Introducción a la teoría de series de Fourier

Conferencias explicadas en la Cátedra de la Fundación«Conde de Cartagena»

por

Sixto Ríos'*)

[. — I N T R O D U C C I Ó N

1. 1. Generalidades.

i. Se llama serie trigonométrica, una serie de la forma

00

—-—|-- /1 (am cos m x -\- bm sen m x) [i JfH = 1

en que los coeficientes am y b,„ son reales y x es una variable real.Estas series, cuyo origen ha sido el problema de la representación analítica de

funciones reales, tienen numerosas aplicaciones en Astronomia, Técnica, Físicamatemática y en Matemática pura.

Los problemas planteados en el desarrollo de la teoría de series trigonomé-tricas han contribuido de modo decisivo al progreso del Análisis matemático.Basta citar como ejemplos el concepto moderno de función, las definiciones deintegral a partir de Riemann y la teoría de conjuntos de Cantor.

Sustituyendo en [i] sen m x y cos m x por sus valores dados por las fórmu-las de Euler:

¿i m x ! _ g — tmx gimx g — ttnxcos m x = ; sen in x =

2 21

resulta00

-~ao + — ¿^ \(am-ií>mïeimx + ("m + il>m)e-i"'*)\nt—l

(*) Redactadas cou la colaboración de M.a E. Ríos, j. Béjar y T. Iglesias.

44 —

Si ponemos a-m = -}-am y b „, — — bm résulta

•7 a¡> + -2- ¿£ tta»> - "'¿»<)eimx + (a-™tn — Î

+ mv-i6_m)e-'""]-- />. cm'im*

en que 2 c„, — am — ibm siendo además ¿_OT el conjugado de cm.Esta es la forma exponencial de las series trigonométricas, que se utilizan

frecuentemente en la teoría de funciones cuasiperiódicas que vienen representa-das por series trigonométricas más generales:

-t- -£>

2>-x— 00

en que los >.„ son números reales.

1. 2. La cuerda vibrante.

El problema que ha dado origen a la teoría de las series trigonométricas esel de la cuerda vibrante, resuelto primeramente por D'Alembert.

Fig. i .

Consideremos en un plano cartesiano (*-,y} el segmento o<.r< i,jp = oy sobre él una cuerda homogénea tensa.

Se trata de determinar la función elongación y (x, i) que da la ordenada decada punto de la cuerda en el instante í, con las condiciones siguientes:

y(o,i)=y(i,t) = o

y(x,o)—/(x); y't (x,o)—g (x)

10[íl

La física matemática enseña que (prescindiendo del rozamiento) esta funciónsatisface a la ecuación en derivadas parciales de segundo orden siguiente:

&y ^ . <52j^d fì a" "òx" Í3)

— 45 -

en que a2 es una constante positiva que depende de la cuerda y es igual alcociente de la tensión por la densidad de la cuerda.

Es inmediato comprobar que son soluciones particulares de-la ecuación [3]las llamadas vibraciones propias de la cuerda, cuyas expresiones son:

y (x, ï) = sen k - x • sen a k z t

y (x, t) = sen k T: x • cos a k-z t (k entero) [4]

que verifican las condiciones en los limites:

f (x) -- o, g (.v) = a k - sen k T. x

/(x) = sen &r. x, g (x) — o

que se obtienen haciendo t = o en [4] y en su derivada respecto a í,

, \ cos a /f TU ív, Ix; í) — a A- x sen K - x '.J' v ' ' j — sen a k r. t

Observa además Bernoulli que cualquier suma finita o infinita de solucionesparticulares

•v (x, 1} - X sen k r x (a k cos a k~ t -j- b k sen a k z f) [5 J

es una solución que verifica las condiciones en los límites siguientes:

f (x) = S a/f sen k T: .v g (.v) -~ a - S k b k sen k z x [6]

¿Es esta solución la más general?

Admitido esto, queda implícitamente probado que cualquier función f (x), talÇue /(o) =/(t) — o, adoptada como posición inicial de la cuerda es represen-«ble por una serie de senos y corno la posición inicial de la cuerda es comple-tamente arbitraria si la solución [6] fuese la solución más general se tendría laconsecuencia de que toda curva puede ser representada por una serie trigono-métrica.

Esta afirmación de Bernoulli parecia absurda a Euler y sus contemporáneosya que para ellos existían dos ciases de curvas, geométricas esto es, représentâ-tes analíticamente, y arbitrarias que no tenían representación analítica. Por

a°to la afirmación de Bernoulli venia a destruir esta clasificación y Euler su-PUSO, para evitar ésto, que la solución [6] no era la más general.

La misma cuestión de la representación de funciones arbitrarias mediantenes trigonométricas se le presentó más tarde a Fourier al tratar un problema

e Distribución del calor en una placa.

_ 46 -

He aquí el problema: Consideremos una placa plana, homogénea e isótropa7C

indefinida como indica la figura. Las dos semirrectas r>o, x= + — son2

mantenidas a o° y el segmento

(-T. + T)

lo está a unas ciertas temperaturas constantes dadas. Se trata de ver la distri-

i

_ 7 l

bución de temperaturas en la placa, una vez logrado el equilibrio térmico,Fourier obtiene la ecuación en derivadas parciales:

ÒX-

T , (52Tz +-*-* =°d y*

y da como solución

T = 'Lape — (if — i)j> eos ( z f — i)*-

y si ésta es la solución general, haciendo y = o se podrá representar medianteesta fórmula una función arbitraria.

Para el caso más sencillo de T = c t <?, Fourier obtiene la serie

i , icos x cos 3 .v H cos ¡x —

para la cual demuestra que para valores de x comprendidos entre

/ t ic\ - * 3 j(~T'T/ suma T ypa ra T<*<'T

TC Xsuma

4

— 47 —

Y con este ejemplo echa por tierra las ideas de Euler sobre las curvas geomé-tricas y arbitrarias, ya que con una misma expresión analítica se representanvarias porciones de «curvas geométricas» distintas (*).

F¡g. 3-

Fourier se planteó entonces la cuestión de la determinación para cada fun-ción f ( x ) de su correspondiente desarrollo trigonométrico. He aquí un primerresultado relativo a .este problema.

TEOREMA.—Si la serie

----- afí -(- Z (j„ cos n .r -{- /;„ sen n .v)

converge uniformemente en (O, 2 -'), y es f (x) su suma xe tiene

a„ = ~- I f (x) cos n.\- dx, />„=- I f (x) senti .v d x [7]

i i D

Podemos multiplicar todos los términos de la sèrie por cos w x (n entero yPositivo) e integrar término a término.

Los términos que resultan son integrales de los tres tipos siguientes

ï- ïr.

I cos « .v cos i» .\' d x = / — [cos (m -j- n) x -j- cos (m — ;/) x\ d x = o

u u

/ cos w .r sen m .v d x = o [SJ

oo —

í cos2 n .v ,•d*-:---- T.

(*) De este modo, Fourier puso fin a la famosísima discusión entre D'Alernbert, Euler,Bernoulli y Lagrange, presentando en 1807 su Memoria, que, según se dice, dejó asombrado

a ï-agrange.

de donde resulta

¿r. -~

am =— / f (x) cos m x d x y anàlogamente bm = — / f (x) sen m x d x

que son las llamadas fórmulas de Ruler-Fourier.

1. 3. Problemas principales.

La hipótesis de la convergencia uniforme nos conduce a la continuidad dela- función f (x). Si f (x) no es continua, este proceso nos sugiere otro puntode vista.

Dada una función cualquiera f (x) definida en el intervalo (o, 2 z) tal que/ (x) • cos n .r, / (x) • sen u x sean integrables en dicho intervalo formemos me-diante las fórmulas [i] las constantes a„, b„ llamadas constantes de Fourierde f (x) y escribamos

co/ (x) ~ — a0 -f- /: (a„ cos n x -j- bn sen n x)

en que el signo ~ no es de igualdad, sino solamente expresa que el segundomiembro es la serie de Fourier de la función f ( x ) .

Se plantean entonces los siguientes problemas, alrededor de las cuales seagrupa toda la teoría.

i.° Obtenido el desarrollo en serie de Fourier de una función f ( x ) cuandoes convergente dicho desarrollo ¿Convergerá siempre hacia /(#)?

2.° Unicidad del desarrollo en serie de Fourier de una función.3.° Convergencia y suma de una serie trigonométrica de la que no se sepa

que es una serie de Fourier.Naturalmente según el concepto de integral que utilicemos en el estudio de

estas series obtendremos resultados diferentes.En la primera parte de esta exposición nos limitamos a considerar funciones

parcialmente continuas (continuas salvo en puntos aislados en número finito,en los cuales tiene discontinuidades de primera especie, con salto finito) y uti-lizaremos el concepto de integral de Cauchy, generalizada con el paso al límiteclásico en los puntos de discontinuidad. En la segunda parte de esta exposiciónhacemos el estudio utilizando la integral de Lebesgue (*).

(*) La utilización de la integral de Riemann da lugar a complicaciones no proporcio-nadas a la generalidad de los resultados obtenidos. Una exposición excelente de la teorísde series de Fourier con este concepto de integral puede verse en Rogosinski, FouricrsckeIntégrale,

— 49 —

1. 4. Ejemplos de series de senos.

Si la función f (.r) es impar la sèrie de Fourier correspondiente es una seriede senos. Para elio basta ver que los coeficientes an son todos nulos.

Por ser f ( x ) impar se verifica f(— x) — —f(x), luego

3 ï r. O ic

/ f (x) cos n x d x — I/ (x) cos n x d1 x = i f (x) cos n x d x -f- t f (x) cos « x d x =i) — r —ic o

O ic T 1C

= — / /(— v) cos « v d y -f- / /~(.r) cos « A- r/.j: — — / f (y) oos «jy d y -j- / /"(*) cos n x d x = o

TC O 0 0

Del mismo modo se ve que los coeficientes bn se pueden escribir en la formasiguiente:

X

¿„ — — J f (x) sen n x d x

o

EJEMPLOS:

i.° Desarrollar en sèrie de Fourier la función periódica tal que y = — (n — x) en

el intervalo [o,2 T.]

a. = o b,

It

2 r i- T j T f r — •^,-)sen«j?í3?jr= —

luegoi sen 2 x sen 3 AT

(a) — ( * — * ) ~ sen x -\ ¿ h h

obterlanti

:'emos por tanto una serie de senos ya estudiada y sumada por Bernoulli. Más ade-*[uc examinaremos para este y para los ejemplos siguientes la convergencia de la serie deFour'er obtenida.

^Ev- DE LA RE\L ACADEMIA DE CIENCIAS.—1!H7.

— 5° —

2.° Desarrollar en serie de Fourier la función

y — — para o -¿ x <í i:, v = — para -x.<^x <^2-4 " 4

«„ ='o, b.2 i' r.

„ = — I — sen « .v a x =- J 4

luego

T. sen 3 .r , sen s .rT ~ » e n * + —3—+ —— +

en el intervalo (o, -), y en el intervalo (r, 2 i:)

r. sen 3 x, . . sen 5 .v .sen .r -^ f- -f

4 3 5

?n

F'g- S-

3-° Desarrollar en serie de senos la función

!¿77 U/,

jV = x para o 5, x < — , v = - — .\- para — < x <, r..

Fig. 6.

— S' —

Los coeficientes de Fourier son:

-- y J x sen n x d x - ( - l (r — .r) sen n x d x 4 x= r- sen n —TC «2 2

y por tanto para el intervalo o < r < — se tiene:

4 , sen 'i, x sen S xx ^ — (Sen v U - 5•~ v -t2 ' -í>

y para el —2

4 , ^en 3 .r—- (sen .\- ~ \- •

5"

!• 5. Ejemplos de series de cosenos.

Al desarrollar una función par en serie de Fourier se obtiene una serie decosenos ya que los coeficientes b„ son nulos. La demostración es análoga a Iadada anteriormente para Ias funciones impares.

Los coeficientes de Ia serie de Fourier serán por tanto:

: O O» ~- — / f (ï1 ./

.r) cos « x d x

EJEMPLOS:

ï - Desarrollar eu serie de cosenos la función

r ,_ t - TCjy -- — par ¡i o-s .r — . v= para — < .r < ir4 2 " 4 2

azr

Fig- 7.

— 52 —

Tenemos en efecto:

t„ = o. «0 = o, a„ = — < I — cos n x d x -j- / ( -I cos n x d xn \ J 4 J \ 4 /

i ir— sen.» —n 2

para « > o. Por esto si o < „ï < — se tiene

r. cos T, x cos 5 x— ~ cos x — : H4 3 ^ 5

y para — < x <, - el desarrollo es el siguiente:•2

r cos 3 .v cos 5 *•~ cos x —

4 3 5

2." Desarrollo de la función y = — ( .v) en el intervalo (o, r.).2 \ 2 /

Tenemos: b„ = o fl0 = o y para ;/ > o

tf« = — / — I-11 -v) cos nxdx — ( i — (—- ./ 2 \ 2 / r n* O")

Fig. 8.

por tanto Ia serie buscada será

i / -K \ 2 . cos T, x ,7(7-*)~7(cosx ' + -ir- +

cos 5 r__3_ + )

1. 6. Ejemplos de series completas.

i.° Desarrollo en serie de Fourier de la función y — x en el intervalo (o, 2 '

^^ F -l

O J

Los coeficientes serán:

<J0 = — / .v d x = 2 •z a» — — /KJ ' J

x cos tt x ã x = o

' = -?** ./b, = — / .r sen u x d x = «

Luego el desarrollo en sèrie de Fourier de la función dada es:

sen 2 * sen 3 *.r - T. — 2 (sen *• -\ 1 ^ \- )

tm *

Fig. 9.

2.° Desarrollo en serie de Fourier de la función y = o en el intervalo• TC, o) e _7 = A- en (o, :c).

-ir

Fig. io.

•in 3/r

— .54 —

1tLos coeficientes son «0 = — y para n > r

2

(-»)"-' « _ i f.... v„_ (-D-+1i /• . (— i)" — i , i r ,a« = — l a; cos n x d x = ^-r b„ = — l JL- sen « r a *• =

TC J TC«2 c ./Ü 0

y por lo tanto para — TÍ < ;r < o la serie de Fourier de la función dada es lasiguiente

ir . . 2 . sen i x l 2 seu -5 x \o ^ L ( cos ^- _L sen x) — L I cos 7 A- J : 14 ic • 2 \ • ' l e 3a ' ) • : '3'" ' / •

y para o < JT <| 7t será:

ic . . 2 sen 2 / 2 sen 3 x \x ~ f- ( cos ;r -f- sen a:) \- I — cos x -\ J —

OBSERVACIÓN.—Si la función f (x) està definida en el intervalo (— /, -j- /)podemos obtener su desarrollo de Fourier en este intervalo mediante la serie

f (x) ~ Z \a„ cos n ic -í- + bn sen n T. -^-j [r]

siendo/ / /

i c i r x \ r xan= —j- lf(x)dx, a„ = — i f(x) cos «TC — dx. bn = -j- í f (x) sen n'ic-r-d x

—i —t —t

pues haciendo el cambio de variable

e- ** *- *£*-~ " x~~^

queda

/(*)=/.(4r) = F < £ >

al variar *- en (— /, -(- /) varia £ en el (— ic, -f- x) y hallando el desarrollo deFourier de F (Ç) y deshaciendo el cambio de variable anterior obtendríamos eldesarrollo [i].

Cuando f (x) se da definida en el intervalo (o, /) aplicando el procedimientoanterior se puede hallar el desarrollo de Fourier en (o, /) mediante el de un»función par o impar que coincida con f ( x ) en este intervalo

1. 7. Bibliografía.,

Como indica su título, esta exposición no pretende más que ser introducciónal estudio de obras más completas. De la parte elemental contiene un désarroi!0

— 55 —

sumamente claro la obra de Carslaw, Fourier's series and integrals (London,1930). Como obras de tipo enciclopédico señalaremos las de Tonelli y Hobson(Theory of functions of a real variable, Cambridge, 1926) y de carácter mássistemático las obras modernas de Zygmund (Trigonometrical Seríes, Varsòvia,1935) Y Kazcmarz y Steinhaus (Ortogonalreihen, Varsòvia, 1935), sumamentebellas y completas ambas. Citemos también los libros de Lebesgue, Hardy-Rogosinski, Schlessinger y Plessner, Sansone, etc.

II.—SUMACÍON DE SERIES TRIGONOMÉTRICAS

2. 1. Método de Euler-Lagrange.

Dada una serie trigonométrica es un problema difícil saber si es convergentey aún más calcular su suma. Tienen interés ciertos.artificios que permiten lo-grar fácilmente ésto en algunos casos.

Vamos a sumar la serie trigonométrica,

eos 3 x , eos 5 .v , .eos .v 1 — — {ij

con la cual Fourier hizo ver que la clasificación de las curvas en geométricas yarbitrarias carecia de fundamento. Se observa que la serie [i] es la parte real dela serie potencial

7 — 4- Z5 Í2l3 +T~ l l

para Z — e".La derivada de la serie [2] es la serie

i - ? > + / < - - [3l

cuya suma es: TT^a

Por tanto la [2] tiene como sumaxí <*-JT^r = aret t ; /

en el círculo |Z|<j, o mejor dicho, como esta función es multiforme aquellade sus determinaciones que es o para Z = o.

Esta función puede ponerse en.la forma siguiente:

/• ¿: i ¡' d t, i /• d^ tarc lg Z = / -^- — — \ "—- -f- — / -— -.-.. log./ l -)- ™ 2 J l -f- t ' 2 J l — í ü 2

I)

^v'M-SD+'" I

i 4- í Z

log .-¿z.

corno ha de ser la rama que es nula para Z = o se ha de tomar k = o.

- S* -

Haciendo ahora la sustitución antes indicada Z == <<"'*, en virtud de! teoremade Abel (*) el valor que se obtiene es la suma de la serie potencial supuestaconvergente en dicho punto. Se puede demostrar fácilmente que la serie [2] esconvergente en todos los puntos de la circunferencia de convergencia salvo enlos puntos

z= e 2 = 2 ,. 37C

Z = £' ï

Hagamos la sustitución indicada:

i ~|- j Z i — sen x -f- í cos x (i + sen x -f- i cos x) ( i — sen x -f- / cos x] . cos xi—z Z i -f~ sen 3: — i cos x (i -f- sen .r -(-z'cos ar) ( i -{-sen x -— z'cos x) i-j-sen .r

luego1 / I - M 2 \ I í <

— arg I 1 = — are2 b \ I — » Z / 2 I -f-f- sen x

-j si cos x > o, es decir4

T .<* ^ x

— < *•< —2 2

si cosa r<Co , es decir —<^ x 'f4 2 - 2

ya que -)- sen x > o

Luego

cos 3 .*•cos a: f-

_ .1 < r <T —2 - < 2

•t . it . . 3 '

-7 KI T<·r<-

Resumiendo, el método consta de las siguientes partes:i.° Determinación de la serie potencial cuya parte real (o imaginaria) coin-

cide sobre la circunferencia de radio i con la serie trigonomètrica dada.2.° Sumación de la serie potencial, 3.° Determinar en qué puntos de la cir-

cunferencia JZ| = i , es convergente la serie de potencias (claro está, en el casode ser el radio de convergencia i, el problema es en general difícil), (**) 4.° Deter-minar la parte real (o la parte imaginaria) de la suma de la serie potencial en lospuntos considerados.

YA método tiene principalmente un valor euristico pues nos hace llegar rá-pidamente a la función /(#) que debe estar representada por la serie dada ydespués se puede comprobar mediante el cálculo que los coeficientes de la seriede Fourier de la función obtenida son los dados.

(*) Si la serie / (z) = X an

z^ es convergente en un punto ro de la circunferencia <1£

convergencia, se verifica S on r"o = lim / (~) cuando z tiende hacia s por el radio.(**) Un teorema de Fatou es muy útil para la demostración de la convergencia, a W"

ber : Si / (z) = S "n'·2*1 es convergente para | z \ <^ 1 y an —^ O, la serie de potencias esconvergente en todos los puntos regulares de / (¿) situados en la circunferencia \s\ = 1-

— 57 —

Hay que tener precaución en la aplicación del método, pues prescindiendode la convergencia, Lagrange llegó a la igualdad errónea:

(- COS X -f- COS 2 .V -f-

con el siguiente razonamiento: La serie anterior es la parte real de la serie depotencias

4 + z f z 2 + . . . . =JL+ z

2 ' I— Z

y como es:

'(T + T^-)"

resulta la afirmación de Lagrange.Sumada una serie trigonométrica mediante integraciones o derivaciones su-

cesivas se pueden deducir de ella otras series y también sus sumas. Este proce-dimiento fue practicado por Fourier pero necesita una larga justificación.

l l i .— CK1TEK1OS DE CONVERGENCIA

3- 1. Criterios de convergencia.

Vamos a dar algunas sencillas condiciones suficientes de convergencia queson de utilidad en la práctica.

La serie

— - (eos .v -(- sen .v) -j (eos -2 x -|- sen 2 x) -)-

es convergente cualquiera que sea _r real, ya que tiene como mayorante

_L ( [ + I)+1L( | + I) +

La serie i -j- cos x -f- cos 2 .r -j- -f~ cos /e .r -j- no es convergen-te pues es la parte real de i -f- c'* -f- e''1" -f- -f- e1'»* -f- es decir susuma «—sima si .r no es congruente con o (mód. 2 ~) tiene como valor:

_ f i — £"" 1 „ I i — cos n x — /' sen « .v 1K l _— i ;z= j^ i i -_| i — e'* J l i — cos x — » sen .r J

i - cos .v — cos n x -}- sen .v sen w .v -f- cos « .v cos x i — cos x — cos n x -f- cos (« — i ) x2 — 2 COS .V 2 (l — COS .v)

2 « — I A"i — cos .v + 2 sen .v sen —-

2 2

2 (I — COS X)

- 58

que carece de límite cuando n —» co . Para los valores x ^= o (mód. 2 T:) Ia se-rie se reduce a i-|-i + I + luego es divergente para todo valor de x,

Análogamente se vê que Ia serie sen x ~\- sen 2 x -\- es convergentepara todos los valores x^^o (mód. /èit) y no para los demás.

Desde luego la codición a„ —> o, b„-±o es necesaria para la convergenciade una serie trigonométrica en un intervalo por pequeño que sea en virtud deun teorema de Cantor (1870); pero esta condición no es suficiente como ha de-mostrado Steinhaus (C. R. Varsóvia, 1912).

Una condición suficiente inmediata es suponer la convergencia absoluta deS a„ y 11Z>„. Con esta hipótesis se puede afirmar la convergencia absoluta yuniforme en todo intervalo de la serie trigonométrica, en virtud de la acotación:

[ an cos n x -\- bn sen n x \ < | a* \ -f- |. bn \

Tal condición se aplica p. e. a la serie

sen x sen 3 x sen 5 x~~7~ + ~T2i*

pero como es demasiado restrictiva vamos a dar otros criterios más amplios.Comencemos probando la convergencia de la serie de cosenos:

• -J- a¡ cos x + a2 cos z x -)-' + an cos n x -\-

Fig. i t .

en un punto x = 6 (o <[ 0 <C 2 it), suponiendo que a^ > aa

y que ax —>o.>an >

- 59 —

'Tomemos sobre el eje O u el segmento O Aí = —2- y tracemos la semirrec-

ta A,, «i tal que ul At-n = 6 y determinemos el punto A2 , tal que Aí A3 — a^por A2 tracemos A2 u^ t a lque u<> A2 u^ = 6 y tomemos A 2 A 3 = ú'2, etc. Laabscisa del punto A„ + i obtenido mediante este proceso, tiene como expresión

-— -f- .^i eos O -f- aj cos 2 ít -}~ -\- a„ cos « 6

Consideremos los círculos C1( C2, Cs, , determinados del siguientemodo: el (^ por los puntos A, , su simétrico A0 respecto a O y por A' situa-do sobre «, y tal que ALA'. = a0; C2 es tangente a Ct en A, y pasa por A 2 »C3 es tangente a C2 en A., y pasa por A3, etc. El radio de C„ es

a»-^iO

2 sen —2

ya que la cuerda A„_i A„ = a„^l corresponde al ángulo central 9 como fácil-mente se ve en la figura.

Si suponemos que, a„ —> o y que o •< O < 2 u resulta que r„ -> o y ademássuponemos que a¡ a.2> >• a„ está cada círculo contenido en elanterior y, por tanto, las "coordenadas de un pulito perteneciente a C„ tienenlímites, es decir, bajo estas hipótesis es convergente la serie [ i ] , ya que es ellímite de la abscisa de A„_J..I cuando n —>'oo .

Veamos ahora la convergencia uniforme. El valor absoluto del resto dedicha serie:

R„ = a„ 4-1 cos (n -f i ) x -j- a„-\- -¡ cos (n -f- z) r -%-

es menor que el diámetro de dicho circulo C„ ya que tanto la suma de la seriecomo la suma de los n -j- i primeros términos, son las abscisas de puntospertenecientes a C„ es decir

•R" » < -^sen —ï

Ahora bien, si consideramos un intervalo (a, ß) parcial de (o, 2 x) esto es,,.r

que en todos los puntos del mismo es sen — >• X >- o podemos asegurar que2

el resto de la serie es | R« (.v) | << •" es decir, tiende a cero independiente-A.

niente del valor de .v con. tal que o.<C« < < ß < 2 ;r.leñemos, pues, probada Ax convergencia uniforme de la serie\\\ bajo la hi-

pótesis de que sea an monótona decreciente y tienda a cero.Volvamos a la convergencia ordinaria. Si en la demostración de que las

— 6o —

sumas parciales de [i] para que un cierto valor de x = 9 tienen un punto límite,prescindimos de que la sucesión a„ sea monótona, ya no está cada círculocontenido en el anterior, pero si en sustitución de dicha hipótesis suponemosque la serie

00

J¿ I a„ — a„_1 |l

es convergente, se puede probar también la convergencia de la serie de cosenospara el valor 6 fijado.

En efecto, como los círculos C„-i y C« son tangentes interiores, la distan-cia de los centros es igual a la diferencia de los radios:

O^.O^ I r^-rn | = i^-J--^2 sen —

2

Si la serie

AZ^ I «» — «»-i Ii

es convergente, la sucesión de centros tiene un punto límite, ya que

oo« = oo, -f o7ba + 4- o«It o«

luego

lim | 00. | < | 00, |+ T I«-.--«.!n—> 00 ' . r U

l 2 sen —2

Como el radio de C„ tiende a cero, resulta que todo punto de C„ tiene lí-mite, y en particular, la sucesión de puntos A„ tiene límite y, por tanto es con-vergente la serie [ ) ] bajo las hipótesis de que an —>• o y que sea convergente la

oo• -12¿ I a„ — a„_} \

La convergencia uniforme en todo intervalo interior al (0,2 ic) resulta comoen el caso anterior.

Análogamente se demuestra la convergencia de la serie [i] excluyendo unentorno de x = x bajo la hipótesis de la convergencia de la serie

UM

2" | «„+*„-!

— 6i —

Igualmente resultan los criterios para series de senos y de unos y otros los cri-terios para series trigonométricas generales.

IV.—SISTEMAS ORTOGONALES

4. 1. Definiciones.

La teoría de series ortogonales, que puede considerarse como una generali-zación de la de series trigonométricas, tiene su origen en los trabajos sobreseries de polinomios de Legendre, Bessel, etc., en los de Hubert, Fredholm,etc. sobre ecuaciones integrales y también en los de los estadísticos (Gram,Thiele, etc.) relativos al problema de la representación de una función arbitrariapor una combinación lineal de otras funciones de un sistema fijo.

Fijados-tres vectores ortogonales-fundamentales »t, äz,ö3. todo vector delespacio R;i se representa como combinación lineal de aquellos:

X = : !/t X¡ -j- Üt X¡ -j- Ù:j X¡

Los números xíi ra, x3 miden las proyecciones del vector X sobre los vectoresfundamentales y pueden también considerarse como coordenadas cartesianasdel extremo del vector.

«.,

«t

Fig. 12.

Se define según sabemos el producto escalar de dos vectores X, Y por larelación (X, Y) x^y^ -f- xìyì -\~ x3y3 y como caso particular el módulo del

vector es |X| = (X,X)* .i í_

Como el producto escalar es también: (X, Y) = | X | * | Y j 3 eos fl siendo fi elángulo de los vectores resulta:

n <X ' Y> 'cos"œ ï ,-(X, X)V (Y, Y) 3

[=1

— 62 —

El problema de'ta representación analítica de funciones arbitrarias (del quees caso particular la representación por series trigonométricas de Fourier) esuna generalización del anterior.

Se trata aquí de representar una función dada como combinación lineal deotras de un sistema fijo. Nos limitaremos por ahora a considerar como dijimosanteriormente/M«í;/<7«í?.y llamadas parcialmente continuas. Si f ( x ) y g(x) son dosfunciones parcialmente continuas definidas en el intervalo (a, ¿), por analogíacon los vectores en R3) llamaremos producto escalar délas funciones o vectores

funcionales f^ g a la expresión:

b

lf,g) = ff(xig(*)¿x [3l

Análogamente al módulo de un vector en R.á definiremos la norma de un vec-tor funcional:

11/11 =

¿> 1

(/,/í=[//(*)2H2 w

y el coseno del ángulo de los dos vectores viene dado por la expresión:

15)eos O = (/- ¿r)

(f,fr(g,s)

que es también < i (*) análogamente a los vectores del espacio R8.Si es eos O = o las funciones se llaman ortogonales. Entonces se verifica

f/,^) = o.i_

Una función <o tal que (<p, tp)2 = i se llama una dirección.

(*) Esto es una consecuencia de la desigualdad de Schwarz

(/, S-)2 <(/,/) • (g,g) „ (/,tf)»^ U / H « ||*-||« ,, | ( f , g ) \ <l|/ II • \\g II

En efecto, siendo A una constante cualquiera positiva, tenemos

* /> h b

o<\(f-\-\sydx= (fZdx- + 2\ (fgdx + K r¿-2rf* = A + 2XB + X 2 C

" a a a

y como el segundo miembro de la igualdad es--una': expresión cuadrática en A, para que seaconstantemente positiva habrá de ser su discriminante B3.— A C <, O, , es ..decir,

O D t)

\jfgdx^<^jf*dxjg*dx

_ 63 -

Si en el intervalo (o, 2 it) consideramos la funciones:

i cos x sen x cos n x sen n x

l/TT'l/T'l/T' ~~/7~'~7^' [6J

las fórmulas i. 2 [8] prueban que estos vectores son direcciones ortogonales, esdecir, forman un sistema de ejes rectangulares en el espacio funcional consi-derado prosiguiendo la analogía con la Geometría analítica llamaremos a (/,. cp) cpproyección de f sobre la dirección cp y así las fórmulas de Euler (§1 .2) queahora se escriben:

/ i \ an ,- I cosnx\ ,- / sen«a- \ ,—/•-7=- =—V1: . /. --^— = a * V r c , /. =¿nVir

\ j/21: / 2 \ y r / \ y K /

expresan que los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier (supuesto exis-tente) de la función / son las proyecciones ortogonales de / sobre el sistemade ejes o direcciones [6]. Así podemos decir que el estudio de las series de Fou-rier es el de un espacio funcional en que se ha introducido un sistema de ejescartesianos rectangulares.

4. 2. Series ortogonales.

I'or generalización natural de las series trigonométricas se pasa a lasseries ortogonales. Una sucesión de f u n c i o n e s p a r c i a l m e n t e continuas'ri (-i ') , '£._, (.r), , cp„(-t), definidas en el intervalo («, b) y tales que

' (ç«, o™) — o. Si n 4= m

i \ ï -, l'](<&„ , <5») =/,«>• O

se llama un sistema ortogonal (*): Si además es ^„ = i el sistema se dice orto-normal.

Si el sistema j tp„ ! es ortogonal, evidentemente el de las

iIX.TÌes ortonormal.

Sea f , , cp,, , <p„ un sistema ortogonal y supongamos que es po-sible desarrollar una función parcialmente continua en serie uniformemente con-vergente

f(x) = C() <p0 -f Cj », -f- -f C„ tp„ -f-

(*.) A veces ,-c consideran sistemas ortogonales formados por conjuntos no numera''Cí de funciones.

— 64 -

Si multiplicamos los dos miembros por cp„ e integramos tendremos en virtudde[i]

A

C« = ~ f/>„ dX = ~ (/, 9«) [2¡'•« J /.«

a

que es la generalización de las fórmulas de Euler ( 1 . 2 ) . .Si el sistema j tp„ | es ortonormal, la fórmula [2] se reduce a [3] C„ = (/, y,),

es decir, los coeficientes C„ son las proyecciones de / sobre el sistema de di-recciones | <p„ j .

4. 3. Dependencia lineal.

Las funciones de un sistema ortogonal son linealmente independientes, esdecir, que si se verifica

«i <Pi (*) -f <*í tí (*) + + a« <p« (.r) = o

se tendrá:«j = CE2 = = Oí, = O

Basta multiplicar por <oí e integrar, con lo que resulta ax = o. Análogamentese obtiene aa = «3 = = a„ = o.

Más interesante es una propiedad que viene a ser en cierto modo recíproca.De una sucesión infinita de funciones v t, v2, v„, tales que r cual-quiera de ellas son linealmente independientes, se puede obtener mediante combina-ciones lineales un sistema tpj, cp2, , cp„, ortonormal.

Si en el espacio ordinario nos dan dos vectores que designamos con las

Fig- 13-

mismas letras que las funciones t\, v2 para construir otros dos combinaciónlineal de aquellos y ortonormales se procede del siguiente modo: i.° normaliza-mos »j con lo que obtenemos

"\n - L

(»i,»i)»

- 65 -

2.° Restamos a v., su proyección sobre vt con lo que obtenemos:

?a* = "2 — CPi-^a) '-?!

3.° Normalizamos œ* con lo que resulta:

fe*. ?2*)-J

Supuestos obtenidos estos vectores orto normales < p t , -f 2 si tuviéramos untercer vector v.A que no fuera combinación lineal de aquellos, para construirun vector combinación lineal de los tres y que sea ortonormal a los cp t, cp, pro-cederemos del siguiente modo: i.° restamos a vs su proyección sobre el planodeterminado por tpn <p, con lo que obtenemos:

<?3* = °3 — ('•?!• »3> ¥l — (?2 ' ^3) <Pa

el cual no es nulo porque v.A no es combinación lineal de cp l t 'f2. 2.° normali-zamos cp* con lo que obtenemos:

-3 - - - ^

(?3*.?3*)2

Fig. 14.

Si en vez de tratarse de vectores se trata de funciones, las fórmulas anterio-rs son completamente válidas y en general se obtiene:

<»«* = 0« — (c?l i VH)'?I — (?2- »*)?S — — (?«-!. VK) 'f"-l

1>*. ?-') '-'

ß-Ey. DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS.—l'.UT.

— 66 —

Si prescindimos de la condición de independencia lineal y, p. e., el vector z>„.depende Hnealmente de los ' ' l 5 î A 2 , , z/B, también dependerá linealmentede-los <PI, '-»a <?« — i y será es* = o ya que para obtener este restamos a VK.su componente según el sistema « / j , cp2, , cp A _i .

Vemos, pues, que este método, debido a E. Schmidt, permite al mismo tiem-po descubrir si hav vectores que dependen linealmente de los anteriores.

4. 4. Sistemas ortogonales particulares.

El método de E. Schmidt, que se utiliza en la teoría de ecuaciones integrales,,permite engendrar de un modo uniforme diversos tipos de sistemas ortogonales.

Si se aplica dicho método a las potencias J , J T , ^2, en el intervalo(— i, i ) se obtienen, salvo factores constantes, los llamados polinomios deL egendre:

P0 (*)=; , P, (.r) = .v, P2 (.r) =-- -1 x"- _ ~ , P3 (x) = -i *s - -2- a-, P4 (.r) =

35• X" -

4*+*- P,(*) = "3 ( 2 " - ' )U- *i»-'Lg.-« + |

1 « 1 - 3 >l \ 2 ( 2 « — i ) ]

Demuestre el lector como ejercicio, el siguiente teorema de Rodrigues

T /y»P« (.r) — •

2" « ! d X'

Si / (JT) es una función no negativa en (a ò) y se aplica el proceso de orto-gonalización al sistema linealmente independiente:

V p (x) , x VfW, »•-* Vp(x)

resultan diversos sistemas ortogonales:Acabamos de ver que si a — — j , b = i, p (x) = i se obtienen los polino-

mios de Legendre..Si

a = — 'i ¿> — i, p (x) — ——\/ 1 — .*•'-

se obtienen los polinomios de Tchebyschef

T,, (,r) —. - ¿——- eos (« are eos x)

introducidos para la resolución del problema siguiente. Entre todos los polino-mios de grado <•/ cuyo coeficiente del término de mayor grado es i , determinaraquel tal que

Max | ,v" + a!.*"•-» -f- . 4- j« | = Mínimo1 Y^ 1

- 67 -

Si

a = o, ô = i , p(x) = xì(i —x)f~9 (p— g> — ï, f > — t)

resultan los polinomios hipergeome'tricos de Jacobí

-V-1 — < ? Í T v:\4~P dn

G„ (p,q, x) = - , x > —2 to + »-i (i — *•)/» + »-í]tfte+l) ( ?+«—!) ¿*" l J

Analogamente.se obtienen los polinomios de Hermite, Laguerre, etc.

V.—PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS ORTOGONALES

5. 1. Desigualdad de Bessel.

Sea jtpJ un sistema ortonormal en (a, ¿), / una función parcialmente conti-

nua en (<2, ¿) y cv = f/tpv) los coeficiente de Fourier de / respecto a j<p„ jEvidentemente se tiene

J[/-¿\(?v ]2¿*>ov = l

ya que el integrando es un cuadrado y por tanto es positivoDesarrollando este cuadrado resulta:

o;?J/»rf*-2¿yv r/cpv rf*+J>V= U / H * -2J^ÍV2+^ÍV2= ll/ll*-^^1-o V = l a v = 1 V = l V = l V = l

de donde se deduce quen

¿^v< li / I l*v = l

y como esto vale cualquiera que sea n, será también

00y,cv*<\\f\\*v= 1

^ue es la llamada, desigualdad de Bessel.De aquí se deduce que la serie de términos positivos

ooz

— 68 —

es convergente, y por tanto c2 —> o; luego también c., —> o, es decir

2 r -> ~

l f (x) sen n x d x -->• o, I /"(*•) cos n x d x-* o

o o

Estàs relaciones son caso particular del llamado teorema de Riemann-Lebes-gue que más adelante demostraremos en general.

5. 2. Propiedad de mínimo de las sumas parciales.

Sin

S„ (X> = ^ £•„ :?.,

l

¿•j la suma parcial ii-ésima del desarrollo de Fourier de la función f (x) según elsistema ortonotmal j c p n j y

n

T,„ (x) = ^T 7v -sv .i

^í oír« combinación lineal de las funciones cpv í^ verifica:

fc-S^Í·'.ïfa-ZT.*?'.a ' « i

Es decir las sumas de Fourier dan en este sentido la aproximación óptima.En efecto se tiene:

* * 6 b

N = í(/-'l'm(x)Y'íix= lf*¿x+ í Tm?<¿X-2 j/Tmáx= f/z<¿x +

a ti it a

+ T v ' - 2 ^Tv'vl l

Y restando el valor de

* « b H

f (f - J£/v ?v J' dx=l/*ds- £ c,, *a l ,; '

queda:

¿V - 2 ¿ ïv S -f 2 ÍV» - ¿ (,v - Tv)*

l i l i

- 6g -

Por tanto el valor de N es mínimo cuando cv = fv como se quería demos-trar.

Esta propiedad del mínimo error cuadrático de las sucesiones parciales deun desarrollo ortonormal tiene gran importancia práctica y puede tomarsecomo definición y a partir de ella obtener las mismas expresiones ya encontra-das para los coeficientes de Fourier.

Dado el sistema ortonormal StpJ y la función parcialmente continua f ir)diremos que

nS» = > fv av

v = l

es una suma parcial n-ésima de Fourier de f ( x ) si la

ò

I (f-$n)*dx

es mínima.

El mínimo de la función

Kïi.Tï ,7«) = /[/-S«]2^

se obtiene, si existe, derivando bajo el signo integral e igualando a cero lasderivadas

tai

¿TV / [/— S„] <çv dx = o. : Tv = //'fv dx = (ffv

que son las expresiones de Euler ya obtenidas.

Que estos valores corresponden a un mínimo, lo hemos demostrado ante-riormente.

•>• 3. Convergencia en media. Sistemas cerrados.

Se dice que la sucesión

S« (.*) = JV Cv <sv (.r)

v = l

— 70 —

converge en media hacia la función / (x) en el intervalo (a, b) si se verifica que

rlim / (/(*)- y^^dx--= o (*) [i]

n •—>• QO J ^7^d x

Si cada función f (x) de un cierto conjunto R es aproximable en media poruna sucesión de sumas

K

S« (x) = ~S^ Cv cpv (x),

v= 1

el sistema ortonormal Sep« j se llama cerrado respecto de las funciones del con-junto R.

Limitándonos al caso de sistemas cerrados respecto de las funciones parcial-mente continuas hemos visto al establecer la desigualdad de Bessel que se ve-rifica que:

* *»-¿cSf [/(*) - y, 'v 9vP dx = f/(*)« rf - - V

a l a

y como por definición es:

Hm / I f (x) — 'S? fv\ dx = o«-»oo •' L ^r1 J

a 1

será también

*fft(x)dx-2?cv* = o

a 1

y por tanto:b

\\f\\*= f/*(x)dX:

00V~I

c*¿—iI

Esta es la llamada relación de Parseval la cual expresa la condición necesa-ria y suficiente para que la función f ( x ) parcialmente continua sea aproxima-ble en media por una sucesión S„ (x).

Geométricamente expresa esta relación que en los sistemas cerrados valeuna propiedad análoga a la de que el cuadrado del módulo de un vector en Rjes la suma de los cuadrados de sus componentes

(*) Obsérvese que la convergencia en media no implica la conve gencia uniforme de/n (*)> en ("' *)• Por ejemplo, la función /n (x) = x* converge en media hacia cero en elintervalo (O, 1), pero no converge uniformemente.

— y i —

Esta relación de Parseval nos plantea el siguiente importante problema. Dadoun sistema ortonormal cerrado jcpj respecto a las funciones parcialmente con-tinuas y dada una serie

X

%<fconvergente, ¿existirá una función f (x} parcialmente continua tal que las cv seansus constantes de Fourier respecto del sistema ortonormal cerrado j < p * j ? La con-testación es negativa y la determinación de la clase de funciones para la cual elproblema tiene solución afirmativa requiere el empleo de la integral de Lebesguecomo veremos más adelante (*).

5. 4. Relación de Parseval general.

Sea/ - X Cv tfv , f — S dv !6V

Si en la relación 5. 3 [2] sustituímos/ por/-)-^ resulta

// (f+g-)2¿x= y (c.-v + rfv)3/ »o Sea

,.* ~ ~ OT <X> ÇO

/ / *d x -f- ¡f* d x + 2 l f g d x = y ry* '+ V"rfv» + 2 y cv dv

a a / 1 1 1

y restando de ésta la [2] y la análoga para g se tendrá:

*\fRdX^yCvdv [ t ia 1

que es la relación de Parseval general.Esta relación justifica la definición que dimos de producto escalar de dos

funciones.T E O R E M A . — Si el sistema ortonormal jcp, j es cerrado respecto de las funció-

n?s continuas lo es respecto de las funciones parcialmente continuas.

(*) Veremos que la clase de funciones en que tiene solución el problema es la clasee 'as funciones de cuadrado integrable en el sentido de Lebesgue y que constiuyen elamado espacio funcional de Hubert. He aquí cómo un problema completamente natural

lftipone la introducción de la integral de Lebesgue.

En efecto dada una función parcialmente continua ff .se puede determinaruna función contínua f tal que se verifique que

ò

J(g-/i*t¿x<*

Sean¿r-Sív^./^Sr.,^

y suponiendo que la relación de Parseval se verifica para la función f(.v) vamosa demostrar que se verifica para la g (x).

ComoW

£<**

es la serie de Fourier de la función g (x) se verifica ( § 5 . 2 )

l> „ b

M = j"|s-W-¿«v?vf''*<j'|*-2Iív 'fvj" ä X

a ì a '

y basta demostrar que el segundo miembro de la desigualdad tiende a o.En efecto se tiene:

* n b

/[f-¿fv?v]Jrf* = _ / [ ( f - / ) + (/-¿ív?v]«rf*=||¿—/||* +a 1 a 1

n n

+ II/-2'vTvll1+ *(*-//-^'v?,)^ I I r-/!!» +i

+ H/-¿"'v TV II*+ 2 l· lls-/ll-l!/-¿^v- fv||

(esta última resulta de la desigualdad de Schwarz) y como todos los sumandostienden a cero, M —> o.

TEOREMA.—En un sistema cerrado cada función continua está caracteriza^1

por sus coeficientes de Fourier.Dos funciones continuas cuyos coeficientes de Fourier son iguales son idén-

ticas. Como su diferencia f—f\ tiene todos los coeficientes de Fourier iguale»a o será:

b

j (f-f^dx = -Za¿ = 0

a

luego/—/j SE o.

— 73 —

l'or tanto dos funciones continuas distintas no pueden tener los mismoscoeficientes de Fourier pues si los tuvieran iguales serían, idénticas.

5. 5. Sistemas completos.

l 'n sistema ortogonal (o„', se dice completo respecto a las funciones de unconjunto R, si toda función de R ortogonal a todas las tp„ es idénticamentenula.

Un sistema cerrado respecto a las funciones continuas es completo respecto alas f unciones continuas ya que no puede existir ninguna función continua noidénticamente nula ortogonal a dtdas las jcp„| , puesto que todos los coeficien-tes de Fourier de tal función serían nulos y por ser el sistema cerrado se-ría f(.r) ^EÍ o

Introduciendo la integral de Lebesgue veremos más adelante como este teo-rema se generaliza y se demuestra el recíproco.

VI.—CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER

6. 1. Orden de magnitud de los coeficientes de Fourier.

Supongamos que la función parcialmente continua f (x) es de variaciónacotada y que por tanto es la diferencia de dos funciones monótonas acotadasde signo constante tpj y cp2.

Se tiene evidentemente

P/ cos « .v

, sen «S — sen n ad x — r

Por tanto (*) se tendrá

- TT

( 2•í, cos n x d x < — M] siendo M, = max | cpj |

del mismo modo se ve que

I Ï2 COS « Jx d x <— M,

( l Utilizamos aqui el llamado segundo teorema de la media: Si la función u es po-s'tiva decreciente, se verifica:

. •/ u v d x = u (a] I v d x (a <_ Ç < b)

— 74 —

siendo

M2 = máx I 'rp, luego

2Tt

I/'co s n y: d yc <-(M1 + M2) = -

Una acotación análoga vale para el seno; luego los coeficientes de Fourier

^de la función / (x) de variación acotada son <i— siendo. A un número con-

veniente.

6. 2. Teorema de la representación en un intervalo.

En las aplicaciones interesa que la serie de Fourier converja uniformementehacia la función. Vamos a establecer una extensa clase de funciones que puedenser representables en este sentido por sus desarrollos de Fourier. En ella secomprenden todas las que se suelen presentar en las aplicaciones.

Sea la función / ' (x) continua en el intervalo (0,2 ~) y sea/' (x) de variación.acotada, siendo an y bn los coeficientes de Fourier de f (x). Se tendrá:

¿ "• ¿ "- ¿ "- L Ki f /sen n x \ f , \ C ,

an = — \ f (x) cos n x d x = • I / (x) sen n x a x = — I / seu «x J mt n 7t J n i ./

O O ü O

2 ~ 2 T 2 ~

ÓH= — I f (x) sen nxdx — — f—í -) / /' (.r) cos « .r d x —T: J . n-K "T. J

D o »

/(+o)-/(2 ir - o) , i r"

t ds

T//"-cos // .v d .v

Supongamos una función

/(+o) -/(-o) V7 sen »x?(*)- - - - -,. — - Z , ;,

y consideremos la función R (x) =f(x) — y (x] cuyos coeficientes a„ y ß„ serán

2 E

— I /' (x) sen nxdx ß„ = —^— | /' (.v) cos' z i í j « i r j

// jr í/ .v

Como consecuencia resulta:

siendo

¡f" d x . U V

?

V el máx | « | en ( a , b ) y V el máx / vdx

siendo a y ß puntos cualesquiera de (u, 6).

— 75 -

y como la función/' (x) es de variación acotada,, según el teorema anterior setendrá

i-K-e- y IP.K-5-

Luego la serie de Fourier de la función R (x) es decir

00

^ (in cos n x -j- ß„ sen « AT)l

converge uniformemente hacia R (*) en todo intervalo.La serie de Fourier de la función f (x] converge uniformemente (§ 3. i) en

todo intervalo interior al (o, 2 ~). Luego: la serie de Fourier de la función f (x)converge uniformemente en todo intervalo interior al (0,2 n); luego representa ala función f (x} en todo el intervalo salvo quizá en los extremos. Vamos a verel valor de f (x) en los extremos del intervalo.

En x o (mód. 2 x) (*) la serie de Fourier de cp (x) converge hacia o, luegola de/(jr) converge hacia el mismo valor R (o) a que converge la de R (x),Calculemos R (o). Para x =/= o (mód. 2 TÍ) es f (x) = cp (*) + R (.r) y como R (.r)es una función continua se tendrá

/(+ o) = ? (+ o) + R (o) |

/(-o) = ?(-o) +R(o) i

Y sumando estas dos igualdades resulta:

R/n>_/(+o)+/(-°) ?H-Q) + ?(-°) _ /(+°H-A-Q)« to) _ - - _ _

;ya que cp (*) es impar.

ks decir f/ valor R (o), hacia el cual converge la serie de Fourier de f (x) ene punto o, fj la semisuma de los valores f (-j- o) jj/ f (— o).

1 or un cambio de variable conveniente se reduce inmediatamente a esteas°i el de una función que no tenga más discontinuidades que los puntos con-tentes con x0 (mód. 2 ic)

^11 los puntos de discontinuidad de la función en el intervalo (o, 2 TÍ) son losP^tos

Pongamos

f W + A (X) [/ (*, + o) -/ (.r, - o) ] + . . . . +/, (.r) [/ (Xf + o) -/ (.v, - o] = -f (X)

(*} A '> Asi representamos los puntos O, ^ ir, 4,T, ...

_ 76 -

Siendo f ¡ (x) una función periódica de período 2 ~ igual a

(*• — a:,-) entre (.r;, ;*-,- -|- 2 r) igual a — para x = .Y,-,2 7C 2

Se ve enseguida que los únicos puntos de discontinuidad de cp pueden serJos x — Xi. En xl son continuas f2,fa, ff, luego basta ver si lo es

/ (*) +/, (x) [/(*-, + o) -/ (x, - o)) = F )

Teniendo en cuenta que

/1 (*1 + °) = O, /1 (*1 — O) = I

resulta

F (x, + o) = /(*, + o) +/, (^ + o) [/(r, + o) -f(Xl - o)] =/(*, + o)

F (ar, - o) =/(*, - o) + /, (*, _ o) [/(*, + o) _/(*, - o)] =/(*, + o)

•?/!+ X,

Kg- '5-

es decir F (xt -f- o) == F (*-, — o) y la función F y también la <p es continua efl

^TJ. Análogamente se ve en los otros puntos x2, .. . xp. Luego tp (x) es una fr"1"ción representable por su serie de Fourier asi como las f ï, luego también />como queríamos demostrar.

Hemos pues probado el siguiente teorema (debido a Lebesgue y Kneser).Si f (x) es parcialmente continua en (o, 2iC) y en cada uno de los intervalos

continuidad f (x) admite una derivada de variación acotada, la serie de Foni'ie

de la función f (x) es convergente en todo el intervalo y uniformemente converge1'en todo intervalo interior a un intervalo de continuidad. En los puntos de ditt°

— 77 —

tiniíidad la serie converge hacia la media aritmètica de los límites a que tiende f (x)cuando x tiende al punto por uno y otro lado.

Este teorema permite reemplazar el signo -^ por,el = en los ejemplos dela lección II.

6, 3. Teorema de Weierstrass.

Sea / (.r) una función continua en. el intervalo (0,21:).2 Tu Tu

Dividamos el intervalo (o, 2 r.) en k partes por los puntos xn -k

¿n

Fig. 16.

consideremos la poligonal y = cp¿ (x) correspondiente a estos puntos de la cur-va; tomando k suficientemente grande se tiene

I/(*)-?*(*) I <T

La función cp¿ (x) es continua de periodo 2 K y además su derivada es cons-tante en cada intervalo y por tanto de variación acotada, Aplicando a cp¿ (x) elDorema anterior se obtiene

I o* (x) — (a^ cos v x _|_ ¿v setl > * • ) ! . < — siendo ^ (av cos v x -f- /;v sen v x)

na Sl"na parcial de la serie de Fourier de la función yk (x).. De donde se de-duce que

\ / ( x ) — / , («v cos v .r -f- ív sen v ,r) | <:. £l

- 78 -

es decir que: una función continua en (o. 2 z) es aproximadle uniformemente poiuna sucesión de polinomios trigonométricos (i.er teorema de Weierstrass).

Con esto está probada la completitud del sistema trigonométrico respecto alas funciones continuas, ya que si una sucesión converge uniformemente haciauna función, también converge en media.

Teniendo en cuenta el Teorema del § 5. 4 también es completo el sistematrigonométrico respecto alas funciones parcialmente continuas y para toda fun-ción parcialmente continua se verificará

2 TU2 o 0 T Í *

0^- + (a¿2 + ¿A2) = — / f(x)"- dx (relación de completitud)¿=i

Además si se tienen dos funciones parcialmente continuas será

^ T"" a" + X, (ak ak' + bk ¿*') = ~T / /(*)# W (relación de Parseval)

2 ! J- */1 U

Si se quiere probar la posibilidad de aproximación uniforme por polinomios

enteros de la función continua f (t) en (a, ß) (a.° Teorema de Weierstrass) pon-

f- O u lip ín

Fig. 17.

( lT/

sea continua en un intervalo contenido en (o, 2 T) y completemos <p (.r) fueia

de aquel de modo que sea continua. El teorema anterior permite obtener un»suma trigonométrica. Si se desarrolla dicha suma en serie de Taylor y se tom*una suma parcial

V a* x*

— 79 —

tal que, en dicho intervalo sea

n "

% (í7v cos v.r -f- /\, sen v i-)— ^ A& x^ <£, serà: » — Va***¿J

o< 2 £

tendremos probado el teorema.

Hemos pues probado la- completitud del sistema de funciones

Como los polinomios de Legendre resultan de estos por combinación lineal;

forman también un sistema completo.

EJERCICIO—Probar que en el intervalo (o, x) forman un sistema cerrado:

sen x, sen 2 .v, . . . . , sen n x,

dem

í, CO-i .V. COS 2 .V COS t/A',

N O T A S

'• COMPLETITUD DEL SISTEMA TRIGONOMÉTRICO.—Hemos dicho que la convergencia'uniJornie implica la convergencia en media, luego para probar que el sistema trigonométrico'tS cerrado, es suficiente demostrar el siguiente teorema de Weierstrass.

I- Toda función continua en el intervalo (o, 2 K) se puede aproximar uniformemen-te poi polinomios trigonométricos:

—- -j- ^ (a.j cos v .r -j- b,, sen v x)2 / ¡

Vamos a dar una demostración directa de este teorema reduciéndolo al que hemos lla-mado segundo teorema de Weierstrass.

"• Toda fundón continua cu el intervalo (a, b) puede aproximarse uniformemente-for polinomios enteros.

Comencemos por la siguiente demostración de Lebesgue de este teorema II.r* *n-n virtud de la continuidad podemos determinar una poligonal tal que sus ordenadas-ran de las de la curva dada menos de un número prefijado E.

Sean

í.v,, V j l , (.v,, v2) (x„, \'„}

los «tices de la poligonal.^a función

•ik (X) -^\X- Xk 1 -f- (X - .V¿)

•es igual a cero

La función

— Bo —

x 5j x k y es igual a

2 (x — x/c) para x > *>

« — iF (x) — a0 + "V ak ifk (x)¿LJk=i

x*

Fig. 18.

es por tanto lineal entre cada dos abscisas consecutivas x¡t x¡ + i ; ¡uego representa una po-ligonal y para que coincida con la que tenemos basta que coincidan los vértices de ambas,es decir es preciso que se veriliquen las siguientes n condiciones:

y\ = a«yi = ao +2 flt (xi — *'i)y» = «o + 2 ai (X3 — xi) + 2 ai (*"3 — x-¡>

y» = a0 + 2al(.rx — xl)-t- + 2 ö„_, (,V„ — A'»_|)

-l H

Fig. 19.

Como F (Ur) es una suma de funciones c¿ (.f) se sabrá aproximar uniformemente P (•'/por polinomios si se sabe aproximar tp¿ (.v) y la aproximación de ésta se reduce a l» *e

[A' — l, ya que el sumando .v — Xk es un polinomio.

— Si —

Todo se reduce pues, a aproximar \x\ por una serie de polinomios uniformementeconvergente en (a, b). Basta considerar a y b de signos contrarios, pues si son por ejem-plo ambos negativos es \x\ = — x que ya es un polinomio y no hay problema. Siemprepodemos suponer el intervalo simétrico: (— ¿>, -j- b) Y con el cambio de variable .r = bí,basta saber representar \ t\ en el intervalo (— \, -f- i.)

En la serie binómica

+ ]/ I -- a = i a a! —2 • 4

_Jj 3_2 - 4 - 6

que converge uniformemente en el intervalo ( — i , + i) hagamos a= i — i 2 y tendremos

+ )/> -,\t\ = i _ — ( i -/*)-

que es el desarrollo buscado.

Fig. 20.

lin

Demostremos ahora el teorema 1.ea / (x) una función continua de periodo 2 u, y vamos a aproximarla por un po-

'Omio trigonométrico,-as funciones

s°n funciones

[/>> +/( - A')] y [/>•) -/(- x\] sen r,

pares de período 2 r: y por tanto son funciones uniformes de la variablecos x en el intervalo (— i, -f- i) como se deduce inmediatamente de la consideración

a ''gura. Designemos dichas funciones por « (K) y tji («) y vamos a demostrar queminiar trigonométricamente f(x) se reduce a aproximar por polinomios o (li), i (u)

y otras funciones análogas.REV DE LA REAL ACAPEMIA DE CIENCIAS.—l!>tT.

— 8a —

Tenemos en virtud del teorema anterior las siguientes igualdades aproximadas:

< p ( « ) ~ P ( « ) ; <M«)~Q(« )

P(«), Q(IÍ) son polinomios enteros.Pasando a la variable x y multiplicando los dos miembros de estas igualdades apro-

ximadas por sen2 x y por sen x respectivamente resultan las siguientes

[/{*) +/(— *)] sen 2a- ~ P (cos x) sen2 x )

\f(x) — f ( — x-)] sen2 x ^_ O (cos x) sen x )

que sumadas miembro a miembro dan:

2/(x) sen2 a; ~ P (cos x) sen2 .r -f- Q (cos *•) sen .v.

Si en lugar de la función J (x) consideramos la f (x -)——J tendremos haciendo aná-

logamente para esta función lo hecho para f (x) la siguiente igualdad aproximada.

2f\x-\ 1 sen2 x _—_ R (cos x) sen2 .r -j- S (cos x) sen .r

y cambiando x en .r — —— se tendra:

2 f (x) cos2 x R (sen r) cos2 ar -j- S (sen ar) cos a-

y sumando

2 f (x) ~ R (sen jc ) cos51 x — S (sen x) cos x -j- P (cos .r) sen2 x -)- O (cos .v) sen .v

en la que, pasando de las potencias de los senos y cosenos a las mismas funciones demúltiplos del arco por las conocidas fórmulas (*)

22*-j cos2* .r — I l cos 2 k x 4- l 'l cos (2 k — 2) .v 4- . . . . -f l M etc.\ O / \ ' / J 2 \ ^ /

se tiene la aproximación trigonométrica buscada.2. Hemos visto (i; 5. 5) que probado, que un sistema ortonormal es cerrado resulta

como consecuencia inmediata que es completo. Tiene sin embargo interés la siguiente de'mostración directa debida a Lebesgue de que e! sistema trigonométrico es completo.

Teorema.—Si la función <p (x) continua tiene nulos iodos sus coeficientes de Four'ei

es id'cnlicaine/i/c n n I a.

(*) Análogamente, todo polinomio trigonométrico cíe orden n se puede poner en f"r"ma de polinomio de grado n en cos x y sen x mediante las fórmulas

eos ¿- .r = | ' | eos\ o

.v — I ) eos* "• x sen2 x -)-

•*en X'.v = ( I eos*"1 ac sen a; - I I eos*"3 sr sen3 x 4-\ i / \ 3 /

- 83 -

Supongamos, por ejemplo, que

E) = f >o.

Por ser <¡¡ (x) continua en un entorno

(í - ò, í + í) $<r.) es «, (.r) :> -^

Por hipòtesis es:

E. + - Í + K

/ te (.r) sen ¿ .r d .v == o ; / y, (.v) cos ¿ *• ¿ .v = o

ç — T;

para todo valor entero de X", y por consiguiente, si T„, (.r) es un polinomio trigonométricocualquiera se verificará:

S-Kf <f(jc)Tm(x)íi.v = o. [i]

6-r

Hagamos

T«, (ar) = [i -f cos (.r — £_) — cos S]»' (*)

Entonces T„, (x) > I en el intervalo (i — ï , ï 4- 5);

| T M ( a : ) | < i e n e i (£ — r , E . — ò) y en el (E + ò , t; + T)

Si descomponemos la integral [i] en la forma

Ç + T. ï-ï ç+a E + r

/ - / + / + /g-í: C_ r £ _ g ï + S

sulta que la segunda integral [i] aumenta infini tamente puesto que T„, (.r) -*• oo al tender

^ a infinito y ¡p (r) > — -

tn cambio la suma de la 1.a y 3.a es menor que M (2 TC — 28) (suponiendo queM*)I < M), luego es imposible que

/ tp(.v)T„,(.r) rf.v

o

• a nu'a cualquiera que sea ///, con lo cual está demostrada la imposibilidad de que todos

(*ì ri \ > ''.sta es una suma trigonométrica puesto que es de la forma 1 + A cosh (x — £) + ...,jj a que las potencias cosh (x — |) se pueden reducir a cos x, cos'1 2 x ... sen x ... por"" '«rumias ames indicadas.

los coeficientes de Fourier de 9(4.-) sean nulos; es decir, ç (x) tiene que ser idénticamentenula si sus coeficientes de Fourier son nulos, afirmación que equivale a decir que el siste-ma trigonométrico es completo respecto a las funciones continuas.

Vil—ALGUNAS APLICACIONES

7. 1. Problema de los isoperímetros.

(Solución de Hurwitz).Este problema de cálculo de variaciones (estudiado ya por Euler) consiste

en hallar entre todas las curvas cerradas de Jordán sin puntos dobles que tie-nen la misma longitud L la que encierra mayor área.

Vamos a demostrar que la curva que resuelve el problema es la circunfe-rencia. Para ello nos limitaremos a considerar curvas tales que si sus ecuacio-nes paramétricas son

* = *(/) i ... ,,. i ° _; -r i r- t'lv — v(í) )

en que el arco s es el parámetro, las funciones x (s) e y (s) tengan derivadasalvo a lo suino en un nùmero finito de puntos y que estas derivadas seanparcialmente continuas.

2 TC C

Sí hacemos el cambio de variable /= —-— las ecuaciones [ i ] se transfor-

marán en las

O •<! / ---' 2 7C

- ? v> I¡Lf\ 1

V — V -i (O \- \2T. ' ]

Si las constantes de Fourier de las funciones .r = -j> ({), y = -o (¿) son av , ^v íí/.v í/j' .

cv, </v respectivamente, las de y serán v¿>v, — vav y vrf„, — v <

(§ 6. 2).Partiendo de la fórmula

/ IÍX\Z l d v \ i

(•rf-r) +(77) = I

que por el cambio de variable de s en t se transforma en

r£r+(£r-(7r)' i

- 85 -

d x . d yy teniendo en cuenta la relación de completitucl para las funciones ——, ——

Cl i d t

se tendra

T/|(4ff + (^)l''= J>.' .'+ --,' +O

y, en virtud de [2]

21C 27!nm+(m*> -¿/(^"--fter-^O ü

de donde

L 2 = 2 7 c S V v > ( a v 2 4 - V + ^ 2 - f<V) [3]A_¿v =J

que nos da la longitud L de la curva en función de los coeficientes de Fourierde las funciones *• e y.

Para hallar una expresión del área también en función de los coeficientes deFourier tengamos en cuenta la fórmula de Parseval, aplicada a las funciones

*«,£-.d t

•¡ Kí j <»

^\X~/tdt'='^V (OV Í/V~~ ÍVCV) WO 1

y como el área es:

*-/*£"-o

multipHcando por 4 T? los dos miembros de [4] se tendra

00

4 TU A = 4 r2 y v (av rfv — ¿v fv)1

y restando de la [3] ésta, quedará

00 00

I-2 - 4 TC A = 2 ic2 £ v" K* + V + ¿V* + ¿v«) - 2 r? 2 v K ¿v - ív t-v) =v=-i v = i

oo

= 2 K* £ [(v av - drf + (v ¿v + fv)' + (vt - 1) (f/ + ¿v2))

v = l

y como v > i esta expresión es siempre mayor o igual a cero:

— 86 —

El área máxima corresponderá al caso en que sea cero dicha expresión.Será igual a cero solamente si son cero los tres sumados o sea si se verificansimultáneamente las siguientes condiciones:

Si v = i : a¡ = í/j. 6¡ — c^

S¡ v > i : fv = d., = o y a.t = ¿v = o

Es decir, las funciones x e j' serán

x = aí eos / -f- ¿>í sen ¿ ^

y = éj cos í -(- a( sen í 5

ecuaciones que representan una circunferencia como queríamos demostrar.

7. 2. Problema de Dirichlet. Integral de Poisson.

Dada la ecuación en derivadas parciales

. , , J 2 U , dHJA u = — .— — odx* ^ d y*

el problema Dirichlet consiste en determinar una función que verifica dichaecuación A U = o armónica en el interior de un contorno cerrado C que se re-duzca sobre este contorno a una función continua dada.

Nos vamos a referir al caso de un círculo ya que en virtud del teorema fun-damental de la representación conforme el caso general se reduce a este tenien-do en cuenta que la ecuación A U = o es invariante en las transformacionesconformes.

Observamos que las partes real e imaginaria de todo polinomio en jsonpO'linomios armónicos y que si en el polinomio en s ponemos:

x = /• eos co, y = r sen tp

cada una de aquellas da una suma trigonométrica.Recíprocamente, toda expresión:

P = — aa-\-r (aí eos <p -|- é, sen tp) -(- -)-;•" (a„ cos n ca -f- bn sen n <p)

es un polinomio armónico pues es evidentemente la parte real de un polinomi0

en z = r e ! f .Sea/(ep) una función continua de periodo a x . Vamos a probar la existen-

cia de una función armónica en el círculo " | < i que se reduce a /(tp) sob'e

la circunferencia 3 = e1'f.Sea

00

Z-.una serie convergente de términos positivos y suma e.

- 87 -

Supongamos que

S/ (-s) = — a¿ -\- (a^ cos 3 -(- í,' sen ç) + + (a'n cos " f + ¿'» sen « í1)

sea un polinomio trigonométrico tal que |/('f) — S,-(<p) | <C s,- en el intervalo(0,2 i:) y definamos

«S,- (r, a) = — íZ0' + N^ (a/ cos /> ç -|~ b p* sen / ep) rt

/>=--!

La sèrie

F (,-, ?) = S, (r, f) -f [S, (r, 3) - S, (r, o)] + [S3 (r, <p) - S2 (r, ?)]-f

es absoluta y uniformemente convergente porque |S,-(r, ep) — S/+i(r, cp ) | al-canza su máximo sobre la circunferencia (*) y es, por tanto, menor que

1 S,- (a) - S/+1 (<p) | = \ 5; (?) -/(<p) +/(<p) - Si+i (cp) | <

< I S/ (0 -/(0 | + | Si + j (?) -/(y) ] < 3; + S.- + 1

Vamos a dar una expresión de la función F (r, cp). Se tiene:

íty :.- lim a/," ,, ¿^ •-- lim ¿^"« —* 00 « — CO

Como íz^ y /^ son los coeficientes de Fourier de la función S„ será:

fl/>"~ ~~ / s«cos/'•!"''I1

o21:

/y< = -i / S„sen íj) rfi

o

Y como S„ tiende uniformemente hacia /(cp) se tendrá:

3.~ Ve

«/ = 4" / /('(<) eos/!¡<rf A ,, ^ = -^ //( '¿)sen^c|i / /( j i [r]

(*) Una funcicn armónica en un dominio D no puede tener un máximo en un puntoerior- Sea « (x, y) la parte real de / ("). Si u (x, y) tiene un máximo en un punto inte-

n°r lo mismo le ocurriría a««(».JO = | í«( i ,^)- l - i r f j : . K) j ._: «/(=) ¡ — I F (s) |

'1 decir, al mòdulo de la función analítica F (~), lo cual es imposible en virtud del princi-P'° de módulo máximo de las funciones analíticas.

En virtud de la convergencia absoluta podemos ordenar F (r, <p) en formade serie de Fourier:

F (r, <p) = —— -f- r (al cos y --(- ¿t sen (p) -j-

EÎ coeficiente de cos/» es:

r/ a, = r/ [a/ + (af - a f ) -f (a/ - «/) -f ]

serie que es absolutamente convergente pues

I aj—ap

21T

LÍH-1 ! — - / (S< ~~ s<+ l)cos/ <p ^ T 2 r (£' +£ ; +^ = 2 (s/ + s'+ ])

0

por tantoI rf (apt - 3/+ ') |< r/> 2 (e/ -f e,-+I);

>* [«/+ (V - V) + ]<r#2S(e ,-+e,-+1)0>4£

Luego si en F (r, <p) sustituímos cada termino S,-—S,- + 1 por la sucesión finitade Fourier que representa, obtenemos una serie cuya suma de los coeficientesde senos y cosenos es < 4 e (i -f- r -{- r2 -j- ) que es absolutamente con-vergente para r < i, y por tanto agrupando los términos correspondientes aun mismo seno o coseno resulta:

F (r, (p) - — -f r (a, cos <p -(- ¿j sen <p) -f- [2)

que prueba que F (r, <pj es la parte real de una sèrie entera y satisface la ecua-ción de Laplace.

Sustituyendo en [2] las expresiones [ï] resulta

21 2jc 21

x F (r, ç) = j J/(<I>) ¿<!> -f r J/WO cos (i - <p) ¿i -t- r* J/(-|) cos 2 (<{, - cp) ^^ +

0 0 0

y si suponemos r <^ i como la serie

1- r cos (<Ji — y) -f- r2 cos 2 (;J) — ip) -f-

es uniformemente convergente respecto a <|> podremos escribir:

•2~

5rF(r )<p) = . /('|; |-i + r cos (i - (p) + ;-*cos 5 (<{, - (p) + L^

La expresión

— + >' C0b ('{' — '•?') + > 2 cos 2 (<ì — -í) +

es la parte rea! para .: = r e'W~'f) de la série

-1 + c +.;,! + + :" + = -J . l

1 . i2 ' ) — r¿"'(<!<—<f)

_ _L i . ' ._. — _^ _L -l :- i . -. ..-M —i ~ ' . — f cos (¿ — ,¿} — i /• sen (i — 'í)i

por tanto

1 i — r cus (í, - -it -f~ * '" sen (^ — '•?)2 i — 2 >• cos (i — 'í) -)- r2

• r ^/í^'^:2) ^i; r J \ — 2 r cos (i — '¿) -J- /'2

que es la integral de Poisson. Esta representación vale si r •< i.interpretación geométrica.— Si llamamos AI al punto (r, <p) y P al punto (i, <p)

J N es uno de los puntos en que la cuerda perpendicular a O M corta a lacircunferencia, se tiene

ÑTÑ2 = i — ?'2, M~F2 = i — 2 r cos (<y — -p) -|- r~

Kig. 2 i .

lúego

i — 2 r cos (4> — ç) -j- r7,-(w)!; "'-^IT//««^'»

Si suponemos, como hasta aquí, que la función /Ycp) es continua esta interpre-tación geométrica permite probar que si M (r, y) —> P0 ( i , cp0) siendo siempre Minterior a la circunferencia, se tiene:

F (r, ?) ->/(?ü)

luego F (/-, (p) es continua en el interior y sobre la circunferencia y como aquíF (r, tp) =/(cp) sólo falta demostrar que F (r, tp) es armónica.

Que la solución del problema de Dirichlet es única resulta como consecuen-cia inmediata del principio de máximo de las funciones armónicas; pues sihubiera dos funciones armónicas que tomaran los mismos valores sobre la fron-tera su diferencia sería una función armónica y nula sobre la frontera, luegoidénticamente nula.

Hemos supuesto aquí la continuidad de la función /(cj>); Schwarz ha estudia-do la integral de Poisson en el caso de que f(fy tenga discontinuidades de pri-mera especie. Se demuestra que si jf(cp) tiene en P0 ( i , tp0) un punto de discon-tinuidad de primera especie, la integral de Poisson no tiene un límite únicocuando el punto M(r, tp) —> P0 (r, cp0) (permaneciendo interior a la circunferen-cia) y siguiendo una curva con tangente en P0. Tal límite es una función linealdel ángulo a que dicha tangente forma con el radio y su valor es precisamente:

y [/(<po + o) +/(<Po - o)l + -1 [/>„ + o) -/(?0 - o)]

En particular si a = o

F('•, ?)--[/Opo + o) +/(?„ - o) 12

El empleo de la integral de Poisson tiene.aplicaciones importantísimas en lateoría de funciones analíticas.

7. 3. Aplicaciones técnicas de las series trigonométricas.

En Aerodinámica juega un importante papel la ecuación integral de nucie°singular:

~te-/<*> "'La resolución de esta ecuación se hace, fácilmente como aplicación de '*

teoría de series de Fourier.Sea f(x) una función dada en el intervalo —• a <^ x < -f- a. En la integi'8

se considéra el valor principal de Cauchy.

— gì —

Hagamosi = — a cos ò i

} dt = a sen A d A;c = — a cos cp ) '

y sustituyendo en [ï] resulta

iri f v (— a cos 6) sen 6 d à

I — : p — =/ ( — a cos cp [2]2-z J cos cp — cos (|i y v r l '

o

Haciendoí y (— a cos (j/) sen í/ = y (cjj)( /(— a: cos ?) = F (cp)

la [2] toma la forma:

-L· r_-!w^i_=p(»)2 ic j cos cp — cos (j) r [3l

Resuelta esta ecuación integral se obtiene inmediatamente Ja solución de la[i] . Vamos primero a resolverla en un caso particular y luego en el caso general.

i.° Supongamos que F (<p) = — y vamos a probar que la soluciónStill íp

de [3] es en este caso: Y (tj>) = 2 eos « cjj, es decir, que se verificará:

i:i r • cos n di sen « cp

— l —- ai î- « = o, i, 2, .. . . ; o < co <C ir f^*]- J cos <:> — cos c}) Y sen tp r ' u J

o

Como el integrando es una función par se puede poner la integral en la forma:

i r cos n '¡tl 4 j,

2 1t J COS <f> COS 9

Para calcular esta integral hagamos:

£1^-4-0 — ''$ p'tty J_ ¿; — r'«i£ ïcos tj; — ; cos n i •-- ' ; d*¿ •-- d(c'f) e — «41 —r

con lo que la integral se transforma en:

JT

i_ r g'"'i' + g~''":i' , (.., f ,~ 777 J 7?r* H~ i — 2 cos cp - ei* (e ' l4'

41= — it

Y haciendo e'*» = Ç, se tiene en forma de una integral de una función de varia-ble compleja

fn -i-r-"

- + - r - r f C ÍSl2 ic » jr C2 -(- i — 2 cos ol t x l = l

Hue vamos a calcular por el método de los residuos.

— 92

Los polos de esta función son:

Q = cos tf + "J/cos2 (p — i = cos <p + z sen cp = e * "f

y además í = o y la integrat puede escribirse:

i j: e» + e-» ^,2-K i y (Ç — <!<>j (Ç - s-if) ^

l£ i=i

Los dos primeros están sobre el contorno de integración y por tanto hay queconsiderar el valor principal (*). La contribución de estos puntos a la integralsera:

i f ("'9 -f- e—«>t e — '*¥-\-e'»i?1 f «"'V -\-e—»'f2 I e'f — e-'f ' e — "f — e'f

Fig. 22.

Por tanto, para tener el valor de la integral no queda más que el residuoen £ = o, pudiéndose prescindir del sumando

C"(C-^HC--«-'1

que es regular en £ = o.

(*) Aplicamos aqui la siguiente generalización del clásico teorema de Cauchy. ^'/ (t) es holomorfa en el recinto limitado por la curva p y ° es un punto de T con tan"gente, se verifica :

/w/ / — adi=f(a)-Kt

— 93 -

Para calcular este residuo desarrollemos en serie:

r-» r-" /-ÍS \ y -SS • \7_ .-i,_ r- = ,. „— n ^— = Ç-« ( V C Í - ÍV9J í V rn e"1? W(C — e"P)(C — e-«P} (i — C e - ' ? ) ( i— C e'-f) \^J / I-É—J /

W:rr() I \H, = 0 /

«J

_ N^ j-V + H — n eí(|L — v ) tp.¿_J

V,|l = 0

Veamos en esta serie el coeficiente de —que es el residuo.

"V .; ,,, V1 •/ , „ , •/ , ' — e~'iniy fi(n—í)<f— e — i(n-}-L)tp> e'(ll —v)? — > e'("~l —2'')? = e>(" — i)? =. • =

¿^¡ ¿_¡ I — £ — 219 I — g — 2 i t fv-t-n = »_ l v.= o

eintf — e — íny .sen « tp

C'V — f . - ' f sen tp

Por tanto está demostrada la igualdad [3*]En el caso particular de « = o tenemos:

1.F ÍL_=0 [6]TC / eos y — eos y l '

o

2.° Abordemos ahora la resolución de la ecuación integral general [3],Supongamos que la función F (cp) sen cp ^/(—• a eos tp) sen cp que está definidaen el intervalo o <cp <C^, es desarrollable en se rit de senos (*).

| ÙO

K ('p) sen -p = "^T1 í>i, seu « cp2 xx i

es decir

F ( y ) ^ _ J - V¿1.-s±n^

2 ^J sen?

Según lo demostrado en i." una solución de la ecuación integral será:

OD

Y ((j,) -i í,, f y í« cos « | [7 J1

suponiendo que esta serie sea uniformemente convergente (con lo cual se puedeintegrar término a término y aplicar i.°)

( ) Completando ía í'imción en vi intervalo (— ,T, -j- ,T) de modo que òea impar, bastaráP'ira que admití tal desarrollo qui.1 cumpla ahora las condiciones del teorema del capítuloatlterior.

— 94 —

Gomóse ve en esta solución hay una constante arbitraria: — ¿>0; ya que si

existiera otra solución Yj (<jj) en virtud de [6], tendría que ser:

Y ($) - Y, (if) = cte.

Pasar a la solución de la ecuación primitiva [ i ] es inmediato deshaciendoel cambio de variable:

,W=J,<_«co80=^=^(^ + X*1,co.i,*)-

I—¿0 + 2*„cos»(My—:pãã~

Los cálculos anteriores se utilizan en la integración aproximada de la llama-da ecuación de Prandtl, (que es más general que la anterior):

r (x) i f d r (f)V0 K T (x)

_ i f d V (t)4 TC V0 J x — t

en que la función a determinar es T (x), y también el método sirve para otrasinteresantes ecuaciones integrales de la técnica como, por ejemplo, la ecuaciónde Föppl (*)

+.<*f (i) d i

í *-/• =/W

Vili.—FENOMENO DE GIBBS

8. 1. Ejemplo de fenómeno de Gibbs.

El teorema fundamental del § VI afirma la convergencia uniforme de laserie de Fourier en todo intervalo interior a un intervalo de continuidad de lafunción; pero en un entorno de un punto de discontinuidad la convergencia nopuede ser uniforme ya que los sumandos de la serie son funciones continuas yv

si la convergencia fuese uniforme el límite ser'ía una función continúa.Antes de estudiar el comportamiento de las sumas parciales de una serie de

Fourier en el entorno de un punto de discontinuidad de la función consideramosalgún ejemplo de otras sucesiones de funciones.

(*) ZAMM, t. 16.

— 95 -

Sea la función

í ï en

f (x) ~ \ o en

' — i en

o<^x <, i

.r = o

— i <, x < o

La sucesión (fig. 231

lineal en

— i < x <- — —

t „ i<^ y -^

fi W

converge uniformemente en todo intervalo interior a cada uno de los (o,i),(— i,o) hacia f(x}. Se puede considerar una sucesión de puntos xm tales queÍ,,,\x,,,) converge hacia cualquier número comprendido entre -\- ) y — i (extre-mos de f(.r) en x = o)

J - ÍB . 23.

^ea, ahora, la misma función /(#) y la sucesión (fig. 24)

f» (x) =1.5 en

— i, S er>

— i en — i <*<»

— 96 -

y lineal en los intervalos

/J_, _L\ /__L., -U, (_1, _J_\\ 2 « ' w / ' \ 2 n ' 2 n j ' \ n 2 « /

En esta se observa que cualquier número del intervalo (— 1,5, 1,5) puede serlímite de valores /,„ (xm) en que xm es una sucesión conveniente que tiendescero. Esta propiedad de ser más amplio el intervalo de límites posibles de suce-siones particulares /„ (xm) que el intervalo de oscilación de f(x] en el punto dediscontinuidad considerado se llama fenómeno de Gibbs.

Vamos a estudiarlo en una serie de Fourier particular y luego veremos quea ella se reduce el de cualquier otra serie de Fourier.

I'ig. 24.

8. 2. Fenómeno de Gibbs.

Sea la serie de Fourier

2 (sen x-\ sen 3 x -| sen 5 x -|- .

de la función /(#), que en el intervalo

— - <[ je •< o es _/"(#) = —

y en el

o<*<- , /(*) = -^ y /(--) =/0:) =/(o) = o

En la fig. se han representado las curvas correspondientes a las suma3

— 97 —

M = S, (.r), y = S2 (.r), j' = S,¡ (x): La aparición del fenómeno de Gibbs está cla-ra, ya con la curva y =S6 (x)

V

Curvas v =Fig. 25.

y = 2 sen x

y = 2 (sen A." -(• sen 3 ar)

* = 2 (sen *• -j sen 3 x -j sen 5 .v -j sen 7 ar -j sen g a,- -| sen 11 x)3 ^ 7 Q . I l .

^n Ia figura B) se representa rayada la zona en que quedan las curvas paraSuficientemente grande.

La suma parcial S„ (x) es

s,(.v) = a y S C ' U 2 r ~ l ) x2 r — i

d~Tx

H

- S„ (A.-) = 2 ^> cos (2 /• — i)x =sen 2 « x

sen o.'

' • BE LA REAL ACADEMIA DE CtExcrAS.—11)47.

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y por tanto

de donde

S» (x) =

A

[' sen 2 n t

J sen adi

/ • sen 2 u n ¡ ' l iS„ Ix)— / rfa= / sen 2 w a

./ « J \ s e n ao o

y haciendo el cambio de variable ß = 2 11 a. se tiene

-—\dv

¡' sen 6 ,, T ! í sen et \S« — / —¿-ï- í/ ß = I sen 2 n et i — •. / P J se»" \ « /i) »

/' a l a n? \= I sen 2 «a —: T-+ rfcz

J sen 7. \ 3 ! S '• /

rfa =.

O

C^uando « varia de o a —,2

«sen Í2

crece d e i a —• ya que la derivada es

sen 'í — '/ cos K> o en o"í)

sen apor ser ,><*.

Además en el mismo intervalo

fï a"°<^- es °<7- 5T + < —

99

Luego

%nx -K x

5.M-/ '^ i< /p |</ ' i . - ÍLrf 0 = -!L/'a r fa<JL^ si o<*<-IJ V H J * 3- 12 J 24 — — 2

Dado s arbitrariamente pequeño se puede determinar v¡ tal que cualquieraque sea n para o < x <_ t\ se verifique

s.w-JjsiL^I <:

Si elegimos ahora M suficientemente grande para que < y¡ será

s,/-L.\_r£!£lrfp\2nj J fi f

< e, esto es; MiVHT-p-íHh' '»Q / * \ * /- -O-I /' ""P //HM~^~)" ^+IJ-y-^

Esto prueba que en las curvas y = S„ (#) hay puntos que se desvian de la

función f ( x ) =— en las proximidades del origen aproximadamente en

ÛOw«1C

cuyo valor calculado aproximadamente es: 0,2811.Teniendo en cuenta que

x

s.(*)= f -„ . . , sen 2 TZ a . dS„(x) sen 2 w arS„(*)= / rfa y que —~=--— =

ia dx sen x

es inmediato ver que el valor máximo de S„ (x) en el intervalo (o, — I es S,, I I\ 2 / \ 2 n í

y esto junto con la relación [i] prueba que la desviación máxima de las curvas

y S„ (x) de la función f (x) = — difiere tan poco como queramos de

J^l^ = _o,28u

Estudiado el fenòmeno para la función f (x), que acabamos de considerarra cualquier otra función parcialmente continua ç (x) en un punto de discon-

— IDO —

tinuidad de i .a especie y salto H se tendrá ep (x) -f (x — c) =/1 (x) en que1C

/! es continua en x =. c pues se tiene

rj

/i (í -f o) = <?(í +o) - -r-/(+ °)

/i (^ — o) — ? (í — o) — — f ( — °)

y restando las dos queda

/i (c + °) —/i (í — o) = ? (í 4- ò) — ? (c — o) —

- |- [/<+ °) -/(- 0)1 = H _ H = o

Resulta pues que la sèrie de Fourier de o (x) se puede descomponer ensuma de dos, una de ellas converge uniformemente en el entomo del puntoconsiderado hacia 'f^ (x) (continua, y por tanto no presenta fenómeno de Gibbs)y la otra presenta el mismo fenómeno 'de Gibbs ya estudiado en f ir) (*).

8. 3. Generalización.

Vamos a definir de una manera general (**) el fenómeno Gibbs para unasucesión de funciones jy„ (x)\

Sea

I.« (h, -Vol = ext/« (x) para tu > « Y 1 •* — *'<> I ••' ll

Cuando'« crece y h —> o los números L„ (fil xlt) no crecen, luego existe

lim [lim L„ (/;•,»•„) I = L U',,)A — '' »—»00

A este nùmero L (.r„) le llamaremos máximo de la sucesión fn(x\ en x<}. Aná-logamente se define el mínimo de fn (x) en x0.

A l a diferencia f. (x0) — l ( x ü ) = m(x^} la llamaremos oscilación de j'y« C1') ien ^r0. Supongamos que j/„ (.r) j es convergente en todo punto de un intervalo

que contiene x0 y sean

M(/,.v0),m(/,^),„,(/,a-0)

(*) Un estudio mas detallado se encuentra en Carb!a\v. íntrodnctiot' to the .theory "^Fourier Scries a>id Integrals.

(**). Zalckwasser, Sur U- phdiomìm ¡if Gibbs, «Fund. Ma'tb.c, t. 12.

— ICI —

el máximo, y el mínimo y la oscilación de /(.r) en .r,,. Se ve fácilmente que

'(*o) < >» (/, *o) < M/. *o) If L (*<>)

Diremos que \\a.y fenómeno de Gibbs en .r0 si se verifica una al menos de lasrelaciones:

L (*•„) > M (/, a-0) ; / (.r0) < m (f, x„)

Se llama amplitud del fenómeno de Gibbs en ,r0 : la suma de diferencias:

O (*„) = [L (.r0) - M (/ .r„)] + \m (/, *a) - / (*„)]

(¿T(7w?w«araj.