TF RTF

Introducción a las RepresentacionesTiempo-Frecuencia

Transformación de Fourier Fraccionaria

Rafael Ángel Torres Amarís

GOTSEscuela de Física

Universidad Industrial de Santander

Pamplona, Marzo 27, 2009

TF RTF

Contenido1 Transformación de Fourier2 Representaciones Tiempo-Frecuencia3 Transformación de Fourier Fraccionaria4 Filtrado en Tiempo-Frecuencia

TF RTF

Transformación de Fourier

DefiniciónTransformación de Fourier

F (ν) =∫ ∞−∞

f(t)e−i2πνtdt , (1)

f(t) =∫ ∞−∞

F (ν)e+i2πνtdν . (2)

tν

f(t) F(ν)F

TF RTF

Filtrado

t

f(t) F(ν)F

ν

t

h(t) H(ν)

t

∗

f ′(t) =∫∞−∞f(τ)h(t− τ)dτ

ν

ν

×

F′(ν) = H(ν)F(ν)

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Localización en Frecuencia

La transformación de Fourier es un tratamiento localizado enfrecuencia.

F(ν)

t

δ(ν − ν0)

ν0F−1

t

???

ν

ν0

cos(2πν0t)

Dirac

f(t)F

ν

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Resolución en Tiempo y Frecuencia

f(t) perfecta resolución temporal

Una representación temporal f(t) de una señal, puede serconsiderada como una representación con perfecta resolucióntemporal.

F (ν) perfecta resolución espectral

Una representación frecuencial F (ν) de una señal puede serconsiderada como una representación con perfecta espectralresolución.

tν

f(t) F(ν)F

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Señales no-estacionarias

Son señales cuyas componentes frecuenciales varían en el tiempo.

t

t

t

s(t)

r(t)

x = s + r

R(ν)

X = S + R

ν

ν

S(ν)

ν

Ruido

Señal

TF RTF

Representación Tiempo-Frecuencia

Tiempo

Frecuencia

Ruido

Señal

TF RTF

Representación Tiempo-FrecuenciaLas representaciones Tiempo-Frecuencia en general son unrediseño de la transformación de Fourier.

Formas Lineales1 Transformación de Fourier Ventaneada

Transformación de Fourier en Tiempo CortoTransformación de Gabor

2 Transformación en Ondeletas3 Transformación de Fourier Fraccionaria

Formas Cuadráticas1 Espectrograma2 Escalograma3 Distribución de Wigner-Ville4 Función de Ambigüedad

TF RTF

Representación Tiempo-FrecuenciaLas representaciones Tiempo-Frecuencia en general son unrediseño de la transformación de Fourier.

Formas Lineales1 Transformación de Fourier Ventaneada

Transformación de Fourier en Tiempo CortoTransformación de Gabor

2 Transformación en Ondeletas3 Transformación de Fourier Fraccionaria

Formas Cuadráticas1 Espectrograma2 Escalograma3 Distribución de Wigner-Ville4 Función de Ambigüedad

TF RTF

Representación Tiempo-FrecuenciaLas representaciones Tiempo-Frecuencia en general son unrediseño de la transformación de Fourier.

Formas Lineales1 Transformación de Fourier Ventaneada

Transformación de Fourier en Tiempo CortoTransformación de Gabor

2 Transformación en Ondeletas3 Transformación de Fourier Fraccionaria

Formas Cuadráticas1 Espectrograma2 Escalograma3 Distribución de Wigner-Ville4 Función de Ambigüedad

TF RTF

Formas Lineales

DefiniciónTransformación de Fourier Ventaneada

Fw[f ](t, ν) =∫ ∞−∞

f(t′)w(t′ − t)e−i2πt′νdt′ , (3)

f(t) =∫∫ ∞−∞

Fw[f ](t′, ν)w(t− t′)e+i2πtνdνdt′ , (4)

donde w es la función ventana.

t′

f(t′)

t

w(t′ − t)

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Transformación de Fourier en Tiempo Corto

DefiniciónFunción ventada rectangular

rect

(t− t0

∆t

)={ 1/∆t t0 −∆t/2 ≤ t ≤ t0 + ∆t/2

0 fuera(5)

Fw[f ](t, ν) =∫ ∞−∞

f(t′)rect(t′ − t∆t

)e−i2πt

′νdt′ . (6)

∆ν∆t ≥ 14π

, Relación de IncertidumbreHeisenberg-Gabor

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Transformación de Fourier en Tiempo Corto

DefiniciónFunción ventada rectangular

rect

(t− t0

∆t

)={ 1/∆t t0 −∆t/2 ≤ t ≤ t0 + ∆t/2

0 fuera(5)

Fw[f ](t, ν) =∫ ∞−∞

f(t′)rect(t′ − t∆t

)e−i2πt

′νdt′ . (6)

∆ν∆t ≥ 14π

, Relación de IncertidumbreHeisenberg-Gabor

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Transformación de Gabor

DefiniciónFunción ventada gaussiana

gauss

(t− t0

∆t

)=

21/4

√∆t

e−πt2

∆2t (7)

Fw[f ](t, ν) =∫ ∞−∞

f(t′)gauss(t′ − t∆t

)e−i2πt

′νdt′ . (8)

∆ν∆t =1

4π, Máxima resolución

Tiempo-Frecuencia

TF RTF

Transformación de Gabor

DefiniciónFunción ventada gaussiana

gauss

(t− t0

∆t

)=

21/4

√∆t

e−πt2

∆2t (7)

Fw[f ](t, ν) =∫ ∞−∞

f(t′)gauss(t′ − t∆t

)e−i2πt

′νdt′ . (8)

∆ν∆t =1

4π, Máxima resolución

Tiempo-Frecuencia

TF RTF

Resolución Tiempo-Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia

Tiempo Tiempo

w(t) = rect(t) w(t) = gauss(t)

∆ν

∆t ∆t

∆ν

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Filtro Variante en el Tiempo

Gabor

Tiempo−Frecuencia

Filtro

T. Gabor Filtrada

Gabor Inverza

Señal con ruido Señal filtrada

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Transformación en Ondeletas

DefiniciónTransformación en Ondeletas

Ww[f ](t, τ) =∫ ∞−∞

f(t′)wτ (t′ − t)dt′ = (f ∗ wτ )(t) , (9)

donde wτ (t′ − t) = 1√τw( t

′−tτ ) es la función ventana.

t′

w(t′ − t)

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Transformación de Fourier Fraccionaria

DefiniciónTransformación de Fourier fraccionaria

Fαf(ν ′) = Cαe−iπν′2 cotα

∫ ∞−∞

f(t)e−iπt2 cotαei2πtν

′/ senαdt . (10)

Para α = π/2 se tiene

Fπ/2f(ν) =∫ ∞−∞

f(t)ei2πtνdt . (11)

TF RTF

Transformación de Fourier Fraccionaria

DefiniciónTransformación de Fourier fraccionaria

Fαf(ν ′) = Cαe−iπν′2 cotα

∫ ∞−∞

f(t)e−iπt2 cotαei2πtν

′/ senαdt . (10)

Para α = π/2 se tiene

Fπ/2f(ν) =∫ ∞−∞

f(t)ei2πtνdt . (11)

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Transformación de Fourier Fraccionaria

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Formas Cuadráticas

DefiniciónEspectrograma

Pw[f ](t, ν) = |Fw[f ](t, ν)|2 . (12)

DefiniciónEscalograma

Sw[f ](t, τ) = |Ww[f ](t, τ)|2 . (13)

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Distribución de Wigner-Ville y Función de Ambigüedad

DefiniciónDistribución de Wigner-Ville

W [f ](t, ν) =∫ ∞−∞

f(t+

τ

2

)f(t− τ

2

)e−2iπτνdτ . (14)

DefiniciónFunción de Ambigüedad

A[f ](t, ν) =∫ ∞−∞

f

(τ +

t

2

)f

(τ − t

2

)e−2iπτνdτ , (15)

dondeA[f ](t, ν) =

∫ ∞−∞

W [f ](t′, ν ′)e−2iπ(t′ν−tν′)dt′dν ′ . (16)

TF RTF

Distribución de Wigner-Ville y Función de Ambigüedad

DefiniciónDistribución de Wigner-Ville

W [f ](t, ν) =∫ ∞−∞

f(t+

τ

2

)f(t− τ

2

)e−2iπτνdτ . (14)

DefiniciónFunción de Ambigüedad

A[f ](t, ν) =∫ ∞−∞

f

(τ +

t

2

)f

(τ − t

2

)e−2iπτνdτ , (15)

dondeA[f ](t, ν) =

∫ ∞−∞

W [f ](t′, ν ′)e−2iπ(t′ν−tν′)dt′dν ′ . (16)

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Proyección integral de la distribución de Wigner-Ville

∫RW [f ](x, y)dy = |f(x)|2

∫RW [f ](x, y)dx = |F (y)|2 . (17)

Figura: Proyección integral de W [f ].

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Rotaciones de la distribución de Wigner-Ville

W [Fαf ](x, y) = W [f ](x cosα− y senα, x senα+ y cosα) . (18)

Figura: Trans. de Fourier fraccionaria y la distribución de Wigner-Ville.

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Rotaciones de la distribución de Wigner-Ville

TF RTF

Filtrado en la Transformación de Fourier fraccionaria.

Figura: Densidades espectrales fraccionarias

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Representación Tiempo-Frecuencia

TF RTF

Filtro Variante en el Tiempo

Gabor

Tiempo−Frecuencia

Filtro

T. Gabor Filtrada

Gabor Inverza

Señal con ruido Señal filtrada

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Convolución fraccionaria

DefiniciónConvolución fraccionaria de orden α

[f ∗α h](t) =∫ ∞−∞

f(t′)h(t− t′)ei2πt′(t−t′) cotαdt′ . (19)Frecuencia

Tiempo

h

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Filtro de Óptimo fraccionario

Se propone el filtro, de respuesta percusional h, que aplicado aXω = Sω +Bω, en general, minimice el error cuadrático medio

z2(α) = E{| [Xω ∗α h] (t)− Yω(t)|2} . (20)

Luego

Ecuación de optimización

[Y ~α X](σ) =

tf∫ti

h(θ)Tθ;α[X ~α X](σ)e−iπθ2 cotαdθ . (21)

Caso particular: ecuación de Wiener-Hopf para α = π/2.

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Filtro de Óptimo fraccionario

Se propone el filtro, de respuesta percusional h, que aplicado aXω = Sω +Bω, en general, minimice el error cuadrático medio

z2(α) = E{| [Xω ∗α h] (t)− Yω(t)|2} . (20)

Luego

Ecuación de optimización

[Y ~α X](σ) =

tf∫ti

h(θ)Tθ;α[X ~α X](σ)e−iπθ2 cotαdθ . (21)

Caso particular: ecuación de Wiener-Hopf para α = π/2.

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Filtro no causal

Señal Yω = Sω y Sω y Bω no correlacionados

Hα =SαS (να)

SαS (να) + SαB(να)e−iπν

2α cotα . (22)

La dependencia con el orden fraccionario α lo convierte en un filtroadaptativo.

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Aplicaciones

Radar/Optics (continous CFrFT)1 chirp-component detection2 pattern recognition (fractional correlation)

Image Processing (discrete CFrFT)1 chirp-component detection2 pattern recognition (fractional correlation)3 blurred image restoration (fractional filters)4 digital correction of slightly defocused astronomical images5 image coding (fractional DCT)

Communications (discrete CFrFT)1 modulated multi-path problems (fractional filters)2 ???

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GRACIAS