Introducción a la Física de los Plasmas Granulares

Luis Conde

Departamento de Física Aplicada

E.T.S. Ingenieros Aeronáuticos

Universidad Politécnica de Madrid

Resumen

En estas notas se desarrolla una breve introducción a la física de los plasmas granulares(dusty plasmas)con particular énfasis en sus aplicaciones espaciales y en la astrofísica.Los plasmas granulares son plasmas clásicos constituídos por electrones iones y átomosneutros que además contienen granos de polvo (partículas sólidas) cargadas positiva onegativamente con un tamaño típico del orden de unas milésimas de milímetro o menor.La mayor masa de los granos md ≫ mi, md, su radio rd y carga eléctrica ±eZd introducennuevas escalas de longitud y tiempo no contempladas en los plasmas clásicos.

Índice

1. Introducción. 3

2. Escalas características. 5

2.1. Longitudes de Debye. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Frecuencias de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Parámetro de acoplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Plasmas granulares en el espacio. 10

4. Ecuaciones fluidas de un plasma granular 13

4.1. Fuerzas de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2. Fuerzas entre partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3. Fuerzas sobre los granos de polvo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3.1. Fuerza de arrastre de los átomos neutros. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3.2. Fuerza de arrastre de los iones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4. Ecuaciones de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

5. Ondas acusticas en un plasma granular. 20

5.1. Onda acústica para los granos de polvo (DA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2. Onda acústica ion-grano (DIA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3. Otra aproximación a las ondas DIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.4. Adimensionalización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

1. Introducción.

Los plasmas granulares o plasmas con granos de polvo (dusty plasmas) pueden definirsecomo gases parcialmente ionizados cuyos constituyentes son electrones iones, átomos neutrosy partículas sólidas masivas, cargadas positiva o negativamente con un tamaño típico muypequeño frente a las longitudes características del mismo.

En estos plasmas, además de las densidades de io-

Figura 1: Estructura de los anillos delplantea Saturno. Imágen tomada poruna de las sondas Voyager desde unos3.4 millones de kilómetros.

nes ni y electrones ne por unidad de volumen hemosde considerar la de granos de polvo nd y la carga queestos adquieren qd = ±eZd. Es evidente que la pre-sencia conjunta de granos cargados, iones y electroneses una situación muy común tanto en la naturalezacomo en multitud de procesos industriales.

En estas notas nos interesamos en particular en lasaplicaciones espaciales de los plasmas granulares y ensus aplicaciones en la Astrofísica. La composición delos granos de polvo que encontramos en el espacio esmuy diversa, silicatos, grafito, carbón amorfo, algunoscompuestos orgánicos, ...etc. Se encuentra frecuente-mente hielo contaminado o sucio e incluso partículasde materiales férricos.

Uno de los ejemplos mas espectaculares de plasmagranular puede observarse en las Figs. 1 y 3. Las partículas que constituyen de los anillosde Saturno se encuentran eléctricamente cargadas y se mueven dentro de la magnetosfera delplaneta formando impresionantes estructuras estacionarias que poseen una estabilidad notable.

En un plasma granular hemos de tener en cuenta dos nuevas longitudes características: Elradio promedio de los granos rd y la separación entre los mismos a, que han de compararse conla longitud de Debye λD. Como se muestra en la Fig. 2 nos encontramos con dos situacionesextremas.

Cuando rd ≪ λD < a los granos de polvo se en-

dr

λD

λD

a

<< a

>> a

Figura 2: Comparación de las longitu-des características.

cuentran muy separados entre sí constituyendo unacolección de cuerpos aislados, sumergidos en el plasmay eléctricamente apantallados. Son entonces partícu-las aisladas e independientes que interaccionan con elplasma que les rodea.

Por el contrario, si rd ≪ a < λD, al ser la longi-tud de Debye la dimensión dominante, las partículasde polvo cargadas participarán del comportamientocolectivo del plasma y entonces podemos hablar ensentido estricto de un plasma de granos de polvo, elec-trones y iones.

La carga qd que adquieren los granos es el resultado de la suma de todas las posiblescorrientes dq/dt =

∑

j Ij que entran y salen del mismo y en el equilibrio dicha corriente neta

3

ha de ser nula∑

j Ij = 0. En consecuencia, las partículas sólidas adquieren un cierto potencialeléctrico ϕd respecto del entorno que puede ser positivo o negativo.

Los procesos mediante los cuales los granos adquieren carga eléctrica son diversos y de-penden tanto de sus propiedades químicas como del entorno en que se encuentran. Cuandord ≪ λD < a los principales mecanismos que pueden producir partículas cargadas que contri-buyen a su carga qd y potencial eléctrico ϕd son:

Coleccion de partículas cargadas: De acuerdo con el valor del potencial eléctrico de su su-perfice ϕd las especies cargadas del plasma resultan repelidas o colectadas contribuyendoentonces a su carga.

Emisión secundaria: Las partículas sólidas se cargan eléctricamente si sobre su superficieimpactan iones y electrones energéticicos que pueden producir la emisión de electronessecundarios de su superficie.

Fotoemisión: Un flujo de fotones de energía E = hν superior a la función de trabajoWf ≃ 2− 4 eV del material pueden producir la emisión de electrones secundarios de lasuperficie del grano.

También pueden generarse cargas mediante muchos otros mecanismos, emisión termo-

iónica, ionización por impacto electrónico, radiactividad, ...etc.

Los mecanismos de carga en el límite contrario rd ≪ a < λD se complican además por lapresencia de interacciones colectivas entre las partículas sólidas del plasma y también con lasotras especies cargadas.

En nuestro caso nos interesamos por la

Figura 3: Detalle de la estructura radial de losanillos de Saturno.

situación en la que los granos de polvo pue-den ser tratados como una densidad (nd) departículas masivas (md ≫ mi, me), con car-ga eléctrica positiva o negativa (qd = ±eZd).Dependiendo de su naturaleza y caracterís-ticas de la interacción con el fondo de elec-trones y iones que le rodea, dicha carga pue-de cambiar en el curso del tiempo, es decir∂qd/∂t 6= 0.

Además, para que podamos hablar conpropiedad de un plasma granular, las partí-cula sólidas han de contribuir al movimientocolectivo de las partículas cargadas, lo quetiene lugar cuando el producto Zd nd es lobastante alto como para ser comparable a ladensidad de carga de electrones y iones.

En el equilibrio ha de satisfacerse la condición de cuasineutralidad, Zi ni±Zd nd−ne = 0,de modo que si la densidad de granos de polvo es pequeña (nd ≪ ne, ni) su carga eléctrica Zd

ha de ser muy alta o bien la densidad de granos de polvo nd muy elevada en el caso contrario.

En la siguiente tabla se comparan las propiedades básicas de un plasma clásico con las deun plasma granular.

4

Características Plasma clásico Plasma granular

Cuasineutralidad Zi ni − ne = 0 Zi ni ± Zd nd − ne = 0Cargas e, Zi e e, qi = Zi e, qd = Zd eDinámica de la carga. qi = Zi e constante qi = Zi e constante y ∂qd/∂t 6= 0Masas mi ≫ me md ≫ mi ≫ me

Frec. Plasma ωpe, ωpi ωpd ≫ ωpe, ωpi

Arrastre E ∧Bo Arrastre de iones para Bobajo Arrastre de polvo cargado para Boalto

2. Escalas características.

2.1. Longitudes de Debye.

La presencia de granos cargados introduce algunas sutilezas en la longitud de Debye quegobierna el apantallamiento de los campos eléctricos en el plasma. Para analizar este efectopartimos de la ecuación de Poisson en una dimensión,

d2ϕ

dz2= − e

ǫo(Zi ni ± Zd ndo − ne)

y de dos poblaciones de equilibrio iónica y electrónica con temperaturas KBTi y KBTe res-pectivamente,

ni = nio exp(−eϕ

KBTi) ne = neo exp(

eϕ

KBTe).

Por el contrario, la densidad de granos de polvo la tomaremos como un fondo uniforme dedensidad de carga ±eZd ndo. Es decir, los consideramos fríos (KBTi, KBTe ≫ KBTd), porser muy masivos y no tendremos en cuenta los efectos de la temperatura de los granos.

Las pequeñas fluctuaciones de la carga eléctrica local causadas por los electrones y ionesnos alejan ligeramente del estado de equilibrio del plasma, ϕ(r, t) ≃ ϕeq + ϕ1 con ϕeq = 0.Cuando las energías térmicas de ambas especies son grandes comparadas con la amplitud delas fluctuaciones de la energía electrostática (eϕ1/KBTe ≪ 1 y eϕ1/KBTi ≪ 1) podremossustituir las exponenciales por sus desarrollos en serie,

d2ϕ1

dz2≃ − e

ǫo[(Zi nio ± Zd ndo − neo)− neo

eϕ1

KBTe− Zi nio

eϕ1

KBTi].

Dentro del paréntesis el primer término es justamente la condición de cuasineutralidaddel plasma en el estado de equilibrio, Zi nio ± Zd ndo − neo = 0 y la ecuación de Poisson seconvierte en,

d2ϕ1

dz2= (

neoe2

ǫoKBTe+

Zi nioe2

ǫoKBTi)ϕ1

5

introduciendo una longitud característica Λ,

d2ϕ1

dz2=

1

Λ2ϕ1 ,

1

Λ2=

1

λ2De

+1

λ2Di

,

las soluciones de esta ecuación que satisfacen que ϕ(±∞) → 0 son,

ϕ1(r) = ϕ1o exp(−|z|/Λ)

Nos aparecen los dos parámetros característicos del plasma, las longitudes de Debye elec-

trónica λDe y iónica λDi. En un plasma clásico suele considerarse sólamente la mayor λDe

debido a que la temperatura de la especie iónica es menor que la electrónica y neo = nei, sinembargo, en un plasma granular son distintas KBTe y KBTi así como las densidades neo ynio.

El signo de la carga de los granos de polvo y condición de cuasineutralidad nos lleva a doslímites de interés puesto que el apantallamiento del campo eléctrico en el plasma dependeráde la especie cargada dominante:

Con granos cargados positivamente, Zi nio + Zd ndo = neo y tiene que tenerse neo > nio

para que exista equilibrio de cargas. Aunque KBTe ≫ KBTi puede suceder que

KBTi

Zinio≫ KBTe

neo

Si la mayor temperatura electrónica no compensa la reducción de la densidad iónicatendremos Λ ∼= λDe. En consecuencia, si los granos de polvo tienen carga positiva, elapantallamiento viene dictado por λDe, es decir, la densidad neo y la temperatura elec-

trónica KBTe.

Por el contrario, con granos cargados negativamente Zi nio = Zd ndo + neo tendremosque nio ≫ neo lo que invierte la desigualdad anterior,

KBTi

Zinio≪ KBTe

neo

y ahora Λ ∼= λDi. Con granos de polvo con carga negativa, el apantallamiento eléctrricoviene dictado por la densidad nio y la temperatura iónica KBTi.

En un plasma clásico constituído por electrones y iones exclusivamente suele tenerse queKBTe ≫ KBTi lo que permite considerar un fondo de iones uniforme. El apantallamientode los campos eléctricos, sobre una escala de longitud λDe es debido principalmente a loselectrones que son mas móviles. Como vemos, un fondo uniforme de una tercera especie cargadanegativamente −Zdnd introduce una escala de longitud diferente λDi para el apantallamientode los campos eléctricos cuando la carga de los granos es negativa.

Este hecho tiene consecuencias en lo que se refiere a la estructura de las vainas electros-táticas que se forman alrededor de electrodos metálicos inmersos en el plasma. La anchura delas mismas dependerá no sólo de la longitud de Debye electrónica como sucede en los plasmasclásicos, sino de acuerdo con el signo de la carga de los granos, también de la iónica.

6

2.2. Frecuencias de plasma

Para estudiar las escalas de tiempo de un plasma granular consideramos oscilaciones depequeña amplitud de todas las variables alrededor de un estado de equilibrio del mismo. Paracada especie cargada escribiremos la ecuación continuidad y de transporte de cantidad demovimiento (α = e, i, d que serán respectivamente electrones, iones y granos de polvo),

∂nα

∂t+∇ · (nα uα) = 0 (1)

mαnα

(

∂uα

∂t+ (uα · ∇)uα

)

= −qαnα∇ϕ−Rα (2)

∇2ϕ+e

ǫo(Zini ± Zdnd − ne) = 0 (3)

donde qe = −e , qi = eZi y qd = eZd siendo e = |e| > 0. La fuerza de fricción entre lasdistintas especies Rα los vamos tomar como despreciables ya que perturbamos alrededor deun estado de equilibrio.

Estas ecuaciones se linealizan tomando nα(r, t) = nαo + nα1, uα(r, t) = uαo + uα1 yϕ(r, t) = ϕo + ϕ1 siendo nαo ≫ nα1. En el estado de equilibrio consideramos que las especiesestan en reposo (uαo = 0) y que el potencial de plasma es uniforme (ϕo = 0), asimismo hade satisfacerse el equilibrio de cargas Zi nio ± Zd ndo − neo = 0. Despreciando los términos desegundo orden resultan las siguientes ecuaciones lineales para las amplitudes de perturbación,

∂nα1

∂t+ nαo ∇ · uα1 = 0

∂uα1

∂t− qα

mα∇ϕ1 = 0

∇2ϕ1 +1

ǫo(qi ni1 + qd nd1 − qe ne1) = 0

Derivamos la primera respecto del tiempo y tomamos la divergencia de la segunda,

∂2nα1

∂t2+ nαo ∇ · ( ∂uα1

∂t) = 0

∇ · (∂ uα1

∂t) = − qα

mα∇2ϕ1

y sustituyendo obtenemos para cada especie α del plasma,

∂2nα1

∂t2− nαo qα

mα∇2ϕ1 = 0

Podemos multiplicar cada ecuación por la carga qα correspondiente y sumarlas,

7

∂2

∂t2[qi ni1 + qd nd1 − qe ne1]−∇2ϕ1

[

nio q2i

mi+

ndo q2i

md+

neo q2e

me

]

= 0

siendo primer paréntesis igual a −ǫo∇2ϕ1 y permutando la derivada temporal con el operador∇ resulta,

∇2

[

∂2ϕ1

∂t2+

(

nio q2i

ǫo mi+

ndo q2i

ǫomd+

neo q2e

ǫo me

)

ϕ1

]

= 0

donde el interior del corchete ha de ser nulo. Nos encontramos con la ecuación de un osciladorarmónico para las amplitudes de perturbacíon ϕ1 del potencial del plasma,

∂2ϕ1

∂t2+ ω2

p ϕ = 0

En el estado de equilibrio el potencial del plasma fluctúa con oscilaciones de amplitud ϕ1

pequeña y con una frecuencia característica que será la suma de las correspondientes a todaslas especies presentes en el plasma,

ω2p = ω2

pi + ω2pd + ω2

pe

y podemos definir para cada especie cargada α una frecuencia característica, ω2pα = q2a nαo/ǫo mα

entre las que existirá evidentemente una gran diferencia dada la disparidad de la masas decada constituyente. Además, han de ser mayores que todas las frecuencias colisionales,

νea, νia, νda, .... ≪ ωp

2.3. Parámetro de acoplo

Si suponemos simetría esférica, el potencial que crea un grano de carga qd inmerso en unplasma viene dado por,

ϕ(r) =qdre(−r/ΛD)

y podemos comparar la energía electrostática Eel = qd ϕ(a) de otra carga idéntica situada auna distancia a con su energía térmica ET ∼ KBTd.

Γ =q2d

aKBTde(−a/ΛD)

El plasma se dice fuertemente acoplado cuando Γ ≫ 1 puesto que entonces dominan lasfuerzas eléctricas entre los granos frente a sus energías térmicas y débilmente acoplado en elcaso contrario Γ ≪ 1. Como se muestra en la Fig. 2 el potencial eléctrico resulta apantalladosegun la razón de longitudes a/Λ que compite con la energía térmica. La magnitud del acoploentre los granos del plasma depende entonces de:

8

La magnitud de la carga del grano qd = eZd.

La relación entre la distancia entre granos a y la longitud de Debye ΛD. La densidad nd

se encuentra también involucrada puesto que nd ∼ 1/a3

La energía térmica ET ∼ KBTd.

Cuando el acoplo es elevado y dominan las fuerzas

Figura 4: Cristal de plasma donde losgranos (puntos iluminados) forman es-tructuras ordenadas.

eléctricas y la posición de las partículas sólidas en elplasma resulta del balance de las fuerzas que actúansobre las mismas. Puesto que no poseen energía térmi-ca suficiente para desplazarse a distancias importan-tes de sus posiciones de equilibrio. Se desarrollan en elplasma estructuras ordenadas de granos (dusty crys-

tals) que interaccionan entre sí de modo semejante alos átomos en un coloide .

En la Fig. 4 puede observarse una imágen de unode estos cristales donde puede observarse como lospuntos iluminados que corresponden a los granos depolvo forman estructuras ordenadas.

9

3. Plasmas granulares en el espacio.

Los plasmas granulares se encuentran presentes en muchos ámbitos de la naturaleza. En elespacio existe gran cantidad de materia en forma de polvo, pequeños cristales de hielo, ...etc.inmersos en un plasma ambiente que son susceptibles de cargarse eléctricamente cuando sonionizados por la radicación ultravioleta y/o mediante el impacto de partículas energéticas.

A continuación vamos a examinar los valores ca-

Figura 5: Detalle de uno de los anillosde Urano, mas estrecho que los de Sa-turno.

racterísticos de algunos plasmas granulares en el es-pacio, la concentración y naturaleza de los granos depolvo ha sido determinada esencialmente a partir dela magnitud y composición espectral de la luz que ab-sorben.

En el espacio interestelar el contenido en gas de-crece con el tiempo a medida que nuevas generacionesde estrellas se forman por el colapso gravitatorio denubes gigantes de gas neutro. La presencia de pol-vo en este espacio ente las estrellas se conoce desdehace tiempo y esta formado partículas tanto dieléctri-cas (hielos, silicatos, ...etc.) como metálicas (grafitoso carbonos amorfos). Los valores característicos delplasma interestelar son los siguientes:

Nubes Interestelares

ne = 10−3 − 10−4 cm−3 nd = 10−7 cm−3 na = 104 cm−3

KBTe = 10−3 eV rd = 0,2µm rd/λDe ≤ 0,3|Zd| ∼ 1 a/λDe ∼ 0,2

Nuestro sistema solar se encuentra igualmente lleno de partículas de polvo de orígen ycomposición muy variada a partir del cual se supone fue formado nuestro sistema planetario.Esta originado por cometas y/o material del cinturon de asteroides donde nos encontramoscon un plasma de una densidad electrónica de unos ocho órdenes de magnitud superior ybastante mas caliente.

Plasma Interplanetario (Disco de polvo zodiacal)

ne = 5 cm−3 nd = 10−12 cm−3 |Zd| = 104

KBTe = 10 eV K rd = 2− 10µm a/λDe ≤ 5

Los cometas son cuerpos pequeños constituídos por una mezcla de gases de material novolátil y gases congelados que describen órbitas muy elípticas que los acercan al sol para luego

10

alejarlos hacia el espacio profundo. Tienen un núcleo pequeño (por debajo de 10 Km de diá-metro) y a medida que se aproximan al sol desarrollan una cola luminosa que se extiende a lolargo de varios millones de kilómetros en sentido opuesto. Lejos del sol el material permanececongelado en el interior del núcleo que cuando encuentra a unas pocas unidades astronómicasde la estrella comienza a calentarse evaporandose las substancias mas volátiles. De este modose forma una cola compuesta de polvo y gas que absorbe la radiación ultravioleta, princi-palmente por el hidrógeno que contiene, que además de ionizarse escapa a su gravedad. Lascaracterísticas del plasma de un cometa medidas en algunas misiones espaciales (Vega, Giotto)son las siguientes.

Cometa Halley

Propiedades Dentro ionopausa Fuera de la ionopausa

ne (cm−3) 103 − 104 102 − 103

KBTe (eV ) ≤ 0,1 ∼ 1nd (cm

−3) 10−3 10−8 − 10−7

na (cm−3) 1010 –

rd (µm) 0,1− 10 0,01− 10|Zd| 10− 103 10− 2× 104

a/λDe ≥ 1 ≥ 10

Los anillos planetarios que existen alrededor de los planetas gigantes (Júpiter, Saturno,Urano y Neptuno) estan compuestos de partículas que orbitan alrededor del planeta. Los pri-meros en ser descubiertos fueron los de Saturno en las primeras observaciones con telescopiosdesde la tierra mientras que los de Júpiter, Urano y Neptuno -mas pequeños- fueron fotogra-fiados durante las misiones del programa Voyager en las que se tomaron imágenes como la delas figuras 1 y 3.

Las observaciones revelaron una estructura mucho compleja de los que se esperaba, cons-tituída por anillos concéntricos y huecos entre ellos que no podía observarse desde nuestroplaneta. Urano también posee un sistema de anillos más delgados que no se perciben desde laTierra uno de los cuales se aprecia en la figura 5.

La gran estructura anular del planeta Saturno esta constituida por diversos anillos con-céntricos formados por partículas sólidas y de hielo cuyos diámetros van desde la milésimade milímentro hasta el metro. Dicha estructura podría explicarse mediante un modelo queconsidera la hipótesis de que los saltos entre anillos consecutivos contienen granos de polvomicrométricos cargados y sometidos a las fuerzas electromagnéticas que existen en la magne-tosfera del planeta. Los anillos se etiquetan mediante letras del alfabeto y las propiedades dedos de ellos y los huecos entre los mismos se encuentran en la siguiente tabla.

11

Anillos de Saturno

Propiedades Anillo E Anillo F Hueco

ne (cm−3) ∼ 10 ∼ 10 0,1− 102

na (cm−3) 1 – –

nd (cm−3) 10−7 ≤ 10 ∼ 1

KBTe (eV ) 10− 100 10− 100 ∼ 104

rd (µm) ∼ 1 1 ∼ 1Zd ∼ 104 ∼ 10− 102 ∼ 10a/λDe 0,1 ≤ 10−3 ≤ 10−2

También se observan en el espacio cercano a la Tierra plasmas granulares, siendo la prin-cipal fuente de este polvo la polución espacial. Esta última esta originada por emisiones dematerial que provienen de cohetes y vehículos orbitales. Una vez se encuentran en órbita ladesgasificación de sus superficies y las emisiones de sus motores provocan la aparición en laatmósfera de polvo de aluminio y cristales de hielo. En su 90% son esferoides de óxidos dealuminio (Al2O3) con tamaños de 0,1−10µm, también trozos de hielo y micrometeoritos. Lascaracterísticas y el orígen de estos granos de polvo son las siguientes:

Entorno terrestre.

Orígen Composición Radio (µm) Densidad (cm−3)

Emisiones del Shuttle hielo sucio 5× 10−3 3× 104

Aerosol terrestre Al2O3 0,1− 10 10−10 − 10−6

Micrometeoritos diversa 5− 10 10−10 − 10−9

Contaminación industrial magnetita ∼ 10 10−5

Por último, también compararemos las propiedades típicas de los plasmas granulares queproducen una llama que resultan ser obviamente similares a los que produce el motor de uncohete. La combustión de gases eleva la temperatura de sus productos de reacción que resultanionizados en parte. Si son emitidos al espacio estos a su vez se congelan rápidamente dandolugar a pequeños cristales de hielo cargados eléctricamente. Esta nubes de material orbitantambién alrededor del vehículo e interaccionan con el plasma ionosférico.

12

Emisiones de llamas

y de motores cohete

Propiedades Motores Llamas

ne (cm−3) 1012 > 1011

KBTe (eV ) 0,3 0,2nd (cm

−3) 3× 108 1011

na (cm−3) 3× 1018 5× 1018

rd (µm) 0,5 0,01|Zd| 102 2a/λDe 2 0,5

4. Ecuaciones fluidas de un plasma granular

4.1. Fuerzas de fricción

En las ecuaciones [1-3] para el estado de equilibrio hemos considerado cada especie comoindependiente, no hemos tenido en cuenta las posibles interacciones mutuas entre granos depolvo, iones, ...etc. Para establecer las ecuaciones fluidas de movimiento hemos de determinarla fuerza de fricción Rα que ejercen todas las demás especies sobre la α,

Rα =∑

β 6=α

Rαβ

siendo α, β = i, e, d, a donde a representa los átomos neutros. Tienen dimensiones de fuerzapor unidad de volumen y para determinarlas necesitamos desarrollar modelos de los procesoscolisionales e integrar sobre las funciones de distribución fα(v, r, t) de las especies involucradas.

Los modelos mas simples proporcionan expresiones de la forma,

Rαβ = −µαβ nβναβ (uα − uβ)

en donde µαβ = mα mβ/(mα + mβ) es la masa reducida y ναβ la frecuencia de colisión. Elvector Rα,β representa la fuerza por unidad de volumen que la especie β ejerce sobre la αevidentemente Rαβ = −Rβα resultando nula en el equilibrio puesto que uα − uβ = 0.

Para el caso sencillo de una colisión elástica, la frecuencia ναβ = 1/τc es el inverso del tiem-po medio τc que transcurre entre dos colisiones sucesivas entre ambas especies de partículas.Podemos estimarlo mediante,

ναβ =VTβ

λαβ

siendo λαβ el recorrido libre medio de la colisión y VTβ una velocidad característica de laespecie β que coincide con la térmica cuando la velocidad relativa |uα−uβ | es pequeña frentea esta última.

13

4.2. Fuerzas entre partículas

Para la fricción de iones y electrones (α = i, e,) con un fondo uniforme de átomos neutrospodemos emplear las expresiones de un plasma clásico,

Raα = −µaα na νaα(ua − uα) , νaα = na µaασaα VTα (4)

en donde µa,α será la masa reducida, σaα la sección eficaz de colisión correspondiente y VTα =(8πKBTα/mα)

1/2 la velocidad térmica de la especie considerada. En general tendremos que,

νae, νai, νad ≪ ωp

Por ejemplo, entre los átomos neutros y los electrones se tiene la siguiente fuerza de fricciónpor unidad de volumen,

Rae = −µae na νae (ua − ue) = −ρa νae (ua − ue)

donde νae la frecuencia de colisiones elásticas.

Hay que recordar que estas expresiones son válidas siempre que las velocidades de arrastrerelativas |ua−ue| sean pequeñas comparadas con las térmicas VTα de las especies involucradas,en caso contrario hay que considerar las correcciones correspondientes. Asimismo se consideraque la sección eficaz de colisión es aproximadamente constante para el rango de energíasinvolucradas.

Para la fricción entre partículas cargadas suele emplearse una expresión análoga a [4]cambiando la frecuencia de colisión. Puede probarse que tomando τ = λei/Vth y ne = ni = nlos tiempos de colisión entre en el sistema MKS son,

τe =6√2π3/2ǫo

√me T

3/2e

Λ e4 n(5)

y para los iones

τi =12π3/2ǫo

√mi T

3/2i

Λ e4 n(6)

respectivamente. La cantidad Λ se denomina logaritmo de Coulomb y que viene del operador decolisión siendo igual al logaritmo de la razón entre los parámetros de impacto máximo y mínimoΛ = ln (dmax/dmin). El dmin es la distancia de aproximación más corta dmin ≃ rc = e2/4πǫoTque viene determinada simplemente por,

me,iu2e,i

2− e2

4πǫo rc= 0

mientras que dmax = λd puesto que el potencial eléctrico se encuentra apantallado para dis-tancias mayores que la longitud de Debye. El logaritmo de Coulomb es una función que varíamuy suavemente con la densidad y la temperatura del plasma.

14

4.3. Fuerzas sobre los granos de polvo.

El problema mas complejo es determinar las fuerzas de fricción Rd = ndFd entre losgranos sólidos y las demás partículas del plasma. Podemos escribir la fuerza total Fd sobrecada grano de la forma,

Fd = Fe + Fg + Far,

siendo Far la fuerza de arrastre que causan sobre la partícula sólida las demás especies pre-sentes en el plasma. Las dos fuerzas mas inmediatas son las causadas por campos externos,como la fuerza de gravedad fg = md g que proporciona una fuerza por unidad de volúmen,

Fg = nd fe = ρd g

y para la fuerza que ejerce el campo eléctrico fe = qd (E+ ud ∧B)

Fe = nd fe = ρed (E+ ud ∧B)

El efecto de los electrones puede despreciarse en general debido a su escasa masa frentea la del grano, apenas transfieren a este cantidad de movimiento a las partículas sólidas. Lasfuerzas de arrastre Far serán causadas principalmente por los iones y el fondo de átomosneutros y se descompone en los siguientes términos,

Far = Fdi + Fda + FT + Frad

en donde cada sumando representa:

La fuerza de arrastre de los iones sobre los granos, Fdi = Fcol+Fcoul+Ffl causada porlas colisiones por impacto directo Fcol, las colisiones de tipo coulomb, Fcoul o arrastredebido al movimiento relativo entre ambas especies, Ffl.

La fuerza de arrastre de los átomos neutros sobre los granos, Fda que es originada porlas colisiones elásticas de estos sobre la superficie del grano.

Fuerza térmica, FT debida a los gradientes de temperatura ∇Ta presentes en el gasneutro de fondo.

La presión de radiación : En particular en el espacio, al encontrarse inmersos en uncampo de radicación intenso, los granos pueden adquirir cantidad de movimiento dedicho campo.

Estudiaremos a continuación las mas importantes y sus expresiones aproximadas en algunoslímites de interés práctico.

15

4.3.1. Fuerza de arrastre de los átomos neutros.

La fuerza de arrastre Fda corresponde al intercambio de cantidad de movimiento originadopor las colisiones elásticas entre los granos de polvo y el fondo de átomos neutros. Existendos regímenes posibles que se clasifican de acuerdo con el número de Knudsen (Kn = λdα/rd,con α = i, a donde λdα es el recorrido libre medio correspondiente) entre dos límites puestoque si Kn ≫ 1 nos encontraríamos en un régimen cinético y en caso contrario Kn ≪ 1 seríahidrodinámico.

Esta última situación corresponde a presiones altas y la fuerza correspondiente vendriadada simplemente por la fórmula de Stokes resultando proporcional a la velocidad ud y alradio rd de la partícula. Por el contrario, para presiones bajas (por debajo del Torr) dondeλda > 100µm y rd < 1 − 100µm esta aproximación no es válida y se describe la interacciónde un grano con un átomo neutro en este régimen se consideran dos modelos: En el primerola superficie del grano es aproximada por una esfera dura y la componente de la velocidad delátomo neutro ua perpendicular a la superficie del mismo se invierte en el choque (reflexión).En el segundo, el neutro es adsorbido por la superficie y reemitido posteriormente (reflexióndifusa). En ambos casos hay que evaluar la cantidad de movimiento intercambiada en elproceso.

Para una reflexión perfecta si la distribución de velocidades de los neutros es de MaxwellBoltzmann [Braines et al, 1965] se tiene,

Fda = −√2π (r2d ma na)VTaH(s) (ud − ua)

en donde ua es la velocidad del fluido de gas neutro y VTa =√

KBTa/ma . La función H(s)es,

H(s) =1

s

[

(s +1

s) exp(−s2) +

√π (s2 + 1− 1

4s2) fer(s)

]

donde a su vez fer (s) es la función de error y s = |ud−ua|/√2VTa. En el modelo de reflexión

difusa perfecta, la fuerza de arrastre se obtiene reemplazando en la expresión anterior H(s)por H(s)+π/3. La siguiente expresión alternativa [Draine y Salpeter, 1979] precisa dentro deun 1% de error para todas las velocidades y exacta en límites s → ∞ y s → 0,

Fda = −8

3

√

1 +9π

64s2

√2π (r2d ma na)VTa (ud − ua)

En estas fórmulas se ha considerado una reflexión difusa perfecta, que no tienen en cuentalas interacciones de los átomos del gas neutro con la superficie del grano que depende de lanaturaleza del mismo. Se considera en estos casos un denominado coeficiente de acomodación

αac que corrige las expresiones anteriores para incluir dicho efecto.

En el límite s ≪ 1, cuando la velocidad relativa |ud − ua| es pequeña en comparación conla velocidad térmica del gas neutro VTa, se obtiene una expresión mas simple para la reflexióndenominada relación de Epstein,

16

Fda = −√2π (r2d ma na)VTa (ud − ua)

y para la reflexión difusa perfecta,

0 2 4 6 8

s = | ud - ua | / 21/2

VTa

10-2

10-1

100

101

102

103

Fda

/ 21/

2 VT

a (m

an ar2 d)

Baines et al. (reflexión)Baines et al. (reflex. difusa)Draine y Salpeter (reflexión)

Figura 6: Comparación de las diferen-tes expresiones para la fuerza del fondode átomos neutros sobre un grano depolvo.

Fda = −8

3(1 +

π

8)√2π (r2d ma na)VTa (ud − ua)

ambas relaciones son de aplicación en la mayor partede los casos de interés en plasmas de laboratorio. En ellímite contrario, cuando s ≫ 1 la fórmula aproximadapara la fuerza de arrastre es la misma tanto para lareflexión especular como para la difusa,

Fda = −π (r2d ma na) |ud − ua| (ud − ua).

El valor relativo de todas estas expresiones se com-para en la Fig. 6, representando

A(s) = Fda/√2VTa(r

2d ma na)

frente a s = |ud − ua|/√2VTa, de modo que se aprecie el efecto de la velocidad relativa

entre el fondo de átomos neutros y el fluído de granos de polvo. Como puede comprobarselas diferencias entre todas las expresiones anteriores son bastante pequeñas y existe un límiteasintótico cuando s ≫ 1 en el que A(s) ≃ π

√2.

En el límite contrario s ≪ 1 se recuperan las fórmulas de Epstein. Desarrollando enpotencias de s tendremos para la expresión de Baines el al. (reflexión expecular),

Fda/√2VTa(r

2d ma na) ≃

8

3

√2π s+

8

15

√2π s3 +O(s5)

mientras que para la reflexión difusa basta reemplazar el 8/3 por (8 + π)/3. Para la otrafórmula resulta,

Fda/√2VTa(r

2d ma na) ≃

8

3

√2π s+

3π3/2

8√2

s3 +O(s5).

4.3.2. Fuerza de arrastre de los iones.

Para la transferencia de cantidad de movimiento entre iones y los granos de polvo podemosescribir,

Fdi = Fcol + Fcul + Ffl.

Donde los tres modos principales son

17

Las colisiones por impacto directo entre iones y granos de polvo Fcol.

Los choques entre ambos como partículas cargadas Fcul.

La fuerza de arrastre (colectiva) que el fluido iónico ejerce sobre los granos Ffl.

La última es difícil de calcular y no la estudiaremos en estas notas, en realidad tiene unefecto pequeño sobre los granos de polvo en los plasmas de nuestro interés. Las dos primerostérminos dependen del valor del potencial del grano de polvo ϕp y corresponden a la fuerzaFcol originada por el cambio de cantidad de movimiento originado por los iones del plasma quealcanzan el grano de polvo, bien porque son atraidos o porque superan la barrera de potencialy colisionan con el mismo. Para un plasma en el que los granos de polvo permanecen en reposoesta fuerza puede expresarse como,

Fa,bdi = −nimi σ

a,bc VT i (ud − ui)

siendo VT i = (u2i +8KbTi/πmi)1/2 la velocidad total del ion. Aquí σa,b

c representa una seccióneficaz de colisión para la transferencia de cantidad de movimiento mediante (a) colección deiones por impacto directo y/o (b) colisiones electrostáticas de tipo Coulomb. Esta última hade expresarse como función del potencial de la superficie del grano ϕp y de la energía cinéticadel ion miu

2i /2.

En el caos de encontrarnos en el límite a ≫ λD ≫ rd podemos emplear el modelo OMLde colección de iones y se obtiene,

σac = πr2d

(

1− 2eϕd

miu2i

)

suponiendo que el arrastre debido a la colección es igual al causado por la colección de corrienteiónica.

donde suponemos que la sección eficaz para la transferencia de cantidad de movimiento eneste proceso es igual a la sección eficaz de colección de corriente iónica.

Para evaluar el arrastre debido a las fuerzas de Coulomb tendremos que expresar la seccióneficaz σb

c para la transferencia de cantidad de movimiento en función del parámetro de impactob,

σbc = 4πb2o

∫ λDe

bc

b db

b2o + b2

en donde bo = rdeϕd/miu2i es el parámetro correspondiente a una deflexión de 90o y bc el de

una colisión directa,

bc = rd

(

1− 2eϕd

miu2i

)

18

Hay que notar que bc se utiliza para excluir los iones colectados del cálculo de las fuerzasde arrastre de Coulomb. Puesto que si elegimos como límite superior de integración en σb

c elinfinito la integral diverge por lo que se intoduce un corte superior λDe que es la longitudde apantallamiento en este caso. Esto es debido a que bajo la acción del campo eléctrico losiones adquieren velocidades de arrastre grandes comparadas con su velocidad térmica y noson capaces de formar una vaina electrostática alrededor del grano, que esta constiuída porun defecto de electrones con una anchura aproximada de λDe. Integrando la ecuación anteriorse obtine finalmente,

σbc = 2πb2o ln

(

b2o + λ2De

b2o + b2c

)

4.4. Ecuaciones de transporte

The fluid velocities of charged species (ue, ui, ud) are considered in the frame where theneutral atom background remains at rest. The fluid equations in one dimension are,

∂nd

∂t+

∂

∂z(nd ud) = 0 (7)

md nd

(

∂ud∂t

+ ud∂ud∂z

)

− eZd nd∂ϕ

∂z+md nd νda ud +md nd νdi (ud − ui) = 0 (8)

∂ni

∂t+

∂

∂z(ni ui) = G−Ro (9)

mi ni

(

∂ui∂t

+ ui∂ui∂z

)

+ e ni∂ϕ

∂z+KBTi

∂ni

∂z+ (G−Ro)mi ui

+mi ni νia ui +mi ni νid (ui − ud) = 0 (10)

ne = neo exp(eϕ/KBTe) (11)

∂2ϕ

∂z2= − e

ǫo(ni − ne − Zd nd) (12)

The equations 7 and 8 are the continuity and momentum transport equations for dustgrains which collide with neutral atoms and ions with frequencies νda and νdi. The Eq. 9 isalso the continuity equation for ion flow with charge source G and sink Ro terms as discussedabove. In Eq. 10 the term (G−Ro)mi ui accounts for changes in momentum of the ion fluidassociated to ionization and recombination events. Electrons are considered as Maxwellians inEq. 11 and Poisson equation 12 relates the fluctuations of plasma potential ϕ with chargedparticle densities.

The collision frequency between dust and neutral atoms may be approximated by νda ≃πa2naVaT where a is the grain radius and VaT =

√

KBTa/ma.

The elastic collision cross section for momentum transfer between ions and neutral atomsσia will be considered independent of energy leading to a constant collision frequency νia =na σia cis, where cis =

√

KBTe/mi represents the ion acoustic speed and the ion thermalvelocity is ciT = cis

√

Te/Ti.

19

The collision frequency νid between ions and dust grains caused by ion drag force will becalculated as in and the momentum conservation relates two terms in equations 8 and 10,

md nd νdi (ud − ui) +mi ni νid (ui − ud) = 0

Therefore,

νdi =mi ni

md ndνid ≪ νid.

This expression reflects the fact that ions experience more frequent collisions with momen-tum exchange than dust grains.

5. Ondas acusticas en un plasma granular.

En un plasma granular uniforme, no magnetizado y sin colisiones donde el acoplo entrelos granos cargados causado por la fuerzas eléctricas es débil existen dos modos acústicosprincipales: La onda acústica de los granos (dust-acoustic wave, DA) y la onda acústica ión-grano (dust ion-acoustic wave, DIA).

5.1. Onda acústica para los granos de polvo (DA)

La velocidad de fase de la onda acústica DA es mas pequeña que las térmicas de los ionesy electrones, que establecen el potencial de equilibrio.

La inercia de los granos es importante para las ondas DA por lo que consideramos lasecuaciones linealizadas de continuidad y transporte de la cantidad de movimiento,

∂nd1

∂t+ ndo∇ · ud1 = 0 (13)

∂ud1

∂t± eZd

md∇ϕ− 3KBTd

md ndo∇nd1 = 0 (14)

Aquí ϕ1 y ud1 son las de la perturbación del potencial eléctrico y velocidad del fluido degranos de polvo. El gradiente de presión esta equilibrado por la fuerza eléctrica y aproximamoslas densidades perturbadas de iones y electrones por,

ne1 ≃ neoeϕ1

KBTeni1 ≃ nio

eϕ1

KBTi.

El sistema de ecuaciones se cierra con la ecuación de Poisson,

∇2ϕ1 = − e

ǫo(ni1 ± Z nd1 − ne1). (15)

20

Combinamos las dos ecuaciones para los granos de polvo tomando la divergencia en lasegunda y derivando respecto del tiempo la primera,

∂2nd1

∂t2− 3V 2

Td ∇2nd1 = ∓Ze

md∇2ϕ1. (16)

Substituimos en la ecuación de Poisson las densidades electrónica y iónica,

∇2ϕ1 = − e

ǫo(e neo

KBTeϕ1 +

e nio

KBTiϕ± Z nd1)

e introducimos la longitud característica 1/Λ2D = 1/Λ2

De +1/Λ2Di, de modo que esta ecua-

ción se transforma en

∇2ϕ1 +1

Λ2D

ϕ1 = ∓Ze

ǫond1. (17)

En las ecuaciones [16] y [17] solo aparecen como incógnitas las amplitudes ϕ1y nd1pueshemos eliminado todas las demás. Introducimos perturbaciones de la forma nd1 = no

d1 exp[i (k·r− ω t)] y ϕ1 = ϕo

1 exp[i (k · r− ω t)] con lo que obtenemos el siguiente sistema de ecuacionesalgebraicas.

(−ω2 + 3V 2Td k

2)nod1 ±

Ze

mdk2ϕo

1 = 0

−(k2 +1

Λ2D

)ϕ1 ∓Ze

ǫonod1 = 0

Para que tenga solución distinta de la trivial ha de ser nulo el siguiente determinante,

∣

∣

∣

∣

∣

3V 2Td k

2 − ω2 ±Zek2/md

∓Ze/ǫo −(k2 + 1Λ2

D

)

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

del que obtendremos la ecuación para la relación de dispersión ω(k),

(3V 2Td k

2 − ω2) (k2 +1

Λ2D

)− ω2pd k

2 = 0

donde se ha introducido la frecuencia de plasma para los granos de polvo ω2pd = e2Z2ndo/ǫomd

y operando,

1 +1

Λ2Dk

2−

ω2pd

ω2 − 3V 2Td k

2= 0

Finalmente, la relación de dispersión resulta ser,

21

ω2(k) = 3V 2Td k

2 + ω2pd

k2Λ2D

1 + k2Λ2D

. (18)

La inercia de las ondas acústicas DA es causada por la gran masa de los granos de polvomientras que la fuerza restauradora viene de las presiones que ejercen los electrones y iones.Consideramos que estos últimos responden instantaneamente a las fluctuaciones del potencialeléctrico sobre esta escala de tiempos. como térmicos. Podemos despreciar el primer sumandoya que ω ≫ kVTw y definimos la velocidad acústica para los granos de polvo CDA = ωpdΛD,

ωDA(k) =k CDA

√

1 + k2Λ2D

Su frecuencia resulta mucho mas pequeña que ωpd y su velocidad de fase de las mismaspuede ser estimada Vθ = ωDA/k que se encuentra en las decenas de Herzs para plasmas delaboratorio. Finalmente, podemos desarrollar en serie [18] para s2 = k2Λ2

D ≪ 1 con lo queresulta,

ΛDAω2(k)

C2DA

=s

1 + s2≃ s− s3

2+O(s4)

con lo que reteniendo el primer término y substituyendo los valores correspondientes quedasimplemente ω ≃ k CDA. Si sustituímos los valores correspondientes,

C2DA = ω2

pdΛ2D = Z2ndo

nio

KBTi

md

(

1

1 + neoKBTi/nioKBTe

)

en donde neo = nio ± Z ndo. Algunas veces esta última relación se invierte, de modo queaparezca la temperatura electrónica en lugar de la iónica simplemente haciendo,

C2DA = ω2

pdΛ2D = ω2

pd λ2De

λ2Di

λ2De + λ2

Di

que da lugar a que,

C2DA = ω2

pdΛ2D = Z2ndo

nio

KBTe

md

(

1

1 + nioKBTe/neoKBTi

)

donde se aproxima el paréntesis por la unidad.

5.2. Onda acústica ion-grano (DIA).

La velocidad de fase de las ondas DIA es mas pequeña que la velocidad térmica de loselectrones y mas grande que las térmicas de los iones y de la correspondiente velocidad paralos granos de polvo. Para estudiarlas, seguiremos tomando los electrones como térmicos, pero

22

no en el caso de los iones cuyas ecuaciones linealizadas de continuidad y de transporte decantidad de movimiento son,

∂ni1

∂t+ nio∇ · ui1 = 0 (19)

∂ui1

∂t+

e

mi∇ϕ− 3KBTi

mi nio∇ni1 = 0 (20)

Combinandolas lo mismo que antes, resulta para la los iones,

∂2ni1

∂t2− 3V 2

T i ∇2ni1 −e

mi∇2ϕ1 = 0. (21)

Por ser térmicos los electrones, la perturbación de la densidad electrónica asociada a unaonda DIA viene dada por,

ne1 ≃ neoeϕ1

KBTe. (22)

lo que introduce un pequeño cambio en la ecuación de Poisson linealizada respecto de laempleada para las ondas DA [12] ya que tendremos

∇2ϕ1 =e2neo

ǫoKBTeϕ1 −

e

ǫoni1 ∓

Ze

ǫond1.

Finalmente,

∇2ϕ1 =1

λDeϕ1 −

e

ǫo∓ Ze

ǫond1. (23)

Para obtener la relación de dispersión para las las ondas DIA tomamos los electrones comotérmicos y los granos de polvo se mueven con las ecuaciones de movimiento[13] y [14] peroal contrario que para las ondas DA, los iones se mueven también según las ecuaciones fluidas[19] y [20]. Si introducimos como antes perturbaciones sinusoidales en [16] y [21] cerrando elsistema con [22] y la ecuación de Poisson linealizada [23] obtenemos el siguiente sistema detres ecuaciones con tres incógnitas que son las amplitudes de perturbación,

(3V 2T i k

2 − ω2)noi1 −

e nio

mik2 ϕo

1 = 0

(3V 2Td k

2 − ω2)nod1 ∓

Zendo

mdk2 ϕo

1 = 0

(k2 +1

λ2De

)ϕo1 +

e

ǫonoi1 ±

Ze

ǫonod1 = 0

La relación de dispersión se obtiene de nuevo haciendo nulo el determinante correspon-diente, lo que conduce a que ω(k) venga dada por las raíces del siguiente polinomio:

23

(3V 2T i k

2−ω2) (3V 2Td k

2−ω2) (k2+1

λ2De

)+ω2pe k

2 (3V 2T i k

2−ω2)+ω2pe k

2 (3V 2Td k

2−ω2) = 0. (24)

Nos es preciso ahora hacer alguna aproximación, y es que las raices de este polinomio hande satisfacer que ω ≫ kVT i y también que ω ≫ kVTd de modo si despreciamos los términoscorrespondientes la relación de dispersión se simplifica,

−ω2 (k2 +1

λ2De

) + ω2pe k

2 + ω2pe k

2 = 0.

y tenemos,

1 +1

λ2Dek

2−

ω2pd + ω2

pi

ω2k2 = 0

Por último, como ωpd = ωpi

√

mi/md podemos asimismo resultando,

ωDIA(k) = ωpiλDe k

√

1 + k2λ2De

. (25)

Como en el caso anterior podemos definir una velocidad C2DIA = ω2

pi λ2De = nio/neoC

2is

en donde Cis es la velocidad ion acústica clásica. En el caso de que los granos se encuentrencargados negativamente, nio > neo para que exista equilibrio de cargas en el estado no per-turbado. Si desarrollamos en serie [25] para valores pequeños λDek ≪ 1 , la velocidad de faseVθ = ωDIA/k ≃ CDIA > Cis resulta ser mayor que la velocidad ion acústica, mientras quepara granos cargados positivamente se da el caso contrario.

5.3. Otra aproximación a las ondas DIA.

Para determinar las aproximaciones podemos adimensionalizar el polinomio [24]

5.4. Adimensionalización.

Para ver el significado de ambos modos primero hemos de adimensionalizar las ecuaciones[18] desarrollando las potencias y sin efectuar ninguna aproximación llegaremos al siguientepolinomio de cuarto orden ω4 −A(k)ω2 +B(k) = 0 en donde,

A(k) = 3(

V 2T i + V 2

Td

)

k2 + (ω2pi + ω2

pd)λ2Dek

2

1 + λ2Dek

2

B(k) = 9V 2T i V

2Td k

2 + 3(

V 2T i + V 2

Td

)

k2 + 3(

ω2pd V

2T i + ω2

pi V2Td

) λ2Dek

4

1 + λ2Dek

2

Podemos definir una variable adimensional l = λDe k de modo que resulta

24