Introducción a la programación lineal

Introducción a la Introducción a la programación linealprogramación lineal

Prof. Elvis Espinoza CProf. Elvis Espinoza C

Prof. Econ. Elvis Espinoza CastilloProf. Econ. Elvis Espinoza Castillo

IntroducciónIntroducciónLa programación lineal es un enfoque de solución La programación lineal es un enfoque de solución de problemas elaborados para ayudar a los de problemas elaborados para ayudar a los gerentes a tomar decisiones.gerentes a tomar decisiones.– Por ejemplo:Por ejemplo:

Un fabricante desea elaborar un programa de producción y Un fabricante desea elaborar un programa de producción y una política de inventario que satisfagan la demanda de una política de inventario que satisfagan la demanda de ventas en periodos futuros.ventas en periodos futuros.Un analista financiero debe seleccionar un portafolios de Un analista financiero debe seleccionar un portafolios de inversión elegido de entre varias alternativas de acciones y inversión elegido de entre varias alternativas de acciones y bonos.bonos.Un gerente de mercadotecnia desea asignar mejor los Un gerente de mercadotecnia desea asignar mejor los recursos del presupuesto que dispone para sus medios de recursos del presupuesto que dispone para sus medios de publicidad.publicidad.Un empresa tiene almacenes y tiendas en diferentes puntos Un empresa tiene almacenes y tiendas en diferentes puntos de la ciudad, podemos minimizar los costos de envío de la ciudad, podemos minimizar los costos de envío totales.totales.


Un problema de maximización Un problema de maximización simplesimple

Una pequeña empresa de desinfectantes, emplea tres Una pequeña empresa de desinfectantes, emplea tres materias primas, para producir dos tipos de productos: A y materias primas, para producir dos tipos de productos: A y B.B.Las tres materias primas se mezclan para producir ambos Las tres materias primas se mezclan para producir ambos productos.productos.Para una tonelada del producto A se utilizan 0.4 toneladas Para una tonelada del producto A se utilizan 0.4 toneladas del material 1 y 0.6 toneladas del material 3.del material 1 y 0.6 toneladas del material 3.Así mismo para el producto B, se utilizan 0.5 toneladas del Así mismo para el producto B, se utilizan 0.5 toneladas del material 1; 0.2 del material B y 0.3 del material C.material 1; 0.2 del material B y 0.3 del material C.Si solo se dispone de 20 toneladas del material 1; 5 Si solo se dispone de 20 toneladas del material 1; 5 toneladas del material 2 y 21 toneladas del material 2.toneladas del material 2 y 21 toneladas del material 2.Si por cada tonelada del producto A se gana 40 mil soles y Si por cada tonelada del producto A se gana 40 mil soles y por el producto B 30 mil soles.por el producto B 30 mil soles.Según estos datos, ¿cuánto se debe producir de cada uno Según estos datos, ¿cuánto se debe producir de cada uno para maximizar las utilidades totales de la empresa?para maximizar las utilidades totales de la empresa?


Formulación de problemaFormulación de problema

La formulación del problema es el La formulación del problema es el proceso de traducir la declaración proceso de traducir la declaración verbal del mismo en una declaración verbal del mismo en una declaración matemática.matemática.– Lo primero que se debe hacer es Lo primero que se debe hacer es

entender el problema a fondo y luego:entender el problema a fondo y luego:Definir las variablesDefinir las variables

La función objetivoLa función objetivo

Las restriccionesLas restricciones


Tabla de resumenTabla de resumen

PRODUCTOSPRODUCTOS

AA BB DisponibilidDisponibilidadad

Material 1Material 1 0.40.4 0.50.5 2020

Material 2Material 2 0.20.2 55

Material 3Material 3 0.60.6 0.30.3 2121Utilidad Utilidad

(miles de (miles de soles)soles)

4040 3030


Planteamiento del problemaPlanteamiento del problemaDefinición de variables:Definición de variables:– Sea A y B las cantidades de cada producto, donde la empresa puede Sea A y B las cantidades de cada producto, donde la empresa puede

controlar su producción y es el nivel de cada uno la decisión que tiene controlar su producción y es el nivel de cada uno la decisión que tiene que tomar.que tomar.

Función ObjetivoFunción Objetivo– Teniendo en cuenta las contribuciones de cada producto en la utilidad Teniendo en cuenta las contribuciones de cada producto en la utilidad

total de la empresa, la función objetivo quedaría de la siguiente total de la empresa, la función objetivo quedaría de la siguiente manera:manera:

U = 40A+30BU = 40A+30BRestricciones:Restricciones:– Según la disponibilidad de cada material, tenemos las Según la disponibilidad de cada material, tenemos las

siguientes tres restricciones:siguientes tres restricciones:En la primera debido a que se dispone de 20 toneladas de material En la primera debido a que se dispone de 20 toneladas de material 1 y el uso de cada producto de este material es 0.4 para A y 0.5 1 y el uso de cada producto de este material es 0.4 para A y 0.5 para B; se plantea la siguiente primera restricción:para B; se plantea la siguiente primera restricción:

0.4A+0.5B 0.4A+0.5B << 20 20Las siguientes restricciones serían como sigue:Las siguientes restricciones serían como sigue:

0.2B 0.2B << 5 50.6A+0.3B 0.6A+0.3B << 21 21

Finalmente, tenemos las condiciones de no negatividad:Finalmente, tenemos las condiciones de no negatividad:A y B A y B >> 0 0

PROBLEMAS TIPO DE PROBLEMAS TIPO DE PROGRAMACION LINEALPROGRAMACION LINEAL

Solo planteamientoSolo planteamiento

Problema de Problema de dimensionamiento de lotesdimensionamiento de lotes

Problema de planificación de Problema de planificación de personalpersonal


PlanteamientoPlanteamientoLas enfermeras de un hospital llegan cada Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. continuas. La administración ha decidido la idea de La administración ha decidido la idea de definir 6 cambios de turno al día para definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los minimizar las distracciones y los problemas de comunicación que ocurren problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno.en los cambios de turno.El hospital ha realizado un análisis del El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los trabajo requerido durante cada uno de los seis períodos del día.seis períodos del día.


Las características de cada período son las siguientes:Las características de cada período son las siguientes:

Las enfermeras que empiezan a trabajar en los períodos 2, 3 y 4 ganan US$40 al día, y aquellas que comienzan en los períodos 1, 5 y 6 ganan US$50 al día.

¿Cuántas enfermeras deben empezar a trabajar en cada turno para minimizar los costos por salarios?


Definición de variables y función Definición de variables y función objetivoobjetivo

Como existen 6 horarios diferentes vamos Como existen 6 horarios diferentes vamos a plantear 6 variables “Na plantear 6 variables “Nii”; de i=1 hasta ”; de i=1 hasta i=6; donde “N” representa la cantidad de i=6; donde “N” representa la cantidad de enfermeras que empiezan en el turno “i”.enfermeras que empiezan en el turno “i”.De esta manera si cada enfermera cobra De esta manera si cada enfermera cobra diferente dependiendo del turno en el cual diferente dependiendo del turno en el cual inicia; tenemos la función objetivo inicia; tenemos la función objetivo siguiente:siguiente:z = 50Nz = 50N11 + 40N + 40N22 + 40N + 40N33 + 40N + 40N44 + 50N + 50N55 + 50N + 50N66

Esta claro que esta función tiene que ser Esta claro que esta función tiene que ser minimizada.minimizada.


Restricciones:Restricciones:Ahora bien si cada enfermera tiene que trabajar un turno Ahora bien si cada enfermera tiene que trabajar un turno de 8 horas, las que empiezan por ejemplo a las 2 a.m. de 8 horas, las que empiezan por ejemplo a las 2 a.m. terminan su turno a las 10 a.m.terminan su turno a las 10 a.m.Esto quiere decir que en el horario de 6 a.m. a 10 a.m. Esto quiere decir que en el horario de 6 a.m. a 10 a.m. están las enfermeras que tienen el horario de 6 a.m. a 2 están las enfermeras que tienen el horario de 6 a.m. a 2 p.m. pero también se encuentras las que tienen el horario p.m. pero también se encuentras las que tienen el horario de 2 a.m. a 10 a.m.de 2 a.m. a 10 a.m.

RequerimientosRequerimientos 2525 6060 5050 3535 5555 4040

PeriodoPeriodo 11 22 33 44 55 66[2am – [2am – 10am]10am]

NN11

[6am – 2pm][6am – 2pm] NN22

[10am – [10am – 6pm]6pm]

NN33

[2pm – [2pm – 10pm]10pm]

NN44

[6pm – 2am][6pm – 2am] NN55

[10pm – [10pm – 6am]6am]

NN66 NN66


RestriccionesRestriccionesDe la tabla anterior se puede obervar que De la tabla anterior se puede obervar que en el periodo 1 ( de 2 a 6 a.m.) se en el periodo 1 ( de 2 a 6 a.m.) se necesitan 25 enfermeras como mínimo.necesitan 25 enfermeras como mínimo.Dado que en este horario se encuentran la Dado que en este horario se encuentran la cantidad de enfermeras que comienzan a cantidad de enfermeras que comienzan a las 2 a.m. (N1) y las que comenzaron a las las 2 a.m. (N1) y las que comenzaron a las 10 p.m. del día anterior (N6).10 p.m. del día anterior (N6).Entonces nuestra primera restricción Entonces nuestra primera restricción quedaría de la siguiente forma:quedaría de la siguiente forma:

N1 + N6 N1 + N6 >> 25 25


Modelo formalModelo formalMinimizar:Minimizar:Z = Z = 50N50N11 + 40N + 40N22 + 40N + 40N33 + 40N + 40N44 + 50N + 50N55 + 50N + 50N66

Sujeto a:Sujeto a:NN66 + N + N11 >> 25 25

NN11 + N + N22 >> 60 60

NN22 + N + N33 >> 50 50

NN33 + N + N44 >> 35 35

NN44 + N + N55 >> 55 55

NN55 + N + N66 >> 40 40

NNii >> 0 0

Problema de dietaProblema de dieta

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