Introduccion a la Fısica Experimental

Guıa de la experiencia

Pendulo de torsion.

Momento de inercia de un anillo.

Departamento de Fısica Aplicada.Universidad de Cantabria.

Febrero 13, 2006

Tenga en cuenta que la lectura previa de esta guıa y la comprobacion delas ecuaciones le llevara del orden de una hora, incluyendo la consulta delas palabras clave, y que la lectura de la bibliografıa especıfica en inglesle llevara una hora.

Resumen

Se muestra como mediante experimentos con un pendulo de torsion(barra metalica), previamente calibrado para obtener su constantede torsion caracterıstica, es posible obtener el momento de inerciade un anillo.

Introduccion

Cuando se situa un cuerpo rıgido 1 solidario con un eje vertical unido a unresorte (muelle espiral horizontal o una barra metalica) y el cuerpo se hacegirar un cierto angulo φ, respecto a la posicion de equilibrio, el resorte seexpande (o comprime) y ejerce un momento de restitucion ~τ sobre el cuerpo,

~τ = ~r× ~F , (1)

donde ~r es el vector desplazamiento y ~F la fuerza recuperadora.Este dispositivo constituye un pendulo de torsion (Fig. 1). Para angulos

de giro pequenos, el modulo r ≡ |~r| es proporcional al angulo, r α φ, y, deacuerdo con la Ley de Hooke, el modulo de este momento τ es proporcional alangulo de giro siendo la constante de proporcionalidad, constante restauradoraangular o constante de torsion del muelle, D, con

τ = −D·φ , (2)

1Consulte y escriba la definicion de todos los conceptos que aparecen en letra cursiva en estetexto.

1

(a) (b)

(1) (2)

(3)

(4)(5)

Figura 1: Dispositivo experimental de un pendulo de torsion. (1) Barrita hueca de aluminiocon tornillo, pesos con tornillos, (2) sensor de movimiento rotatorio conectado a un sistemade adquision y representacion grafica de datos, (3) Barra metalica sujeta por sus extremos,que constituye el pendulo de trosion, (4) fijacion inferior del pendulo, (5) trıpode.

donde D depende de las propiedades del resorte o de la varilla.El sistema conjunto plataforma –sistema unido al sensor– mas resorte acu-

mula una cierta cantidad de energıa inicialmente y cuando el conjunto se dejalibre, esa energıa se va distribuyendo entre la energıa cinetica de rotacion dela plataforma, TR = Iω2/2, siendo I el momento de inercia de la misma y ωsu velocidad angular, y la energıa elastica del resorte TE = Dθ2/2, siendo Dsu constante elastica y θ el angulo girado.

La aplicacion de un momento sobre un pendulo de torsion hace que esterealice oscilaciones en torno a su posicion de equilibrio con un perıodo T queviene dado por,

T = 2π

√IZ

D(3)

siendo IZ el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro tomadocomo direccion z la vertical. Por tanto, el pendulo de torsion permite obtener elmomento de inercia de un cuerpo determinando experimentalmente su perıodode oscilacion, una vez conocida la constante D, o viceversa.

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Descripcion del material

Para llevar a cabo la experiencia pendulo de torsion, se utiliza el siguientematerial (Fig. 1):

1. Barra metalica hueca y pesos con tornillo [(1) en Fig. 1 ]

2. Sensor de rotacion (marca PASCO) conectado a un sistema de adquisicionde datos, conectado a un ordenador que dispone de un programa pararepresentar angulos. [(2) en Fig. 1 ]

3. Barra larga fijada por sus extremos (pendulo de torsion) [(3) en Fig. 1 ]

4. Dinamometro

5. Trıpode y barra soporte [(5) en Fig. 1 ]

6. Una regla

7. Un cronometro (opcional).

8. Plataforma y anillo [(1) y (2) en Fig. 2 ]

Reflexiones previas a la realizacion del experimento

1. Defina los conceptos de centro de masas y momento de inercia de uncuerpo.

2. Encuentre, en la bibliografıa, las expresiones correspondientes a los mo-mentos de inercia de algunos objetos con formas geometricas sencillas:varilla, disco, esfera y cilindro, respecto de algun eje de simetrıa. Pre-sente esa informacion en una tabla.

3. Enuncie y demuestre el teorema de Steiner (o de los ‘ejes paralelos’).

4. Consulte la bibliografıa y obtenga la Ec. (3). ¿Que tipo de movimientodescribe, entonces, cualquier objeto solidario con el eje vertical que, a suvez, esta unido al pendulo que se menciona en la Introduccion.

Indicaciones

Lleve a cabo las siguientes experiencias:

1. Determine mediante el empleo del dinamometro el valor de la constanterestauradora del pendulo (metodo estatico). Para ello, coloque sobre elmuelle la varilla, gire un cierto angulo y mida con el dinamometro elmodulo de la fuerza, F , que hay que aplicar a una distancia r del ejepara que la varilla se mantenga en equilibrio, para dicho desplazamiento

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angular. Situe el dinamometro perpendicularmente a la varilla. Desvıela varilla un angulo mayor y mida la fuerza situando el dinamometroa la misma distancia del eje, y ası sucesivamente. Para determinar Drepresente graficamente el momento frente al angulo de giro. ¿Que de-pendencia observa?

2. Separe la barrita, con las dos masas de laton atornilladas a ella, un ciertoangulo de su posicion de equilibrio. Sueltela y dejela oscilar libremente.Mida la distancia l a la que coloca cada masa de laton respecto del ejede giro y obtenga el valor del perıodo de oscilacion del sistema paraesa posicion. Mida estas distancias y sus correspondientes perıodos paraotras seis posiciones de las masas de laton a lo largo de la barrita (metododinamico). Demuestre que

T = 2π

√2ml2

D, (4)

siendo m la masa de cada pieza de laton. Calcule el error que se cometeal no incluir la barrita en el calculo del momento de inercia del sistema.Si este error es suficientemente grande, incluya dicho momento de inerciaen el calculo del perıodo.

(a) (b)

(1) (2)

Figura 2: Dispositivo experimental para medir el momento de inercia de una anillo sobreplataforma utilizando un pendulo de torsion. (1) Plataforma, (2) plataforma y anillo.

3. Una vez conocida la constante restauradora del muelle por los dos metodosdescritos anteriormente, determine experimentalmente el momento de in-ercia de un anillo metalico pesado colocado sobre una plataforma. Este

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objeto posee una geometrıa sencilla por lo que sus momentos de iner-cia se pueden calcular teoricamente conocidas la masa y las dimensionesgeometricas del mismo (emplee la balanza, regla, calibre y el esferometro,si fuera necesario). Compare ambos resultados (experimental y teorico).

Preguntas adicionales relacionadas con la experiencia

1. ¿Que ocurre si no se situa el dinamometro perpendicularmente a la va-rilla? ¿Que unidades tiene D? ¿Cual es su significado fısico? ¿Es precisorealizar un ajuste por mınimos cuadrados para obtener D?

2. ¿Que metodo es mas preciso el estatico o el dinamico? Discuta las posi-bles fuentes de error ¿Que valor de D empleara a la hora de obtener losmomentos de inercia?

3. ¿Para que se puede utilizar el pendulo de torsion? Describa la balanzade torsion empleada por Henry Cavendish. ¿Como funciona y para quesirve?

Referencias

[1] P. A. Tipler, Fısica, 4a Edicion, Tomo I, Ed. Reverte, Barcelona (1999),pp. 255 y ss, 416 y ss.

[2] R. A. Serway, Fısica, Tomo I, 3a Edicion (2a Ed. en espanol), Ed. McGraw-Hill, Mejico (1992), pp. 279 y ss, 344 y ss.

[3] R. M. Eisberg, L. S. Lerner, Fısica: Fundamentos y Aplicaciones, Vol. I,Ed. McGraw-Hill, Mejico (1981) pp. 417 y ss.

[4] S. Chapman, Discovering the torsion pendulum expression in the freshmanlaboratory, Am. J. Phys. 16, 308-309 (1948).

[5] R. E. Green, Calibrated torsion pendulum for moment of inertia measure-ments, Am. J. Phys. 26, 498-499 (1958).

[6] kossi.physics.hmc.edu/Courses/p23a/Experiments/Cavendish.html.

[7] www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/Class/circles/u6l3d.html

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