IntroducciónalaTeoríadeNudos Unenfoquecomputacionalusando …mmtoro/doc/nudos/... · 2018. 8....

Introducción a la Teoría de Nudos

Un enfoque computacional usando Mathematica

Margarita María Toro VillegasUniversidad Nacional de Colombia-Sede Medellín

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RESUMEN Trabajo de semestre sabatico 2016

Contenido

1. Introducción 71.1. Organización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Una visión informal de nudos y enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Nudos y enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2. Taller de motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3. Modelamiento del concepto de nudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Breve historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I Conceptos básico de nudos y enlaces 25

2. De�nición de nudos y formas de representarlos 272.1. Nudo, enlace y su proyección regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.2. Tipos de diagramas de nudos y enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3. Equivalencia de enlaces y movimientos de Reidemeister . . . . . . . . . . . . . . 332.1.4. Enlaces ascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Codi�cación 373.1. Codi�cación de Tait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Código Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1. Implementación en Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3. Código Dowker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.1. Implementación en Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4. De código de Dowker a diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Aritmética de enlaces 534.1. Imagen espejo e inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Suma conexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3. Implementación en Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5. Familias de enlaces 595.1. Enlaces toroidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2. Nudos Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3. Enlaces de dos puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3.1. Distintas presentaciones para enlaces de 2-puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.2. Clasi�cación de enlaces de 2-puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 Contenido

5.4. Enlaces racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.5. Enlaces Pretzel P (a; b; c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6. Primeros invariantes de nudos y enlaces 716.1. Número de cruces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2. Número de puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3. Linking number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.4. Genero de un nudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.5. Ejercicios de descubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7. Familiares de los nudos 797.1. Ovillos o enredos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.1.1. De�nición de tangles racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.1.2. Aritmética de tangles racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.1.3. Propiedades de tangles racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.2. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2.2. Grafos Planares y no Planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2.3. Grafos espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3. Trenzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.3.1. De�nición y presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.4. Relación entre nudos y trenzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.5. Nudos combinatorios y nudos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Introducción 1077.5.1. Nudos combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.5.2. Nudos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

II Otros invariantes de nudos 115

8. El grupo y el quandle de un enlace 1178.1. El grupo de un enlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2. Implementación en Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.3. Sistema periferal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.4. Quandles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9. Polinomios Invariantes 1299.1. Polinomio de Alexander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.2. Polinomio de Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.2.1. Algunas propiedades del polinomio de Alexander-Conway . . . . . . . . . . . . . 1379.2.2. Coe�cientes del polinomio de Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.3. Invariante Arf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.3.1. Movimiento paso y de�nición de Arf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.3.2. Invariante Arf y el polinomio de Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.4. El polinomio de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Contenido 5

9.4.1. De�nición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.5. Polinomio HOMFLY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.6. Implementación en Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.7. Nudos alternantes y las conjeturas de Tait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

III Profundización 153

10.Super�cie de Seifert y calculo de la matriz de Seifert 15510.1. Super�cies de Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10.1.1. Algoritmo de Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.1.2. Matriz de Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10.2. Algoritmo para calcular la matriz de Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.3. Grafos asociados al diagrama de un nudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

10.3.1. Grafo anidado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.3.2. Grafo de Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

10.4. Algoritmo a partir del código de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.4.1. Aristas del diagrama de un nudo a partir del código de Gauss . . . . . . . . . . 16110.4.2. Cómo determinar los círculos de Seifert a partir del código de Gauss . . . . . . . 16110.4.3. Cómo determinar el grafo anidado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.4.4. Cómo �jar un diagrama D0 dado un código de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 164

10.5. Caminos en la super�cie de Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16610.6. Cálculo de los números de enlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.7. Resumen y ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

10.7.1. Ejemplo: Nudo Trébol (31) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.8. Matriz de Seifert a partir de diagramas sin círculos de Seifert anidados . . . . . . . . . . 183

10.8.1. Fórmula de Kau¤man . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.8.2. Fórmula de Burde y Zieschang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.9. Cuándo un código de Gauss no trivial es realizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18810.10.Implementación en Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11.Equivalencia entre enlaces racionales y enlaces de dos puentes 20111.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20311.2. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.2.1. Descripción del paso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20511.2.2. Descripción del paso n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20611.2.3. Paso �nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

11.3. Descripción algorítmica del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20911.4. Propiedades de las entradas de la matriz Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21211.5. Resultado central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

12.Programas de computador para teoría de nudos 22112.1. KnotPlot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.1.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22312.1.2. Main control panel (Panel de control principal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22412.1.3. Comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.1.4. Comandos de Propósito General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.1.5. Comandos para cargar y guardar nudos y enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22612.1.6. Comandos para creación de nudos y enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

6 Contenido

12.1.7. Comandos de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22712.1.8. Comandos para cálculo de invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22812.1.9. Exportación de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22812.1.10.Grá�cas en Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12.2. Paquete Knot Theory para Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22912.2.1. Cargar nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22912.2.2. Presentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

12.3. LinKnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23012.3.1. Entrada grá�ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.3.2. Salidas Grá�cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23212.3.3. Estructuras y Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23412.3.4. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

12.4. Knotscape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23612.5. SnapPea y SnapPy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Referencias 241

IV Apéndices 251

13.Tabla de Nudos 253

14.Tabla de códigos de Gauss en Mathematica 257

15.Conceptos topológicos básicos 26315.1. Super�cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26315.2. El Grupo Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

16.Conceptos algebraicos básicos 27116.1. Grupos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27116.2. Transformaciones de Tietze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27316.3. Subgrupos de palabras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27416.4. Producto libre de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27516.5. Teorema de Van-Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

1

Introducción

La matemática es un campo creativo, innovador y excitante; pero la mayoría de los estudiantespiensan que es un estudio monótono, de conceptos que no cambian y que se conocen desde hace cientosde años. La teoría de nudos se usa para mostrar la falsedad de esa interpretación. Este es un campode las matemáticas con unos 160 años de existencia, en el que los resultados más revolucionarios hanocurrido en los últimos 30 años. Hay muchos preguntas abiertos que son fáciles de enunciar ya que lateoría de nudos tiene un carácter intuitivo, que permite entender algunos de problemas sin necesidadde desarrollar una maquinaria elaborada. Claro está que la solución completa del más simple de losproblemas exige herramientas de matemáticas so�sticadas.Los nudos han sido tema de interés por muchos siglos, en especial para los marineros, que dedicaban

parte de su tiempo a perfeccionar y catalogar los tipos de nudos, tanto con motivos prácticos, comoel de hacer un nudo fácil de atar pero difícil de soltar por si mismo, como por motivos ornamentales.Igualmente el desarrollo de las telas y los adornos de la ropa ha requerido del desarrollo de técnicas denudos. Incluso, los nudos son fuentes de juegos y entretenimiento de salón.

Ahora, piense en un modelo físico de un nudo como una cuerda anudada y atada en los extremos demanera que no pueda soltarse.Pero esta es una idea intuitiva, que necesitamos formalizar matemáticamente, si queremos hacer un

estudio riguroso de nudos.¿Cómo darle un signi�cado preciso en forma matemática a este concepto? Como adicionalmente

podemos manipular la cuerda, sin romperla, transformando un nudo en otro de apariencia totalmentedistinta, la idea de estudiar los posibles nudos que se pueden formar tiene completo sentido. Un buenejercicio en este momento es que tome una cuerda, anúdela y juegue un rato con ella, transfórmela,trate de desanudarla sin soltar los extremos. ¿Puede hacer los nudos que se mostraron en las fotos denudos mostradas?En este libro queremos presentar un ejemplo de cómo el proceso de investigación nace de la costumbre

de hacerse preguntas sobre un tema, y claro está, tratar de resolverlas.Ahora, piense en las siguientes preguntas:

8 1. Introducción

¿QUE ES UN NUDO? Es decir, como de�nirlo en forma precisa, sin requerir el modelo físico de unacuerda.¿QUIEN ESTUDIA NUDOS?¿DESDE CUANDO SE ESTUDIAN LOS NUDOS?¿CUANDO DOS NUDOS SON IGUALES?¿PARA QUE ESTUDIAR NUDOS?¿QUE ES ESENCIAL EN UN NUDO?¿COMO CLASIFICAR LOS NUDOS?¿SE PUEDEN SUMAR NUDOS?¿QUE PUEDE PREGUNTARSE SOBRE NUDOS?¿PUEDE RESPONDER ALGUNA DE ESTAS PREGUNTAS?Buscar respuestas a estas preguntas y otras del mismo estilo es el objeto de la teoría de nudos.La teoría de nudos tiene la gran ventaja de permitir un trabajo del estilo "manos a la obra 2mostrar

en la práctica el proceso de hacer matemáticas. Inicialmente se toma un objeto físico concreto, unnudo, y se decide estudiar un problema práctico muy especi�co: dados dos nudos, puedo deformar eluno en el otro mediante movimientos "permitidos", en este caso, lo que voy a permitir es lo que medeje hacer buenamente el material de los nudos y no puedo hacer nada violento, como cortarlo conunas tijeras o reventarlo. Ahora, necesito un modelo matemático de este problema.Estamos entonces ante la situación típica de un problema que se quiere resolver usando matemáticas:

necesito encontrar una herramienta matemática que sea apropiada para resolver el problema, y yadentro de la teoría elegida, de�nir precisamente los objetos con los que vamos a trabajar y el procesomatemático que corresponde al problema.En nuestro caso los objetos son nudos, pensados desde el punto de vista físico de una cuerda anudada

en la que se pegaron los extremos. El problema es como modelar el nudo y su manipulación.Note que aquí la solución va a depender de cuanta matemática sabe la persona que está resolviendo

el problema, pues si conoce muchas técnicas matemáticas, tiene múltiples opciones. De hecho puedepasarle que ya sabe de algún matemático que ya resolvió el problema, o uno muy similar y simplementecopia la forma como lo resolvieron.En este momento si usted es un estudiante típico que está en los primeros semestres de la carrera de

matemáticas, física o ingeniería, probablemente no ha tenido la ocasión de haber estudiado problemasparecidos ni ha oído hablar de las herramientas matemáticas que en la actualidad se utilizan. Entonces,se pregunta usted, ¿cómo pretenden que pueda resolver el problema que ni siquiera se cómo plantear?Pues con ese problema se enfrentaron los primeros matemáticos que empezaron a estudiar los nudos.

Y no estamos hablando de la época de los fenicios o los griegos, hace más de 2500 años, sino dematemáticos de �nales del siglo XIX y principios del siglo XX, que es la época en la que se sitúa el iniciode la teoría matemática de nudos; en la sección 1.4 hacemos una breve reseña histórica. La herramientaque estos matemáticos detectaron que se debía usar apenas se estaba formulando completamente.Se trata de la topología y, en particular, lo que hoy se conoce como topología algebraica. Pues esaherramienta estaba en sus inicios y no completamente desarrollada. De hecho, se puede asegurar quealgunos de los desarrollos y de las técnicas que se inventaron estaban motivadas por resolver problemasde los que se presentaban en la teoría de nudos.Queremos tener un tratamiento moderno del tema, por lo que presentamos programas de computa-

dor que han sido diseñados para manipular y estudiar nudos. La mayoría de estos programas fuerondiseñados y son usados por investigadores de alto nivel en teoría de nudos y en 3 variedades.No vamos a tratar el tema de invariantes que provienen de la geometría hiperbólica, aunque en el

capítulo 12 sobre programas de computador se mencionan algunos de ellos. Este tema es uno de losdesarrollos más importantes de la teoría de �nales del siglo XX y en los cuales hay mucha investigaciónen el momento.Las herramientas fundamentales que se emplean para estudiar nudos son de la Topología, así que

1.1. Organización 9

generalmente la Teoría de Nudos se considera como una rama de la Topología. Pero hay muchas otrasherramientas que se emplean para el estudio de nudos: grupos, polinomio, grafos, etc. por lo que enrealidad la Teoría de Nudos es un campo multidisciplinario.

1.1. Organización

La idea es dar una característica muy computacional al texto. Cada sección está típicamente dis-tribuida de la siguiente manera: primero se introduce el tema, de�niciones, resultados y ejemplos desdeun punto teórico de nudos, y después se presenta una sección computacional, en la que se implementala construcción usando el lenguaje de nudo combinatorio o código de Gauss y la implementación en ellenguaje Mathematica. Se deja al lector el trabajo de hacer la implementación de los algoritmos usandootro lenguaje.Los ejercicios se dividen en:Ejercicios de carácter práctico, usando cuerdas, papel, plastilina, etc,. con el �n de desarrollar una

intuición.Ejercicios de carácter teórico, que pueden ser resueltos con los temas vistos en el texto.Ejercicios de investigación, que requieren herramientas o conceptos más avanzados que los que se

ven en el texto y sirven para trabajos especiales y para motivar a los estudiante para que desarrollentrabajo de investigación. Para estos problemas se dan referencias a texto o artículos relacionados, quesirvan de guía.Ejercicios computacionales que requieren el uso del computador.Por conveniencia para el estudiante, la bibliografía está separada en libros de teoría de nudos, libros

de temas relacionados, artículos y páginas web.Dividimos el texto en 3 partes. La primera tiene un carácter elemental, en el sentido que no se re-

quieren herramientas avanzadas de matemáticas. Esto no signi�ca que sea sencillo o fácil. Esta primeraparte está pensada para personas que no han estudiado temas como teoría de grupos o topología. Enesta parte se presentan resultados que son intuitivamente claros, pero de muy difícil solución. Estosresultados no se espera que puedan ser probados por el estudiante en una primera lectura, pero sedan referencias para los estudiantes que deseen profundizar en el tema. Al �nal de esta parte en uncapítulo especial, que llamamos familiares de los nudos, se estudian objetos matemáticos que tienensimilaridades con los nudos y enlaces: ovillos o tangle, las trenzas, grafos, nudos combinatorios y nudosvirtuales. Todos ellos se pueden usar como herramienta para estudiar nudos, pero tienen interés ensi mismo. Nosotros presentaremos solo algunos aspectos que nos interesan, pero de cada una de estosobjetos matemáticos vale la pena estudiarlo en detalle, para lo que se dan referencias.Esta parte sirve para un primer curso en teoría de nudos y a su vez como motivación para la topología

y la topología algebraica. Pero como la teoría de nudos puede ser de interés para muchos estudiantesde otras áreas de la ciencia, esta primera parte está pensada para ellos.La segunda parte requiere del uso de herramientas algebraicas y topológicas para introducir los

conceptos formalmente. Se retoman algunos de los conceptos que se presentaron en la primera parte,dando algunas pruebas y complementando resultados. Se presentan invariantes centrales en la teoríade nudos: el grupo fundamental del nudo, los polinomios invariantes de Alexander, Conway, Jones yHom�y, el invariante Arf y la signatura. En el capítulo ?? revisaremos el polinomio de Jones VL(t), ymostraremos cómo se empleó en la solución de las Conjeturas de Tait, que fueron usadas para hacer losprimeros diagramas de nudos y que tienen que ver con proyecciones alternantes de nudos alternantes.En la tercera parte, que llamamos Profundización, se presentan resultados que son más avanzados y

que fueron desarrollados en gran parte por la autora. Se trat de un estudio de la super�cie de Seifert y eldesarrollo de un algoritmo para computar la matriz de Seifert a partir del código de Gauss. Se presentaun capítulo en el que se presenta una prueba detallada de la equivalencia entre los enlaces de 2-puentes

10 1. Introducción

y los enlaces racionales. Al �nal de esta parte introducimos algunos programas de computador quese emplean para estudiar nudos y enlaces. Damos unas instrucciones breves para que el lector puedainiciar su uso. No pretendemos ser exhaustivos, sino presentar los que más conocemos. Consideramosque es fundamental el uso de estas herramientas. En el texto nosotros sólo utilizamos el programaMathematica y los algoritmos diseñados por nosotros, pero es importante recalcar que existen muchasopciones.Adicionalmente al texto central, se presentan varios apéndices donde se enuncian resultados y con-

strucciones que se requieren en el texto. El objetivo de los apéndices es permitir un cierto carácter deautocontenido y que un estudiante pueda hacer una revisión breve de los resultados que se requieren.En estos apéndices no se hacen pruebas, pero se dan citas completas a libros donde se pueden hallarlas pruebas y estudiar los temas.Como en los capítulos de la segunda parte revisitaremos algunos conceptos que ya se vieron en la

primera parte, habrá algunas repeticiones, necesarias para que los capítulos tengan algo de independen-cia. Esta repetición no nos molesta, pues de hecho le puede dar al lector un sentido de la importanciade algunos conceptos o ideas.

1.2. Agradecimientos

Quiero agradecer a la Escuela de Matemáticas y la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacionalde Colombia-Sede Medellín por el apoyo a este trabajo, al consederme un semestre sabático en 2016.En estas notas se hace un compendio de mi trabajo de investigación y el de mis coinvestigadores yestudiantes. Se utilizan mucho del trabajo desarrollado con ellos en sus tesis de maestría y doctorado,así que les doy las gracias a todos y muy en especial a mi colega y profesora Débora Tejada y a misestudiantes Pablo Ardila, Tomas Causil, Luz Dary Castellanos , José Gregorio Rodriguez, MaurcioRivera, Jaider Salazar, Olga Patricia Salazar, y Andrés Villabon.Por supuesto mis mayor gratitud es para Carlos Mejía, mi colega y compañero por siempre.

1.3. Una visión informal de nudos y enlaces

En esta sección vamos a describir en forma intuitiva y no formal los conceptos básicos de la teoríade nudos y sus objetivos iniciales. La idea es aprovecharnos del carácter especial de la teoría de nudos:se puede tener una buena idea de su objetivo e incluso tratar de resolver problemas interesantes, sinnecesidad de contar con todas las herramientas matemáticas que se requieren para realizar un estudioformal del tema. No nos da temor las repeticiones, por lo que durante el desarrollo del texto se vera amenudo una primera de�nición, a veces informal o coloquial, para más adelante retomar el tema, yacon una mayor profundidad o generalidad. Tenemos varios motivos para este enfoque:El primero es de carácter didáctico, pues queremos aprovechar esta peculiaridad de la teoría de

nudos para poder proponer problemas que puedan afrontar estudiantes que no cuenten con unas basesmatemáticas avanzadas. A medida que se avanza en el tema se requieren herramientas matemáticas queya requieren una mejor formación. En el texto no podemos pretender introducir todos los conceptos quevamos a utilizar, pero en algunos casos, cómo por ejemplo cuando estudiemos super�cies o grupos denudos, vamos a hacer un tratamiento más completo. En los otros casos, simplemente damos referenciasde textos donde se pueden consultar los conceptos empleados.El segundo motivo es de carácter histórico. Queremos estudiar un poco de historia desde el principio,

y para ello se requiere tener un lenguaje básico de la teoría de nudos, para entender el papel que jugócada uno los matemáticos que desarrollaron la teoría y el tipo de problemas que deseaban resolver.También se puede tener una aproximación de primera mano de cómo fue el desarrollo de la teoría, pues

1.3. Una visión informal de nudos y enlaces 11

este es un caso donde se plantearon problemas para los que no existía una herramienta matemáticaadecuada, y la necesidad de resolver los problemas dio lugar al desarrollo de conceptos en áreas tanimportantes como la topología y la teoría de grupos.La tercera razón está dada por el objetivo del texto de tener un carácter computacional y del tipo

"manos a la obra". Por esta razón vamos a introducir desde muy pronto codi�caciones que permitantratar de resolver problemas usando el computador. Adicionalmente, vamos a proponer problemas paralos que no hemos dado las herramientas y que más adelantes se resolveran. Esto con el �n de incentivara los estudiantes para que desarrollen sus propias ideas.

1.3.1. Nudos y enlaces

Intuitivamente un nudo es una curva cerrada en el espacio, que no posee ninguna auto intersección.Las siguientes son imágenes 3-dimensionales de nudos. Las dos primeras son fotos de nudos elaboradoscon una cuerda. La tercera fue elaborada por el programa Mathematica y la cuarta fue elaborada porel programa knotplot.

A partir del concepto de nudo podemos construir uno más general, el concepto de enlace, el cual esuna colección de curvas cerradas, dispuestas de tal forma que no se cortan unas con otras. Cada curvaes una componente del enlace.

Es frecuente en la literatura hablar de nudos para referirse tanto a nudos como a enlaces.Uno de los problemas más importantes de la teoría ha sido el de clasi�car los nudos y enlaces.

12 1. Introducción

1.3.2. Taller de motivación

Los ejercicios de este taller son de carácter práctico y del tipo manos a la obra y parecen másadecuados para un juego que para una clase de matemáticas. Pero ¡cuidado!, nada de lo que sepropone, a pesar de la forma juguetona con la que se presenta, es trivial. Trabajar en estos ejercicios,pensar en ellos y escribir las conclusiones a las que se llega, permite desarrollar la intuición y lasdestrezas de argumentos que se requieren en topología.

1. Tome una cuerda y haga un nudo. Ahora haga un dibujo que lo represente. Haga lo que consideremás apropiado, sin tener en cuenta lo que haya leido sobre el tema o lo que hallamos hecho enclase.

2. Pásele a un compañero el dibujo y pídale que haga el nudo. Compare el nudo que su compañerohizo con el que usted había hecho. ¿Son el mismo?

3. Tome 3 cuerdas distintas y forme 3 nudos. Luego estúdielos y haga observaciones. La primeraobservación es respecto a lo que tienen en común y que tienen de diferente. Las descripcionestienen que ser hechas de tal forma que alguien que no esté mirando los objetos, entienda de quese está hablando. No importa que tan simple es la idea que se le ocurra, se trata de recolectartoda la información que podamos. Puede inventar nuevos términos, ya sea nuevas palabras opalabras del español, pero dando un signi�cado exacto de lo que quiere decir. Esta es una técnicade todas las ciencias: si no hay un término adecuado, hay que inventarlo. Bautice los nudos connombres que considere que los describen.

4. Después de hacer este ejercicio, discuta sus ideas con un compañero y vea que coincidencias ydiferencias encontraron. Haga una lista de preguntas que quisiera contestar acerca de nudos.

5. Después de trabajar con los nudos, puede contestar las siguientes preguntas:

a. ¿Qué método uso para hacer el nudo físico a partir del diagrama? ¿Obtiene siempre el mismonudo, o dependiendo de la forma, puede obtener nudos diferentes?

b. Si el diagrama del nudo que hizo no muestra en que parte se deben pegar los extremos, ¿Esesto un problema? ¿Sería más simple hacer el nudo si en el diagrama se indica donde está launión de los extremos?

c. ¿Qué problema se le presentó al tratar de hacer un nudo a partir de un diagrama? ¿Cómo loresolvió?

d. Dados dos nudos de los que formó, cómo puede determinar si son o no el mismo? Liste todaslas ideas que se le ocurren.

6. (Truco de mago) Ponga una cuerda de aproximadamente 1 metro de largo y trate de hacer unnudo en la cuerda simplemente tomando cada uno de los extremos en cada mano. Ojo, tiene quetomar los extremos simultáneamente y no los puede soltar. ¿Se puede? ¿Muestre cómo hacerlo oescriba un argumento que muestre que no se puede.

7. La teoría de nudos está interesada en un estudio del objeto desde afuera, de su posición relativaen el espacio. Desde el punto de vista de un ser que vive dentro del nudo, no se nota la diferenciasi el mundo tiene una cualquiera de las formas correspondientes a los nudos que hizo. Pero desdeafuera, si notamos diferencias. Lo que queremos es saber cómo describirlas.

Será que si hay matemáticos que viven en esos mundos y se pueden comunicar unos con otros,¿pueden comparar sus mundo? ¿Tiene eso algún parecido con la búsqueda de la forma de la tierray con la forma del universo?


8. Todos los ejercicios anteriores han sido hecho pensando en que los nudos físicos son hechos con unmaterial absolutamente �exible. Qué tal si sólo disponemos de trozos de madera, completamenterígidos, que podemos unir mediante algún mecanismo de bisagras. ¿Podemos hacer una teoría denudos en este caso?

¿Será una teoría considerablemente diferente de la que podemos hacer si pensamos que el materialde los nudos es completamente �exible? Desde el punto de vista matemático, este problema sepuede pensar en términos de tener una teoría diferenciable o una teoría no diferenciable. Hagael ensayo físico de hacer nudos de esta forma. Escriba todas las re�exiones que se le ocurran alrespecto.

1.3.3. Modelamiento del concepto de nudo

Ahora bien, nosotros conocemos conjuntos y el concepto de lugar geométrico, y podríamos pensar enquerer modelar los nudos como lugares geométricos de los puntos del espacio que cumplen unas ciertasecuaciones. De esta forma tenemos que el conjunto de los puntos del espacio que cumplen la ecuaciónx2 + y2 = 1 y z = 0 forman el nudo más simple que podemos pensar y llamamos suelto, pues no seanuda de ninguna forma. Con ayuda de un programa gra�cador, este nudo se puede dibujar como se veen la parte a: de la siguiente �gura ¿Pero qué pasa si en lugar de esta ecuación, tengo el nudo descritopor las ecuaciones x2 + y2 = 3 y z = 4;o x2 + z2 = 1 y y = 4? Todos los nudos juntos se pueden veren la parte b.

a b

Si consideramos conjuntos de puntos en el espacio que son solución de una cierta ecuación, estamoshablando de conjuntos distintos, pero desde el punto de vista de los nudos físicos, todos estos son elmismo. Así que si queremos usar esta forma de modelar nudos, tenemos que hacer abstracción delconjunto de puntos y necesitamos una manera de determinar cuándo dos conjuntos son equivalenteso sea que representan "el mismo"nudo. Eso para las matemáticas no es un problema particularmentedifícil, pues lo que podemos hacer es de�nir lo que queremos que sea equivalente y hacer una relación deequivalencia. Pero la mayor di�cultad de este enfoque es la necesidad de encontrar ecuaciones que medeterminen un nudo particular. Trate por ejemplo de hallar ecuaciones que representen los siguientesnudos.

14 1. Introducción

Nota: Si no pudo hacerlo, no se preocupe, es realmente difícil y por eso los matemáticos se idearonotra forma de trabajar.Las ecuaciones por si mismas tienen una di�cultad mayor, y es que por ejemplo, si se da la ecuación

x2 + y2 + z2 = 3 esto corresponde a la super�cie de una esfera, de centro (0; 0; 0) y radiop3. Así

que tenemos que limitar el tipo de ecuaciones. Para ello tenemos que tener en cuenta lo que estamosmodelando, que en de�nitiva es un circulo que se .enredo", así que lo mejor es tener en cuenta estainformación y usar la teoría de funciones, que parece ser la herramienta adecuada.Así que podemos pensar en modelar un nudo mediante una función � : S ! R

3, donde S representael circulo unitario S =

�

(x; y) 2 R2 j x2 + y2 = 1

. Con esta de�nición tenemos necesidad de escribirexplícitamente las ecuaciones en términos de x y y; o de un parametro t; lo que no es simple, peroclaramente esto limita el conjunto de llegada. Ahora, ¿qué le vamos a pedir a la función? ¿Puede sercualquiera? ¿Tiene que ser inyectiva? ¿Tiene que ser continua? ¿Tiene que ser diferenciable?Suponga que ha resuelto estas preguntas, tenemos el mismo problema que con los conjuntos, las

funciones claramente son distintas, pero nosotros queremos que los objetos que representen sean losmismos. Así que tenemos que de�nir un concepto de equivalencia de funciones que sea apropiado.Afortunadamente ya los topologos se encargaron de eso y resulta que lo más apropiado, o por lo menosel método que eligieron, es pedir que la función � : S ! �(S) � R

3 sea un homeomor�smo, estoquiere decir, que sea continua, que sea inyectiva y que exista una función inversa ��1 : �(S)! S quetambién sea continua. El concepto de continuidad en este contexto es el mismo que el de cálculo envarias variables, aunque en el curso de topología se hace una de�nición de continuidad más general.Los siguientes son ejemplos de nudos descritos mediante funciones, son de la familia que se llama

nudos Lissajous, que veremos con más detalle en la sección 5.2. Los gra�camos usando el programaMathematica.


Note que la forma de visualizar el nudo depende del punto de vista desde el que estemos viendo eldibujo. Esto hace muy di�cil determinar propiedades del nudo. Por ejemplo, entre los 3 nudos anteriores,dos de ellos corresponden a la misma función, pero vista con diferente perspectiva. ¿Puede identi�carcuáles son?Para estas funciones, se desarrolló un concepto de equivalencia especial, teniendo en cuenta lo que se

requiere. Este concepto se desarrollo completamente solo en el sigo XIX, pero corresponde exactamentea la idea de deformar una cuerda sin romperla. Aquí la de�nición matemática permite una situaciónque no se tiene en la práctica, ya que desde el punto de vista de los nudos matemáticos, ellos sepueden estirar todo lo que uno quiera; así que imagínese que tiene una cuerda de un material tandelgado como quiera y que se puede estirar tanto como quiera. Ese es el tipo de nudos que modelamosmatemáticamente.Para evitar tener que dibujar en el espacio, los matemáticos decidieron usar como herramienta de

trabajo dibujos en el plano. Note que un nudo o enlace se puede representar mediante un diagrama dela proyección del nudo sobre un plano, de tal forma que solo tenga un número �nito de puntos dobles,y en el cual se representan los pases por encima y por debajo mediante una línea cortada. Con estose entiende que todo el nudo se �aplano�, excepto por un número �nito de arcos en los puntos dobles,como se ve en la siguiente �gura. A veces se desea indicar la forma como se recorre el enlace y se utiliza�echas sobre el dibujo.

(1.1)

Los primeros matemáticos que trabajaron con nudos no usaban esta convención sino que trabajabancon las curvas planas y tenían distintas formas de identi�car el tipo de cruce, o no lo tenían en cuenta.Por ejemplo, en los trabajos de Gauss de 18, [97], se tienen los diagramas como siguientes.

16 1. Introducción

Para 1930 aún no se había empezado a usar el truco de dibujar las líneas cortadas para indicar cuandoel cruce se pasa por encima y cuando por debajo. En el artículo de Alexander, de 1928, ver [67], seusa líneas continuas, pero se indica el tipo de cruce mediante dos puntos, que se ponen a la izquierdadel cruce cuando se recorre por debajo. En este artículo aparece el tiene el diagrama del trébol queaparece a la derecha de la siguiente �gura y a la izquierda aparece el trébol cómo lo dibujamos hoy.

Aunque un nudo o enlace puede ser representado grá�camente usando proyecciones sobre un plano,estas proyecciones no son únicas, y el mismo nudo da lugar a in�nitas proyecciones, por lo tantonecesitamos tener una de�nición matemática de igualdad de nudos.En la práctica es muy difícil distinguir dos enlaces. Es indispensable disponer de métodos para

distinguir enlaces que no sean equivalentes. Cuando se estudian los enlaces con base en sus diagramases necesario buscar una de�nición de equivalencia de diagramas que corresponda a la equivalencia deenlaces. Para de�nir la equivalencia de diagramas, el matemático Kurt Reidemeister desarrolló unateoría apropiada, de�niendo tres movimientos básicos que permiten transformar una proyección enotra equivalente, simplemente utilizando una sucesión �nita de este tipo de movimientos.

Ejercicio 1.3.1 ¿Puede encontrar movimientos que hagan este proceso, sin necesidad de conocer losde Reidemeister?¿Puede probar, aunque sea de una forma intuitiva, que sólo se necesitan los movimientos que en-

contró?En la sección 2.1.3 están los movimientos de Reidemeister, compare con los que usted encontró.

La teoría de nudos se encarga, en parte del estudio de cómo determinar si uno o varios nudos oenlaces son o no los mismos. Para poder clasi�car los nudos y enlaces debemos tener un criterio quenos diga cuándo dos nudos son equivalentes y cuándo no, intuitivamente: dos nudos son equivalentessi uno de ellos puede deformarse en el otro sin que se produzca una rotura. La clasi�cación de nudoses un ejemplo de un problema fácil de enunciar y comprender pero increíblemente difícil de resolver.Dada la di�cultad del problema, los matemáticos a lo largo del siglo XX desarrollaron métodos

para clasi�car enlaces, usando la teoría de invariantes de enlace; es decir, buscar objetos matemáticosque dependen solo del enlace y no de la representación particular que se esté empleando. Algunos deestos invariantes son muy fáciles de de�nir, como el número de componentes, que cuenta el númerode círculos que se utilizaron para construir el enlace. Por ejemplo, los enlaces de la �gura (1.1) noson equivalentes. Es fácil determinar que el tercero tiene dos componentes, mientras los dos primerostienen solo una; pero distinguir entre los dos primeros nudos no es simple y no podemos hacerlo eneste momento. Otros invariantes son el grupo fundamental del nudo, el polinomio de Alexander, el

1.4. Breve historia 17

polinomio de Jones, etc. Pero ninguno de ellos clasi�ca completamente los enlaces, o sea que, existenenlaces no equivalentes que poseen el mismo invariante. Por tanto, hasta el momento, solo se puedenaplicar estos invariantes en una dirección: si dos enlaces L y K tienen distinto invariante entonces noson equivalentes. Uno de los problemas fundamentales y abiertos de la teoría de nudos es encontrar uninvariante que clasi�que totalmente los enlaces. Para algunas familias de nudos hay algunos invariantesque si son completos, como veremos más adelante.

1.4. Breve historia

El hombre ha trabajado con nudos por miles de años. Los ha usado como herramienta, como elementodecorativo, les ha dado un carácter religioso o mítico en algunas culturas.Hay referencias a trabajos en nudos desde la época de los griegos. El médico Heraclas, siglo I, explica

18 formas de atar fajas ortopédicas.Tenemos incluso ejemplos de la mitología: nudo gordiano se re�ere a la leyenda Griega que decía

que en la ciudad de Gordion había un nudo tan complicado que nadie lo podía soltar, y que el que loconsiguiese, conquistaría toda Asia. Alejandro Magno (356�323 a. C.) resolvió el problema cortándolocon su espada. Desde entonces el término "nudo gordiano"ha permanecido en el lenguaje para darnombre a una di�cultad que no se puede resolver.Las aplicaciones de los nudos y las trenzas tiene sus orígenes en épocas muy remotas, así es como la

civilización Inca, desarrollo un sistema de carácteres, en el cual se anudaban cuerdas, los Celtas eranconocidos por el uso de una inmensa cantidad de nudos, muchos de los cuales son usados hoy en día.

Gottfried Leibniz (1646-1716) especulaba que además del Calculo y la geometría analítica debíaexiste una �geometría de posición� (geometría situs), que debía depender sólo de posiciones.El primer ejemplo de geometría situs lo constituye el trabajo de Leonard Euler (1707-1783) sobre su

solución al problema de los puentes de Königsberg. Con este trabajo nacieron la topología y la teoría

18 1. Introducción

de grafos.El nacimiento propiamente dicho de la teoría de nudos se puede situar en 1771, con el trabajo

de Alexandre-Theo�le Vandermonde (1735-1796) �Remaques sur les problèmes de situation� (Notassobre problemas de posición), donde especí�camente pone a las trenzas y los nudos como objeto de lageometría de posición.Carl Friedrich Gauss (1777-1855) se puede considerar el primer matemático en hacer un estudio de

nudos. Una nota de 1974 con título �Una colección de nudos� contiene 13 bosquejos de nudos, connombres en ingles. En una nota de 1833, Gauss introduce el numero de enlazamiento de dos nudos. Sumétodo es analítico y ha sido revitalizado por lo trabajos de Witten (1989).Gauss ideó una codi�cación basada en lo idea de tomar un punto inicial en el nudo e ir marcando

los diferentes cruces y luego escribir la sucesión de símbolos en el orden en el que ocurren. Realmenteestaba más interesado en la curva plana que forma la proyección del nudo. Gauss escribió poco sobretema, ver [97], pero estaba particularmente interesado en encontrar condiciones su�cientes y necesariaspara que una sucesión de 2n símbolos, cada uno repetido 2 veces, represente el diagrama de una curvaplana. Esto dio origen al problema conocido como el problema de la palabra de Gauss, este problemaestá muy relacionado con nuestro trabajo en la sección 7.5.1.Listing (1847) ideo una codi�cación para nudos alternantes, mediante la idea de colorear las regiones

determinadas por la proyección y luego enumerar las diferentes regiones con base en el número dearcos que la determinan. Esa idea es precursora de la relación entre nudos y grafos. Propuso uno delos primeros invariantes de nudos y clasi�có algunos, mencionemos que el nudo conocido como 8, esllamado a veces el nudo de Listing.Curiosamente el primer estudio matemático sistemático de los nudos no se debe a un matemático,

sino a un físico, el inglés William Thomson, Lord Kelvin, (1824-1907). Alrededor de 1860 la comunidadcientí�ca creía que el universo estaba lleno de una sustancia misteriosa, llamada éter y que la materiaestaba inmersa en el éter. Thomson propuso que cada elemento se podía caracterizar por la formacomo los elementos se anudaban en el éter, y que a cada elemento se le podía asignar un nudo y estenudo permitía estudiar las propiedades físico-químicas del átomo.Por ejemplo el Helio se representaba por el trébol.

Se tiene así que para mediados del siglo XIX se creía que el primer paso para la clasi�cación dela materia era entender los nudos y elaborar una tabla que contuviera todos los nudos. La idea declasi�car los nudos cautivó la atención de algunos matemáticos, en particular del escocés Peter Tait(1831 �1901). Tait se dedicó a resolver este problema y dio origen a lo que hoy se conoce como teoríade nudos.La teoría de Thomson tuvo seguidores por una época, entre ellos Maxwell, pero el trabajo de

Mendeleev y su tabla periódica de elementos resolvió completamente el problema de la clasi�cación de


los materiales. Las ideas de Thomson quedaron sin piso, la teoría del éter perdió peso y por tanto losfísicos perdieron interés en el estudio de nudos.Pero ya se tenía un problema matemático y la comunidad matemática siguió trabajando en él.Tait hizo una tabulación de los nudos alternantes hasta 10 cruces, empleando inicialmente la codi�-

cación de Gauss y luego empleando una modi�cación de las ideas de Listing. Tait introdujo muchas delas ideas fundamentales en el estudio de los nudos. Muchas de sus conjeturas apenas fueron resueltasa �nales de 1980, y algunas siguen aún sin solución. En la sección 9.7 hablaremos un poco de lasconjeturas de Tait y de su solución utilizando herramientas matemáticas que solo se desarrollaron 100años después de que fueran propuestas por Tait. Esta clase de situaciones es una de las que hacen quesea tan fascinante estudiar la teoría de nudos.Thomas Kirkman (1885), trabajó exclusivamente con nudos alternantes, ver sección 2.1.2. De hecho,

su de�nición de nudo parece indicar que solo existen este tipo de nudos. Codi�có diagramas poliedraleshasta 11 cruces. Tuvo algunas omisiones que fueron corregidas por Tait y Conway. Sus ideas para lacodi�cación tienen conexión con la estructura hiperbólico del complemento de un nudo, que es un temade investigación reciente, y que no vamos a considerar en este trabajo.C. Little (1898), fue el primero en considerar nudos no alternantes. Publicó una tabla de nudos

de hasta 10 cruces, con muy pocos errores. Es de particular interés que la única duplicación, que semuestra en el siguiente grá�co, apenas fue descubierto por Perko en 1974. ¿Puede deformar uno en elotro?

Par de Perko

Mary Haseman (1917) extiende la lista de Tait a 12 cruces. Esta es una de las primeras mujeres queestudio matemáticas en Estado Unidos.Artin (1925) introduce el concepto de trenza, que le permite convertir el problema topológico en

un problema algebraico, no necesariamente mas fácil. En la práctica se pueden considerar las trenzascomo una forma de codi�cación. En la sección 7.3 estudiaremos este concepto, en la siguiente grá�case muestra un ejemplo de una trenza y del nudo que resulta al "cerrar" la trenza.

20 1. Introducción

Todos estos primeros trabajos fueron de carácter experimental, la herramienta matemática apropiadapara estudiar nudos es la topología, que nace con los trabajos de Euler. Así que realmente se puedepensar que la teoría de nudos tiene apenas unos 160 años. Ha estado estrechamente ligada con eldesarrollo de la topología, la teoría combinatoria de grupos y la topología algebraica, entre otras.Volvamos al problema original de la teoría de nudos: clasi�caciónLos primeros matemáticos se plantearon el problema del CENSO: crear una tabla de proyecciones

de nudos. Para que esta tabla tenga sentido se necesita:1. No haya repeticiones2. Estén todos los nudosPara eso se necesita una forma de organizar los nudos y de simpli�car el nudo lo más posible. La

idea de los primeros matemáticos fue considerar la proyección con el mínimo número de cruces. Paracrear tablas e�cientes, se planteó la pregunta:

¿Existen nudos básicos?

La respuesta es sí.Dados dos nudos se puede hacer un nuevo nudo, que se llama la suma conexa entre ellos, ver el

capítulo 4. Un nudo se llama compuesto si se puede escribir como la suma conexa de dos nudos notriviales; de lo contrario se llama primo. Los nudos primos se comportan como los números primos. En1949 el alemán Horst Schubert probó:

Teorema 1.4.1 Todo nudo se puede descomponer de forma única como la suma conexa de nudosprimos.

Este teorema era sospechado desde el principio de siglo, pero fue muy difícil de probar. Las tablasse hacen sólo con nudos primos y no se consideran orientación ni imagen espejo.Como para hacer las tablas es necesario evitar duplicaciones se cambio la pregunta y se pensó mejor

en ¿Cuándo dos nudos son diferentes?Los nudos tienen propiedades que dependen solo del nudo y no de la forma particular como lo

estemos viendo, ya sea como un diagrama, una función, una codi�cación. Una propiedad de este estilose llama invariante del nudo. Así, si dos nudos tienen un invariante distinto, entonces los nudos sondistintos.Los matemáticos se han dedicada a buscar invariantes de nudos. Sobre todo invariantes fáciles de

computar. Entre los primeros invariantes se estudio el número de desanudamiento (unknotting): quees el número mínimo de cruces que se deben cambiar para obtener el nudo suelto. Tait conjeturó queeste invariante era fácil, pero ha resultado todo un enigma.Otro invariante central es el grupo fundamental del complemento del nudo, fue introducido por

Wirtinger y Denn a principios del siglo XX. Este es el invariante más completo que se conoce. Se haestudiado mucho y da origen a otros invariantes.Quizá el principal responsable de convertir la teoría de nudos en una ciencia exacta, es el matemático

americano J. W. Alexander (1888-1971), quien fue el primero en mostrar la relación que existe entre la


teoría de nudos y la topología de 3 dimensional. Destaquemos como aporte importante, el descubrim-iento de un invariante polinomial a partir del grupo fundamental del nudo, llamado el Polinomio deAlexander, que se convirtió en la herramienta de trabajo indispensable para quienes deseaban estudiary clasi�car nudos. Este polinomio permitió corregir y comprobar las tablas de nudos existentes. Pero nodistingue entre muchos nudos, por ejemplo, no distingue entre el trébol derecho y el trébol izquierdo.,ya que ambos tienen polinomio de Alexander igual a 1� t+ t2. Después de los trabajos de Alexander,el estudio de la teoría de nudos estuvo concentrado en algunos expertos del área de topología, y aunquese dieron algunos avances, la teoría no sufrió grandes cambios.En 1969 J. Conway revolucionó la codi�cación de nudos, mediante una nueva notación, que se asemeja

a la de Kirkman. Mediante su codi�cación enumeró los nudos de hasta 11 cruces y los enlaces de 10cruces, pero lo mas importante de su trabajo es la in�uencia tanto en la parte computacional comoteórica. Por ejemplo, mediante su codi�cación �redescubrió� las relaciones de madeja que satisface elpolinomio de Alexander y de�nió una variante del polinomio de Alexander, que se llama polinomio deConway o polinomio de Alexander-Conway.Weise en 1965 fue precursor en el empleo del computador con una codi�cación que se basa en el

orden cíclico de vértices alrededor del nudo, y usando la notación de trenzas.Trotter también es precursor numera los cruces, y determina su orientación y 2 posibles posiciones

con respecto al nudo L: debajo y U: encima. Luego se dice para cada cruce cuales son los dos crucessiguientes.Dowker y Thistlethwaite (1980) emplearon una codi�cación basada en la idea de Gauss y Tait, que

es particularmente útil para usar en el computador. Utilizando su método, codi�caron por primeravez los nudos de hasta 13 cruces. Luego continuaron con el problema del Censo y han podido hacertablas de nudos hasta de 16 cruces, que publicaron en : La codi�cación desarrollado por ellos es muyadecuada y ampliamente usada. Nosotros la vamos a describir en detalle en la sección 3.3El gran auge de la teoría de nudos se dio en el año de 1985 con los trabajos de Vaughan Jones, quien

descubrió un nuevo polinomio invariante, el polinomio de Jones. Lo más curioso de este descubrimientoes que Jones no trabajaba en teoría de nudos, sino en C* álgebras y mecánica cuántica y la de�niciónde este invariante está basada en temas muy lejanos a la teoría de nudos.Jones, quien trabajaba con las *-álgebras An creyó haber descubierto una nueva forma de presentar

el polinomio de Alexander, pero luego de hablar con la experta en trenzas, J. Birman, se dio cuentaque su descubrimiento es esencialmente diferente al polinomio de Alexander. Jones presenta su trabajoal público y se genera toda una revolución en la teoría de nudos. Una de las grandes diferencias delpolinomio de Jones, con el de Alexander, es la manera como se de�ne, la cual se hace usando trenzas, envez de nudos. Realmente el polinomio de Jones es un polinomio de Laurent en Z[t; t�1], es decir admitepotencias negativas. Es mucho más poderoso que cualquiera de los otros invariantes polinomiales que seconocen. Por ejemplo, permite distinguir entre el trébol derecho y el trébol izquierdo. No es completo,hay nudos distintos con el mismo polinomio de Jones, ver sección 9.4. Jones recibió la medalla Fieldsen 1986, lo cual muestra claramente el alcance de este descubrimiento.El descubrimiento de Jones generó gran excitación entre la comunidad matemática y se empezaron

a encontrar una gran cantidad de nuevos polinomios invariantes. Uno de ellos es un polinomio en dosvariables, que se llama el polinomio HOMFLY en honor a los matemáticos Hoste, Ocneanu, Millet,Freyd, Lickorish y Yetter, quienes lo descubrieron simultáneamente.Otro descubrimiento importante del principio de los años 1990´s fue que a partir de los grupos

cuánticos se podían producir nuevos polinomios invariantes. Aún hoy, no se sabe si es posible construirun polinomio invariante, simple de computar y que permita distinguir todos los nudos. Tampoco setiene una explicación geométrica clara de por qué aparecen estos invariantes en esas otras áreas de lamatemática.Curiosamente, a mediados de 1980 los biólogos y químicos estudiando el ADN encontraron que la

forma como las cadenas de ADN se anudan puede tener efecto en las propiedades que tiene la cadena

22 1. Introducción

después de su replicación.El interés de la física y la genética en el estudio de nudos, revivió el estudio de la Teoría de Nudos

como una rama de matemáticas aplicadas.En las siguientes �guras se aprecias fotografías por microscopio electrónico del ADN humano, acom-

pañada de su modelación usando nudos.

El artículo Lifting the Curtain: Using Topology to Probe the Hidden Action of Enzymes, ver [175] esprecursor en este tema y que despertó mucho interés.Una característica peculiar es que durante la gran parte del siglo XX, la teoría de nudos era con-

siderada como una rama muy especializada de la topología y era estudiada por un grupo reducido


de matemáticos. El número de libros sobre el tema lo muestra: el primer libro de teoría de nudos fueescrito por Reidemeister [40] en 1938. Con los trabajos de Jones entre 1983 y 1985, y los trabajosposteriores de Witten, se generó una gran remezón en la teoría de nudos. Se volvió un tema de interésen muchas ramas de las matemáticas, así como de física, biología y química. Adicionalmente se volvióun tema de interés para la divulgación de las matemáticas y como una herramienta para estimular eldeseo por el estudio de las matemáticas. Con este impulso se ha escrito una gran cantidad de textosde teoría de nudos, muchos de ellos de nivel elemental.El gran desarrollo de la teoría de nudos en los últimos 40 años es a todos los niveles:1. Como campo fructífero de investigación en matemáticas y física teórica. Cabe anotar que en los

últimos años han obtenido la medalla Fields muchos matemáticos que trabajan en áreas relacionadascon la teoría de nudos: Jones en 1990; Witten; en 1990; Drinfeld, en 1990 y Kontsevich, en 1998.2. Como área de las matemáticas que entra a formar parte de los cursos de enseñanza para estu-

diantes de pregrado en matemáticas y otras áreas relacionadas. Se da incluso el caso de servir comoherramienta para iniciar las labores de investigación, ya que se pueden presentar problemas que sonfáciles de entender y se pueden aplicar algunas técnicas relativamente elementales para la solución dealgunos de ellos, o por lo menos una primera aproximación a una solución. Por supuesto, la solucióncompleta usualmente requiere conocimientos muy avanzados, pero la idea es que el estudiante ya tengala motivación necesaria para buscar estas herramientas.3. Como área de matemáticas aplicadas en áreas como la biología, la física, la química y la crip-

tografía. El libro de Adams, ver [1], tiene un capítulo excelente sobre la importancia de la teoría denudos en la biología, química y física. En lógica se estudian problemas de complejidad de los algoritmosque se ha desarrollado como solución a problemas de la clasi�cación de nudos.4. Como una herramienta para la divulgación de las matemáticas. En este aspecto vale la pena

destacar el trabajo de Colin Adams del Williams College, Massachussets, es un investigador prestigioso,con resultados avanzados en topología y teoría de nudos y publicó el libro WHY KNOT? Es un libroen forma de caricatura, con una heroína matemática. Ofrece una completa introducción a la teoríade nudos, con muchos diagramas. Está diseñado para que sirva de material de apoyo a clubes dematemáticas y para cursos especiales de matemáticas. En el libro se plantean experimentos que puedenser fácilmente realizados por los estudiantes y sobre todo tiene el objeto de despertar el entusiasmopor las matemáticas.También los investigadores japoneses Akio Kawauchi y Tomoko Yanagimoto escribieron el libro de

divulgación Teaching and Learning of knot Theory in Scholl Mathematics, que se usa para niños, ver[29]. Hay muchas páginas web dedicadas a nudos; en las referencias presentamos una lista de algunasde estas páginas.

24 1. Introducción

Parte I

Conceptos básico de nudos y enlaces

25

2

De�nición de nudos y formas derepresentarlos

En este capítulo vamos a estudiar los temas básicos de la teoría de nudos, que se requieren parael resto del trabajo. Cómo nuestro trabajo hace énfasis en la parte computacional. Por esa razón noprobaremos muchos de los teoremas que presentamos. Las pruebas de la mayoría de los resultados deesta parte del libro pueden consultarse en [11] o [16].

2.1. Nudo, enlace y su proyección regular

De�nición 2.1.1 Diremos que K � R3 es un nudo si existe un homeomor�smo del círculo unitarioS1 en R3 tal que

�

S1�

= K, donde S1 es el conjunto de puntos (x; y) en el plano R2 que satisfacenla ecuación x2 + y2 = 1.

En otras palabras, un nudo es una curva unidimensional situada en el espacio tridimensional, queempieza y termina en un mismo puntos. Diremos que L es un enlace de n-componentes, si es la imagende un homeomor�smo de la unión disjunta de S1i ; (S

1i ' S1; 1 � i � n). Es decir, un enlace L es una

unión disjunta y �nita de nudos L = K1 [K2 [ � � � [Kn: Cada nudo Ki es llamado componente delenlace.Observamos que la llamada teoría de nudos se ocupa tanto de nudos como de enlaces. Trabajamos

en general con enlaces y, cuando nos referimos a nudos, signi�ca que es un resultado que se cumplesólo para nudos, o sea enlaces con una sola componente.Para poder simpli�car la manipulación de los nudos se acostumbra estudiar la proyección regular del

enlace sobre un plano contenido en S3. Para que una proyección sea regular se requiere lo siguiente:

1. Es 1-1, excepto en �nitos puntos.

2. El cardinal de la preimagen de estos puntos donde no es 1-1 es dos. Nos referimos a ellos comopuntos dobles.

3. Ningún punto doble es un vértice de S1. Es decir, no se pueden dar puntos como se muestra enla �gura.

Al dibujar esta proyección tenemos cuidado de dejar algunos espacios en blanco al rededor de lospuntos dobles, es decir en los cruces, indicando debidamente cual de los puntos va por encima y asípoder recobrar el nudo a partir de la proyección.

28 2. De�nición de nudos y formas de representarlos

En esta monografía solo estudiaremos y consideraremos nudos mansos, es decir que solo se permitencruces �nitos en estos, ya que los programas para computadora que estudiaremos solo trabajan hastael momento con nudos mansos.

Es posible que un nudo tenga muchas proyecciones regulares, por eso, si dos nudos tienen la mismaproyección regular estos dos son el mismo, pero el recíproco no es cierto.Si consideramos algunas de las dos posibles orientaciones que se le pueden dar a S1 tenemos que

cada componente de L tiene dos posibles orientaciones y, en ese caso, diremos que L es un enlaceorientado. Al considerar enlaces orientados, en el diagrama usamos �echas para indicar la orientación,como lo muestra el siguiente diagrama,

de esta manera podemos de�nir el signo de cada cruce, como se muestra en la �gura,

Hablando en términos menos rigurosos la forma de determinar los signos en los cruces es con la reglade la mano derecha,

2.1.1. Ejercicios

1. Pruebe que dos curvas cerradas en el plano, en la categoría P.L., tienen un número par deintersecciones. (Estar en la categoría P.L. implica que el número de intersección entre las curvastiene que ser �nito.)

2. Para un diagrama D se de�ne el writhe de D comoX

c2D

�(c); donde c 2 D signi�ca que c es un

cruce de D y �(c) es el signo del cruce c: Encuentre el writhe de los nudos que se muestran en la

2.1. Nudo, enlace y su proyección regular 29

tabla 2.

51 52 61

62 63 71

Tabla 2

3. De�na el número de enlace o de enlazamiento (linking number) de un diagrama de un enlacede 2 componentes de la siguiente forma. Sea L = � [ � un enlace de dos componentes � y �.Denotemos por � \ � el conjunto de cruces de L, que se forman entre las dos componentes � y�. Entonces el número de enlace o Linking number está dado por:

lk(�; �) =1

2

X

c2�\�

�(c); donde �(c) = signo(cruce c).

Demuestre que el número de enlace es un entero. (Nota: en el capítulo 6 volveremos sobre esteconcepto, pero trate de resolver el problema sin consultar.)

4. Encuentre el número de enlazamiento de los enlaces de dos componentes que se muestran en latabla 3.

Tabla 3.


5. Construya ejemplos de diagramas de enlaces que tengan linking number igual a 3 y writhe iguala 0.

6. Dado un nudo o enlace K de�na

C (K) =

�

1 si K tiene una componente0 si K tiene mas de una componente.

Sean L+ y L� dos enlaces de dos componentes que di�eren solo en un cruce, como se muestraen la Figura 1

L+ L

-

L0

Figura 1

Sea L0 el enlace obtenido a partir de L+ o L� al suavizar el cruce, como lo muestra la Figura 1.Pruebe que

lk (L+)� lk (L�) = C (L0) :

2.1.2. Tipos de diagramas de nudos y enlaces

Los diagramas de nudos se clasi�can de acuerdo a características que se pueden detectar visualmente:salvajes, mansos, alternantes, de n-puentes. La forma que toman los diagramas re�ejan propiedadesde los nudos y enlaces.

Diagramas mansos y salvajes

La primera clasi�cación de enlaces es entre �mansos� y �salvajes�. Desde el punto de vista intuitivo,un nudo es manso si admite una proyección con un número �nito de cruces. Un enlace es salvaje cuandotoda proyección tiene un número in�nito de cruces. Los siguientes son diagramas de enlaces salvajes

La de�nición matemática concreta es la siguiente: Los enlaces mansos son aquellos que están de�nidospor un homeomor�smo que es lineal a trozos, o que se encuentra en la categoría P.L.


Teorema 2.1.1 Todo enlace manso admite una proyección en posición regular.

La teoría de nudos se encarga de estudiar especialmente los nudos mansos. Los enlaces salvajes sonfuente de ejemplos de situaciones exóticas en topología. En este trabajo siempre que hablemos de nudoo enlace estamos re�riéndonos a nudos o enlaces mansos.Mencionemos ahora el teorema de la curva cerrada de Jordan, que es un importante resultado que

utilizaremos para justi�car varios argumentos mas adelante.

Teorema 2.1.2 (Teorema de la curva cerrada de Jordan) Toda curva simple cerrada en el plano,divide el plano en dos componentes conexas.

Este teorema es muy intuitivo, pero la prueba formal no es trivial, ver ???. Una conclusión importantees que podemos hablar de la región interior de una curva y la región exterior, y esto tiene completosentido.

Diagramas alternates

Decimos que una proyección es alternante si la sucesión de cruces se alternan entre arriba y abajocuando recorremos cada componente del enlace en una dirección determinada. En caso contrario se diceno-alternante. Cuando un enlace admite una proyección alternante decimos que el enlace es alternante.

alternante no-alternante

Como ya vimos en la breve historia de nudos, inicialmente se trabajó solo con nudos alternantes.Posteriormente se encontraron nudos no alternates. El que se muestra en la �gura es uno de los primerosnudos no alternantes de las tablas. La familia de nudos alternantes es muy estudiada y hay muchosresultados que se conocen solamente para nudos alternantes. Las conjeturas de Tait se dieron paranudos alternantes, ver 9.7.Identi�car un diagrama alternante es inmediato, pero identi�car si un enlace es alternante no es fácil,

ya que uno puede tener in�nitos diagramas no alternantes del enlace, pero garantizar que no puedehallar ninguna proyección alternante requiere mucho trabajo e ingenio. Aún hoy está la preguntaabierta: ¿Cómo se reconoce que un nudo es alternante?

Diagramas reducidos y separables

Una proyección se llama reducida si no aparecen �bucles� o mas generalmente, si

no es de la forma , donde A y B representan pedazos del diagrama, que no tienen

cruces entre sí. Al estudiar los diagramas de nudos, siempre se consideran diagramas reducidos.


Decimos que un enlace es separable o split si las componentes de este pueden ser deformadas hasta queestén en diferentes lugares del espacio, de tal manera que existe un plano que separa las componentesen diferentes lados y no intersecta a ninguna componente. En la práctica se detecta un diagramaseparable si tiene una componente que pasa por debajo o por encima del resto del enlace. En ese casoel diagrama se puede modi�car y tenemos la unión disjunta de dos enlaces, como se muestra en la�gura.

En general estudiamos nudos y enlaces no separables.

Presentación en puentes

Si analizamos un diagrama de un enlace, vemos que está formado por una colección de arcos disjuntos.Un puente es un arco entre dos cruces por debajo y que pase al menos un cruce por encima y que nopasa por debajo de otra parte del nudo. El concepto de número de puentes para el diagrama de unenlace fue introducido por Schubert, [166], [167] y [165] ha sido ampliamente estudiado. En el caso dediagramas de nudos la idea intuitiva es clara, pero para extender el concepto de forma natural paraestudiar el número de puentes de un diagrama de un enlace con 2 o más componentes, nos encontramoscon situaciones ambiguas en el caso de que el enlace tenga componentes sueltas que puedan separarse,o sea que se trate de un enlace separable (split). Por eso el primer paso es precisar lo que signi�capresentación en n-puentes del diagrama de un enlace.Intuitivamente, un puente es considerado un arco del enlace entre dos cruces por debajo y que pasa

por al menos un cruce por encima. En otras palabras, es un arco del enlace que no pasa por debajo deotra parte del enlace.Rigurosamente, ver [37], supongamos que D es un diagrama regular de un enlace L. Decimos que

el número de puentes de D es n si podemos dividir D en 2n curvas poligonales �1; �2; � � � ; �n y�1; �2; � � � ; �n tales que se cumplen las siguientes condiciones:(1) D = �1 [ �2 [ � � � [ �n [ �1 [ �2 [ � � � [ �n(2) �1; �2; � � � ; �n son arcos simples, mutuamente disjuntos.(3) �1; �2; � � � ; �nson arcos simples, mutuamente disjuntos.(4) En los cruces de D; �1; �2; � � � ; �n son segmentos que pasan sobre los cruces, mientras que�1; �2; � � � ; �n son segmentos que pasan bajo los cruces. Las intersecciones de los arcos �i y �j sontransversales, para todo i; j = 1; � � � ; n.En la �gura siguiente el diagrama a tiene una presentación en 5 puentes, el diagrama b tiene una

presentación en 3 puentes, el enlace del diagrama c tiene una presentación en 2 puentes y el enlacedel diagrama d no tiene presentación en puentes, ya que tiene una componente suelta, y por tantoel número de arcos por encima de la proyección no coincide con el número de arcos por debajo de la


proyección.

a b c d

Todo enlace admite una presentación de m puentes, para algún m; ver [11]. En un nudo, cualquierdiagrama del nudo es una presentación en puentes. Si la proyección no es alternante, el número depuentes es menor que el número de cruces.

2.1.3. Equivalencia de enlaces y movimientos de Reidemeister

Hay varias de�niciones de "igualdad"de enlaces. Nosotros presentamos dos de ellas, que se puedeprobar son equivalentes.

De�nición 2.1.2 Dos enlaces N y K se dice que son equivalentes, si existe un homeomor�smo f :S3 ! S3; que preserva orientación, tal que f(N) = K: Se denota por N ' K:

De�nición 2.1.3 Diremos que dos enlaces L1 y L2 son isotópicos si existe una isotopía h : R3 �

[0; 1] ! R3 tal que h(L1; 0) = h0(L1) = L1 y h(L1; 0) = h1(L1) = L2. Mediante la isotopía se de�ne

una relación de equivalencia, cuyas clases se llaman tipo de enlace. En este caso se dice que los enlacesson isotópicos si pertenecen a una misma clase.

Se puede probar que dos nudos N;K son equivalentes si y solo si son isotópicos.La noción de equivalencia satisface la de�nición de una relación de equivalencia, es re�exiva, simétrica

y transitiva. La teoría de nudos consiste en el estudio de clases de equivalencia de los nudos. En generalse trata de un problema difícil de decidir si o no dos nudos son equivalentes o se encuentran en la mismaclase de equivalencia, y mucho de la teoría de nudos se dedica al desarrollo de técnicas para ayudar enesta decisión.Si estamos trabajando con enlaces orientados, debemos pedir que se preserve la orientación, por lo

que tenemos la siguiente de�nición.

De�nición 2.1.4 Dos enlaces orientados N y K son equivalentes si existe un homeomor�smo h :R3 ! R

3 que preserva la orientación tal que h(N) = K.

Esta de�nición es muy concreta desde el punto de vista matemático, pero resulta muy difícil deemplear en la práctica, aún para el caso del nudo mas simple, que es el nudo trivial. La siguiente �gura


muestra varios diagramas del nudo trivial.

ab c

d

Tabla 1

¿Puede encontrar algún homeomor�smo que transforme uno de los nudos en otro?Dado que en muchas ocasiones la construcción de un homeomor�smo o de la isotopía que cumpla

las condiciones de la de�nición puede ser complicada, uno desea tener una de�nición equivalente a laanterior que permita concluir la equivalencia de nudos más rápidamente.Dado que gran parte de nuestro estudio se hace con base en diagramas de nudos y no sobre los mismos,

es necesario buscar una de�nición de equivalencia de diagramas que corresponda a la equivalenciade nudos. Adicionalmente se tiene que estudiar los nudos según su proyección presenta una grandesventaja: si dos nudos tiene la misma proyección, ellos son iguales, pero el recíproco no es cierto.Necesitamos entonces determinar la equivalencia de diagramas.Para de�nir la equivalencia de diagramas el matemático Alemán Kurt Reidemeister, en 1926, intro-

dujo tres tipos de movimientos, que hoy se conocen como movidas de Reidemeister. Un movimientoReidemeister es una operación que puede realizarse en el diagrama de un nudo sin alterar el nudo cor-respondiente. Los movimientos de Reidemeister, que se muestran en la siguiente �gura, son pensadossobre una vecindad que sólo contiene esa parte del diagrama, lo que está por fuera de dicha vecindad,queda igual.

Tipo I. Tipo II. Tipo III.

Tenemos así la siguiente de�nición:

De�nición 2.1.5 Dos diagramas son equivalentes si es posible transformar el uno en el otro medianteun número �nito de movimientos de Reidemeister de Tipo I, Tipo II o Tipo III.

Estos movimientos de Reidemeister, son realizados por homeomor�smos que preservan orientación.Así diagramas equivalentes representan nudos equivalentes y el recíproco también es cierto y por tantotenemos el siguiente teorema, que Reidemeister probó, ver [16].

Teorema 2.1.3 Dos enlaces son equivalentes si y sólo si sus diagramas están relacionados por unasecuencia �nita de movimientos de Reidemeister.

El resultado de Reidemeister dice entonces que dos nudos clásicos son equivalentes si y sólo sisus respectivos diagramas son equivalentes. Esto nos permite estudiar nudos vía diagramas con todatranquilidad.Este teorema parece haber resuelto el problema. Pero realmente se convirtió en otro problema, que

aún está abierto:¿Se puede construir un algoritmo que permita decidir si dos proyecciones dadas son equivalentes?


Haken, en 1961 publicó un artículo en el que se prueba que existe un método para detectar si unnudo es suelto. Pero es tan complejo, que es imposible construir un algoritmo que se pueda programaren un computador.Así que a pesar del resultado de Reidemeister sigue buscando formas de reconocer cuando dos enlaces

son equivalentes.

2.1.4. Enlaces ascendentes

Tomemos un enlace L y un punto de partida; llamado punto base, el cual no puede estar en uncruce, y comenzamos a recorrer el enlace de tal manera que cuando nos encontramos un cruce porprimera vez lo cambiamos para que cruce por encima, si este ya cruza por encima se deja tal comoesta y se continua el recorrido. Al enlace obtenido después del proceso anterior se le denomina enlaceascendente. La siguiente proposición es un ejemplo del uso de los movimientos de Reidemeister.

Proposición 2.1.4 Un enlace ascendente es equivalente a un enlace trivial.

Prueba. Sea L el diagrama de un enlace con n componentes. Vamos a usar inducción sobre elnúmero de cruces C del enlaceSi C = 0, el enlace es el trivialSi C = 1; el enlace tiene sus componentes sueltas y triviales exceptuando a una que tiene un cruce,

pero es trivial al realizar un movimiento de Reidemeister de tipo I como se muestra en la �gura.

Componentessueltas, triviales

Componentessueltas, triviales

RI)

Ahora supongamos que se tiene la a�rmación para un enlace con C cruces y que L es un diagramaascendente con C + 1 cruces.Si es un enlace de mas de 2 componentes, sabemos por el ejercicio 1 de 2.1.1 que el numero de cruces

entre componentes es un numero par, y al ir recorriendo una componente esta va a quedar encimade las otras y así con movimientos tipo de Reidemeister de tipo II podemos convertirlo en un enlaceseparado de dos componentes y el número de cruces en cada una va a ser menor que C + 1:Luego aplicando la hipótesis inductiva a cada una de las componentes tenemos que L es trivial.Si es un nudo, al ser un enlace con una sola componente, podemos tomar a partir del punto base los

primeros cruces que se recorren, si son diferentes se realizan movimientos de Reidemeister de tipo II ysi es el mismo, se realizan movimientos de Reidemeister de tipo I, obteniendo un diagrama con menoscruces.Este proceso que describimos para formar los enlaces ascendentes nos da un método sencillo para

crear enlaces sueltos. Lo vamos a utilizar cuando de�namos los polinomios invariantes más adelante.

2.1.5. Ejercicios

1. Encuentre la sucesión de movimientos de Reidemeister que permitan mostrar que cada uno delos nudos de la tabla 1 son triviales.

2. Para cada unos de los nudos de las Tablas 1 y 2, encuentre una sucesión de cambio de cruces quesuelte el nudo. Trate de obtener la menor sucesión de cambio de cruces posible. ¿Puede garantizarque la sucesión de cambios que obtuvo es la menor?

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