Z2 + c converge} Importante: En M-Set siempre interesa estudiar la rbita de Z0 = 0 13. Matemtica Fractal Generando el Conjunto de MandelbrotLos colores representados en un Fractal no tienenFractales y Colores un carcter artstico, sino puramente Matemtico. Defino un algoritmo de Colores: - Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO - Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO - Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte con alguna - Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte de color BLANCO gama de AZUL. - Defino azul CLARO para los valores de C que tardan MUCHO en DIVERGER. - Defino azul OSCURO para los valores de C que DIVERGEN rpidamente. Los colores dan una muestra de la velocidadcon la que diverge la sucesin: 14. Fractales Caticos - Atractores Extraos 15. Diferentes Tipos de FractalesSon los objetos geomtricosFractales de la Teora del CaosLineales ComplejosCaticosPoseen estructura Fractal.Autosimilitud PerfectaAutosimilitud EstadsticaAutosimilitud EstadsticaDimensin Fractal fcil de Dimensin Fractal difcil de Se requieren mtodos decalcular con: S = LD calcular. Se requiere software.medicin ms complejos que la Mtodo: Box CoutingDimensin Fractal.Se crean a partir de:Se crean a partir de:-Un generadorSe generan a partir de sistemas de -Un Z0-Un algoritmo de repeticinEcuaciones Diferenciales -Iteraciones en el Plano Complejo Ejemplo: Atractor de LorentzEjemplo: Tringulo de Cantor y Ejemplo: Conjunto de Modela el Clima Meteorolgico Mandelbrot, Conjunto de JuliaTrigulo de Sierpinski 16. Segunda ParteAplicaciones FractalesMedicinaEconoma Otras CienciasArte 17. Fractales en Medicina - Neurociencias Simulacin de una imgen del Cerebro Humano Iteracin de la frmula: Zn+1 = Z0 + C Diferencia con el Conjunto de Mandelbrot, se colorean TODOS los puntos y no solo los convergentes.Modelo de Neurona con el que trabaja laMedicina ActualPrimeros pasos para desarrollar unmodelo Neuronal Fractal.Se elige un generador (A), se propone unalgoritmo (B) se comienza a desarrollarel fractal (C y D).Se puede llegar a diferentes modelosdependiendo el generador y algoritmoelegido. 18. Mas Fractales en MedicinaImagen de un Pulmn animalcon Imagen de un Pulmn humano las mismas caractersticascon caractersticas fractalesFractales, Estadstica y MedicinaEl anlisis de autosimilitud ypatrones, no necesariamente tieneque estudiarse desde imagenes,puede hacerse tambien desdeecuaciones o curvas como en estecaso de EEG o Series de Tiempo Imagen de aumentada con detalles de un pulmn humano 19. Cardiologa FractalECG visto como una serie de tiempo.Se realiza un anlisis Fractal para determinar la DF de ECG de pacientes sanos y depacientes con determinadas patologas.Problema:Diversos estudios de ECG mostraban una inconsistencia entre el tamao de la arteriaizquierda en relacin con la fibrilacin arterial.Hiptesis:Mediante un Anlisis de la Dimensin Fractal de una fibrilacin arterial proveniente deun ECG se puede predecir el tamao de la arteria izquierda.Mtodo:Se estudian 53 pacientes con fibrilacin arterial.Resultados:Si la DF es mayor a 1.14, el tamao de la arteria izquierda en TODOS los pacientes, esde 4,6 cm. o mayor.Si la DF es menor que 1.09 , el tamao de la arteria izquierda en TODOS los pacientes,es menor a 4,6 cm.Si la DF se encuentra entre 1.09 y 1.14, no presenta una correlacin con el tamao dela arteria izquierda. 20. Series de Tiempo como Fractales Caticos La evolucin y dinmica de diferentes sistemas biolgicos, sociales, econmicos o mdicos pueden ser vistos y representados como series de tiempo. Grfico de la evolucin de precios en la Bolsa de Comercio de Canad, la cual puede ser tratada y estudiada como una serie de tiempo. Un ElectroEncefalograma tambin puede ser visto y tratado como una serie de tiempoCon el mismo procedimiento descriptoanteriormente se genera un fractal lineal, En ambos casos se realiza un Anlisis Fractal para determinar el grado decon autosimilitud perfecta, queautosimilitud que poseen estas series, y en base a eso se puede conocer msrepresenta el grfico de una serie deacerca de su dinmica, lo cual permite realizar inferencias sobre el sistema.tiempo. 21. Fractales en Economa y FinanzasTeora Multifractal en elAnlisis de la Bolsa de ComercioA la izquierda modelos tradiconales en elAnlisis de charts. A la derecha el mismoAnlisis pero utilizando tcnicas Fractales Notar la diferencia en el detalle. 22. Enconoma FractalMercados Financieros vistos como series de tiempo.Se realiza un Anlisis para determinar la DF de la serie de tiempo con el objeto de conocer la dinmica del movimiento de preciosdentro de la Bolsa de Comercio y poder inferir sobre valores futuros.Se calcula la DF mediante el algoritmo denominado Exponente de Hurst.Propiedades del exponente de Hurst (H):Vara entre 0 y 1Si H = 0,