Introducci%d3n Al Calculo de Errores

CENTRO DE CIENCIA BÁSICA UPBLABORATORIO FUNDAMENTOS DE ELCTROMAGNETISMO

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE LAS INCERTIDUMBRES EN LAS MEDICIONES

Medición de una magnitud física: Medir es comparar una magnitud de valor desconocido con una magnitud de referencia de igual especie, previamente elegida, que se denomina unidad de medida. Para medir se deben establecer los instrumentos de medición adecuados, las unidades, el método de medición. El reporte de la medición debe incluir siempre, el valor o tamaño de la variable (x), su error absoluto o incertidumbre (ΔX), y obviamente las unidades.

(1)

Lo anterior define un intervalo un intervalo asociado al resultado de una medición: , en lugar de un único número.

TIPOS DE INCERTIDUMBRE (ERROR)1 Errores burdos: Son equivocaciones (en lecturas, registro de datos, conversión de unidades, al transcribir los valores medidos a las planillas de los protocolos de ensayos, a la desconexión fortuita de alguna parte del circuito de medición, etc.); se deben evitar. En general se originan en la fatiga del observador o por la falta de meticulosidad en los procedimientos, o de rigurosidad en el manejo de las unidades y los equipos. Se caracterizan por su gran magnitud y se pueden detectar fácilmente. “Un ejemplo de este tipo de error es el que se cometió en el Mars Climate Explorer a fines de 1999, al pasar de pulgadas a cm. se cometió un error que costo el fracaso de dicha misión a Marte”.

2 Errores sistemáticos: Se llaman así porque se repiten constantemente, tanto en presencia como en valor en todas las mediciones que se efectúan en iguales condiciones. Por sus causas pueden subdividirse en:2.1 los errores instrumentales de lectura o también llamado de apreciación2.2 errores instrumentales de exactitud (en el proceso de calibración)2.3 errores instrumentales de ajuste2.4 por las imperfecciones de los métodos de medición Errores debidos a la conexión de los instrumentos o errores de método proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir.. Errores por causas externas o errores por efecto de las magnitudes de influencia.2.5 Errores por la modalidad del observador o ecuación personal

Aunque se deben tratar de minimizar siempre van a existir y deben ser cuantificados y reportados. En algunos casos se pueden determinar factores de corrección y en otros se pueden diseñar procesos que minimicen la perturbación o escoger modelos físicos más apropiados

3. Errores estadísticos o aleatorios: Son los que se producen al azar. En general son debidos a causas múltiples y fortuitas. Estos errores pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso. Por tanto, midiendo varias veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente. La estadística se encarga de este tipo de errores3.1 Rozamientos internos.3.2 Acción externa combinada. (Fluctuaciones propias de las variables a medir, etc)

L. Sabogal, junio 22 de 2007

1


3.3 Errores de apreciación de la indicación.

El error final o combinado o efectivo de X, X, se obtiene al sumar los cuadrados de los errores absolutos y luego tomar la raíz cuadrada de este resultado, como lo indica la Ec. (2)

(2)

FORMAS DE EXPRESAR CUANTITATIVAMENTE EL ERROR

Error absoluto (X): es el valor del semiancho del intervalo de posibles valores que puede tomar la magnitud medida. Se obtiene generalmente como incertidumbre combinada según la (Ec. 2). Tiene las mismas dimensiones y unidades que la magnitud medida. Se reporta como en la ecuación (1)

Error relativo: Permite apreciar lo adecuado de la medición realizada, dado que el error absoluto no lo da. Por ejemplo, es muy distinto cometer un error de 10 V al medir 13200 V, que al medir 220 V. Por lo tanto, el error relativo se obtiene como el cociente entre el error absoluto y el mejor valor de la magnitud.

(3)

Error relativo porcentual: Da un sentido mucho mejor de la calidad de la medida, y a menudo se llama precisión en la medida1 y se obtiene al multiplicar la incertidumbre relativa por 100.

(4)

Por ejemplo si con una regla en mm, se mide la longitud de un borrador de nata, un lápiz nuevo y la altura de la torre de su computador. Los valores encontrados son 40 mm, 200 mm, 400 mm. Sí el error absoluto instrumental es de 1 mm, cuál de las tres medidas es más precisa?. Los errores relativos porcentuales son 2.5 %, 0.5 % y 0.25 % respectivamente. Por lo tanto la medición más precisa fue la de la torre del computador

CARACTERISTICAS GENERALES DE LOS INSTRUMENTOS DE MEDIDA

Exactitud: es una medida de la calidad de la calibración de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente. Es la cercanía del valor obtenido con el denominado valor “real”, para hacer referencia a la exactitud se tienen que tener en cuenta dos conceptos fundamentales patrones de medida y trazabilidad en las mediciones. Es decir una medida es exacta entre menor sea la discrepancia o separación entre lo obtenido con el instrumento de trabajo y el valor leído con el etalón

1 No confundir la precisión en la medida con la precisión del instrumento, de la cual se habló antes.


2


Precisión del instrumento: Está relacionada con la repetibilidad que él proporciona en sus medidas, es decir que diferentes medidas de una misma cantidad bajo condiciones aproximadamente iguales conducen a resultados muy parecidos. A más parecidas las medidas, más preciso el instrumento.

No se debe confundir exactitud con precisión La Figura 1 ilustra de modo esquemático estos dos conceptos. Ejemplo, un cronómetro es capaz de determinar centésimas de segundo pero adelanta dos minutos por hora, mientras que un reloj de pulsera con apreciación nominal de 1 segundo, no lo hace. En este caso decimos que el cronómetro es más preciso que el reloj común, pero menos exacto.

Figura 1. Ilustración de los conceptos de precisión y exactitud. a) es una determinación precisa pero inexacta, mientras d) es más exacta pero imprecisa; b) es una determinación más exacta y más precisa; c) es menos precisa que a).

Fidelidad: Cuando las características del instrumento no cambian apreciablemente en el tiempoSensibilidad: Todo instrumento siempre tiene un mínimo del valor de la cantidad a medir. Esta mínima cantidad se denomina la apreciación nominal del instrumento

PARÁMETROS DE LOS INSTRUMENTOS

Rango de escala: Diferencia Ente el valor máximo y el valor mínimo (Xm)Constante del instrumento: Depende del número de divisiones usadas para dividir el rango de escala. La distancia ente dos divisiones sucesivas se denomina división de escala. Se determina en términos de dos valores consecutivos marcados con raya y número y el número de divisiones que hay entre ellos

(5)

Ejemplo la constante de instrumento de un amperímetro analógico es en la

escala de 100 MA, es

Se puede decir que la constante de un instrumento es el valor que hay entre dos divisiones consecutivas marcadas y no numeradas


3


Sensibilidad: La sensibilidad del instrumento es mayor cuanto menor es la constante del instrumento esto es:

(6)

En el ejemplo del amperímetro mencionado antes tenemos una sensibilidad de

; Un cronómetro de laboratorio que tiene una constante

C=0.01s/div es decir el valor mínimo de división es una centésima de segundo,

tiene un sensibilidad ; un reloj que tenga una C= 1s/div

tiene un sensibilidad

La clase de exactitud: es un tipo de error instrumental que es reportado por el fabricante se obtiene de la mayor separación entre el valor medido de una cantidad con el instrumento dado y el valor obtenido con un etalón2

(instrumento patrón), lo representaremos por . Si este error se multiplica por 100 y se divide por el rango de la escala del instrumento, se obtiene la clase de exactitud del instrumento que representaremos por k; esto es

. (7)

Según recomendaciones de los organismos internacionales de pesos y medidas de los instrumentos eléctricos se clasifican de acuerdo con su número de clase k, las siguientes categorías

Categoría Clase de exactitud

1. etalones K= 0,1 %2. precisos K= 0,2 y k= 0,5 %3. de Laboratorio K= 1 y k = 1,5 %4. de taller K= 2,5 y k = 5 %

Tabla 1. Categorías de instrumentos por clase de exactitud

CALCULO DE ERROR ABSOLUTO

Para los objetivos de este taller sólo veremos la forma de determinar el error absoluto instrumental, los errores estadísticos o aleatorios y la propagación del error (en mediciones indirectas y por escogencia del modelo de cálculo).

Para saber como calcular el (x), hay que responder primero ¿cómo se midió?, aparecen así 4 formas de medir:

1 Medición directa hecha una sola vez:Asumiremos que el error absoluto es sólo el error instrumental. Tiene dos componentes una es el error reportado por el fabricante (∆X´´) y que se

2 Palabra en francés que significa patrón


4


manifiesta en la clase de exactitud y el otro es el error de lectura (∆X´). Para determinar el del error de lectura se usa:

,

(8)Donde C es la constante del instrumento y δ es un número que se escoge de acuerdo a la característica del instrumento como se muestra en la tabla 2.

Caso Valor asignado a δEscala Fina (sin apreciación)

1

Escala fina (con apreciación)

2

Escala Gruesa 10Instrumento con nonio # de div que tenga el nonio

Tabla 2. Tipos de escalas de instrumentos de medida

Si además del error de la lectura se cuenta con la clase de exactitud entonces el error instrumental total será: la suma de los dos y la medida realizada se debe reportar con este total: , en caso contrario, el error instrumental será sólo el error de lectura.

2. Medición directa hecha muchas veces: En este caso se debe calcular el error estadístico. Por tanto, el error absoluto x será la desviación estándar (σ) y el valor que se reporta de la medida de la variable se llama media aritmética , entonces la medida se reporta como

; donde:

y (9)

3. Medición indirecta hecha una sola vez: propagación del errorCuando para determinar el valor de una variable se deben medir de forma directa otras y Luego hacer operaciones matemáticas con ellas. Por ejemplo, para conocer el área de un cuadrado se mide la longitud de su lado y ese valor se eleva al cuadrado. Por tanto el error de la magnitud medida se propaga al hacer operaciones matemáticas con ella.

En términos generales, sea V la magnitud a medir y la cual es una función de otras magnitudes: x, y, z, etc. Esto se escribe así V = V(x, y, z,...). Donde x, y, z, etc. y tienen sus respectivos errores absolutos, x, y, z, etc. Entonces se puede demostrar que el error en V vendrá dado por:

(10)

4. Medición indirecta hecha muchas veces: Es cuando las magnitudes x, y, z, etc., se midieron directamente un conjunto de veces con incertidumbres absolutas x, y, z, etc, en este caso estos


5


errores absolutos son estadísticos (desviación estándar). Entonces se puede demostrar que el error en la medida de V vendrá dado por3:

(11)Análisis de discrepanciaEs el análisis de la no coincidencia entre los resultados obtenidos para una magnitud, con dos (o más) métodos o por distintos observadores. Pero lo importante es saber si la discrepancia es significativa o no. Si los resultados de las dos observaciones que se comparan son independientes (caso usual) y dieron como resultados:

Medición 1:...................

Medición 2:............ , se define

Decimos que con un límite de confianza del 68% las mediciones son distintas si:

y que con un limite de confianza del 96% las mediciones son distintas si:

.

También se analiza la discrepancia cuando se comparan valores obtenidos en el laboratorio con valores tabulados, llamados generalmente teóricos. Es importante diferenciar entre discrepancia y error, que en algunos textos poco cuidadosos se confunde. El error está relacionado con la incertidumbre en la determinación del valor de una magnitud. La discrepancia está asociada con la falta de coincidencia o superposición de los intervalos de dos resultados medidos de manera diferente.

Referencias Bibliográficas1 D.C. Baird. Experimentación: una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos, 2a

ed. Prentice - Hall, Mex. 1991.2. Sabogal Luz Aída, Bernal Luis A, Zapata Juan. Creación y Consolidación del Área de Instrumentación y Metrología AIM. UPB 20053. Mahecha, Jorge. Manual de laboratorio física I. Ed. Universidad de Antioquia 1991 Medellín 4 Gil y Sanchez. Física Re-Creativa, 1ª ed. Prentice-Hall, B. A. 2001.4. Guide to the expression of uncertainty in measurement, 1st ed., International Organization of Standarization (ISO), Suiza (1993). En Internet: http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/index.html.5. Statistics: Vocabulary and symbols, International Organization of Standarization (ISO), Suiza. En Internet: http://www.iso.ch/infoe/sitemap.htm.6. Sears, Zemansky y Otros. Física Universitaria, 11ª ª ed., Pearson Educación, Mex.2004

ANEXO

Propagación de errores en medición indirecta hecha una sola vez

3 Existen argumentos de tipo estadístico los cuales se salen del propósito de este trabajo y que justifican este resultado


6

http://www.iso.ch/infoe/sitemap.htm

http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/index.html


Propagación de errores en la teoría elemental de errores

y


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