Introducción a las matemáticas del seguro social de...

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INTRODUCCION A LAS MATEMATICASDEL SEGURO SOCIAL DE PENSIONES

BAJO CONDICIONES DINAMICAS

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

DEL_SEGURO SOCIAL DE PENSIONES

BAJO CONDICIONES DINÁMICAS,

PETER THULLEN

México, 1992

CATALOGACION EN PUBLICACIONCENTRO INTERAMERICANO DE ESTUDIOS DE SEGURIDAD SOCIAL

384.4C163i Centro Interamerieano de Estudios de Seguridad Social.

Mexico (D.F.)Introducci6n alas matematicas del seguro social de pensiones bajocondiciones dinamicas / Peter Thullen; pres. de Juan Garza Ramos.Mexico: CIESS, 1992viii, 83p.: ilus.; 21 em.

Incluye: Selecci6n de tablas aetuariales.ISBN 968-6748-14-8

1. Pensiones - Finanzas. 2. Seguridad social- Finanzas. I. Thullen, Peter. II.Garza Ramos, Juan, pres. III. Matematicas del seguro social de pensionesbajo condiciones dinamicas. IV. Seguro social de pensiones bajo condicionesdinamicas. V. Selecci6n de tablas aetuariales. VI t.

Ninguna parte de esta publieaci6n, inclufdo el disefio de la portada, puede serreproducida, almacenada 0 transmitida en manera alguna, ni por ningun medio, ya seaelectrico, qufmico, 6ptico, de grabaci6n 0 fotocopia con fines lucrativos sin permisoprevio del editor.

Editor: Centro Interamericano de Estudios de Seguridad Social.Calle San Ram6n sin, esq. San Jer6nimo,San Jer6nimo Lfdice,c.P. 10100 Mexico, D.F.Registro 3079

© Dereehos reservados. 1992. Conferencia Interamericana de Seguridad Social yCentro Interamerieano de Estudios de Seguridad Social

ISBN: 968-6748-14-8Disefio de la portada: Jose Luis Fernandez Ledesma.

PRESENTACIÓN

El Centro Interamericano de Estudios de Seguridad Social, órgano de capaci-tación y docencia, realiza acciones que llegan a todos los países americanos y se enorgullece de difundir conocimientos de seguridad social moderna que emanan del análisis constante y la discusión abierta de expertos en la materia.

La preocupación de este Centro por incrementar cada vez más los apoyos académicos que generen la base técnica del desarrollo de las instituciones, ha fomentado el interés por difundir conocimientos por medio de publicaciones técnico-científicas.

El libro "Introducción a las matemáticas del seguro social de pensiones bajo condiciones dinámicas", escrito por el doctor Peter Thullen, presenta caracte-rísticas altamente gratificantes para quienes se dedican al estudio y análisis del financiamiento de los sistemas de pension s de seguridad social, ya que hay escasas publicaciones sobre los aspectos ac uariales vinculados a la seguridad social, lo cual dificulta la transmisión de co ocimientos.

Los métodos cuantitativos aplicados al cálc lo de pensiones, son una rama muy particular de la ciencia matemática que exi e de los lectores conocimientos y dominio de ciertos aspectos básicos de mat máticas avanzadas, tales como del cálculo diferencial e integral y del cálculo a tuarial donde interviene una gran dosis del cálculo de probabilidades.

No obstante lo anterior, el libro está escrito en forma clara, sencilla y ordenada permitiendo al lector que se pueda familiarizar con la terminología y el lenguaje técnico que usa el autor para desarrollar cada uno de los capítulos.

Con esta publicación este Centro de Estudios contribuye a la difusión del conocimiento de la función actuarial en beneficio de los estudiosos, responsa-bles e interesados en la seguridad social.

DR. JUAN GARZA RAMOS Secretario General de la CISS y

Director del CIESS

vi

ÍNDICE

Página

PRESENTACIÓN

CONSIDERACIONES Y DEFINICIONES GENERALES PREVIAS 1

I. GENERALIDADES SOBRE LA ORGANIZACIÓN FINANCIERA DE UN REGIMEN ESTATUTARIO DE PENSIONES 3

La comunidad abierta al riesgo y su fase final relativamente estacionaria

Breve resumen de los principales sistemas financieros del Seguro Social

II. INSTRUMENTOS MATEMATICOS AUXILIARES 13

Observaciones generales sobre conmutaciones e introducción de conmutaciones generalizadas 13

El método continuo 17

Conmutaciones mixtas dinámicas con factores mixtos de descuento 23

Algunos elementos de la teoría de poblaciones 27

III. ESTADOS DEMOGRÁFICOS RELATIVAMENTE ESTACIONARIOS 31

Definiciones y teoremas generales 31

Conjuntos de personas abiertas por un un régimen de pensiones, en estado demográfico relativamente estacionario 35

vii

IV. ESTADOS FINANCIEROS RELATIVAMENTE ESTACIONARIOS . 41

Definiciones y teorema fundamental 41

Estructura matemática de las primas de los tres principales sistemas específicos de financiamiento de un régimen de pensiones en estado relativamente estacionario 45

Teoremas complementarios sobre regímenes de pensiones en estado relativamente estacionario 56

Caso-límite en que la suma de las intensidades de crecimiento a + a es igual a la intensidad de interés 6. Colapso de la ecuación de equilibrio. 59

Conexión entre primas y reservas de los diferentes sistemas financieros de un régimen de pensiones en estado relativamente estacionario 62

V. CONSIDERACIONES FINALES 69

ANEXO: Selección de tablas actuariales 71

DIRECTORIO 76

viii

CONSIDERACIONES Y DEFINICIONES GENERALES PREVIAS

1. Si bien, se dará preferencia generalmente al método continuo, se aplicará el método discreto en algunas demostraciones y en gran parte de los ejemplos, siempre que sea deseable por motivos didácticos y que no se afecte la esencia de los resultados. Al utilizar el método discreto a prestaciones o contribuciones, se supondrá que los respectivos pagos sean anticipados.

2. El término "salario" significará el salario o sueldo o ingreso asegurado, sobre el cual se pagan las contribuciones y, directa o indirectamente, se liquidan las pensiones o partes de las mismas.

3. Las contribuciones o primas comprenden las de los asegurados, de los emplea-dores y, en caso dado, los subsidios del Estado como tal. Si no se indica lo contrario, las primas o tasas de contribuciones se expresan en unidades o como porcentaje de la base de cómputo, es decir del salario asegurado

4. En lo que se refiere a los factores económicos que tienen un impacto directo sobre el financiamiento de un régimen de seguro social, nos limitaremos a la conside-ración del índice de precios y a las del nivel general de salarios (índice de salarios) y de sus variaciones.

5. Se entenderá como ajuste completo o total de las pensiones, el ajuste inmediato, sin atraso y en toda la amplitud, y a las variaciones del índice de precios o, respecti-vamente, del nivel general de salarios o también de otro índice especial de adaptación. Si no se dice expresamente lo contrario, se supone que el ajuste se efectúe al nivel general de salarios.

[ 1 ]

I. GENERALIDADES SOBRE LA ORGANIZACIÓN FINAN-CIERA DE UN RÉGIMEN ESTATUTARIO DE PENSIONES

LA COMUNIDAD ABIERTA AL RIESGO Y SU FASE FINAL RELATIVAMENTE ESTACIONARIA

El financiamiento de un régimen de pensiones se realiza dentro de determinada "comunidad de riesgos", sobre la base de una ecuación de equivalencia entre los medios existentes en el momento de la observación más las probables contribuciones futuras por una parte y las probables prestaciones, por otra.

Si se introduce la noción de la espectativa como el valor descontado o actual de cantidades pagaderas "probablemente" en el futuro por o a personas dentro del contrato de seguro, entonces debe satisfacerse la siguiente ecuación de equilibrio o de equivalencia:

Medios existentes = reserva inicial yo

Expectativas del asegurador a las probables contribu-ciones futuras

Expectativas de los ase-gurados (incluyendo los benefiricarios existen-tes) a las probables pres-taciones futuras

En un régimen de pensiones de derecho privado (no estatutario), cuya existencia permanente no está garantizada por ley, la ecuación de equivalencia se cumple en una comunidad cerrada de riesgos, compuesta por los asegurados activos existentes y de los beneficiarios de una pensión. La organización financiera está concebida en principio de tal manera que, en cualquier instante, en caso de disolución prematura del régimen en las reservas acumuladas sean suficientes para: (a) paga hasta su extinción, las pensiones en curso de pago y las pensiones a sobrevivientes que podrán integrase en el futuro en aquéllas y (b) entregar a cada asegurado activo una indemnización equivalente actuarialmente a sus "derechos adquiridos". Prescindimos

P

4 PETER TRULLEN

aquí de la dificultad intrínseca de definir más exactamente semejante valor equivalen-te, anotando solamente que se considera en general el "sistema de cobertura de expectativas" o "sistema de capitalización completa" como el sistema financiero adecuado para ese tipo de régimen de seguro.

En contraste con un régimen de pensiones de derecho privado, estamos autoriza-dos a suponer que un régimen estatutario y obligatorio de seguro de pensiones posee la calidad de perennidad, es decir de duración ilimitada.

Esta calidad conduce de modo inmediato a la comunidad abierta de riesgos, compuesta: (a) de la generación inicial, es decir del conjunto cerrado de los asegurados y beneficiarios existente en el momento de la observación y (b) del conjunto abierto de todas las generaciones de futuros asegurados, incluyendo en cada uno de los dos conjuntos los sobrevivientes con derecho a pensión, que se originarán en el futuro.

La ecuación de equilibrio (1,1) deberá ahora cumplirse dentro de aquélla comuni-dad abierta de riesgos. Si entonces A, significa el ingreso por contribuciones (primas) y B, los egresos por prestaciones del año t (más exactamente del año [t, t+1)), i la tasa actuarial de interés y y = el factor anual de descuento, y si se refieren A, y B, a la mitad del año, vale en escritura discreta:

(1,2) yo + + = B, ' o

Suponiendo la convergencia de ambas sumas infinitas. En este esquema, así como en todo lo que sigue, se hace abstracción de los gastos de administración, y/o que esto invalide la validez general de las conclusiones.

El colocar las operaciones de un seguro en una comunidad abierta de riesgos constituye el elemento característico de la organización financiera de un régimen estatutario obligatorio de pensiones. Permite salirse del estrecho marco del sistema de capitalización completa en "caja cerrada" y aplicar métodos más flexibles de finan-ciamiento, propios del seguro social, que mejor se adaptan a las condiciones demo-gráficas y económicas del país, a las características de cada régimen dado de seguro y a su grado de madurez. También permiten distribuir, según las circunstancias, las cargas financieras entre las generaciones actuales y las futuras de asegurados.

El tratamiento matemático en comunidad abierta de riesgos implica la adopción de hipótesis que co-determinan el desarrollo demográfico y económico del régimen de seguro en un futuro ilimitado. Las hipótesis de carácter demográfico se refieren de preferencia a los asegurados activos, es decir en principio a los asegurados contribu-yentes, incluyendo en caso dado a los asegurados "latentes", no contribuyentes, pero quienes en consecuencia de contribuciones anteriores han adquirido derechos sin haber originado aún una prestación.) as llamadas poblaciones "secundarias" de las diferentes categorías de beneficiarios: los pensionados por invalidez o por vejez y los beneficiarios de pensiones de sobrevivencia, se originan directa o indirectamente en el conjunto de activos, de conformidad con las bases de cálculo adoptadas; y su desarrollo está determinado por las causas de eliminación, como la muerte, segundas nupcias, el alcanzar una edad preescrita y por las correspondientes tasas de eliminación.

L GENERALIDADES SOBRE LA ORGANIZACIÓN FINANCIERA DE UN RÉGIMEN ESTATUTARIO DE PENSIONES 5

Para la adopción de las hipótesis antes mencionadas, existen dos alternativas principales: En la primera posibilidad, las hipótesis se relacionan directamente con el tamaño y la estructura según sexo y edad de la población de asegurados activos como función del tiempo t; en este caso el número y la distribución de los nuevos entrantes de cada año están pre-determinados por la condición de que el tamaño y la estructura previstas de la población de activos no se alteren.

En modelos desarrollados bajo esta alternativa, se supone frecuentemente, si el grado de madurez lo permite que la distribución relativa según sexo y edad permanece desde el instante de observación constante para en el futuro. Sin embargo, al aplicar métodos más refinados de proyección de año en año (por ejemplo de un régimen en expansión en la fase inicial) será prácticamente inevitable admitir que —una vez transcurrido un número suficiente de años— la estructura según sexo y edad continúe en adelante invariada, o sea que se establezca un estado demográfico relativamente estacionario, si bien se acepta que el tamaño de los conjuntos de las personas abarcadas por el régimen varia con una tasa de crecimiento, que generalmente se supone constante.

En la segunda alternativa las hipótesis se refieren al tamaño y la distribución según sexo y edad de las generaciones nuevas de asegurados activos. En este caso se supondrá que la distribución relativa según sexo y edad de las nuevas generaciones al momento de entrar al régimen de seguro, permanecerá constante, después de haber transcurrido un período de tiempo suficientemente largo. Unicamente de esta manera el probable desarrollo futuro del régimen será accesible a un tratamiento matemático. Por lo demás y siempre en el marco de esta alternativa, la proyección de la generación inicial está determinada por las bases adoptadas de cálculo.

Tomando como base la segunda alternativa, se distinguen claramente dos fases de desarrollo de una comunidad abierta de riesgos:

■ La fase inicial, en la cual predominan al comienzo la generación y las condiciones iniciales. Empero la influencia de las nuevas generaciones se hará sentir poco a poco hasta que se alcance el estado relativamente estacio-nario, determinado enteramente por ellas.

■ La fase final, ilimitada en el tiempo, del estado relativamente estacionario, que primero abarca la población de asegurados activos y luego gradualmente las poblaciones secundarias de beneficiarios.

La segunda alternativa es la más usada y será también preferida en lo que sigue. Ella permite tratar separadamente la generación inicial de las nuevas generaciones, y tiene la ventaja adicional de que es fácil variar las hipótesis relativas a las generaciones nuevas y de esta manera analizar la influencia de las mismas en el financiamiento global del régimen.

En lo que precede se ha concentrado la atención sobre la población afectada por un régimen de seguro social en su proceso de tender gradualmente a un estado demográfico relativamente estacionario. Simultáneamente o con cierto retardo se establecerá un estado financiero relativamente estacionario que será definido más adelante.

6 PETER MULLEN

Ya en los comienzos de la matemática de los seguros de pensiones se utilizaban modelos de estados absolutamente estacionarios. Son modelos en que el número absoluto y la distribución según sexo y edad de los asegurados activos y de las poblaciones secundarias de beneficiarios e, igualmente, los valores absolutos de los ingresos anuales por prestaciones y de la reserva permanecen constantes. Con la introducción de los regímenes de pensiones "dinámicas" y con la creciente importan-cia del sistema financiero de reparto y la dependencia de este sistema de factores demográficos, el modelo del estado absolutamente estacionario, mostró ser inadecua-do, imponiéndose el paso a los estados relativamente estacionarios. En ellos solamente ciertos valores relativos permanecen constantes, mientras que los números y cantida-des absolutas varían con determinadas intensidades. Si estas intensidades son nulas, se obtiene un estado absolutamente estacionario como raso limite.

Los estados estacionarios constituyen modelos abstractos de cálculo, que sin embargo, pueden reflejar con suficiente aproximación la realidad durante largos períodos de tiempo. Su estudio hace visibles interdependencias y tendencias de largo término, que deberían ser tomadas en cuenta en una sana politica de seguridad social y muy en particular del seguro social de pensiones.

Además, esos modelos permiten poner a prueba cualquier variante racional de hipótesis demográficas o económicas y darse así cuenta de las repercusiones de la posible realización de las mismas. De esta manera el dominio matemático de las características de un régimen en un estado relativamente estacionario deviene un importante medio auxiliar para tomar decisiones.

BREVE RESUMEN DE LOS PRINCIPALES SISTEMAS FINANCIEROS DEL SEGURO SOCIAL

Puesto que las características de la organización financiera del seguro social son conocidas la presentación será breve:

El sistema de prima media general

Mientras que la matemática de los seguros sociales reposó sobre bases estáticas de cálculo, la adopción de una comunidad abierta de riesgos y el deseo de tener constantes las tasas de contribuciones en todo el futuro, llevaron automáticamente al sistema de prima media general, es decir de una prima invariada durante el futuro ilimitado. En el pasado éste fue el sistema financiero predominante de los seguros sociales de pensiones, tanto en Europa como en la mayoría de los países latinoamericanos.

I. GENERALIDADES SOBRE LA ORGANIZACIÓN FINANCIERA DE UN RÉGIMEN ESTATUTARIO DE PENSIONES 7

En este sistema, los ingresos por contribuciones A(t ) del año t, se expresan como producto de la suma de salarios G(t ) con la prima II, supuesta constante en todo el futuro. La ecuación de equivalencia (1.2) se convierte en una ecuación de definición de : II

(1,2) Vo + TI r Gt v" = + Bt v"1 o o

o sea:

2 Br zi +7 - yo (1,3) n _

o

La prima media general establece una solidaridad entre la generación inicial y las generaciones futuras, en beneficio de la primera en vista de su distribución desfavo-rable por edad al comienzo del régimen. Conviene aclarar este hecho mediante un ejemplo, calculado por la OIT para el régimen de pensiones de un país latinoamerica-no:

PRIMA, EN % DEL SALARIO

Generación inicial 18.10 Generaciones futuras 10.21 Prima media general 12.61

La aplicación del sistema financiero de prima media general conduce en la fase inicial, a una acumulación considerable de capitales. Sin embargo, semejante acumu-lación no constituye una característica necesaria de dicho sistema financiero, si bien si lo sostiene en la literatura y hasta en documentos oficiales. Es importante aclarar este punto mediante un simple ejemplo:

Se introduce un régimen nacional de pensiones uniformes de vejez en una población estacionaria, cuyo tamaño y distribución por sexo y edad permanecen invariadas. El derecho incondicional a la pensión se origina a la edad de 65, incluyendo las personas que hubieren alcanzado o superado la edad de 65 años a la fecha de entrada en vigor del régimen. Todas las personas entre las edades 20 y 64 sean contribuyentes.

De conformidad con la estructura supuesta de la población, la suma de los montos anuales de las pensiones en curso de pago, permanece constante como función del tiempo, lo mismo vale para el número de contribuyentes y, por ende, para la contribución anual per capita de contribuyente. En consecuencia, la

2 Cr ti *21

8 PETER THULLEN

prima anual de reparto permanece constante desde el inicio del régimen y es, en consecuencia, idéntica con la prima media general, aquí sin acumulación de reservas.

El ejemplo constituye un modelo aproximado de un régimen ya maduro de pensiones, que por circunstancias externas, como guerra o inflación, ha perdido prácticamente sus reservas, que financieramente deberá comenzar —para decirlo así— a cero, sin poder suspender las pensiones ya concedidas o la concesión de las nuevas. Es por ende una situación similar, por ejemplo, a la enfrentada por Alemania en la época de la gran reforma de 1957 de su seguro de pensiones.

El sistema de la prima media general, aún cuando produce grandes reservas no puede ser identificado de manera unívoca por el grado de capitalización o por el grado de dependencia de factores demográficos y económicos. Existen empero tres siste-mas financieros específicos que se prestan a comparaciones interpretables de manera clara y unívoca. Son: el sistema de cobertura de espectativas en una comunidad abierta de riesgos, el sistema de reparto puro y el sistema de reparto de capitales constitutivos.

Los tres sistemas representan tres grados diferentes de capitalización: el de reparto puro con el grado "O", el de cobertura de espectativas con el grado máximum de capitalización en el marco del seguro social de pensiones y, entre los dos extremos, el sistema de reparto de capitales constitutivos con el grado intermedio. Se describirá a continuación cada uno de los tres sistemas.

El sistema de cobertura de espectativas en comunidad abierta de riesgo

Es un sistema bien conocido en las matemáticas clásicas del seguro de pensiones llamado también de capitalización. Aquí se le ubica sin embargo en el contexto de una comunidad abierta de riesgos. Será suficiente presentar el ejemplo de un régimen en que cada nueva generación de asegurados activos ingresa al comienzo del año, todos a la misma edad xo. Sea 11, la prima correspondiente a una nueva generación. Esta "prima de generación" satisface la siguiente ecuación de equilibrio:

Expectativas de una generación, con la Expectativas de la misma

(14)Hro edad de ingreso xo, a las probables su- = generación a las probables mas futuras de salarios futuras prestaciones

Cada generación financia su propio seguro. Primero se acumula una reserva que llega a su máximum cuando las personas todavía activas alcanzan la edad de pensión


de vejez y cesan en el pago de las primas; de alli en adelante la reserva se consume gradualmente hasta que las últimas pensiones (incluso las de sobrevivientes), se hayan extinguido. Mientras tanto, han entrado nuevas generaciones de suerte que la reducción paulatina de las reservas de generaciones anteriores no sólo queda compensada, sino que se está acumulando en el tiempo una considerable reserva global.

El valor de la prima 1-Lo no depende del tamaño de una generación, sino única-mente de la edad x0 de ingreso; en consecuencia, es también independiente de la expansión o de la regresión del conjunto de asegurados. Por otra parte, depende en alto grado de la tasa técnica de interés i (respectivamente de la intensidad S de interés), lo cual se precisará en el Capítulo 4. Ni las pensiones nuevas, ni las en curso de pago pueden ser ajustadas a un creciente nivel general de salarios o al índice de precios, si no disponen de medios suplementarios. Debe también recordarse, que paralelamente al ajuste de las pensiones en curso de pago, deberán ser ajustadas la reserva V!, que respalda dichas pensiones y las prestaciones que éstas últimas pueden engendrar y la reserva V, de los activos que respalda los derechos en curso de adquisición. Si bien no se aplica en general este sistema financiero en el seguro social de pensiones, la prima de cobertura de capitales constitutivos constituye un modelo útil para fines comparativos y su estructura formal matemática adquiere un particular significado comparativo en el marco de la nueva matemática dinámica.

El sistema de reparto puro

En el sistema de reparto puro, en su sentido propio, se determina la prima de un año de tal manera, que el ingreso por primas cubre exactamente los egresos del año. Generalmente se recomienda constituir una reserva de seguridad o de fluctuaciones que podemos ignorar para nuestros fines.

El valor de la prima de reparto depende en alto grado de la relación entre el número de pensiones en curso de pago y el número de contribuyentes, relación llamada el cociente de carga demográfica. En otras palabras, el sistema de reparto se basa sobre la solidaridad del conjunto de asegurados activos con el conjunto de beneficiarios de pensión; el pago continuado de las pensiones no está garantizado por reservas acumuladas en el pasado con las contribuciones de los actuales asegu-rados activos. La muy marcada dependencia del sistema de reparto de la estructura demográfica contrasta con la insensibilidad de la prima de reparto, calculada bajo la hipótesis de condiciones económicas estáticas, frente a variaciones posteriores del nivel general de salarios asegurados, asociadas con el ajuste inmediato y total de las pensiones.

La pérdida de las reservas acumuladas en grandes regímenes nacionales de pensiones por causas diversas, incluyendo guerra y/o de inflación, acoplada con la introducción de pensiones "dinámicas" ajustables periódicamente a las variaciones del nivel general de salarios o del índice de precios, han contribuído a la adopción predominante del sistema de reparto en el seguro de pensiones de hoy.

10

El sistema de reparto de capitales constitutivos

En este sistema financiero la suma de los ingresos por primas de un año es equivalente a la suma de los capitales constitutivos de las pensiones otorgadas en el año (incluso las prestaciones que ellas pueden engendrar). Los derechos adquiridos de los asegu-rados activos no están respaldadas por reserva alguna.

El valor de la prima anual depende en gran parte de la relación entre el número de las nuevas pensiones del año y el número de contribuyentes activos. Sin embargo, es menos sensible a las variaciones demográficas que la prima de reparto que se ve influenciada por el número total de las pensiones en curso de pago. En lo que concierne la sensibilidad frente a variaciones del nivel general de salarios, las nuevas pensiones adjudicadas en el año pueden ser ajustadas totalmente a dichas variaciones, mientras que el ajuste de las pensiones en curso de pago exige medios financieros suplementa-rios.

En consecuencia, el sistema financiero de reparto de capitales constitutivos mantiene una posición intermedia entre el sistema de reparto puro y el de cobertura de espectativas: demográficamente menos sensible que el primero y, en cuanto a ajustes a variaciones económicas, menos sensible que el segundo. A esta posición intermedia, que también se expresa por el grado medio de capitalización, el sistema de reparto de capitales constitutivos conserva aún hoy día cierta importancia —al lado del sistema de reparto puro— en el financiamiento de regímenes de pensiones.

Anotaciones relativas al sistema financiero de períodos de equilibrio

En el sistema de "períodos de equilibrio" se divide el tiempo futuro en períodos de duración determinada, por ejemplo de 10, de 5 o en caso extremo de un solo año, o también en otro caso extremo, se elige un sólo período de duración ilimitada. Para cada período se fija una prima constante durante el mismo de tal manera que al final del período queda una reserva determinada.

Con todo, al proyectar un régimen de pensiones financiado con base en este sistema hacia el futuro ilimitado, es inevitable prever un último período también ilimitado con una prima constante, lo cual implica prácticamente que se acepte la existencia de un estado relativamente estacionario en dicha fase final.

El sistema financiero de períodos de equilibrio constituye —para decirlo así— el sistema general bajo cuyo techo puede colocarse una infinidad de posibles sistemas financieros, mediante una adecuada selección de períodos de equilibrio y de las reservas al final de cada uno de ellos.

PETER THULLEN


El sistema de "primas escalonadas" constituye un tipo peculiar de los sistemas de períodos de equilibrio. Se determina la prima de un período de tal manera, que la reserva adquiere un máximum al final del período, de modo que en este momento hay que aumentar las primas con el fin de evitar la reducción de la reserva.'

APÉNDICE. Complemento relativo al sistema de reparto puro: la ganancia actuarial causada por el atraso del ajuste de pensiones

La exposición completa de las fórmulas específicas relativas al ajuste de las pensiones a variaciones económicas cae fuera del marco de esta obra (para más consultar, manual del autor: MANUAL DE TÉCNICAS ACTUARIALES DE LA SEGURIDAD SOCIAL. OIT/CIESS. Ginebra 1974). Sin embargo, parece necesario entrar en la discusión de un aspecto específico de gran importancia en la aplicación práctica del sistema de reparto puro. El ajuste inmediato sin demora presumido en nuestros modelos, no será posible en la práctica por diversas causas: administrativas, por la demorada elaboración de datos estadísticos relevantes, por la manera de calcular las bases de cómputo de las pensiones a concederse que produce inevitablemente un retraso entre el momento en que se aumenta el nivel general de salarios y el momento de su completa integración en las pensiones. Por ejemplo, en la entonces República Federal de Alemania tal atraso ha sido alrededor de 4 años en la fecha de la introducción de las pensiones dinámicas en 1957; más tarde ha sido reducido gradual-mente.

En el caso de un nivel general de salarios de crecimiento continuado y, por ende, de ingresos crecientes por primas, el atraso del ajuste de las pensiones puede conducir a un "abaratamiento" sensible de la prima de reparto. Lo demostraremos por la siguiente fórmula de ajuste:

Sea = G,

la prima de reparto del año t, correspondiente a los egresos supuestos (estables) B, y a la suma G,de los salarios imponibles (también estables) del año t. Supongamos que la suma de salarios imponibles crezca con el factor intensidad crecimiento anual eb (S = intensidad crecimiento), siendo la nueva suma: G: = G;s '. Si entonces los egresos G, fueren inmediata y plenamente ajustados a G„ la prima de reparto sería nuevamente:

B, e fi e 6' G, 11

1 Ver P. Thullen: "Scaled Premium System for the Pinancing of Social Insurance Pension Schemes. Maximum Periods of Equilibrium". Revue internation. D'actuarial et de statisque de la Sécurité sociales, num. 10, 1964.

12

Cuando al contrario el ajuste se atrasara en n años, la nueva prima designada con (")I-1, satisface la ecuación:

(„)n B, e"-1) e-#18 (1.5) r n G,

La ecuación (1,5) es válida para todo n, entero o fraccionado se llama al factor de abaratamiento o factor de reducción de la prima de reparto.

Apliquemos la relación (1.5) a un modelo simple: Supongamos, que en un régimen de pensiones, la prima de reparto sin atraso del ajuste sea: II = = 0.20 (del salario asegurado). Entonces se obtiene para algunos valores seleccionados de 6 y n:

PRIMA DE REPARTOI011 PARA UN ATRASO DEL AJUSTE EN:

eb 4 años 3.5 años 3 años sin atraso

1.00 0.200 0.2000 0.2000 0.200 1.05 0.165 0.169 0.173 0.200 1.10 0.137 0.143 0.150 0.200

En otras palabras: Un factor de crecimiento anual del nivel general de los salarios asegurados de 1.10 y un atraso del ajuste de 4 años, producen en nuestro ejemplo un abaratamiento de la prima de reparto de 0.200 a 0.137. Una reducción legal de atraso de 4 a 3 años, resulta en un aumento de esa última prima de 0.137 a 0.150. Supuesto ahora que la prima se hubiere estabilizado en el nivel de 0.150, pero que luego el factor anual de aumento de los salarios el' bajara a de 1.10 a 1.05, la prima subiría de 0.150 a 0.169. Si el nivel general de los salarios se volviere constante, la prima adquiriría su valor original de 0.200.

PETER THULLEN

II. INSTRUMENTOS MATEMÁTICOS AUXILIARES

En el examen de regímenes de pensiones dinámicas y de los correspondientes estados relativamente estacionarios, dos instrumentos o métodos matemáticos se muestran particularmente fructuosos: i) las conmutaciones mixtas cuyas partes "demográficas" y, respectivamente, las "partes-rentas" son calculadas, en caso dado, en base de diferentes intensidades formales de interés. En ambos casos se trata de una ampliación de la noción clásica de conmutación y, por tanto, parece útil recordar en un párrafo introductorio (2.1) la esencia de esta noción y, al mismo tiempo, definir una noción generalizada de la conmutación. Además, se explicarán (2.4) algunas fórmulas ele-mentales de la teoría matemática de poblaciones a fin de entender mejor los estados demográficos relativamente estacionarios.

Observaciones generales sobre conmutaciones e introducción de conmutaciones generalizadas

Por razones de integridad de la exposición debo anteponer algunas nociones elemen-tales de la matemática actuarial, que son ampliamente conocidas.

La noción de la "conmutación" la encontramos en los fundamentos de la mate-mática del seguro de vida. Sean

(1,), x = xo.x0 + = O)

anual de descuento. Entonces la expresión

xos x 5 (O = o)

significa el número descontado (a la edad O) de los supervivientes 1, de la edad x. Dr se denomina la primera conmutación o la conmutación de primer orden, perteneciente al orden de supervivencia { ). Por sum aciones sucesivas se obtienen las conmutaciones de orden superior, o sea:

un orden simple de supervivencia, i la tasa técnica de interés y v = r + i al

[13 ]

14

(o- - I N, = D„ = Conmutación de segundo orden,

I o - -1

SY =

o de manera general, de la conmutación ,D,(k -1) de orden k - 1, se obtiene la conmutación MI° de orden k mediante:

o

La misma operación de sumaciones sucesivas se aplica a otras conmutaciones básicas. Si, por ejemplo q, es la probabilidad de que una persona de edad x fallezca en el intervalo [x, x + 1) entonces

C, = /, q, v x.7 = dr +5

significa el número descontado de fallecidos en el intervalo [x, x + 1) referido al centro x + I del intervalo y descontado sobre x + años. Mediante sumaciones

2 sucesivas se obtienen las conmutaciones de orden superior:

„_1 _1

mr 2 C „ t , R„ = 2 M„., , etc. r =o =o

Se procede análogamente en la composición de conmutaciones más complejas, de las llamadas "conmutaciones mixtas", de capital interés en el seguro social. Como ejemplo se escoge la conmutación-base del seguro de pensiones de invalidez:

(2.2.) D: = C:' + 7 , 1 C d'= r iI- 2, X0 5 X < 1l , = {número descontado e de los nuevos inválidos del intervalo. [x, x + 1) (= parte demográfica)), multiplicado por el valor actualde la renta unitaria de invalidez, pagadera por mensualidades anticipadas 2a partir de la edad x + L (= parte-renta).

2

De esta manera es posible construir, en la forma ya explicada, las conmutaciones de orden superior:

= Conmutación de tercer orden

PETER THULLEN


Cual es ahora la esencia del proceso de formación de conmutaciones? Sea dada una conmutación-base caso siempre (más no necesariamente) un valor descontado—la cual parte de una edad fija x que puede concebirse como una función del tiempo t. Por de pronto tomamos funciones discretas de r entera, por ejemplo: „ t = 0, 1, 2, ..., w – x. Sigue la simple operación aritmética de sumación sucesiva. Al preparar una tabla completa de conmutaciones, se comienza la sumación cada vez con la edad más elevada y se obtiene primero la conmutación de segundo orden y luego sucesivamente la de tercer orden, etc.

Hasta aquí las conmutaciones-base utilizadas son las que pudiéramos llamar "biométricas", nacidas directamente de las bases de cálculo. Por otra parte, operamos frecuentemente con funciones de tiempo de índole bastante diferente, por ejemplo la función de ingresos por primas, la función de egresos por pago de prestaciones o también la reserva de un sistema de seguro. La extensión de la noción de conmutación a semejantes funciones de tiempo es de gran utilidad. Por otro lado, la noción generalizada de la conmutación permite derivar relaciones de validez general, que pueden ser aplicables a las conmutaciones clásicas.

Sea dada una función del tiempo t:

F(t), t = 0, 1, 2, ...,

Como conmutación-base se puede tomar la propia función F(t) lo que es más usual, de su valor descontado. Nos limitaremos a la segunda alternativa y definimos

(2.3) Dikl{F} = F(t)

como conmutación de primer orden de la función F(t). La conmutación de orden k = 2 se define por la fórmula de recurrencia:

(2.4) D1k] {1} = r D !k+;11 {P} S O

En analogía con los símbolos acostumbrados se pueden designar las tres primeras conmutaciones superiores con:

D,m{F} = D, {F}, 11) 21{F} = D, {F}, D;310 = D, 13,141{F} = D,

Si no existe peligro de error o de malentendimiento, se podrá suprimir la {F}. Puesto que toda conmutación de orden superior D, se obtiene a partir de la primera

D,") por medio de sumas elementales, es posible expresar D,(kl por medio de los D,` ). En efecto vale por k = 2 según definición:

al- r Nr = 13 2 = Dr +,

15

-o

16 PETER THULLEN

Por inducción de k - 1 a k se obtiene entonces la fórmula general:

(2.5) Dilo — ( k —1

2 )!

.- e

(T+1)(-r+2)...(t+k-2)D, (kk3)

(demostración en el ejercicio 1) Ejemplos conocidos de (2.5) son la fórmula para la tercera conmutación del orden

de supervivencia { /„}

o-x

(2.6) = r ( t+i ) D,,. D,.+2D„.,1 +3D„.2+... (k=3) o

y la de cuarta conmutación

"'-x-2 1 '°-x-2

(2.7) = 2 s.v., -2- 2 +1) (T+2)D,, (k = 4) = o T O

Conviene mencionar la fórmula de suma de las conmutaciones de dos funciones de tiempo F(t) y G(t):

(2.8) Mk1{17 ± G} = Le{F} ± Mki{G}, para todo k.

La fórmula se extiende de esta manera a un número finito de funciones de tiempo2.

Ejercicios

1. Demostrarla fórmula (2.5) para k= 3 y k = 4 con ayuda de un esquema triangular como sigue:

(i). k = 3. En la suma S, = N, „ se descompone cada N„, en la suma de los correspondientes D, (t fijo) y se escriben estas sumas una bajo otra de tal manera que los D,„ con la mismas sean colocados en una misma columna. La solución para k = 3 es entonces inmediata.

(ii). k = 4. Se procede con los S, en T, = 2 S,, de manera análoga reempla-zándolos luego por la suma encontrada en (i).

2. Demostrar la validez general de (2.5) para K = 4. Conviene demostrar prime-ro, por inducción de A — 1 a A, que

(a.+1)(1v+2)...(kk

12

+k-3) = (A+1)(A+2)...(A+k-2) — ),. o

y luego, nuevamente por inducción de k — 1 a k la validez de (2.5).

2 Se recuerda que el mecanismo de formación de conmutaciones generalizadas es aplicable a cualquier función de tiempo (fórmula) como conmutación-base aún cuando no es valor descontado de otra función F(t).

A


El método continuo

En las matemáticas clásicas del seguro se acostumbra efectuar los cálculos con conmutaciones discretas y, en general, a basarse en procesos que se realizan en pasos discretos. Es importante recordar también que las tablas actuariales usuales están graduadas según edades enteras: xo, x4 + 1, x0 + 2, ...

Durante mucho tiempo las matemáticas del seguro social también se basaron en esos mecanismos discretos de cálculo. Sin embargo, el querer presentar de manera discreta también los procesos dinámicos más complejos y a menudo superpuestos, a causa de la dependencia simultánea de factores de crecimiento demográfico y econó-mico, conduce en el caso más favorable, y en ocasiones a fórmulas de aproximación con múltiples elementos de corrección de una pesada y confusa comprensión. Esto se evita al pasar a un tratamiento continuo cuyos resultados se distinguen generalmente por su sencillez y transparencia.

Es útil recordar que las entradas en y las salidas de una población relativamente grande se realizan en pasos casi "infinitesimales" y que ellas se presentan mediante funciones continuas en el caso limite de una población infinitamente grande. Lo anterior es igualmente válido respecto a las variaciones de los precios y de los salarios. Todo esto pone de manifiesto que en principio, el método continuo aproxima los eventos reales mejor que el método usual discreto.

Bien entendido, se trata única-mente de formalizar procesos que se prestan a un tratamiento matemático y de descubrir fórmulas y relaciones que, en la medida de lo posible, ponen en evidencia las hipótesis en que ellas se basan y los efectos que causan.

Si se pasa a la utilización práctica de los resultados así obtenidos, es tarea fácil transcribirlas en escritura discreta a fin de poder utilizar las tablas actuariales dispo-nibles.

Encontramos el método continuo ya en el cálculo del interés compuesto al pasar de la capitalización anual a la capitalización por subperiodos del año y de ésta a la capitalización continua. En vista de que la "intensidad de interés" que así se obtiene, jugará un rol importante, se recuerda a continuación su definición:

El interés anual de un capital de valor "1" al comienzo del año es dado por la tasa de interés i. Se subdivide ahora el año en m partes iguales acumulando los intereses al final de cada uno de los subperiodos. La tasa de interés /4') equivalente a la tasa i se define entonces como aquélla tasa anual que produce exactamente el interés anual i bajo la condición de que se acumulan los intereses al final de cada subperiodo en base de la tasa proporcional De conformidad con la conocida fórmula de interés compuesto se obtiene: 'n

t(m)

1/+-1 = 1+1 = r o

i( m )= {V1

17

18

En el caso límite m oz, se obtiene la tasa anual t de capitalización continua, equivalente a i:

= = Inr = In(l+i) h o

El factor anual de interés r y el factor anual de descuento y son dados respectiva-mente por:

r = v = e 8

es la tasa instantánea de interés o la fuerza o intensidad de interés, equivalente a i. tiene también el carácter de una intensidad de crecimiento, a saber la intensidad

con que crece un capital expuesto exclusivamente a capitalización por interés com-puesto (es decir sin otra clase de ingresos). Si K0 significa el capital inicial en el momento t = 0, entonces el capital junto con sus intereses tiene al cabo de t años el valor:

K(t) = K0 = K0 ebl

La función-capital K(t ) está definida para t entero, más al pasar a la capitalización continua, se puede concebir como una función continua del tiempo t. Por definición, la intensidad de crecimiento de una función derivable cualquiera en n punto t está dado por la relación entre el valor de la derivada de la función y el valor de la propia función en el punto t, o sea por la derivada logarítmica de la función. Aplicando lo dicho a la función capital K(t) se obtiene:

(2.11) K'(t) d lnk (t) K(t) 5

k(t) dt K(t)

De (2.10) podrá obtenerse una fórmula de interés que se necesitará más tarde. El interés /(t„ 12) producido en el intervalo [t,, t2] es dado por:

/(ti, /2) k(t) - K(t2) = Ko (e8`2 — e II')

Esto no es otra cosa que:

i2 f K(t) dt = f Seb̀ Ko dt = Ko f e8'dt = Ko ( — )

La ecuación

(2.12) I( th t2 ) = f 6(t) K(t) dt

sigue válida cuando K(t) significa cualquier función-capital del tiempo t (eventualmente con egresos otros que las intereses) y sigue válida aún cuando S(t) es una función de t.

PETER 'MULLEN


Observaciones

1. Es importante notar que al multiplicar dos factores de crecimiento, se suman las correspondientes intensidades en el exponente de e. Por lo tanto a veces —aún en el método discreto— será más cómodo utilizar, en lugar de la tasa de interés i o el factor de interés r =1 +1 o, respectivamente, del factor de descuento r la intensidad de interés 6 y los factores eh y e-h.

2. Análogamente en el cálculo de intereses se distinguirán, con respecto a una función de tiempo, la tasa de crecimiento y el factor de crecimiento —ambos referidos a la unidad de tiempo— y a la intensidad de crecimiento en un instante t.

Sea f (t) una función dada del tiempo t. Entonces vale:

f (t + 1 - f (t ) =

)

-

tasa de crecimiento de f (t) en el intervalo [t, t + 1).

f (t +f 1 ) ) - f (t) factor de crecimiento en [t, t + 1).

(h ) - f (t + h ) - f (t ) h f (t )

= lim = .ff

f (t) d f(t)

t) dt intensidad de crecimiento en el instante t, referida a la unidad de tiempo.

Si 6 es constante, entonces e6 = r = 1+ i.

Para efecto de las fórmulas relevantes es importante recordar que la intensidad de crecimiento de un productofit ) f,(t ) es la suma de las intensidades parciales:

f (t) = f1(t) f2(t) .1(i) 11(1) f2(t)

Es posible ahora pasar a un simple orden de supervivencia { ir}, que generalmente se presenta como una función de edades enteras. Por otra parte, paralelamente se ha concebido 4 siempre como una función continua de la edad x, tratando de darle una expresión explícita analítica (Por ejemplo, la conocida fórmula de GOMPERTZ-MA-KEI IAM). Para nuestros fines basta suponer que 1„ sea una función continua y, cuando es necesario, una función diferenciable de x, en otras palabras —partiendo de una edad fija x— que I„ , sea una función continua6y diferenciable de t. En consecuencia también la primera conmutación A 11 v= = 1x e- 'es una función continua de la edad x y Dx una función continua del tiempo !.

- tasa media de crecimiento en el intervalo (t, t + h ), referido a la unidad de tiempo.

19

20

Para formar las conmutaciones continuas de orden superior, se reemplaza sim-plemente la suma por la correspondiente integral:

Tí = f Dms ., dt = f Thd o o

S, = f dt = S'I d , o o

o de manera general:

Díkl = f DY`;, 11 dt = f -11(11 o o

Se añade la fórmula del valor actual de la renta vitalicia que se inicia a la edad x:

„

–a, =

D-

1 f

7V =

A fin de evitar confusiones y marcar el carácter continuo de una función o conmutación, se la marca, en caso necesario, con una barra superior.

La noción de la conmutación continua es aplicable, mutatis mutandis, a toda conmutación-base apropiada, por ejemplo Tr; del orden de supervivencia { /7} de activos, LY; del orden de viudas { t:} o también al número descontado de muertos n, etc. Sin embargo, en la conmutación-base C aparece un nuevo elemento, pues las probabilidades anuales de muerte deben ser substituídas por las tasas instantáneas o las intensidades de morir pt, :

(2.15) n=1s t,V, xosx< w

NOTA. La intensidad de morir o, más generalmente, la intensidad de eliminación, podrá ser definida como limite de la tasa media de eliminación en un intervalo de tiempo (x, x + h ) al tender h O, siempre refiriendo dichas tasas a la unidad de tiem po (véase la definición de 6* en la página anterior).

q (x,x + h) – lim - Ir.,, _ d In I, _ O. = lim h_.1 a h h-.0 h l„ dx

jt, representa —para decirlo así— la intensidad (negativa) de la función de supervivencia

Por otra parte, cuando las intensidades p„ son conocidas, se podrá reconstruir el orden de supervivencia { 4} mediante:

(2.16) I, = o también 1,*, = 1,

Cuando el orden de supervivencia depende de dos causas de eliminación: u, y u, por ejemplo la muerte (i l) y la invalidez (u,), pueden construirse dos órdenes

PETER THULLEN


separados { e} y { e j, cada uno de los cuales está sometido a una sola causa de eliminación. Por ejemplo, cuando la causa u2 significa la invalidez, se obtiene el orden { /(;`)/ con u2 como única causa de eliminación, substituyendo en { /„} los fallecidos de una edad por igual número de vivos de la misma edad. La derivada logarítmica de { e) equivale entonces a la intensidad parcial de eliminación, correspondiente a la causa u2:

(2) d In 42) 1.1 – dx

Nótese que la intensidad total de eliminación tix es la suma de las intensidades parciales:

= (1) +µx2)

y que el orden de supervivencia { lj puede presentarse como producto de los órdenes parciales:

I = CO 1 s (" 17) ; i(1) /(2) kr.0 fa°

CO -

En analogía con (2.15) se forma la conmutación —base continua del seguro de invalidez— reemplazando la tasa anual de invalidarse ix por la correspondiente intensidad y, :

(2.17) = 17x xo sxsu.

donde r:/;' = Ax /Ai significa el valor actual de la renta continua de invalidez del monto anual "1", que se inicia a la edad x. Nuevamente:

N°1 = f 15Z o

= f /Trld c/I, etc.

Huelga explicar en detalle como se forman las conmutaciones continuas genera-lizadas. Basta indicar la fórmula de recurrencia de definición:

Dfx11 f ynk - 1] dr

o k a 2.

supuesto el carácter continuo de la primera conmutación D(1), y luego expresar toda conmutación continua de orden superior por la sola conmutación-base Dx

1.5`[ki (k

12

)! fo .rt, -2 Dp.t, dr (2.18) k k 2.

21

22

A continuación la demostración para k = 3 y la simple orden de supervivencia { 4), demostración que ilustra la elegancia del método continuo:

(2.19) ID f0 f0 O). r`;. 1 .

S, = j Ficl= f 4j A cl = jAclIf n= f (1— x)Dg clI= f tD„, dt . z . z . o

Resta la tarea de exponer algunos ejemplos típicos de la manera de convertir una conmutación continua en la correspondiente discreta. Podemos limitamos a conmu-taciones originadas en el orden { /„} y las conmutaciones del seguro de invalidez.

n„ = n y. f la forma continua del orden de supervivencia) está definido de manera unívoca para todo x, x, 5 x 5 co, y valen, = Dr.

Para establecer una fórmula de conversión para

PY = f c/I se explica el teorema del valor medio del cálculo integral a cada intervalo parcial

de un año de edad [ + 1) y se obtiene:

(2.20) -1 1 1 1 ,N.+Nr+, Nr.1 + = N, — 2 D„

Análogamente:

(2.21)

Jx —1 . 2 N (71, D

1 (despreciando zt D, en comparación con S,, i)

(2.22)

TY - 2 T„. 2 -1- iSr+ i + 71 N, =

( despreciando á Nx, L en comparación con L )

Cuando se dispone de tablas basadas en pagos mensuales, se obtiene una buena aproximación con:

(12) (12) (12) 1 (12) (12)

(2.23) N, — N, ; S, — S,„L 2

= S,., + N, ; T. - nal 2

Las mismas reglas se aplican a V,.'," n etc., y a las conmutaciones superiores correspondientes.

PETER THULLEN


Fórmulas análogas de aproximación se aplican a las conmutaciones del seguro de invalidez y a las del seguro de sobrevivientes. Puesto que las tablas discretas de IYr' casi siempre utilizan pagos por mensualidades (ver 2.2), se podrá escribir:

(2.23a) 177 S'rú S7,1, 77: - . Análogamente para Ñ,',"'y /T/;k.

EJERCICIOS

3. Demostrar la fórmula integral (2.18) por inducción de k - 1 a k, notando que la fórmula (2.19) incluye la demostración para k = 3-.

4. Establecer por medio de ejemplos prácticos y con ayuda de las tablas actuariales disponibles el orden de magnitud del error de aproximación en las fórmulas:

1 (12)(12) 7 — N, und SrSr, 1 + 1Dr Sr, 1 Sr, 2 4 2

Conmutaciones dinámicas mixtas con factores mixtos de descuento

En las matemáticas del seguro de pensiones encontramos ante todo conmutaciones-base de carácter demográfico tales como DT = número descontado de activos de edad x, = número descontado de viudas de edad y, o C" 2- +1/2 = número descontado de personas invalidadas en el intervalo de edad [x, x + 1), etc.; o también valores actuales (o capitales constitutivos) de rentas tales como a., , áx , ay o, respec-tivamente, (1%, , (12)d, , (12) al utilizar pagos mensuales. Además de estas conmuta-ciones o valores actuales simples, se usan conmutaciones compuestas de esas conmu-taciones o valores actuales simples o, más concretamente, conmutaciones que se componen de una parte demográfica y de una parte-renta.

Ya tuvimos la oportunidad de conocer la conmutación compuesta- base del seguro de invalidez, cuya composición repetimos en escritura discreta:

(2.24) ni • q2) 1

Dx = C";" = (1," V*5 ü„ 1

{ valor actual de una renta unitaria

número descontado de inválidos de invalidez, agadera r men- nuevos del intervalo de edad x

p po

[x, x + 1) cualidades a partir de la edad x + 1/2

, NOTA. Existen conmutaciones va las veces compuestas, más complejas que Cli.

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c7w:+ = i„aagr wa.+1 1

x + - V 2

=

C'x w.r. = 2 I I =

24 PETER THULLEN

Un ejemplo es la conmutación-base D',7 del seguro de pensiones de viudez, que significa la espectativa de un activo de edad x de causar una pensión de viudez, si la muerte en actividad o la invalidez ocurren en el intervalo [x, x + 1). En fórmulas:

(4.25) (121,

DY = Crw, , (i„"• 2

w-Y

E , o

y donde abs se compone de manera análoga.

También aquí podemos distinguir:

— las rentas demográficas:

1„, aY =

CY ar, 2

DY = 111, 2

número descontado de viudas de hom-bres muertos en actividad en [x, x + 1). el ya conocido número descontado de nuevos inválidos del intervalo [x,x + 1). número descontado de viudas de inváli-dos fallecidos como tales en el intervalo [x, x + 1).

valor actual de una renta unitaria de viudez, pagadera por mensualidades an-ticipadas a partir de la edad y, (aquí sin indemnización en caso de segundas nupcias).

— la parte-renta:

(12) w ay =

En las matemáticas de seguro de vida todas las partes de una conmutación son descontadas en base de la tasa técnica de interés i/o respectivamente, del factor de descuento y = (1 + l)-1 o del factor e"" al aplicar el método continuo, cualquiera que sea la composición de la conmutación dada.

Ahora bien, la siguiente ampliación relativamente simple de la noción clásica de una conmutación, pone en nuestras manos un instrumento potente para el tratamiento de regímenes de pensiones sujetos a condiciones dinámicas de naturaleza demográfica y/o económica. Para efecto de la operación de "descuento" basta substituir la intensi-dad de interés S por intensidades formales de "interés", concretamente por intensida-des de crecimiento demográfico y/o económico o por intensidades combinadas de ambas clases de crecimiento. En caso dado, cuando se trata de una conmutación compuesta, se descuenta la parte demográfica y la parte-renta en base de intensidades


formales diferentes: 61 para la parte demográfica y 6, para la parte-renta. Calificamos tales conmutaciones de dinámicas o, según el caso, conmutaciones mixtas dinámicas. Se indican las intensidades utilizadas como índices superiores. La omisión de estos índices significa que las respectivas conmutaciones fueron computadas en base de la auténtica intensidad de interés 6. Será útil ilustrar la formación de semejantes conmu-taciones formales, simples o mixtas, con la ayuda de algunos ejemplos-tipo.

Ejemplo: En la proyección del desarrollo futuro del nivel general de salarios se acepta con frecuencia la hipótesis de una intensidad constante 6 de crecimiento que equivale a la hipótesis de un crecimiento geométrico. Por razones de mayor simplici-dad ignoramos escalas individuales de salarios, ligadas a la edad. Concretamente, comenzando con la edad de ingreso x0 de un activo, el salario medio crece únicamente en función del tiempo con el factor anual e1. La tarea es determinar la expectativa de un activo de edad x0 a los salarios futuros en su vida de activo.

Sean dados activos de edad x0 en el instante t0 = O con el salario promedio g(x0). Después de haber transcurrido el tiempo t = x - x0, el salario promedio llega —de conformidad con nuestra hipótesis— al valor:

(2.26) g(x) = g(x0) e6('-'° ) = Co e" CO = g (.4)e axa

Aplicando ahora el método discreto y el supuesto de que los "saltos" del salario promedio se realizan al comienzo de cada año, la espectativa de la activos a los futuros salarios, descontados al tiempo t0 = O con base de la intensidad de interés S, es dada por la expresión:

co { + / fo: e-8e° ( + ... + lum l e ( 9

La espectativa de D:: e-8'oactivos es igual a la expresión anterior multiplicado con e-5;, es decir igual a:

co { /Ze-(8-°)'+ (

26

una (8 - a)

vxo: x=nt = f o

reo dr.

Da: ryu j

Ejemplo: El valor de una renta unitaria anticipada de vejez que se inicia en la edad u, es igual a:

Nu E le,- 8 —

Suponemos ahora que la renta sea ajustada al comienzo de cada año al nivel general de salarios que crece con la intensidad. Entonces, el valor actual de todos los pagos comenzando con 1„ rentas iniciales de valor "1", sería igual a:

1„+ e-6 + 2 e-2(6-°) + = eu(1-o) { e-(6-°)" + i„„e (6-0)(o.1) -1-...) = eu(b-° )N.(6--o)

y el valor actual de una renta igual a:

/e') Nu"-°) (2.28)

e-(8-°)1

e-a)

Ejemplo: Sea dada una población que consiste únicamente de supervivientes de asegurados entrados a la edad x0, las entradas ocurren al comienzo de cada año y el orden de supervivencia sea { , x0 s x s u. Suponemos ahora que al comienzo del primer año entren exactamente ko personas en la población y que en adelante el número de nuevas entradas aumente con el factor constante és = intensidad de crecimiento demográfico).

Al cabo de t = u - x0 años habrá una población completa de todas las edades de la estructura siguiente:

1 , , L„

Los L„ son los supervivientes de la primera generación l de entradas y, por ende de conformidad con el orden de supervivencia L„ = I„. Los L„. 1 se componen análogamente de los supervivientes de la segunda generación de nuevos ingresos, igual a e6, es decir, L„ _ 1 = 1„_, e6, etc. La estructura de edad de los L„ es entonces dada por:

a ( " -x.° ) , • ,

Sacando el factor e", se obtiene la estructura relativa de edad:

,... ,axo 1„_ 1 e-a ( u -1) ,1„e-a")

o sea usando las conmutaciones formales dinámicas:

PETER TRULLEN


(2.29) { .19(ron , , , Di») Ignorando una potencia de ea que cada año crece en una unidad en el exponente,

la población total es dada por:

DV ) = Ar{r, )—

Se deja al lector repetir este ejemplo usando el método continuo.

Ejercicio: Para familiarizarse con las conm; —'nnes mixtas dinámicas, calcula algunos ejemplos y compárelos con los correspondientes valores en las tablas respec-tivas del ANEXO.

Ejemplos a calcularse: D°'( 8■ ' a para ea = 1.00, ea = 1.03 (combinación 0%, 3% de tasas de interés) y para x = 20, 30, 40 y 50.

Algunos elementos de la teoría de poblaciones

Los enunciados de este apartado, que pertenecen a la teoría matemática de poblacio-nes, constituye un medio auxiliar para investigar la estructura y el desarrollo de los conjuntos de personas abarcadas por un régimen de pensiones y, al mismo tiempo, un medio auxiliar para la mejor comprensión de los estados demográficos relativamente estacionarios. Ofrece, además, la oportunidad de familiarizarse con ciertos aspectos del método continuo.

Sea dada una población, cuya estructura como función de la edad y del tiempo sea representada por:

L(x ; t), xo sxs u, to s t5 ti .

Si L(x ; t) es una función discreta de las edades enteras x0, x0 +1, ..., u, los valores

(2.30) L(xo ; t) , L( xo + 1 ; t) , , L( u ; t)

representan de manera directa el número de personas de esas edades en el instante t. Decimos que la masa de la población está distribuida sobre dichas edades discretas. Apoyándose en la teoría de la medida o, respectivamente, en la estadística matemática, llamamos L(x ; t) la función de frecuencia y la función:

(2.31) A(x;t) = 2 L(1;t)

la fittición de distribución correspondiente a L(x ; t). A(x ; t) significa el número de personas en el intervalo de edad: x0 s x s u en el instante t.

Cuando ahora se asigna la "masa" O a las edades intermedias no enteras, la función A(x ; t ) está definida para todo x de x0 s xsu es jamás decreciente y tiene en las

27

28

edades discretas XL "saltos" de la altura L(xl ; r ). A( u ; t) es igual a la masa total de la población, es decir igual al número total de personas abarcadas.

La masa de la población que corresponde a un intervalo dado de edad [x„ x2) se expresa de manera directa por medio de la función de distribución:

(2.32) A(xt, x2; t) = 2 L (I;t) = A(x2;t)- A(xi;t) La función de frecuencia L (x ; t) y la función de distribución A(x ; t) se

corresponden mutuamente de manera unívoca. Pasando ahora al método continuo, se puede suponer que la masa total de la

población está distribuida de manera continua sobre el intervalo de edad [x0, u]. Esta distribución está originada por una función continua de frecuencia, llamada también función de densidad, de manera tal, que la función de distribución A(x; t)esté definida como la integral sobre la función de densidad. Designando esta última con L(x ; t ), se define:

(2.33) A(x;t) =fL(„;;t)c/I

= masa de la población o número de personas en el intervalo [x0, x]

En analogía con (2.32) se desprende que la masa de la población en cada intervalo parcial [x„ x2] es representada por la diferencia:

(2.34) A(xi , x2;t) =fL(‘; Mcrg= A(x2;t)- A(xi ;t)

y, además, que la derivada de A(x ; t ) es la función de densidad:

(2.35) As (x;t) = L(x;t)

La ecuación (2.33) y, respectivamente, la ecuación (2.35) ilustran nuevamente que la función de distribución y la de frecuencia están interrelacionadas de manera bi-unívoca.

En lo que sigue preferimos para L(x ; t) el término "función de frecuencia", aplicable al método discreto y al continuo. Generalmente parece ser más cómodo partir de la función de frecuencia de una población que de su función de distribución. En vista de la correspondencia bi-unívoca entre las dos funciones, se denomina a menudo la función de frecuencia L(x ; t) simplemente la función de población o también (algo equivocadamente) función de distribución de la población, lo que en general no se presta a confusión.

Además, en el mismo orden de ideas, muchas veces se identifica la misma población con su función de frecuencia, hablando de la población L(x ;t).

Nace la pregunta básica de cómo el efectivo de una población L(x ; t") en una época dada t" se deriva del pasado a partir de una época t' < t". L(x ; 1") se compone

PETER THULLEN


de los supervivientes de L (x — t" + ; t') si x — (t" — t') > x, (x, = límite inferior de edad) y de los supervivientes de edad x de personas ingresadas en el intervalo [t' , t"] , x — x0 s t" — t'.

Las nuevas entradas sean dadas por la "función de entradas" o función de renovación E (1, T ).

Para nuestros fines, y aún cuando se aplica en principio el método continuo podemos aceptar la hipótesis de que las nuevas entradas se distribuyen sobre edades discretas xo, dentro del método continuo la función de renovación E (x ; T) será función continua del tiempo T. Aún más, en un modelo de cálculo basta por lo general concentrar las nuevas entradas en una sola edad, la edad-límite inferior x0. Para mayor simplicidad lo haremos así en lo que sigue, más teniendo siempre presente que los resultados podrán extenderse sin dificultad al caso de varias edades de entrada y aún a una función de entradas continuas en.

La función de entradas con respecto a la única edad de entrada _ro sca:

(2.37) E (x0 ; to s T S ti

Bajo las suposiciones hechas resta aplicar las probabilidades de supervivencia (o probabilidades de permanencia) correspondientes al orden de supervivientes {1,}

, 1,, (2.38) p (xl ; X2 ) =

y se obtienen las relaciones deseadas para L(x ; t")

(Y; t") = L (x — t" + t' ; t') p (x — t" + t' ; t' ), = E(x0 ;t"—x+x0 ) p(x0 ,x),

si t" — t' S x — xo si t" — t' 2 x — xo

Cuando, para fines de un cálculo práctico, se desea pasar de una distribución continua dada a una distribución discreta (con la distancia de un año de una edad a otra), se ofrecen dos posibilidades: Según la primera se asume que la masa de la población de un intervalo unitario de edad [x, x + 1] está colocada en el centros + z. Aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral a cada uno de los intervalos, se obtienen:

4- I

5L(1.;t)d1,:•- L(x+;t)

y así la distribución discreta:

1 (2.40) {L (x0 + —

2;t); 1.(x0+1-

2;0; L(u— —

2 t

29

que con buena aproximación es equivalente a la distribución continua original.

30

La segunda posibilidad equivale a una distribución según las edades enteras x0, x0 + 1, ..., u. Se la obtiene, de manera aproximada, de la distribución anterior (2.40) mediante las siguientes relaciones:

L(x;t) — 1(L(x— 1;0 + L(x+ 2;I)}

2 2 para x= xo + 1 , , u — 1

L(xo ;t) - 2

L (x0 + 1;0; L(u;t) - L(u— —1

• t) 2

Nótese que la masa total de la población según (2.40) es idéntica a la según (2.41).

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III. ESTADOS DEMOGRÁFICOS

RELATIVAMENTE ESTACIONARIOS

La primera parte del presente capítulo se ocupa de los estados demográficos relativa-mente estacionarios en general, mientras que la segunda parte describe el comporta-miento de los conjuntos de personas abarcadas por un régimen de pensiones, que se hallan en un estado relativamente estacionario.

Para mayor simplicidad, suponemos que las poblaciones consideradas son de un solo sexo. En caso contrario podría repartirse la población dada en dos poblaciones parciales, cada una de un solo sexo, y tratarlas separadamente.

Cuando no se indica expresamente lo contrario, se supone que la función de población sea continua y, en caso necesario, también diferenciable.

Definiciones y teoremas generales

DEFINICIÓN: Una población se encuentra en el intervalo [tú, ti ] en un estado demográ-fico relativamente estacionario o se denomina relativamente estacionaria en dicho intervalo, si la distribución relativa por edad permanece constante en [to,

Esto significa en fórmulas: Si L(x ; t ), x, s x s u es la función de la población relativamente estacionaria, debe existir una función de proporcionalidad cp(t ), depen-diente únicamente del tiempo t. de modo que:

(3.1)L(x;t) = q)(i)L(X;10), xo k X S u, to s t s ti (

La intensidad de crecimiento demográfico d(t ) (para cada t fijo), entonces:

(3.2) a ( r ) - L'i( x ; cp'( t ) d ln cp( t ) L (x ; t) cp( t ) d t

Entre las poblaciones relativamente estacionarias se destacan las poblaciones estables, conocidas por los trabajos de LOTKA en los años 20. Se las define así:

[31 ]

32

DEFINICIÓN: Una población relativamente estacionaria en [to, td se llama estable en [to, tt ], si la intensidad de crecimiento a(t) a es constante en dicho intervalo.

En este caso se deduce de (3.2)

(3.3) cp( t ) = Y

(3.4) L(x;t) = L (x; to)

El crecimiento es exponencial o geométrico.

La relación entre la función de población L(x;t)y la correspondiente función de renovación E (1, ) es de gran importancia. Para mayor simplicidad de expresión llamemos las funciones L(x;t)y E (1, ) estables, si lo son para la misma población y, las generaciones nuevas; esto quiere decir en el caso de E (1,i) las nuevas generaciones poseen una estructura relativa invariable de edad que en el tiempo y una intensidad constante de crecimiento.

Vale:

TEOREMA 1. De la estabilidad de L(x ; t) sigue la de E (1, z ). Si en cambio E (1, i ) es estable, entonces lo será también L(x;t) después de haber transcurrido un tiempo suficientemente largo. L(x ; t) y E (1, ) poseen la misma intensidad a de crecimiento.

Demostraremos el teorema bajo la hipótesis de una sola edad de entrada xo

a) Sea L(x ; t) estable, es decir:

1(x;t+h) = e" L (x; t)

Esto vale en particular en x0 y, por ende, para la función de entradas:

L (x0 ; t+ h) = E(x0 ;t+h) = eah E(x0;t)

b) Sea ahora E (4, t) estable, es decir sea:

E(x0 ;t+h) = e" E(x0 ;t)

Después de haber transcurrido un tiempo suficientemente largo, la población L(x;t) se compondrá únicamente de supervivientes de E (x0 , -r). Entonces:

L (x;t+h) = E(x0 ;t+h—x+xo )p(x0,x) = E ( xo ; t — x + xo) p (x0 ,x)eqh = L(x;t)eqh q. e. d.

No es difícil demostrar que las poblaciones relativamente estacionarias que nos interesan en la práctica, son necesariamente estables. Esto se deriva en cierta manera del teorema 1, puesto que al proyectar una población activa en un espacio ilimitado

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III. ESTADOS DEMOGRÁFICOS


de tiempo, se está casi obligado a aceptar que las nuevas generaciones sean estables después de una fase inicial suficientemente larga.

Además, valen para funciones L(x ; t) y E (1, t ), que sean continuas en edad y tiempo, los siguientes tres teoremas que enunciamos sin demostración.

TEOREMA 2. La población L(x ; t ), xo s x s u, se encuentra en el intervalo t1] en un estado relativamente estacionario. Si además la función de nuevas

entradas E (I, t) tiene una estructura relativa constante de edad en [te, td entonces también L(x ; t) es estable.

TEOREMA 3. La población L(x ; el, xo s x s u, se encuentra en [te, ti ] en un estado relativamente estacionario. Entonces L(x ; t) es estable, si el intervalo [x0, u] contiene un subintervalo 1; tan pequeño que sea e independiente de t, de manera que para todo t, to s t 5 t1, las edades de entrada caigan fuera de I.

Del teorema 1 sigue, que en este caso también E (1, t) es estable con la misma intensidad a de crecimiento de L(x ; t).

La condición adicional del teorema 3 está casi siempre satisfecha, al menos aproximadamente, en una población de activos de un régimen social de pensiones.

TEOREMA 4. Si el conjunto de activos de un régimen de pensiones, así como una de sus poblaciones secundarias (de beneficiarios) se encuentran en un estado relativa-mente estacionario, entonces ambas poblaciones son estables con la misma intensidad a de crecimiento.

Recordando estos cuatro teoremas podemos asumir que, sin restringir la validez general de nuestros resultados, las poblaciones relativamente estacionarias considera-das aquí, sean siempre estables, es decir que tengan una intensidad constante a de crecimiento.

I as poblaciones estables pueden ser representadas —utilizando el orden-base de supervivencia [ 4) y la intensidad de crecimiento a— mediante conmutaciones formales de 4. Lo demostraremos para el caso de una edad única xo de

En efecto: (‘-‘,,,,) lY

L (x; t) = E (x0; t - x + xo) p (xo, x) = E (xo, to) 4,

= k) E (xo; 10) 1 " " „ 1„„ "

Aplicando conmutaciones formales de 1„, "descontadas" en base de la intensidad 3, se obtiene:

(3.5) L ( x ; T ) = Co e '3( ,(),,( a), xo sxsu

donde c0 = E (x o ; t°) esuna constante independiente de t.

D" ) Poniendo en (3.5)X = x„, la función de entrada adquiere la forma:

33

34

(3.6) L ( xo ; = E ( xo ;r) = co D, „a) = E (xo ; to ) e a ('-')

La masa total de la población es ahora representada por la segunda conmutación en la época t (a continuación en escritura continua):

(3.7)

A ( t ) = co ea =

Como ya se indicó, una población del tipo (3.5) es geométrica. En el caso límite a = O, se convierte en una población "natural": L(x ; t) = co

NOTA: En el caso de varias edades discretas de entrada, se obtiene una superpo- sición de poblaciones parciales geométricas y, en el caso de una función de entradas E (1, t ) continua en a, una población geométrica generalizada del tipo:

L (x ; t) = (') g(x) d„( a) , x0 s x s u

donde g(x) es una función no negativa y jamás decreciente de x.

Ejercicio. El teorema 2 es válido por lo pronto, únicamente para una función de entrada E (1, t) continua en y T.

a) Demostrar la validez del teorema 2 en el caso de una sola edad de ingreso, siendo E (x0 , t) función continua en t.

b) Demostrar la validez del mismo teorema para el caso de varias edades discretas de ingreso: xo, x1, ..., x, _ 1, siendo E (x, r) función continuade T.

Directivas para la solución.

Los esquemas de demostración de (a) y (b) son iguales. Nótese que:

)L(x;t)

cp(t+h L(x;t+h) =

cp(t)

y que (con x0 como única edad de entrada)

L(x;t+h) = L[xo ;t+h—(x—xo )] p(xo ;x)

Etc. Finalmente se encuentra:

( t ) — constante = a

cp cp' ( t)

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III. ESTADOS DEMOG RÁBICOS


Conjuntos de personas cubiertas por un régimen de pensiones, en estado demográfico relativamente estacionario

Para mayor simplicidad de presentación nos limitaremos nuevamente al caso de una sola edad de entrada xo en la población de activos, sin que ello signifique una restricción sensible de la validez general de los resultados. La función de las nuevas entradas a la población activa sea estable y tenga, en consecuencia, la forma (ver 3.6):

(3.8) E ( xo , ) = co Dr(' ) ((o = 0 ) De conformidad con el teorema 1 también la función L"(x ; t) de los activos en

una época t se vuelve estable para t suficientemente alto:

(3.9) (x ) = co e" DT: ( , xo S X5 u

Además, eventualmente después de otro lapso, las poblaciones secundarias originadas en la población activa, se vuelven igualmente estables, todas con la intensidad a de crecimiento. Son la población de los beneficiarios de la pensión de invalidez, la de los pensionados por vejez y las diferentes categorías de beneficiarios de pensiones de sobrevivencia.

Nos proponemos determinar el número de personas en cada una de esas pobla-ciones, apenas se encuentren en un estado relativamente estacionario.

De esta tarea es bastante simple, cuando se trata de la población de activos. De conformidad con lo ya demostrado (véase también 3.7) vale en escritura continua:

(3.10)

A"' ( t ) = f L"" ( x ; t ) cbc = co = f Df (ndx = co e" Kr::(:)

Esta expresión puede concebirse como la expectativa normal de c, e" D7(8) activos a la renta unitaria de activos, donde la intensidad de interés 6 es simplemente reemplazadareemplazada por la intensidad formal de "interés" d.

En efecto, recordando la noción de la renta de activos en las matemáticas clásicas del seguro de pensiones, que consiste en pagos anuales anticipados de "1" a los l' activos al inicio y a todos los supervivientes activos de edad x, x„ s x s u, la suma de pagos descontados con la intensidad de interés 6 es igual a:

- N' re- 8 (

Esta sería, en consecuencia, la espectativa de activos a la renta unitaria de actividad, la cual multiplicada con e ''"0 da por° resultado la espectativa de

e 6'0 = DZ: activos:

35

36

„_, 1`'e

zo Naaro

Pasando al método continuo, se obtiene:

(3.10a) f dx =

En otras palabras, las expresiones (3.10) y (3.10a), ignorando el factor tiempo tienen formalmente la misma estructura matemática, es decir (3.10a) equivale

formalmente a la espectativa de D"(e) activos a la renta unitaria de actividad, descontada en base de la intensidad formal de interés a.

Se puede demostrar cosa análoga con respecto a cada una de las poblaciones secundarias. Vale pues:

TEOREMA 5. La población de activos y las poblaciones secundarias de las diferentes categorías de pensionados de un régimen de pensiones de vejez, invalidez y sobrevivientes se encuentran en un estado demográfico relativamente estacionario. La función de nuevas entradas sea E'(x,;t) = D7 9). Entonces el número de activos o, respectivamente, el número de beneficiarios de determinada categoría de pensión en la época es igual a la espectativa formal de E'(x0 ;t) activos de la renta unitaria continua de activos o, respectivamente, a la renta unitaria continua de la categoría relevante de pensiones, calculando dichas espectativas mediante conmuta-ciones formales basadas en la intensidad formal de interés a.

El teorema puede ser extendido sin dificultad a funciones estables de nuevas entradas, referidas a varias edades discretas de entrada, mediante la sumatoria de las correspondientes espectativas parciales.

Designamos el tamaño de las diversas poblaciones con A'(t ) = activos, A(')(t ) = pensionados por vejez, A'(t ) = pensionados por invalidez, Av(t) = viudas y Ak(t ) = huérfanos. Para mayor simplicidad de las fórmulas suponemos que las pensiones por invalidez, las de viudas y las de orfandad scan otorgadas sin exigir un tiempo mínimo de contribuciones previas y que las espectativas correspondientes a la viudez excluyen la indemnización en caso de segundas nupcias. Entonces el teorema 5 se expresa en fórmulas de la siguiente manera:

( t ) = co e'' 7V7 (±» A(') (t) = co eg' D1(' )71a-(' ) A(' ) (1)= coe2' yri(a)

A" ( 1) = co N,0:" "

Ak ( t ) = co e" in"

(3.11)

PETER THULLEN

ESTADOS DEMOGRÁFICOS


Ya se presentó la demostración de la fórmula para int ), igualmente fácil es la demostración para A"(t ). Sensiblemente más laboriosas resultan las demostraciones para las demás fórmulas, debiendo utilizarse el método continuo si uno no desea perderse con el método discreto en dificultades casi insuperables.

A continuación se presenta la demostración* para el número Ai(t ) de inválidos con x0 como edad inicial del orden de activos. Constituye, al mismo tiempo, el prototipo de demostración para Ak"(t ) y Ak(t ). Además ilustra la generación de poblaciones secundarias de la población básica de activos, la definición de conmuta-ciones dinámicas en el seguro de invalidez y finalmente el elegante mecanismo demostrativo del método continuo.

Suponemos que la población de inválidos haya alcanzado el estado relativamente estacionario. La función de L"(x; t), continua en x y t origina la siguiente función de renovación de inválidos n = intensidad de invalidarse a la edad 1:

(3.12) ( ;T) = co a ) = co 1r ( a )

Sip1(x,, x-,) es la probabilidad de que un inválido de edad x, permanezca en estado de invalidez hasta la edad x„ se obtiene para x 5 u.

La función de los inválidos supervivientes del tiempo 1:

(x;t) = co fDr(a) e“'"I ) np(I,x)dI

=ea( f lr

La integral es exactamente el número de personas que se invalidaron a partir de r: activos y que superviven la edad x como inválidos. Es decir la integral es el conocido valor e (ligado con el orden de activos) y por ende:

(x; t) = x0 5 x 5 u. **

Lo anterior vale por ahora para x 5 u. Puesto que en x a u no se generan nuevos inválidos (en el sentido del orden de activos y del de inválidos), póngase simplemente:

Si se introducen ahora las nuevas conmutaciones:

* Podrá ser omitido en la primera lectura.

** Se recuerda que + /;f = En algunas obras se designa con

37

38

Di(a)

e = f .N11 4 . = f (.3) vl (d) • a, xosxu E1

= DI" ) x > u y( )

Y

(3.13a) fDl ,n4

se obtiene, en analogía con la funciónL"(x ; t ) de activos, la función de inválidos Li(x ; t).

(x ; t ) = co e't , xo s x s 00

y luego el número total de inválidos al instante t:

A' ( t ) = c, 2■71".,,( )

Falta aun probar que:

iTe(a), 757f(a)

En la siguiente demostración, que utiliza exclusivamente la conversión de inte- grales, se omite para facilitar la escritura del índice superior (a). En efecto, se puede escribir:

u

= f Dfar + f D:dx

u u Di m Di

f dx f + D: f .0 .0 u Du

El. • = f D

•

r'n dx + f Drn A f D dx 13‹

= 5 Drn A dx = Drn xo

= 5 D

• -

1' = N Z• „_, = q. e. d.

PETER THULLEN ,

HL ESTADOS DEMOGRÁFICOS


Nótese que el teorema 5 es de naturaleza meramente demográfica y enteramente independiente de la estructura particular del régimen dado de pensiones. Nótese también que en partes de la teoría matemática de poblaciones se pueden utilizar con ventaja símbolos de la matemática de seguros.

Además de su contenido informativo inmediato, el teorema 5 permite pre-calcular para la fase del estado demográfico relativamente estacionario un elemento sumamen-te importante en la práctica del financiamiento de un régimen de pensiones, el ya mencionado cociente de carga demográfica y definido como

Número de beneficiarios de pensión Y =

Número de activos

Ejemplo. Sean O = O (tamaño constante de cada una de las poblaciones), x0 = 65 (edad pensionable) y u = 100 000. Aplicando las tablas pertinentes del Anexo (a la tasa de interés "0") y recordando las reglas de transformación de las conmutaciones continuas en conmutaciones discretas se obtiene:

(1)

A' NI(°)-7 ,4108820 D'61(°) ih)°5) = 749546

A' NIom = 539565 — = 900010

Ak = 68007

de donde:

2257128 Y 4108820

— 0,55

Con frecuencia se utiliza también el cociente "ponderado" de carga demográfica, asignando "pesos" a las diferentes categorías de pensiones que dependen de la estructura del régimen de pensiones (por ejemplo el peso "1" a las pensiones de vejez y de invalidez, el peso 0.60 a las de viudez y el peso 0.20 a las pensiones de orfandad). El cálculo de ese cociente no presenta dificultad alguna.

Ejercicio: Demostrar la validez del teorema 5 para el número A" de las pensiones de vejez, utilizando tanto el método discreto como el continuo.

Ejercicio: A fin de apreciar concretamente la influencia de la intensidad a de crecimiento demográfico sobre la carga financiera de un régimen de pensiones, complétese el ejemplo de arriba con el cálculo del cociente de carga demográfica en el estado relativamente estacionario para e' = 1.01 y para e' = 1.03.

39

IV. ESTADOS FINANCIEROS RELATIVAMENTE ESTACIONARIOS

Definiciones y teorema fundamental

l as funciones que se definen a continuación son continuas y, en caso necesario, también diferenciables.

Denominaciones

A(t) = Función de ingresos por primas (contribuciones). Puede ser concebida como función de densidad. El ingreso por primas en el intervalo [ti, t2] es dado por la integral

f A(t )dt. Si 1-1(t ) designa la prima, en unidades del salario asegurado, y G(t) la suma de

salarios asegurados, entonces:

A(t) = 11(1) G(t).

B (t) = Función de egresos por prestaciones V (t ) = Reserva en el instante t.

Las correspondientes intensidades de crecimiento son:

' (4.1) a„ (1) =

A (t ) ; aB

(t ) ( v (` ) ,

si V (t ) O. A (t ) B (t ) t lz ((e; '

Cuando en el caso inverso, las intensidades son conocidas, se pueden reconstruir las respectivas funciones definidas arriba con ayuda de relaciones del tipo:

(4.2) A (t ) = A (to )

42

Análogamente para B (r) y V (t).

Las tres funciones A (1), B (t) están interrelacionadas mediante una conocida ecuación fundamental que se obtiene así:

V (t + h )- V (t) = Intereses + Ingresos - Egresos en [t, t + h ]

f {S (t ) V(t )+ A (t)- B(t)}dt .

Aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral y dividiendo luego por h, resulta:

v (t + h)- V (t) - 6 ) ver ) A - B(t) ts ts t+h

Pasando al límite cuando h = O, se obtiene la deseada ecuación diferencial:

(4.3) V '(t ) = (t ) V (t ) + A (t)- B(t)

Puesto que según la definición de a, (t )

= 6,,(t)V(t),

Se puede transformar (4.3) en

(4.4) V (t ) 6 (t) - a, (r)} = B (t) - A (t) .

Por lo pronto suponemos V (t ) pe O y definimos:

DEFINICIÓN. Un sistema de seguro se encuentra en un estado financiero relativamente estacionario en el intervalo de tiempo [t,, t2 ] si las intensidades de crecimiento de las funciones A (t), B (t) y son V( t ) son iguales, es decir cuando:

(4.5) 8A (t) = 88 (t) = av (r) = 1(t )

1 (t) se llama la intensidad de crecimiento o de expansión del estado financiero relativamente estacionario.

De las ecuaciones (4.4) y (4.2) se deduce considerando siempre que V (t ) x O:

(4.6) 6 (t) - (t) = = B (t) - A (t) B (to) - A (to)

- constante. V (t) V (to )

mientras dure el estado financiero relativamente estacionario.

Se concluye:

TEOREMA 6. (TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ESTADO FINANCIERO RELATIVAMENTE ESTACIONARIO). Durante un estado financiero relativamente estacionario en el intervalo [lo, ti ] con V (t ) m O, la diferencia 6' = 6 ( t)- (1) permanece constante.

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IV. ESTADOS FINANCIEROS RELATIVAMENTE

ESTACIONARIOS

43

Si en particular la intensidad de interés 6 es constante, lo es también 9' (t) = , de suerte que las funciones A (t), B (t) y V (t ) crecen geométricamente con la intensidad J.

Mientras dure el estado financiero relativamente estacionario, la ecuación (4.4) podrá ser escrita en la forma siguiente:

(4.7) V (t ) { 6 (t) - (t )) = V (t ) 6' = B (t ) - A (t), 6' = constante Vale la pena examinar más de cerca esta ecuación. Para comprender mejor las

conclusiones que de ella pueden derivarse, partimos del estado absolutamente esta-cionario ya conocido en la matemática clásica del seguro. Durante semejant

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