Introducció a les mesures i el càlcul...

of 38/38
Introducció a les mesures i el càlcul d’errors Antoni Pérez Navarro P08/19018/00543
  • date post

    12-Feb-2020
  • Category

    Documents

  • view

    7
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Introducció a les mesures i el càlcul...

  • Introduccióa les mesures iel càlcul d’errorsAntoni Pérez Navarro

    P08/19018/00543

  • c© FUOC • P08/19018/00543 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Índex

    Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    Objectius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1. Unitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.1. El sistema internacional d’unitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2. La notació científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.3. Múltiples i submúltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4. Altres sistemes d’unitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2. La mesura i els instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.1. La mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.2. Temps de relaxació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.3. Calibratge (Calibration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.4. Escala (Scale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.5. Exactitud (Accuracy) i Precisió (Precision) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.5.1. Exactitud (Accuracy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.5.2. Precisió (Precision) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.5.3. Exactitud vs Precisió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.6. Polarització (Offset) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.7. Linealitat (Linearity) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.8. Sensibilitat de la mesura (Sensibility) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.9. Derives (Drift) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.10. Llindar (Threshold) i Zona morta (Dead zone) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.11. Resolució (Resolution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3. Errors en la mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    3.1. Tipus d’errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    3.2. Presentació de l’error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3.2.1. Error absolut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    3.2.2. Error relatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3.3. Obtenció de l’error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3.3.1. Error en les mesures directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.3.2. Error en les mesures indirectes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    Resum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

  • c© FUOC • P08/19018/00543 5 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Introducció

    Al llarg dels nostres estudis, o bé en la nostra vida professional, és habitual

    que apareguin números “exactes”: ens diuen que una determinada longitud

    és de 5,07 cm; o que una resistència és de 3 Ω. Però fins a quin punt són cor-

    rectes aquests valors? I aquesta pregunta no és vàlida només per als problemes

    acadèmics, sinó també per a tots aquells elements reals que podem adquirir: si

    tenim una resistència de 3 Ω, realment té aquest valor? Fins a quin punt puc

    estar-ne segur?

    Totes aquestes preguntes estan relacionades amb problemes deguts a la me-

    sura. Des del principi de la humanitat s’han buscat mecanismes per pren-

    dre mesures de maneres més fiables i objectives. Potser el primer instrument

    de mesura que va haver-hi van ser les nostres mans, però aquest instrument de

    seguida va mostrar la seva ineficàcia en tant que depenia de la mida de la

    mà de la persona que mesurava. D’aquest primer pas fins als sofisticats ins-

    truments de mesura d’avui dia hi ha un llarg recorregut, però l’essència del

    problema segueix sent la mateixa: obtenir mesures fiables.

    En aquest mòdul donarem unes pinzellades del que implica aquest procés de

    mesura. Començarem amb l’apartat 1, en el qual veureu un element bàsic

    de qualsevol mesura: les unitats en les quals mesurem. Tot seguit, a l’apartat 2

    veurem els fonaments dels instruments de mesura i us mostrarem un seguit

    de conceptes que segur que heu sentit, encara que no sempre ben aplicats:

    precisió, exactitud, sensibilitat, etc. Un cop vistos els instruments de mesura,

    a l’apartat 3 passarem a la mesura en si. Aquí veureu com s’han de donar les

    xifres (i descobrireu que no són tan “exactes” com esteu acostumats a veure),

    com saber quin és l’error que teniu en les vostres mesures i la manera com es

    propaga aquest error quan feu càlculs amb aquestes mesures.

    Al llarg de tot el mòdul veureu que, de vegades, al costat d’un concepte n’apa-

    reixerà la traducció anglesa entre parèntesi. Això és perquè habitualment es fa

    servir el terme anglès per referir-s’hi.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 6 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Objectius

    Els objectius d’aquest mòdul són:

    1. Conèixer les unitats bàsiques del sistema internacional de mesures i els

    múltiples i submúltiples del sistema mètric decimal.

    2. Prendre consciència que hi ha altres sistemes de mesures i no tots es com-

    porten com el mètric decimal.

    3. Aprendre els conceptes bàsics relacionats amb les mesures.

    4. Saber triar un instrument de mesura a partir de les seves especificacions.

    5. Assumir l’error que es produeix en tot procés de mesura.

    6. Saber obtenir l’error en tot procés de mesura.

    7. Aprendre a calcular la propagació de l’error en fer càlculs amb mesures que

    tenen un cert error.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 7 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    1. Unitats.

    En una activitat tan quotidiana com la compra, sabem que no n’hi ha prou

    amb anar a la fruiteria i demanar 5, a seques. 5 què?, ens preguntaran, ja

    que podrien ser 5 taronges o 5 plàtans. Podríem dir llavors, “de cireres, dóna-

    me’n 5”, i tornarien a preguntar-nos, 5 què?, perquè podrien ser 5 quilograms,

    5 grams o 5 cireres. És a dir, no n’hi ha prou amb dir un número, és important

    saber sempre a què correspon aquest número, en quines unitats es mesura.

    .

    Les ciències i les enginyeries no són una excepció a aquesta regla i per

    aquest motiu totes les magnituds (intensitat, resistència, voltatge, etc.)

    es mesuren en unes unitats determinades.

    En el subapartat 1.1. d’aquest apartat recollirem quines són les unitats en el

    sistema internacional (S.I.) de les magnituds relacionades amb la física i les

    enginyeries, i en el subapartat 1.2. una forma molt habitual de representar-les.

    A continuació, en el subapartat 1.3. veureu que es pot treballar amb múltiples

    i submúltiples de les unitats que us haurem presentat i així podrem treballar

    amb xifres “més còmodes”. Finalment, en el subapartat 1.4. us mostrarem

    altres unitats que no pertanyen al S.I.

    1.1. El sistema internacional d’unitats

    El primer punt que heu de tenir present és que quan fem una mesura en unes

    unitats determinades, aquestes formen part d’un grup més ampli que anome-

    nem sistema d’unitats. Així, si heu vist alguna pel·lícula ambientada en algunpaís anglosaxó, o heu estat en algun d’ells, us haureu adonat que mesuren

    les distàncies en milles, no en quilòmetres, com nosaltres. La milla i el qui-

    lòmetre formen part de diferents sistemes d’unitats, la primera unitat està en

    el sistema anglosaxó i la segona en el sistema internacional (S.I.). Nosaltres

    treballarem amb el sistema internacional.

    En el sistema internacional, les unitats bàsiques són les que us indiquem a la

    taula 1. En la primera columna podeu veure la magnitud, en la segona el nom

    de la unitat i en la tercera el símbol que s’utilitza per a la unitat.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 8 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Ampere/Coulomb

    En alguns entorns es prencom a unitat fonamental lacàrrega elèctrica (el coulomb)en comptes de l’Ampere.Tanmateix, en enginyerias’agafa sempre l’Ampere i ésper això que hem triataquesta opció.

    Taula 1. Unitats en el sistema internacional (S.I.)

    Magnitud Unitat Bàsica SímbolLongitud Metre mMassa kilogram kgTemps Segon sCorrent elèctric Ampere ATemperatura Grau Kelvin KIntensitat lumínica Candela cd

    Les unitats de la taula 1 són el que en diem unitats bàsiques. Per unitats

    bàsiques entenem aquelles a partir de les quals es poden obtenir les unitats de

    la resta de magnituds, que són les que anomenem unitats derivades. Per a

    això s’utilitzen les fórmules que relacionen les unes amb unes altres, com la

    llei d’Ohm, per exemple. A la taula 2 podeu veure algunes unitats derivades. La llei d’Ohm

    La llei d’Ohm diu que elvoltatge (V) és igual alproducte d’intensitat (I) perresistència (R): V = I · R.

    En la primera columna teniu la magnitud a la qual corresponen, en la segona

    el nom de la unitat, en la tercera el seu símbol, i en la quarta la fórmula que

    mostra la relació amb les unitats bàsiques, o amb les unitats derivades en cas

    que s’obtinguin d’una unitat derivada.

    Unitats en majúscula

    Les unitats dedicades apersones s’escriuen enmajúscula: N (Newton), W(Watt), etc.

    Taula 2. Unitats derivades en el S.I.Magnitud Unitat Símbol FórmulaFreqüència Hertz Hz 1/sForça Newton N kg·m/sEnergia/Treball Joule J N·mPotència Watt W J/sCàrrega elèctrica Coulomb C A·sPotencial elèctric Volt V J/CResistència elèctrica Ohm Ω V/AConductància elèctrica Siemens S A/VCapacitància elèctrica Farad F C/VFlux magnètic Weber Wb V·sInductància Henry H Wb/A

    Weber

    El Weber rep el seu nom delcientífic alemany WilheilmWeber. Per tant, la “W” deWeber es pronuncia com lade “Wagner”.

    1.2. La notació científica

    Ara ja hem vist les unitats que podem fer servir en el S.I. Fixeu-vos però que,

    per exemple, una taula pot mesurar 2 m, la distància entre dos pobles pot ser

    de 5.000 m i la longitud d’una formiga pot ser 0,005 m. Com podeu veure, si

    mesurem coses molt grans ens veurem obligats a utilitzar números molt llargs

    d’escriure; i en el cas de mesurar coses molt petites, hauríem de posar molts

    zeros després de la coma, el que pot conduir a errors i és farragós d’escriure. Se-

    ria molt còmode poder disposar d’un sistema de representació més compacte.

    Aquest sistema existeix i es coneix com notació científica.

    La notació científica consisteix a escriure els números en potències de 10,

    com els que podeu veure a la taula 3. Així, els números que teniu al paràgraf

    anterior, escrits en notació científica seran: 5.000 = 5·103 i 0,005 = 5·10-3, queés una notació molt més compacta. Val a a dir que la potència 100 no s’utilitza

    perquè el seu valor és 1.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 9 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Taula 3. Escriptura en potències de 10 d’alguns valors numèrics

    Valor Potència de 100,000001 1·10-6

    0,00001 1·10-5

    0,0001 1·10-4

    0,001 1·10-3

    0,01 1·10-2

    0,1 1·10-1

    1 110 1·10100 1·102

    1.000 1·103

    10.000 1·104

    100.000 1·105

    1.000.000 1·106

    1.3. Múltiples i submúltiples

    Cadascuna de les unitats que heu vist en el subapartat 1.1., tant les bàsiques

    (taula 1) com les derivades (taula 2) tenen el que es diuen múltiples i submúl-

    tiples. Per què són útils aquests múltiples i submúltiples? perquè així podem

    adaptar les unitats als nombres amb els quals estem treballant.

    De fet, això ja ho fem en la nostra vida quotidiana, quan diem per exem-

    ple que dos municipis disten vint quilòmetres (20 km) i no vint mil metres

    (20.000 m). En aquest cas utilitzem el múltiple kilo, que equival a 1.000 m.

    A la taula 4 podeu veure un llistat dels múltiples i submúltiples. En la primera

    columna s’indica el nom, en la segona el símbol, i en la tercera la potència de

    10 de la unitat a què correspon (és a dir, 1 km són 103 m).

    El símbol µ correspon a la lletra

    grega mu.

    Taula 4. Múltiples i submúltiples

    Prefix Símbol Potènciafemto f 1·10-15

    pico p 1·10-12

    nano n 1·10-9

    micro µ 1·10-6

    mili m 1·10-3

    centi c 1·10-2

    deci d 1·10-1

    deca da/D 1·101

    hecto h 1·102

    kilo k 1·103

    Mega M 1·106

    Giga G 1·109

    Tera T 1·1012

    Val a dir que no és casualitat que tots els múltiples i submúltiples siguin po-

    tències de 10. De fet, tots ells formen part del que s’anomena sistema mètric

    decimal, que té precisament aquesta característica.

    Cal tenir en compte que en el cas d’unitats elevades a alguna potència, aquests

    factors de conversió també s’eleven a la potència. Així, per exemple, en el

    cas de metres quadrats (m2) s’elevarien al quadrat les potències indicades en

    la taula 4, i en el cas de (m3) s’elevarien al cub. A la taula 5 podeu veure

    l’equivalència entre 1 m2 i alguns dels seus múltiples i submúltiples i a la

    taula 6 teniu el mateix, però en aquest cas amb el m3.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 10 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Taula 5. Equivalència d’alguns múltiples i submúltiples del m amb 1 m2

    Unitat 1 m2 =mm2 1·10-6

    cm2 1·10-4

    dm2 1·10-2

    dam2 1·102

    hm2 1·104

    km2 1·106

    Taula 6. Equivalència d’alguns múltiples i submúltiples del m amb 1 m3

    Unitat 1 m3 =mm3 1·10-9

    cm3 1·10-6

    dm3 1·10-3

    dam3 1·103

    hm3 1·106

    km3 1·109

    1.4. Altres sistemes d’unitats

    No voldríem acabar aquesta introducció a les unitats sense comentar que hi

    ha altres sistemes d’unitats que no pertanyen al sistema internacional. I també

    cal dir que hi ha relacions de múltiples i submúltiples que no estan dins el

    sistema mètric decimal i, per tant, no es relacionen amb potències de 10.

    Com a exemple de sistema que no pertany al S.I. està el sistema CGS, que

    pren el seu nom de “centímetre, gram, segon”. En aquest sistema la unitat de

    longitud bàsica és el centímetre, la de massa el gram i la de temps el segon.

    Això fa que totes les magnituds derivades també siguin diferents. Entre elles

    destaca la de camp magnètic, el gauss (G), que equival a 104 T i que es fa servir

    molt habitualment. El sistema CGS seria un cas de sistema que no pertany al

    S.I., però en canvi sí que pertany al sistema mètric decimal.

    Un exemple de sistema que no pertany al sistema mètric decimal (i per tant,

    tampoc no per tany al S.I.) és el sistema anglosaxó. En aquest teniu, per exem-

    ple, que una milla són 5.280 peus.

    Però a part d’aquests sistemes teniu algunes transformacions d’unitats més

    exòtiques (però molt habituals) com són les transformacions de temperatu-

    ra. Hi ha bàsicament tres escales de temperatura: el grau centígrad, el grau

    fahrenheit (que fan servir els països anglosaxons) i el grau Kelvin:

    • El grau Fahrenheit, representat com a of, fixa el 0of i el 100of, respectiva-ment, en els punts de congelació i ebullició del clorur amònic en aigua.

    Això vol dir que l’aigua es congela a 32of i bull a 212of. Per tant, la diferèn-

    cia de temperatura entre els punts de congelació i ebullició de l’aigua és de

    180of.

    • El grau Celsius, representat com a oC, fixa el 0oC i el 100oC, respectiva-ment, en els punts de congelació i ebullició de l’aigua. Fixeu-vos que la

    diferència de temperatura entre els punts de congelació i ebullició de l’ai-

  • c© FUOC • P08/19018/00543 11 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    gua és de 100oC, per la qual cosa, la variació d’un oC i la d’un of seran

    diferents.

    • El grau Kelvin, representat com a K (sense cap cercle al davant), té el seu0 en el 0 absolut de temperatura i, per tant, la temperatura en K sempre

    és positiva. La variació d’un oC coincideix amb la variació d’un K. És a dir,

    dos recipients que tinguin una diferència de temperatura de 10K tindran

    també una diferència de temperatura de 10oC.

    La conversió entre K i oC és immediata, ja que un grau té la mateixa mida en

    ambdós sistemes:

    Temperatura (Kelvin) = Temperatura (Celsius) + 273 ⇔ K = oC + 273 (1)

    Així, un cos a 25oC estarà a 298K.

    Ara bé, la conversió entre oC i of ja no és tan senzilla, ja que ambdós graus

    tenen mides diferents.

    Temperatura (Celsius) =Temperatura (Fahrenheit) - 32

    1,8⇔ oC =

    of - 321,8

    (2)

    D’on, un cos a 25of estarà a -3,9oC, o bé, a partir de l’equació 1, a 269,1K.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 12 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    2. La mesura i els instruments.

    Quan fem una mesura sempre tenim, almenys, dos elements: allò que volem

    mesurar i l’instrument de mesura. L’instrument de mesura pot ser una co-

    sa tan senzilla com la nostra mà, amb la qual podem “mesurar” longituds;

    o tan complexa com un localitzador GPS que ens permet “mesurar” la nostra

    posició. En aquest apartat ens centrarem en els instruments de mesura i, en

    particular, en aquells aspectes que els caracteritzen i que són comuns a tots

    ells.

    Els conceptes que tractarem són, concretament:

    • temps de relaxació,• calibratge,• escala,• precisió i exactitud,• polarització,• linealitat,• sensibilitat a la mesura,• deriva i• resolució.

    Aquesta informació no és només important a nivell conceptual, sinó que so-

    vint apareix en els manuals tècnics de molts instruments i és fonamental tenir-

    la clara a l’hora de llegir un catàleg i triar un instrument o un altre. Tanmateix,

    abans hi ha un concepte que hem de definir: la mesura.

    2.1. La mesura

    El primer punt que hem de saber és què és mesurar. Mesurar és, bàsicament,

    comparar: comparar una quantitat desconeguda amb una quantitat coneguda

    que prenem com a patró. Així, per exemple, si mesurem una distància, l’estem

    comparant amb el patró de distàncies, que seria el metre (m) (o un dels seus

    submúltiples).

    Fixeu-vos, doncs, que per poder fer una mesurar necessitem un patró per fer-la.

    Aquest patró és el que anomenem unitat de la mesura.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 13 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    .

    Hem de tenir present també que una cosa és quin és el valor real d’a-

    llò que mesurem (valor real), i una altra el valor que mesurem (valor

    mesurat):

    • Valor real: una magnitud valdrà un cert valor, independentmentque nosaltres la mesurem. Aquest valor és el que es coneix com a

    valor real.

    • Valor mesurat: quan mesurem una magnitud, obtenim un cert va-lor que és el valor mesurat. Aquest valor és el que obtenim amb

    l’instrument de mesura i en diem lectura.

    Per entendre el concepte de valor real i valor mesurat posarem com a exemple

    un cas extrem: imagineu que aneu en un vehicle a 50 km/h, aquest seria el va-

    lor real de la velocitat. Ara bé, resulta que el velocímetre indica una lectura de

    65 km/h, aquest seria el valor mesurat. Fixeu-vos que no coincideixen. Vol dir

    això que el velocímetre està espatllat? Potser sí o potser no, com descobrirem

    en aquest mòdul.

    L’objectiu és tenir instruments que donessin sempre el valor real, tanmateix,

    això resulta poc menys que impossible. De fet, en aquest mòdul veureu di-

    verses maneres en què un instrument pot donar un valor mesurat que estarà

    lluny del valor real. Veureu també però, maneres de saber com de lluny està

    aquest valor mesurat del valor real.

    Noteu que una de les implicacions que té aquesta distinció entre valor real i

    valor mesurat és, per exemple, que el fet d’obtenir una lectura 0, no vol pas dir

    que el valor real sigui 0. Així, per exemple, si anem amb un comptador Geiger

    a mesurar traces de radiactivitat i obtenim un 0, això és l’únic que podem

    assegurar: que hem mesurat 0, i no pas que no hi hagi radioactivitat.

    2.2. Temps de relaxació

    Un punt molt important que heu de tenir present a l’hora de fer la mesura és

    el de temps de relaxació o temps d’establiment de la mesura. Aquest és el

    temps que triga l’instrument a donar el valor mesurat.

    Per entendre el concepte penseu en un circuit amb un condensador. En con-

    nectar una font d’alimentació d’alterna, el condensador presenta una resposta

    lliure i una resposta forçada. La resposta lliure desapareix al cap d’un temps

    que caracteritzem per un temps τ. Per tant, aquesta resposta lliure només afec-

    ta els primers instants d’estar en marxa el circuit, i després només hi ha la

    resposta forçada, que és la que normalment ens interessa de veritat. Així, si

  • c© FUOC • P08/19018/00543 14 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    volguéssim fer una mesura sobre el circuit, hauríem d’esperar a que s’estabi-

    litzés o, dit d’una altra manera, a que desparegués la resposta lliure. De fet, si

    féssim una mesura abans, veuríem els valors oscil·lar i no és fins que desapa-reix la resposta lliure que tenim una lectura fiable.

    .

    Aquest exemple del condensador s’aplica a molts sistemes, per la qual

    cosa sempre cal deixar que el sistema que volem mesurar s’“estabilitzi”.

    És a dir, hem d’esperar un temps prudencial per tal de deixar que desa-

    paregui qualsevol fluctuació del sistema.

    2.3. Calibratge (Calibration)

    Un instrument de mesura serveix per obtenir la lectura de la magnitud que

    volem mesurar, però com podem saber que la lectura que ens dóna correspon

    a allò que estem mesurant? És a dir, com podem saber fins a quin punt s’as-

    semblarà el valor mesurat al valor real? Per exemple, si tenim un regle, podem

    estar segurs que el que allà s’indica que és 1 cm és realment 1 cm? Si no fos

    així, el regle no serviria per prendre mides i només obtindríem valors falsejats.

    .

    Perquè això no passi el primer que cal fer és calibrar l’instrument de

    mesura, és a dir, assegurar que els valors de lectura es corresponen amb

    la quantitat que es vol mesurar. Aquest calibratge es fa en unes condici-

    ons molt concretes de pressió, temperatura, entorn, etc. i només es pot

    assegurar que el valor correspon exactament a l’indicat quan es donen

    aquestes condicions. És el que se’n diu el comportament nominal.

    En el procés de calibratge també s’obté l’escala (vegeu el subapartat 2.4.),

    l’exactitud de l’aparell (vegeu el subapartat 2.5.), el seu comportament (ve-

    geu el subapartat 2.7.) i la seva sensibilitat (vegeu els subapartats 2.8. i 2.9.).

    Tot seguit veurem què volen dir aquests termes.

    2.4. Escala (Scale)

    .

    L’escala o interval d’un instrument indica quins són els valors mínim i

    màxim que pot mesurar l’instrument. Així per exemple, un regle d’1 m

    que té separacions d’1 mm té una escala que va des d’1 mm fins a 1 m.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 15 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Fixeu-vos que l’escala ens està donant el rang de valors que podem mesurar,

    el que es coneix com a rang de mesura. El nom escala ve del fet que, per

    exemple en un regle, hi ha diverses marques igualment espaïades que donen

    el patró de mesura a diversos nivells (milímetres, centímetres, etc.).

    El valor màxim que podem mesurar és el que en diem fons d’escala. Podeu

    recordar aquest nom pensant que si tenim un aparell que indica la mesura

    amb una agulla, si mesurem el valor màxim, l’agulla arribarà fins al fons de

    l’escala.

    2.5. Exactitud (Accuracy) i Precisió (Precision)

    Hi ha dos conceptes que sovint es fan servir malament i es confonen: l’exac-

    titud i la precisió. Els explicarem per separat i, a continuació, en farem una

    comparació.

    2.5.1. Exactitud (Accuracy)

    .

    El terme exactitud quantifica la correctesa d’una mesura. Una mesura

    amb una exactitud elevada tindrà un error molt petit; i a la inversa, una

    mesura amb una exactitud molt baixa tindrà un error molt gran.

    Tot i que aquesta definició pot semblar òbvia, sovint el terme exactitud es fa

    servir malament o, millor dit, s’“abusa del llenguatge”. Així, no és estrany

    llegir que un determinat instrument té una exactitud de l’1%, quan en realitat

    aquest valor seria, en sentit estricte, la inexactitud.

    És fonamental tenir en compte l’exactitud a l’hora de triar un instrument de

    mesura. Us mostrarem amb un exemple què volem dir: imagineu que teniu un

    regle de 100 cm que presenta una exactitud d’1 cm. Llavors és d’esperar que

    l’error de qualsevol mesura serà d’1 cm. Així, si feu servir el regle per mesurar

    una longitud de 80 cm, l’error serà d’1 cm; però si el feu servir per mesurar una

    longitud de 2 cm, l’error també serà d’1 cm! Veiem doncs que aquest regle no

    ens serviria per mesurar longituds tan curtes.

    L’exactitud s’indica sovint com a tolerància. La tolerància és l’error màxim

    que s’espera en algun valor. Així, per exemple, si tenim un munt de conden-

    sadors de 100 µF i una tolerància de ±2% sobre fons d’escala (vegeu el subapar-tat 2.4.), si agafem un condensador a l’atzar, el que podem dir és que el valor

    real de la capacitat estarà entre 98 i 102 µF. !

  • c© FUOC • P08/19018/00543 16 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    2.5.2. Precisió (Precision)

    .

    El terme precisió descriu la variabilitat que mostra un instrument en

    repetir la mateixa mesura diverses vegades sota les mateixes condicions

    de mesura. És a dir, si mesurem una magnitud diverses vegades amb un

    instrument molt precís, obtindrem una baixa dispersió en les lectures.

    Els termes repetibilitat i reproductibilitat estan relacionats amb el terme pre-

    cisió. De fet, el grau de repetibilitat i reproductibilitat d’un instrument són

    una manera de donar-ne la precisió. La repetibilitat indica com de properes

    són les diverses lectures quan es mesura la mateixa magnitud en un perío-

    de breu de temps, en les mateixes condicions i amb el mateix instrument;

    per contra, la reproductibilitat indica com de properes són les diverses lectu-

    res, però quan varien les condicions de mesura (el mètode, l’instrument, etc).

    Fixeu-vos, doncs, que la repetibilitat i la reproductibilitat fan referència a les

    condicions de mesura, a diferència de la precisió que feia referència a l’instru-

    ment. !

    2.5.3. Exactitud vs Precisió

    Sovint es confonen l’exactitud i la precisió: noteu que el primer terme fa re-

    ferència a com de bona és una lectura que dóna un instrument, i el segon fa

    referència a quina és la dispersió de l’instrument en repetir una mesura.

    Per entendre aquests dos termes posarem un exemple. Imagineu que la tem-

    peratura real (valor real de la temperatura, vegeu el subapartat 2.1.) és 33,5o i

    la mesurem amb tres termòmetres diferents. Teniu els resultats obtinguts a la

    taula 7. En el cas del termòmetre 1, fixeu-vos que les temperatures obtingu-

    des estan molt disperses i amb valors que no s’assemblen al valor real. Aquest

    termòmetre és, per tant, poc precís i poc exacte. En el cas del termòmetre 2,

    totes les mesures estan al voltant d’un mateix valor, és per tant molt precís.

    Tanmateix, estan al voltant d’un valor que no és el real, per la qual cosa és

    poc exacte. El tercer termòmetre també és molt precís, però en aquest cas les

    mesures estan al voltant del valor real (33,5oC), per la qual cosa també és molt

    exacte.

    Taula 7. Comparació de les temperatures obtingudes amb tres termòmetres diferents,suposant que el valor real és de 33,5o

    Termòmetre M1 M2 M3 M4 M5 Característica1 25oC 41oC 27oC 26oC 38oC Poc precís i poc exacte2 25oC 25,1oC 25,2oC 24,9oC 24,8oC Precís però poc exacte3 33,4oC 33,5oC 33,6oC 33,5oC 33,4oC Precís i exacte

    Les mesures estan indicades amb M1...M5. El termòmetre 1 no és ni precís ni exacte; el termòmetre 2 és precís, però no és

    exacte; i el termòmetre 3 és precís i exacte.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 17 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    A la figura 1 hem representat simbòlicament en una diana els valors de la

    taula 7. El valor exacte és el centre de la diana (33,5oC). A la figura 1a teniu

    les lectures obtingudes amb el termòmetre 1. A la figura 1b podeu veure les

    lectures obtingudes amb el termòmetre 2, molt precís però poc exacte. I a la

    figura 1c teniu les lectures obtingudes amb el termòmetre 3, que és un aparell

    molt exacte i molt precís.

    Figura 1

    Resultats obtinguts ambdiversos tipus d’aparells:a. Amb un aparell de baixaprecisió i exactitud;b. Amb un aparell d’altaprecisió i baixa exactitud; ic. Amb un aparell d’altaprecisió i alta exactitud.

    Figura 1. Resultats segons el tipus d’aparells

    2.6. Polarització (Offset)

    . Correcció de la bàsculade bany

    En el cas particular de labàscula de bany, n’hi ha proua córrer la roda fins al 0 percorregir la polarització.

    La polarització indica un error constant que hi ha al llarg de tota l’escala

    de l’instrument.

    Un exemple d’això serien les típiques bàscules del bany: abans de pesar-nos de

    vegades veiem que hi ha una lectura d’1 kg, sense que hi hagi ningú a sobre.

    Això voldrà dir que si es pesa una persona de 65 kg, en realitat llegirà 66 kg,

    degut a aquesta polarització.

    Bàscula de bany

    2.7. Linealitat (Linearity)

    .

    La linealitat és una característica que sovint es demana a un instrument

    de mesura. Un instrument de mesura és lineal si la lectura és direc-

    tament proporcional a la quantitat mesurada. Es diu lineal perquè si

    representem la lectura en funció d’aquesta quantitat s’obté una línia,

    com podeu veure a la figura 2.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 18 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Figura 2. Representació de la lectura de sortida en funció de la quantitat mesurada en uninstrument lineal

    Font: Morris, A.S. “Principios de mediciones e instrumentación” (2002) Pearson Educación de México, México.

    La linealitat és tan important que sovint els instruments parlen d’span (camp

    de mesura), que correspon al rang de mesura en el qual l’instrument té un

    comportament lineal. !

    Tanmateix, encara que sigui una característica desitjable, no tots els instru-

    ments presenten un comportament lineal. Quan això passa, la no-linealitat, o

    error de linealitat, s’indica com un percentatge de la lectura sobre fons d’es-

    cala (vegeu el subapartat 2.4.). És a dir, s’indica el punt de desviació màxima

    (o busquem el punt de desviacío màxima).

    Per veure què és l’error de linealitat, imagineu que teniu un voltímetre amb

    un fons d’escala de 100 V. Ara suposeu que la màxima desvació de la linealitat

    es dóna a 50 V i és d’1 V (a 50 V mesurarem 51 V). El que fem aleshores

    per calcular l’error de linealitat és obtenir el percentatge sobre el fons d’escala

    (100 V), i per tant l’error de linealitat del nostre exemple és de

    51 - 50100

    × 100% = 1%.

    Fixeu-vos que l’error de linealitat (la no-linealitat) està donant una mesura de

    quant val l’error en el pitjor dels casos.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 19 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Un tipus de no-linealitat molt comú i que, de fet, és un comportament ambHistèresi

    La paraula histèresi significamemòria, i es fa servirperquè el comportament delselements que tenen histèresidepèn del que hagin fetabans, per tant tenen“memòria” del que han fet.

    nom propi, és la histèresi. A la figura 3 teniu un exemple típic de comporta-

    ment amb histèresi. Fixeu-vos que quan la variable creix, la lectura ve donada

    per la corba A; en canvi, quan decreix, la lectura ve donada per la corba B.

    Figura 3. Representació de la lectura de sortida en funció de la quantitat mesurada en uninstrument amb histèresi

    Font: Morris, A.S. “Principios de mediciones e instrumentación” (2002) Pearson Educación de México, México.

    Per entendre la histèrersi, suposeu que el velocítmetre d’un cotxe tingués his-

    tèresi. Això voldria dir que quan indica que anem a 50 km/h, en realitat estem

    anant a una velocitat diferent quan accelerem que quan frenem.

    I ara ens preguntem: com s’indicaria l’error de linealitat en el cas d’un ins-

    trument amb histèresi? Imagineu un altre cop el velocímetre del paràgraf

    anterior. Suposeu que el velocímetre va de 0 a 200 km/h. A 110 km/h és

    quan tenim la desviació màxima i marca (per algun dels dos cicles d’histè-

    resi) 114 km/h. Llavors l’error de linealitat és de

    (114 - 110) × 100200

    % = 2%.

    Fixeu-vos un cop més que l’error de linealitat només es calcula en el pitjor cas,

    en el punt en el qual la desviació és màxima.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 20 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    2.8. Sensibilitat de la mesura (Sensibility)

    .

    La sensibilitat de la mesura indica quant canvia la lectura de l’instru-

    ment quan la quantitat que mesurem varia un cert valor.

    És el pendent de la recta de la figura 2. Fixeu-vos que si el pendent és molt gran

    (elevada sensibilitat), una petita variació en la quantitat a mesurar provoca

    un canvi molt gran en l’escala; en canvi, si el pendent és molt petit (baixa

    sensibilitat), la mateixa variació en la quantitat a mesurar fa que la lectura

    canviï molt poc.

    Val a dir que a l’hora de fer una mesura ens interessen sensibilitats molt altes.

    Imagineu, per exemple, que tenim dos amperímetres. En un d’ells l’agulla

    gira només 1o quan la intensitat creix 1 A. En l’altre (més sensible), en canvi,

    l’agulla gira 10o quan la intensitat creix 1 A. Fixeu-vos que serà molt més

    fàcil detectar el moviment de l’agulla en aquest segon cas, és a dir, amb un

    instrument més sensible.

    2.9. Derives (Drift)

    .

    Com ja hem comentat al subapartat 2.3., el calibratge dels instruments

    es fa en unes determinades condicions. Això vol dir que fora d’aquestes

    condicions no podem estar segurs que el comportament de l’instrument

    sigui el que s’indica i la lectura es desvia del valor nominal. Aquestes

    desviacions se’n diuen derives.

    De derives n’hi ha de dos tipus:

    • Deriva del 0: vol dir que el valor del 0 no és el nominal. Seria el cas de labàscula de bany que hem comentat al subapartat 2.6. Recordeu que el fet

    que una lectura sigui 0 no implica necessàriament que el valor real sigui 0

    (vegeu el subapartat 2.1.).

    • Deriva de la sensibilitat: vol dir que la característica lineal de l’instru-ment no és la nominal, amb la qual cosa varia la seva sensibilitat (vegeu el

    subapartat 2.8.).

    A la figura 4 teniu un exemple d’aquest comportament. En ella podeu veure,

    amb línia discontínua, el comportament nominal d’un instrument; i amb lí-

    nia sòlida a) la deriva del 0; b) la deriva de la sensibilitat; i c) les dues derives

    combinades.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 21 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Figura 4

    Línia discontínua:comportament nominal; líniasòlida comportament envariar les condicions.a. Deriva del zero;b. deriva de sensibilitat; ic. deriva del zero més derivade la sensibilitat.

    Figura 4

    2.10. Llindar (Threshold) i Zona morta (Dead zone)

    .

    Alguns instruments es comporten de manera que no presenten resposta

    fins que la mesura no ha assolit un cert valor. Un exemple seria el velo-

    címetre d’un cotxe, que no es mou fins que no es superen els 15 km/h.

    Aquest valor és el que es coneix com a llindar. Alguns fabricants indi-

    quen el llindar en valor absolut i d’altres l’indiquen com un percentatge

    del valor a escala màxima.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 22 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Relacionat amb el llindar està la zona morta o zona de sensibilitat nul·la.Aquesta és una zona en la qual encara que hi hagi canvis en els valors d’entra-

    da, no hi ha canvis en els valors de sortida. A la figura 5 teniu representada la

    reposta d’un instrument amb zona morta. Fixeu-vos que quan el valor real es-

    tà dins la zona morta, la lectura de sortida és zero (encara que el valor real no

    ho sigui.)

    Figura 5. Característica d’un instrument amb zona morta

    Val a dir que qualsevol instrument que presenta histèresi presenta també zona

    morta. A la figura 6 podeu veure a quina zona de la corba d’histèresi correspon

    aquesta zona.

    Figura 6. Zona morta d’un instrument amb histèresi

  • c© FUOC • P08/19018/00543 23 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    2.11. Resolució (Resolution)

    .

    La resolució és la variació mínima que s’ha de produir en la quantitat a

    mesurar per a que doni una lectura.

    Així, per exemple, un tèster amb una resolució de 0,1 Ω no variarà la lectura

    si la resistència que està mesurant varia en 0,01 Ω. Com en el cas del llindar,

    la resolució es pot donar en valor absolut o com un percentatge del valor a

    escala màxima.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 24 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    3. Errors en la mesura.

    Hem vist a l’apartat anterior què caracteritza un instrument de mesura, però

    no hem entrat a fons en la mesura en si: la lectura que obtenim correspon

    al valor real? Hi ha errors? Com podem minimitzar aquests errors? I quin és

    l’error en el valor d’una magnitud obtinguda a partir d’altres magnituds amb

    errors?

    Aquestes són algunes de les preguntes que respondrem en aquest apartat. Co-

    mençarem explicant quins tipus d’errors hi ha i com els hem de presentar.

    A continuació, en el subapartat 3.3. veureu com podem avaluar l’error que

    tenim en les nostres mesures i com es propaga aquest error als càlculs que fem

    amb elles.

    3.1. Tipus d’errors

    El primer que hem de tenir clar a l’hora de fer mesures és que el fet de mesurar

    pertorba allò que volem mesurar. Perquè veieu un exemple, penseu en quan

    mesureu la pressió dels pneumàtics del cotxe: una part de l’aire del pneumàtic

    passa al manòmetre i aquest aire no tornarà al pneumàtic, per tant en prendre

    la pressió hem variat la quantitat d’aire al pneumàtic i, per tant, la pressió

    que volíem mesurar. Tot i així, hi ha casos en els quals aquesta pertorbació

    de la mesura és, a efectes pràctics, irrellevant: penseu en quan mesureu una

    longitud amb un regle.

    .

    Així, doncs, heu de tenir present que sempre que feu una mesura, hi

    haurà un cert error.

    Segons quin sigui el seu origen, trobem dos tipus d’errors: !

    • Errors sistemàtics: són errors que es poden produir a la sortida de moltsinstruments. Poden ser deguts a factors inherents a la seva fabricació que

    fan que l’instrument estigui fora d’especificacions o, dit d’una altra ma-

    nera, fora de tolerància (fixeu-vos que seria, com si diguéssim, un defecte

    de fàbrica). També poden ser deguts a multitud de causes: desgast de l’ins-

    trument, pertorbacions ambientals, pertorbacions del sistema quan es fa

    la mesura, etc. El resultat és que totes les lectures tenen una certa desvi-

  • c© FUOC • P08/19018/00543 25 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    ació del valor real. Un exemple d’error sistemàtic seria el cas del termò-

    metre 2 de la taula 7, que és molt precís però en el qual totes les lectures

    presenten desviacions semblants. Especificacions

    Els fabricants no garanteixenles lectures dels instrumentsfora d’especificacions.

    Atès que els errors sistemàtics es produeixen en totes les mesures i per unes

    causes determinades, habitualment es poden trobar maneres d’evitar-los:

    recalibrar l’instrument, dissenyar els instruments de manera que tinguin

    en compte les pertorbacions ambientals, etc.

    • Errors aleatoris: els errors aleatoris són resultat de condicions impredicti-bles i aleatòries. De fet, com que són aleatoris, es poden produir en qualse-

    vol direcció, tant per sobre com per sota del valor real, amb la qual cosa els

    podrem reduir repetint la mesura diverses vegades. Per tant aquests errors

    estan subjectes a les lleis de la probabilitat i el que ens estaran dient és que

    tindrem una certa probabilitat que el valor real estigui dins un cert marge

    de valors.

    Atès que els errors sistemàtics depenen dels instruments i les condicions de

    mesura, cada cas necessitaria un tractament especial. És per això que en aquest

    mòdul ens centrarem només en el tractament dels errors aleatoris, que és el

    mateix per a qualsevol procés de mesura.

    Abans de seguir amb els errors aleatoris però, mostrarem al subapartat següent

    com s’han de presentar els errors.

    3.2. Presentació de l’error

    Com hem comentat al subapartat anterior, qualsevol mesura ve afectada per

    un cert error, per la qual cosa el resultat d’una mesura no pot ser mai un cert

    valor v i prou, sinó que cal donar el valor acompanyat d’una indicació d’aquest

    error. Aquesta indicació s’acostuma a donar de la forma:

    .

    Valor de la mesura = Valor ± Error (3)

    Fixeu-vos que l’error es dóna amb un ±. Això vol dir que l’error es pot produirtant per excés com per defecte. Aquest Error es pot donar de dues maneres:

    mitjançant l’error absolut o l’error relatiu.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 26 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    3.2.1. Error absolut

    Quan donem l’ error absolut el que indiquem és la cota de l’error. Així, si di-

    em que una mesura és de 5± 1 cm, estem donant l’error absolut, i això voldràdir que el valor real és molt probable que estigui entre 4 i 6 cm. Fixeu-vos en

    aquest “és molt probable". Més endavant, al subapartat 3.3.1. entendreu ben

    bé què volem dir amb això. !

    D’altra banda, val a dir que indiquem l’error absolut d’una determinada lec-∆ correspon a la lletra grega

    Delta.tura v amb la lletra ∆ (pronunciat Delta) seguida del nom de la variable; o bé

    amb la lletra σ amb el subíndex corresponent al nom de la variable. Per tant,

    l’error de v es representa com ∆v o bé σv (llegit “sigma de v"). Així, doncs, si laσ correspon a la lletra grega

    sigma minúscula.magnitud que mesurem és V, el resultat obtingut seria:

    V = v ± ∆v = v ± σv (4)

    En aquests materials farem servir la notació σv, però no oblideu que la notació

    ∆v és igualment vàlida i aquesta apareix en molts llibres.

    Així, doncs, si el valor real d’una mesura és V i el valor que mesurem és v,

    podem definir l’error absolut d’aquesta mesura com:

    σv = |v - V| (5)

    És a dir, com el valor absolut de la diferència entre la mesura i el valor real.

    També heu de tenir present que quan doneu un valor mesurat, heu de fer

    servir tants decimals com sigui convenient:

    1) El valor V de la magnitud ha de tenir només les xifres que calgui per a què

    la seva última xifra significativa sigui del mateix ordre decimal que l’última

    de l’error absolut. Aquesta xifra es diu xifra d’acotament del valor. Aquesta

    norma ens diu que no té sentit dir que un valor és de 6,853 si el nostre error

    és de 1,200, ja que no podem apreciar el 53, per tant el valor que hauríem de

    donar és: 6,8 ± 1,2.

    2) L’error absolut es dóna sempre, per conveni, amb una única xifra significa-

    tiva. Es poden fer servir dues només si:

    • La primera xifra significativa és un 1.• La primera xifra significativa és un 2, però no arriba a 5 la segona.

    En la resta de casos es dóna una única xifra significativa. Aquesta s’augmenta

    en una unitat si la segona xifra significativa és 5 o superior (i es deixa igual en

    cas contrari).

  • c© FUOC • P08/19018/00543 27 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    D’aquestes dues normes la més important és la primera. La segona ja és més

    fina i, de fet, no es segueix en molts entorns d’enginyeria.

    A la taula 8 teniu diversos exemples de com presentar una magnitud de mane- Representació dels errors

    Sovint veureu que no essegueixen les normes derepresentació de valors ierrors. Encara que són unanormativa, certs col·lectiustenen altres usos i costumsals quals cal adaptar-se.

    ra correcta i incorrecta. Els casos b), d) i e) violen la norma 1) ja que l’última

    xifra significativa del valor mesurat no és del mateix ordre decimal que l’últi-

    ma de l’error. En els casos a), c), d) i e) ha calgut corregir també els valors per

    adaptar-los a la norma 2): en els casos a) i c) s’han deixat dues xifres signifi-

    catives a l’error perquè la primera xifra és 1; a la resta s’ha deixat una única

    xifra significativa de l’error. Fixeu-vos com, en aquests casos, un cop corregit

    l’error, s’han corregit els valors mesurats per tal de complir amb la norma 1.

    Taula 8Valors incorrectes Valors correctes

    a) 3,418 ± 0,123 3,42 ± 0,12b) 6,3 ± 0,09 6,30 ± 0,09c) 46.288 ± 1.551 46.300 ± 1.600d) 428,351 ± 0,27 428,4 ± 0,3e) 0,01683 ± 0,0058 0,017 ± 0,006

    Font: Baró, M.D.; Bordas, S; Ibáñez, J.A.; Llebot, J.E.; Suriñach, S. “Experiencias de Termodinámica” (1985) Ed. Los autores,

    Dept. de Termología, UAB. Barcelona

    3.2.2. Error relatiu

    En comptes de l’error absolut podem donar l’error relatiu. En aquest cas el

    que indiquem és la relació de l’error respecte la mesura. Si el multipliquem

    per 100, estarem donant l’error relatiu en percentatge. Així per exemple, si el

    Valor és 5 cm i l’error absolut és 1 cm, l’error relatiu serà 1/5. I si el volem

    donar en tant per cent seria: 1/5 · 100 = 20%. És a dir, l’error relatiu, ǫr, d’unadeterminada magnitud v ve donat pel quocient entre l’error absolut, σv, i el

    valor de la magnitud:

    ǫr =σv

    v(6)

    Si el volem donar en tant per cent, només hem de multiplicar l’equació 6 per

    100:

    Error relatiu (%) =σv

    v· 100 (7)

    Val a dir que aquest error també és ±, és a dir, també pot ser tant per excéscom per defecte.

    3.3. Obtenció de l’error

    Fins ara hem parlat molt dels tipus d’errors i com els presentem. Però, com sa-

    bem quin és l’error que cometem? Quant val l’error absolut de què hem parlat

  • c© FUOC • P08/19018/00543 28 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    al subapartat 3.2.? Aquestes són algunes de les preguntes que respondrem en

    aquest subapartat.

    La manera d’obtenir l’error absolut dependrà del tipus de mesura que puguem

    fer: !

    • Mesures directes: les mesures són directes quan l’instrument ens permetobtenir una lectura que correspon a la magnitud que volem mesurar. Per

    exemple, si volem mesurar una distància i fem servir un regle, amb ell

    estem mesurant directament la distància, que és la magnitud que volem

    mesurar. En aquest cas l’error absolut dependrà de si només podem fer una

    mesura o de si podem fer un número n de mesures.

    • Mesures indirectes: les mesures són indirectes quan les magnituds quemesurem no són les que volem obtenir, sinó altres magnituds relacionades

    amb ella per una fórmula. Per exemple, si volem mesurar la velocitat mit-

    jana d’un objecte i, en lloc de la velocitat mesurem la distància i el temps

    i després la calculem amb la fórmula espai = velocitat/temps, estem fent

    una mesura indirecta. En aquest cas l’error de la magnitud s’obté a partir

    dels errors de les magnituds que em mesurat de forma directa: en el nostre

    exemple serien l’espai i el temps.

    Tot seguit veurem com calcular l’error en cada cas.

    3.3.1. Error en les mesures directes

    Per minimitzar l’error aleatori de què hem parlat al subapartat 3.1. l’ideal és

    poder fer un número de mesures el més elevat possible. Tanmateix, en alguns

    casos això no és possible, com per exemple quan la mesura destrueix allò que

    volem mesurar. Així, doncs, l’error en el cas de les mesures directes dependrà Càlcul de la tensió d’unapeça

    En alguns processos, com perexemple, el càlcul de latensió d’una peça, la mesuraimplica la destrucció de lapeça. Aquest procediment esfa servir en cadenes deproducció en les quals esparteix de la base que totesles peces seran iguals (o moltsemblants) i per calcular latensió se n’agafa una mostra.En aquest cas però, podríemfer diverses mesures, peròprenent peces diferents.

    de si només podem fer una mesura o en podem fer un cert número de mesu-

    res n. !

    Una única mesura

    Quan només podem fer una mesura d’una magnitud V, la lectura, v, serà el

    valor que hem mesurat i tindrà un error que vindrà donat per la resolució de

    l’aparell (vegeu el subapartat 2.11.), σv,res:

    V = v ± σv,res (8)

  • c© FUOC • P08/19018/00543 29 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Així, per exemple, si mesurem una distància de 5 cm amb un regle que té una

    resolucio d’1 mm (0,1 cm), el resultat serà:

    Longitud = 5,0 ± 0,1 cm (9)

    Fixeu-vos en la manera com hem escrit els valors (vegeu el subapartat 3.2.1.).

    n mesures

    L’ideal en prendre una mesura és poder-la repetir com més vegades millor.

    D’aquesta manera podem compensar l’efecte dels errors aleatoris que hem

    vist al subapartat 3.1. Per calcular l’error i el valor de la mesura en aquest cas

    hem de fer servir les lleis de la probabilitat i l’estadística. Les dades que volem

    obtenir són, essencialment: quin valor hem d’agafar com a representant de la

    mesura i quin n’és l’error. Ho veurem tot seguit.

    Valor de la mesura

    Imagineu ara que volem mesurar una magnitud V i que repetim la mesura n

    vegades. Per a cada mesura, i, obtindrem un valor diferent, vi. Ens preguntem

    aleshores: quin d’aquests valors agafarem com a “representant” de la mesura?

    Quan fem n mesures del valor d’una magnitud V, amb una lectura vi per a

    cada mesura, diem que tenim n mostres. El valor que prenem per a la mesura

    (el representant) és, aleshores, la mitjana aritmètica:L’equació 10 es llegeix: la

    mitjana de v és igual al sumatori

    des de 1 fins a n de v sub i.

    < v >=1n

    nX

    i=1

    vi (10)

    Decimals

    Fixeu-vos que donem ambdues xifres decimals els valorsdels temps a la taula 9. Aixòvol dir que el cronòmetre quefem servir té una resolució de0,01 s.

    Imaginem per exemple que volem mesurar el temps t que triga una bola a cau-

    re per una rampa i repetim la mesura 9 vegades. Per a cada mesura i obtindrem

    el valor ti que teniu a la taula 9.

    Taula 9. Exemple de valors obtinguts en la repetició d’una mesura 9 vegades

    Mesura t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9Temps (s) 1,99 2,01 1,98 2,02 2,00 2,01 2,00 1,99 2,00

    Llavors, per obtenir el valor que hem de prendre per al temps, substituïm a

    l’equació 10: Vegeu el subapartat 3.2.1. per recordarcom s’han de representar les dades que

    es mesuren.

    !

    < t >=19

    9X

    i=1

    ti =t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9

    9=

    =1,99 + 2,01 + 1,98 + 2,02 + 2,00 + 2,01 + 2,00 + 1,99 + 2,00

    9= 2,00 s (11)

  • c© FUOC • P08/19018/00543 30 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Ja tenim, doncs, el valor de la mesura. Quin és però el seu error?

    Error de la mesura

    Si hem fet n mesures d’una certa magnitud V, de manera que cada mesura és

    vi, l’error σv ens vindrà donat per la fórmula: Recordeu que la notació ∆vés equivalent a la notació σv . Vegeu

    el subapartat 3.2.1.

    !

    σv =

    s

    Pni=1(vi - < v >)2

    n(n - 1)(12)

    L’equació 12 es llegeix: l’error σ

    de v és igual a l’arrel quadrada

    del sumatori des de 1 fins a n

    de la diferència v sub i amb la

    mitjana de v (al quadrat),

    dividit per n per n - 1.

    on < v > és la mitjana que hem obtingut amb l’equació 10.

    Així, doncs, seguint amb l’exemple de la mesura de temps que teniu a 9, l’error

    ens vindrà donat per:

    σt =

    s

    P9i=1(t1 - < t >)2

    9(9 - 1)=

    =

    "

    (t1 - < t >)2 + (t2 - < t >)2 + (t3 - < t >)2 + (t4 - < t >)2+

    +(t5 - < t >)2 + (t6 - < t >)2 + (t7 - < t >)2 + (t8 - < t >)2 + (t9 - < t >)2

    9(8)

    #1/2

    =

    =

    "

    (1,99 - 2,00)2 + (2,01 - 2,00)2 + (1,98 - 2,00)2 + (2,02 - 2,00)2

    +(2,00 - 2,00)2 + (2,01 - 2,00)2 + (2,00 - 2,00)2 + (1,99 - 2,00)2 + (2,00 - 2,00)2

    9 · 8

    #1/2

    =

    = 0,004 s

    (13)

    I ja tenim el valor de l’error. Hi ha però una cosa que no hem tingut en comp-

    te: cada mesura que hem fet tindrà un error que vindrà donat per la resolució

    de l’instrument, com hem vist al subapartat 3.3.1. Hem de tenir en compte

    aquest error? En sentit estricte l’hauríem de tenir en compte, i hi ha maneres

    de considerar-lo. Tanmateix, quan fem diverses mesures, es tendeix a treballar

    amb els resultats estadístics que hem vist en aquest apartat.

    Encara que ja tenim el valor que prenem per a la mesura (equació 10) i el

    valor de l’error (equació 12), és important entendre què volen dir aquesta

    mitjana i aquest error que hem obtingut. Per fer-ho, començarem representant

    l’histograma de les mesures de la taula 9. El teniu a la figura 7.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 31 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Histograma

    L’histograma d’un conjunt dedades consisteix a posar a lesabscisses cadascun dels valorsobtinguts i a l’ordenada ambquina freqüència es dónaaquell valor, és a dir, quantesvegades apareix cada mostra.

    Figura 7. Histograma de les mesures de la taula 9

    .

    Fixeu-vos en la distribució dels resultats: és simètrica i centrada en el

    valor mig. De fet, hauríeu de fer sempre prou mesures per a que l’histo-

    grama final tingués aquesta forma.

    I què passaria si féssim moltes mesures més? Com es distribuirien aleshores

    els resultats? Ho podeu veure a la figura 8. En aquesta figura hem representat

    amb quina freqüència es dóna cada resultat quan es fan un conjunt infinit de

    mesures. És el que es coneix com a campana de Gauss o distribució Gaussiana.

    L’equació d’aquesta corba, que anomenarem F(v) perquè correspon a la fre-

    qüència amb què es dóna cada mesura, és:

    F(v) =1√

    2πσve

    - (v-)2

    2σv2 (14)

    Veiem que és una corba gaussiana centrada a la mitjana < v >, i veiem tam-

    bé quin és el significat de la σv que hem obtingut a l’equació 12: representa

    l’amplada de la gaussina. I què vol dir això? doncs vol dir que el 68% de les

    mesures que fem estaran entre < v > - σv i < v > + σv. O dit d’una altra ma-

    nera, tenim una probabilitat del 68% que el valor real de la magnitud que

    mesurem estigui entre < v > - σv i < v > + σv. O bé també podem dir que, si

  • c© FUOC • P08/19018/00543 32 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Figura 8. Distribució d’un número infinit de resultats amb forma gaussiana

    fem una nova mesura, té una probabilitat del 68% d’estar entre < v > - σv i

    < v > + σv. És per això que al subapartat 3.2.1. hem dit que el valor tenia una

    certa probabilitat d’estar en l’interval.

    A la taula 10 teniu la probabilitat que una determinada mesura caigui dins un

    interval donat. Fixeu-vos que, si en comptes de σ agafem 2σ, la probabilitat

    que una mesura caigui en l’interval que va de < v > - 2σv a < v > + 2σv és més

    gran, en concret serà del 94,4%; i si agafem 3σ, la probabilitat que una mesura

    caigui en l’interval que va de < v > - 3σv a < v > + 3σv és del 99,7%.

    Taula 10. Probabilitat que una mesura caigui dins determinats intervals d’error

    Límit de l’errorPercentatge de punts

    dins dels límitsPercentatge de punts

    fora dels límits±σ 68,0% 32,0%±2σ 95,4% 4,6%±3σ 99,7% 0,3%

    És important adonar-se d’aquest sentit estadístic de la mesura de l’error quan

    fem diverses mesures: dir que l’error és el que hem donat amb l’expressió 12

    només assegura que el 68% de les mesures caigui en l’interval < v > ± σv.Si estem treballant amb processos molt crítics, possiblement ens interessarà

    donar com a valor de l’error ±2σv, ja que així assegurem una fiabilitat del95,4%; o, fins i tot, ens pot interessar donar ±3σv, que ens assegura que lafiabilitat és del 99,7%.

    Per posar un exemple: imagineu que per a un satèl·lit artificial cal un tipus depeça que mesuri 10 mm amb una tolerància del 0,01%. Ara imagineu que vos-

    altres subministreu aquestes peces i dieu que mesuren 10 ± 0,01 mm. Si aquest0,01 correspon a σ, voldrà dir que només el 68% de les peces que subministreu

  • c© FUOC • P08/19018/00543 33 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    estarà dins aquest rang (o dit amb unes altres paraules, la probabilitat que una

    peça estigui dins la tolerància, que és de 0,01, és del 68%). En canvi, si heu Projectes espacials

    Els projectes per aplicacionsespacials són molt exigentsperquè si s’espatlla algunacosa a l’espai, o no es potarreglar o, si es pot, és moltcar. Per tant, cal treballaramb marges d’error quepermetin assegurar que totsels (o el màxim de) valorscauen dins el rang.

    fet unes mesures molt acurades i aquest 0,01 correspon a 3σ voldrà dir que el

    99,7% de les peces que subministreu estaran dintre de la tolerància.

    3.3.2. Error en les mesures indirectes

    Fins aquí hem vist com calcular l’error en el cas de les mesures directes. Què

    passa, però, en el cas de les mesures indirectes? Imagineu per exemple el cas

    que fèiem servir en l’exemple del càlcul de la velocitat mitjana: mesuràvem

    l’espai i el temps i obteníem el resultat operant aquestes dues magnituds. Com

    operem els errors? Això és el que se’n diu la propagació d’errors.

    Per començar partirem del cas en què la magnitud que volem mesurar d’una

    forma indirecta, z, és una funció, f , que depèn d’un conjunt de n variables, xi:

    f (x1,...,xn):

    z = f (x1,...,xn) (15)

    Fixeu-vos, per tant, que en realitat l’equació 15 només està indicant que cal-

    culem z a partir d’unes altres variables.

    En el nostre exemple de càlcul de la velocitat, la velocitat v juga el paper de z,

    x1 seria l’espai e i x2 seria el temps t:

    v = f (x1,x2) = f (e,t) =e

    t(16)

    Així, per exemple, imaginem que tenim els següents valors per l’espai i el

    temps:

    e = 5,30 ± 0,05 m (17)

    t = 2,20 ± 0,01 s (18)

    Llavors per obtenir el valor de la velocitat només hem de substituir els valors

    esperats d’e i t a l’equació 16:

    v =e

    t=

    5,302,20

    = 2,41 m/s (19)

    Fixeu-vos que per obtenir el valor de v no hem fet servir els errors de 17 i 18.

    Quin serà aleshores l’error en v, σv?

  • c© FUOC • P08/19018/00543 34 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    L’error per a una magnitud z que s’obté amb z = f (x1,...,xn), σz, vindrà donat

    per l’expressió:

    σ2z =

    ∂f

    ∂x1

    «2

    σ2x1 + ... +

    ∂f

    ∂xn

    «2

    σ2xn (20)

    Derivada parcial

    La notació ∂f∂x1

    correspon a la

    notació de derivades parcialsi l’únic que vol dir és quederivem la funció f respecte lavariable x1 i considerem laresta de variables com sifossin constants. Perexemple, la derivada de lafunció f (x,y) = x · y respectex és ∂f

    ∂x= y; i la derivada

    respecte y és ∂f∂y

    = x.

    Cal que noteu també que en l’equació 20 hi ha un quadrat a la banda de σz,

    per tant, l’error serà:

    σz =

    s

    ∂f

    ∂x1

    «2

    σ2x1 + ... +„

    ∂f

    ∂xn

    «2

    σ2xn (21)

    És important que tingueu present que l’expressió 21 correspon a σ de la tau-

    la 10. Per tant, aplica el que hem comentat anteriorment sobre la probabilitat

    que un valor estigui dins l’interval z ± σz.

    En cas que la notació de f us emboliqui, podeu pensar el càlcul d’una altra

    manera: fixeu-vos que, en realitat f (x1,...,xn) és z, per la qual cosa, a efectes

    pràctics, el que heu de derivar és z i, per tant, podeu escriure:

    σz =

    s

    ∂z

    ∂x1

    «2

    σ2x1 + ... +„

    ∂z

    ∂xn

    «2

    σ2xn (22)

    Per exemple, en el cas de la velocitat que teniu a l’equació 16, l’error serà:

    σv =

    s

    ∂v

    ∂e

    «2

    σ2e +„

    ∂v

    ∂t

    «2

    σ2t =

    s

    1t

    «2

    σ2e +“ -e

    t2

    ”2σ2t (23)

    I ja tenim l’expressió per calcular l’error en la velocitat. Noteu que en l’expres-

    sió 23 no tan sols apareixen els errors de l’espai (σe) i el temps (σt), sinó que

    també apareixen els valors de l’espai i el temps.

    Si substituïm els valors de 17 i 18 a l’expressió 23 obtenim l’error en el càlcul

    de la velocitat:

    σv =

    s

    1t

    «2

    σ2e +“ -e

    t2

    ”2σ2t =

    s

    12,20

    «2

    0,052 +„

    -5,302,202

    «2

    0,012 = 0,03 m/s

    (24)

    I ja tenim, per tant, el valor complet de la velocitat del nostre exemple (equa-

    cions 19 i 24):

    v = 2,41 ± 0,03 m/s (25)

  • c© FUOC • P08/19018/00543 35 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Tot seguit, a la taula 11 us mostrarem alguns exemples comuns de càlculs

    d’errors per diversos tipus d’expressions z: el cas en què sigui una suma, una

    resta, un producte o un quocient de dues magnituds a i b.

    Taula 11. Expressions de l’error de z per a diversos tipus de funcions

    Expressió de z Error de z

    z = a + b σz =p

    (σa)2 + (σb)2

    z = a - b σz =p

    (σa)2 + (σb)2

    z = a · b σz =p

    b2(σa)2 + a2(σb)2

    z = ab σz =

    r

    1b

    ”2(σa)2 +

    -ab2

    (σb)2

  • c© FUOC • P08/19018/00543 36 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Resum

    En aquests mòdul hem tractat els temes relacionats amb la mesura: les unitats,

    la mesura en si, la instrumentació i el càlcul d’errors.

    Hem vist quines són les unitats del sistema internacional (S.I.) d’unitats i el sis-

    tema mètric decimal, amb tots els seus múltiplies i submúltiples. A més hem

    fet notar que hi ha altres sistemes diferents del S.I., com el CGS, que és un

    sistema mètric decimal; o l’anglosaxó, que no ho és. A més, hem vist els sis-

    temes de mesura de temperatura i les conversions entre ells: graus fahrenheit,

    Celsius i Kelvin.

    A continuació hem entrat de ple en la mesura i els instruments. Hem comen-

    çat distingint el valor real del valor mesurat i hem vist a continuació què

    són la mesura en si, i altres conceptes relacionats amb el procés de mesura:

    el temps de relaxació, el calibratge (calibration), l’exactitud (accuracy), la preci-

    sió (precision), l’escala (scale), la polarització (offset), la linealitat (linearity), la

    sensibilitat de la mesura (sensibility), les derives (drift), el llindar (threshold),

    la zona morta (dead zone) i la resolució (resolution).

    Finalment, hem vist com conèixer i mesurar l’error que es comet en fer una

    mesura. Hem vist que hi havia errors relatius i absoluts i com s’havien de

    presentar. També hem tractat el càlcul de l’error per tal d’acotar-lo i hem vist

    que podem donar un valor mesurat i una certa probabilitat que el valor real

    estigui dins un cert marge.

  • c© FUOC • P08/19018/00543 37 Introducció a les mesures i el càlcul d’errors

    Bibliografia

    Baró, M.D.; Bordas, S; Ibáñez, J.A.; Llebot, J.E.; Suriñach, S. (1985). Experiencias deTermodinámica. Ed. Los autores, dept. De Termología, UAB. Barcelona.

    Diversos autors. Introducció al tractament de dades. Apunts del Laboratori d’Estàtica i Di-nàmica. Secció de Física Aplicada del Vallès (ETSEIT). Departament de Física i EnginyeriaNuclear.

    Morris, A.S. (2002). Principios de mediciones e instrumentación. Pearson Educación de México,México.